精品專題資料（2022-2023年收藏）國賽B題一等獎資料

1、 2014高教社杯全國大學生數(shù)學建模競賽承諾書我們仔細閱讀了全國大學生數(shù)學建模競賽章程和全國大學生數(shù)學建模競賽參賽規(guī)則（以下簡稱為“競賽章程和參賽規(guī)則”，可從全國大學生數(shù)學建模競賽網(wǎng)站下載）。我們完全明白，在競賽開始后參賽隊員不能以任何方式（包括電話、電子郵件、網(wǎng)上咨詢等）與隊外的任何人（包括指導教師）研究、討論與賽題有關的問題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競賽章程和參賽規(guī)則的，如果引用別人的成果或其他公開的資料（包括網(wǎng)上查到的資料），必須按照規(guī)定的參考文獻的表述方式在正文引用處和參考文獻中明確列出。我們鄭重承諾，嚴格遵守競賽章程和參賽規(guī)則，以保證競賽的公正、公平性。如有違反競賽章程和參賽規(guī)

2、則的行為，我們將受到嚴肅處理。我們授權全國大學生數(shù)學建模競賽組委會，可將我們的論文以任何形式進行公開展示（包括進行網(wǎng)上公示，在書籍、期刊和其他媒體進行正式或非正式發(fā)表等）。我們參賽選擇的題號是（從 A/B/C/D中選擇一項填寫）：我們的報名參賽隊號為（8位數(shù)字組成的編號）：B所屬學校（請?zhí)顚懲暾娜簠①愱爢T (打印并簽名)：1.2.3.指導教師或指導教師組負責人 (打印并簽名)：（論文紙質(zhì)版與電子版中的以上信息必須一致，只是電子版中無需簽名。以上內(nèi)容請仔細核對，提交后將不再允許做任何修改。如填寫錯誤，論文可能被取消評獎資格。）日期：賽區(qū)評閱編號（由賽區(qū)組委會評閱前進行編號）：1 2014

3、高教社杯全國大學生數(shù)學建模競賽編號專用頁賽區(qū)評閱編號（由賽區(qū)組委會評閱前進行編號）：賽區(qū)評閱記錄（可供賽區(qū)評閱時使用）：評閱人評分備注全國統(tǒng)一編號（由賽區(qū)組委會送交全國前編號）：全國評閱編號（由全國組委會評閱前進行編號）：2 B 題創(chuàng)意平板折疊桌摘要本文通過建立數(shù)學模型，對平板折疊桌進行優(yōu)化設計，旨在設計出產(chǎn)品穩(wěn)固性好、加工方便、用材最少的平板折疊桌。同時根據(jù)折疊桌桌面邊緣線的演化，建立了任意桌型的優(yōu)化設計模型，并結合實際，設計、仿真出具有創(chuàng)意的平板折疊桌。對于問題一，本文建立了桌面邊緣線為圓形的折疊桌離散型動態(tài)描述模型和連續(xù)型動態(tài)描述模型。離散模型實現(xiàn)了對產(chǎn)品設計參數(shù)的精確描述，結合已知尺寸

4、，計算出此折疊桌的加工參數(shù)（滑槽位置及長度），并得出最長滑槽為17.87cm。同時，分析了每根木條隨桌腿的運動情況并仿真展示。在連續(xù)模型中，將木條的運動抽象成線的運動，以此實現(xiàn)了桌腳邊緣線的連續(xù)描述，結合運動過程仿真模擬，清晰的展示了桌腳邊緣線的動態(tài)過程。對于問題二，本文建立了桌面邊緣線為圓形的折疊桌優(yōu)化設計模型。通過對折疊桌的穩(wěn)定性，設計尺寸，滑槽長度的綜合優(yōu)化，得出最優(yōu)設計尺寸和加工參數(shù)。在穩(wěn)定性分析過程中，首先對立置折疊桌進行受力分析，得出只有桌腿承力，因此可進行折疊桌簡化分析，確定單側(cè)木桌重心的位置，求解力的平衡方程得出穩(wěn)定條件。在尺寸設計過程中，根據(jù)穩(wěn)定時的桌腿位置與高度的關系，得出

