“縮放圓”、“轉(zhuǎn)動圓”

1、高三物理專題：“縮放圓”、“轉(zhuǎn)動圓”（或“軌跡圓心圓”）（一）縮放圓帶電粒子以任意速度、沿特定方向射入勻強磁場時，它們將在磁場中做勻速圓周運動，其軌跡半徑隨速度的變化而變化，如圖所示，（圖中只畫出粒子帶正電的情景），速度vo越大,運動半徑也越大.可以發(fā)現(xiàn)這樣的粒子源產(chǎn)生的粒子射入磁場后，它們運動軌跡的圓心在垂直速度方向的直線PP上.由此我們可得到一種確定臨界條件的方法：在確定這類粒子運動的臨界條件時，可以以入射點P為定點，圓心位于PP直線上，將半徑放縮作軌跡，從而探索出臨界條件，使問題迎刃而解，這種方法稱為放縮法”.XXXXXXXXXXX-XA0恐冬IVI2【解析】作圖如圖所示，由qBdv=m

2、(1+sin6)【解析】用放縮法作出帶電粒子運動的軌跡如題圖所示，當其運動軌跡與NN邊界線相切于P點時，這就是具有最大入射速率Vmax的粒子的軌跡.由題圖可知:R(1cos45)°=d，又Bqvmax=2Vmaxm-若磁感應強度為B的勻強磁場僅存在于第一象限（如圖2），一帶負電的粒子（質(zhì)量為m,帶電量為q）從距原點0為d的A點射入。若粒子射入的方向不變，要使粒子不能從x軸射出，則粒子的速度不能超過多少？vrrsin)-d，qvB=m，解得:r如圖所示，寬度為d的勻強有界磁場，磁感應強度為B,MM和NN是磁場左右的兩條邊界線.現(xiàn)有一質(zhì)量為m，電荷量為q的帶正電粒子沿圖示方向垂直射入磁場

3、中，0=45°.要使粒子不能從右邊界NN'射出，求粒子入射速率的最大值為多少？聯(lián)立可得：(2+V?)BqdVmaxm如圖所示，勻強磁場的磁感應強度為B,寬度為d，邊界為CD和EF.電子從CD邊界外側(cè)以速率v0垂直勻強磁場射入，入射方向與CD邊界間夾角為©已知電子的質(zhì)量為m,電荷量為e,為使電子能從磁場的另一側(cè)EF射出，求電子的速率v0至少多大？qd占【解析】當入射速率v0很小時，電子會在磁場中轉(zhuǎn)動一段圓弧后又從CD一側(cè)射出，速率越大，軌道半徑越大，當軌道的邊界與EF相切時，電子恰好不能從EF射出，如圖所示.電子恰好射出時，由幾何知識可得:r+rcos0=d又r=応B

4、e由得:Vo=Bedm(1+cosq)故電子要射出磁場時速率至少應為Bedm(1+cosq)2. 在一空心圓柱面內(nèi)有一垂直于紙面的勻強磁場，磁感應強度為B,其橫截面如圖所示,磁場邊界為同心圓，內(nèi)、外半徑分別為r和(+1)r.圓心處有一粒子源不斷地沿半徑方向射出質(zhì)量為m、電荷量為q的帶電粒子，不計粒子重力為使這些粒子不射出磁場外邊界，粒子從圓心處射出時速度不能超過嚴尸B鮎階(邊I1)阿口(佃一1)拾八Mt'm"m*m【答案】A【解析】如圖所示，帶電粒子不從磁場中穿出，其臨界條件是帶電粒子在磁場中的運動軌跡應與外圓相切，所以(2+1)rrx2=r2+r2x,解上式可得rx=r，又

5、由rx=mV，可得,qB選項A正確。（二）轉(zhuǎn)動圓（或軌跡圓心圓”）帶電粒子以一定速度、沿任意方向射入勻強磁場時，它們將在磁場中做勻速圓周運動，其軌跡半徑相同，若射入初速度為vo,則圓周運動半徑為R=mv°/（qB）,如圖所示.同時可發(fā)現(xiàn)這樣的粒子源的粒子射入磁場后，粒子在磁場中做勻速圓周運動，圓心在以入射點P為圓心、半徑R=mvo/（qB）的圓（這個圓在下面的敘述中稱為軌跡圓心圓”上.由此我們也可以得到一種確定臨界條件的方法：確定這類粒子在有界磁場中運動的臨界條件時，可以將一半徑為R=mvo/（qB）的圓沿著軌跡圓心圓”平移，從而探索出臨界條件，這種方法稱為平移法”x3. 在真空中半

6、徑為r=3cm的圓形區(qū)域內(nèi)有一磁感應強度為B=0.2T的勻強磁場，方向如圖3所示。一帶正電的粒子以v=1.2R06m/s的初速度從磁場邊界直徑ab的a端射入磁場。已知該粒子的比荷為q/m=108c/kg不計粒子重力，則粒子射入磁場的速度方向與ab夾角為多少時，在磁場中運動時間最長。6.如圖4甲，在一水平放置的平板方向垂直于紙面向里。許多質(zhì)量為6.如圖4甲，在一水平放置的平板方向垂直于紙面向里。許多質(zhì)量為MN的上方有勻強磁場，磁感應強度的大小為B,磁場m帶電量為+q的粒子，以相同的速率v沿位于紙面內(nèi)的各個方向，由小孔0射入磁場區(qū)域。不計重力，不計粒子間相互影響。下列圖中陰影部分各個方向，由小孔0

7、射入磁場區(qū)域。不計重力，不計粒子間相互影響。下列圖中陰影部分（三）練習題在y>0的區(qū)域內(nèi)存在勻強磁場，磁場垂直于xOy平面向外，原點0處有一離子源，沿各個方向射出速率相等的同價負離子，對于進入磁場區(qū)域的離子，它們在磁場中做圓周運動的圓心所在的軌跡可用下圖給出的四個半圓中的一個來表示，其中正確的是（）ABCD【答案】C如圖所示，真空室內(nèi)存在勻強磁場，磁場方向垂直于紙面向里，磁感應強度的大小B=0.60T,磁場內(nèi)有一塊平面感光板ab,板面與磁場方向平行，在距ab的距離1=16cm處，有一個點狀的a放射源S,它向各個方向發(fā)射a粒子，a粒子的速率都是v=3.0>106m/s.已知a粒子的電

8、荷量與質(zhì)量之比=5.0>07C/kg，現(xiàn)只考慮在圖紙平面中運動的a粒子,m求ab上被a粒子打中的區(qū)域的長度.a|IKXXX|xXYXXaXX/；|SXXXXXMXXKXKx*XXXVK?<xO【解析】a粒子從S點垂直磁場以一定大小的速度朝各個方向射入，在磁場中均沿逆時針方向做勻速圓周運動，可求出它們的運動軌跡半徑R,由qvB=mv2/R,得R=，代入（q/m）B數(shù)值得R=10cm，可見2R>l>R.由于朝不同方向發(fā)射的a粒子的圓軌跡都過S,可先考查速度沿負y方向的a粒子，其軌跡圓心在X軸上的A1點，將a粒子運動軌跡的圓心A1點開始，沿著軌跡圓心圓”逆時針方向移動，如右圖

9、所示由圖可知，當軌跡圓的圓心移至A3點時，粒子運動軌跡與ab相交處P2到S的距離為2R,P?即為粒子打中ab上區(qū)域的右邊最遠點.由題中幾何關(guān)系得：NF2=.（2R）2-I2；當a粒子的軌跡的圓心由A3點移至A4點的過程中，粒子運動軌跡均會與ab相交，當移到A4點后將不再與ab相交了，這說明圓心位于A4點的軌跡圓，與ab相切的P1點為粒子打中區(qū)域的左邊最遠點可過A4點作平行于ab的直線cd,再過A4作ab的垂線，它與ab的交點即為P1，同樣由幾何關(guān)系可知：NPi=R2-（l-R）。則所求長度為P1P2=NP1+NP2，代入數(shù)值得P1P2=20cm.7. 如圖所示，在半徑為R的圓形區(qū)域內(nèi)，有勻強磁

10、場，磁感應強度為B,方向垂直于圓平面（未畫出）.一群比荷為m的負離子體以相同速率v°（較大），由p點在紙平面內(nèi)向不同方向射入磁場中發(fā)生偏轉(zhuǎn)后，又飛出磁場，則下列說法正確的是（不計重力）A.離子飛出磁場時的動能一定相等B離子在磁場中運動半徑一定相等C.由Q點飛出的離子在磁場中運動的時間最長D.沿PQ方向射入的離子飛出時偏轉(zhuǎn)角最大【解析】射入磁場的粒子比荷相等，但質(zhì)量不一定相等，故射入時初動能可能不等，又因為磁場對電荷的洛倫茲力不做功，故這些粒子從射入到射出動能不變，但不同粒子的動能可能不等，A項錯誤.粒子在磁場中偏轉(zhuǎn)的半徑為r=，由于比荷和速度都相等，磁感應qB強度B為定值，故所有粒子

11、的偏轉(zhuǎn)半徑都相等，B正確同時各粒子在磁場中做圓周運動的周期T=蟄，也相等，根據(jù)幾何規(guī)律：圓內(nèi)，較長的弦對應較大的圓心角，所以從QqB點射出的粒子偏轉(zhuǎn)角最大，在磁場內(nèi)運動的時間最長，C對沿PQ方向射入的粒子不可能從Q點射出，故偏角不最大，D錯，選BC.8. （2009北京西城模擬）如圖所示，在x軸上方的空間存在著垂直于紙面向里的勻強磁場，磁感應強度的大小為B.許多相同的離子，以相同的速率v,由O點沿紙面向各個方向（y>0）射入磁場區(qū)域.不計離子所受重力，不計離子間的相互影響.圖中曲線表示離子運動的區(qū)域邊界，其中邊界與y軸交點為M，邊界與x軸交點為N,且OM=ON=L.由此可判斷A.這些離子

12、是帶負電的c.這些離子的荷質(zhì)比為m=lbmlb【答案】DB.這些離子運動的軌道半徑為LD.當離子沿y軸正方向射入磁場時會經(jīng)過N點【解析】根據(jù)左手定則,【解析】根據(jù)左手定則,再根據(jù)2mvqvB=,1L離子帶正電，A項錯誤；由圖可知，粒子軌道半徑為2l,B項錯誤;2v1,C項錯誤；由于ON=L,粒子半徑為-L,ON恰好為粒子圓周LB2運動直徑，故D項正確.9. 如圖所示，在屏MN的上方有磁感應強度為B的勻強磁場，磁場方向垂直紙面向里.P為屏上的一個小孔.PC與MN垂直.一群質(zhì)量為m、帶電量為一q的粒子（不計重力），以相同的速率v,從P處沿垂直于磁場的方向射入磁場區(qū)域.粒子入射方向在與磁場B垂直的平

13、面內(nèi)，且散開在與PC夾角為B的范圍內(nèi).則在屏MN上被粒子打中的區(qū)域的長度為A轡qBA轡qBB.2mvcosBqBC.2mv(1sin®qBD.2mv(1cosB)qB【答案】D【解析】由圖可知。沿PC方向射入磁場中的帶負電的粒子打在MN上的點離P點最遠，為PR=鴛，沿兩邊界上被粒子打中的區(qū)域的長度為：QR=PR-PQ=卡"，選項°正確線射入磁場中的帶負電的粒子打在MN上的點離P點最近為:PQ=鴛cose,故在屏MNMN10. （2013高考廣東卷）如圖，兩個初速度大小相同的同種離子a和b,從O點沿垂直磁場方向進入勻強磁場，最后打到屏P上.不計重力.下列說法正確的有

14、（）A.a、b均帶正電B. a在磁場中飛行的時間比b的短C. a在磁場中飛行的路程比b的短D. a在P上的落點與O點的距離比b的近【解析】選AD.帶電離子垂直進入勻強磁場，在洛倫茲力的作用下做勻速圓周運動.根據(jù)洛倫茲力提供向心力和周期公式T=、半徑公式r=mu及-=T解決問題.qBqB62n帶電離子打到屏P上，說明帶電離子向下偏轉(zhuǎn)，根據(jù)左手定則，a、b兩離子均帶正電，選項A正確；a、b兩離子垂直進入磁場的初速度大小相同，電荷量、質(zhì)量相等，由r=m知qB半徑相同.b在磁場中運動了半個圓周，a的運動大于半個圓周，故a在P上的落點與O的距離比b的近，飛行的路程比b長，選項C錯誤，選項D正確；根據(jù)T知

15、，a在磁場中62n飛行的時間比b的長，選項B錯誤.【解析】此題考查的是定心判徑畫軌跡a、b粒子做圓周運動的半徑都為R=黑畫出軌跡如圖所示。圓Oi、O2分別為b、a的軌跡,由t=26T=6B和軌跡圖可知a、D選項正確.11. 如圖所示，在真空中半徑r=3.0X02m的圓形區(qū)域內(nèi)，有磁感應強度B=0.2T,方向如圖的勻強磁場，一批帶正電的粒子以初速度v0=1.0>106m/s,從磁場邊界上直徑ab的一端a沿著各個方向射入磁場，且初速度方向與磁場方向都垂直，該粒子的比荷為q/m=1.0108C/kg，不計粒子重力.求：(1) 粒子的軌跡半徑；粒子在磁場中運動的最長時間；(2) 若射入磁場的速度

16、改為vo'=3.0XO5m/s，其他條件不變，試用斜線畫出該批粒子在磁場中可能出現(xiàn)的區(qū)域.(sin37=0.6,cos37=0.8)【解析】(1)由牛頓第二定律可求得粒子在磁場中運動的半徑.2vo廠mvoc、“2qvoB=m,R=5.0X0m.RqB(2)由于R>r，要使粒子在磁場中運動的時間最長，則粒子在磁場中運動的圓弧所對應的弧長最長，從右圖中可以看出，以直徑ab為弦、R為半徑所作的圓周，粒子運動時間最長,T=錯，運動時間T=錯，運動時間tm=2aXT=2nr3匕-8又sina=R=3,所以tm=6.5X0s.r3匕-8又sina=R=3,所以tm=6.5X0s.mv02(3

17、)R=萌=1.5X0m,粒子在磁場中可能出現(xiàn)的區(qū)域見答案圖所示圓加上以a為圓心，aO為半徑所作圓與磁場相交的部分).(以aO為直徑的半14人們到醫(yī)院檢查身體時，其中有一項就是做胸透，做胸透用的是X光，我們可以把做胸透的原理等效如下：如圖所示，P是一個放射源，從開口處在紙面內(nèi)向各個方向放出某種粒子(不計重力)，而這些粒子最終必須全部垂直射到底片MN這一有效區(qū)域，并要求底片MN上每一地方都有粒子到達假若放射源所放出的是質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電的粒子，且所有的粒子速率都是v，M與放射源的出口在同一水平面上，底片MN豎直放置，底片MN長為L.為了實現(xiàn)上述目的，我們必須在P的出口處放置一有界勻強磁場

18、求：(1) 勻強磁場的方向；畫出所需最小有界勻強磁場的區(qū)域，并用陰影表示；(3)勻強磁場的磁感應強度B的大小以及最小有界勻強磁場的面積S.【解析】(1)勻強磁場的方向為垂直紙面向外.(2) 最小有界磁場如答案圖所示.根據(jù)牛頓第二定律:mvqB要想使所有的粒子都最終水平向右運動，帶電粒子在磁場中做勻速圓周運動的軌道半徑必須與最小圓形有界勻強磁場的半徑大小一致所以有：R=L/22mvqvB=mv，聯(lián)立解得:聯(lián)立解得:2mvB=qL如答案圖所示，有界磁場的最小面積為:如答案圖所示，有界磁場的最小面積為:$=止。4xOy平面向里的磁感應強度x軸向x軸正方向運動，試求出符15.在xOy平面內(nèi)有許多電子(

19、質(zhì)量為m,電荷量為e)從坐標原點O不斷以相同大小的速度vo沿不同的方向射入第一象限，如圖所示.現(xiàn)加上一個垂直于為B的勻強磁場，要求這些電子穿過該磁場后都能平行于合條件的磁場的最小面積.【解析】所有電子在所求的勻強磁場中均做勻速圓周運動,2由evoB=mVo，得半徑為R=ReB設與x軸正向成a角入射的電子從坐標為(x,y)的P點射出磁場，則有x2+(Ry)2=R2式即為電子離開磁場的下邊界b的表達式，當a=90。時，電子的運動軌跡為磁場的上邊界a，其表達式為：(Rx)2+y2=R2由式所確定的面積就是磁場的最小范圍，如圖所示，|-z7R2_R2Ln2iEvoS=214_2尸2其面積為eB丿.16

20、.(2010年全國卷I2621分)如下圖，在0纟W.3a區(qū)域內(nèi)存在與xy平面垂直的勻強磁場，磁感應強度的大小為B.在t=0時刻，一位于坐標原點的粒子源在xy平面內(nèi)發(fā)射出大量同種帶電粒子，所有粒子的初速度大小相同，方向與y軸正方向的夾角分布在0180°范圍P(.3a,a)點離開磁場。求:在磁場中做圓周運動的半徑R及粒子的比荷q/m；時刻仍在磁場中的粒子的初速度方向與y軸正方向夾角的取值范圍;粒子發(fā)射到全部粒子離開磁場所用的時間?！敬鸢浮浚?）R=Za、q=3m3Bt0速度與y軸的正方向的夾角范圍是60°到120°OP所示，其OP所示，其從粒子發(fā)射到全部離開所用時間為

21、2t?！窘馕觥砍跛俣扰cy,軸正方向平行的粒子在磁場中的運動軌跡如圖中的弧圓心為C。由題給條件可以得出/OCP=2-/OCP=2-此粒子飛出磁場所用的時間為to=式中T為粒子做圓周運動的周期。設粒子運動速度的大小為u,半徑為R，由幾何關(guān)系可得R=a3由洛倫茲力公式和牛頓第二定律有2DVqBu=mR2二RT=V聯(lián)立式，得q_2二m3Bt0依題意，同一時刻仍在磁場內(nèi)的粒子到0點距離相同。在to時刻仍在磁場中的粒子應位于以0點為圓心、0P為半徑的弧MN上，如圖所示。設此時位于P、M、N三點的粒子的初速度分別為u、um、UN。由對稱性可知中與0P、UM與0M、UN與ON的夾角均為n/3設u、Un與y軸正向的夾