5、平板的設計尺寸。在滑槽設計過程中，因滑槽的長短和加工位置是影響系統(tǒng)穩(wěn)定性及木板設計尺寸的關鍵，同時從易于加工的角度考慮，得出符合產(chǎn)品設計的約束條件。根據(jù)題設折疊桌參數(shù)，結合優(yōu)化設計模型得出，在地面摩擦系數(shù)為0.4和0.5，權重值為0.5的情況下，最佳木板長度均為159cm，滑槽長度為34.64cm。對于問題三，本文建立了任意桌形折疊桌優(yōu)化設計模型。由于桌面形狀的不確定性，需要抽象描述桌形。分析發(fā)現(xiàn)，任意桌形的設計必須滿足沿桌長方向?qū)ΨQ，桌寬方向桌形可不對稱，這就需要根據(jù)折疊桌桌面的對稱情況考慮是否需要分別優(yōu)化通過重力作用點的 yoz平面兩側(cè)桌型。為了表示通用的數(shù)學模型，僅對一側(cè)建立優(yōu)化模型，結

6、合實際采用離散的優(yōu)化模型，對折疊桌的穩(wěn)定性，設計尺寸，滑槽長度進行分析?？紤]到客戶期望的桌腳邊緣線是連續(xù)的，建立連續(xù)的設計桌腳邊緣線方程，通過空間曲線間距離的積分來描述兩邊緣線的接近程度。綜合上述條件，可以設計出穩(wěn)定性好、加工方便、用材最少的任意桌形的折疊桌并得出最優(yōu)設計尺寸和加工參數(shù)。結合實際，設計出具有創(chuàng)意的心形和菱形的平板折疊桌，并用3DMAX進行動畫展示。本文脈絡清晰，層層遞進，分析合理，描述準確，所建立的任意桌形優(yōu)化設計模型具有很強的通用性，為折疊桌軟件設計提供了有力的理論支撐。關鍵詞：折疊桌受力分析優(yōu)化仿真3DMAXMATLAB3 一、問題重述1.1問題背景某公司生產(chǎn)一種可折疊的桌

7、子，桌面呈圓形，桌腿隨著鉸鏈的活動可以平攤成一張平板。桌腿由若干根木條組成，分成兩組，每組各用一根鋼筋將木條連接，鋼筋兩端分別固定在桌腿各組最外側(cè)的兩根木條上，并且沿木條有空槽以保證滑動的自由度。桌子外形由直紋曲面構成，造型美觀。附件視頻展示了折疊桌的動態(tài)變化過程。1.2目標任務問題一：給定長方形平板尺寸為 120 cm × 50 cm × 3 cm，每根木條寬 2.5 cm，連接桌腿木條的鋼筋固定在桌腿最外側(cè)木條的中心位置，折疊后桌子的高度為 53 cm。試建立模型描述此折疊桌的動態(tài)變化過程，在此基礎上給出此折疊桌的設計加工參數(shù)和桌腳邊緣線的數(shù)學描述。問題二：折疊桌的設計

8、應做到產(chǎn)品穩(wěn)固性好、加工方便、用材最少。對于任意給定的折疊桌高度和圓形桌面直徑的設計要求，討論長方形平板材料和折疊桌的最優(yōu)設計加工參數(shù)。對于桌高 70 cm，桌面直徑 80 cm的情形，確定最優(yōu)設計加工參數(shù)。問題三：開發(fā)一種折疊桌設計軟件，根據(jù)客戶任意設定的折疊桌高度、桌面邊緣線的形狀大小和桌腳邊緣線的大致形狀，給出所需平板材料的形狀尺寸和切實可行的最優(yōu)設計加工參數(shù)，使得生產(chǎn)的折疊桌盡可能接近客戶所期望的形狀。二、問題分析非創(chuàng)意，不生活！創(chuàng)意不僅是一種生活態(tài)度，更是對更高生活品質(zhì)的追求。創(chuàng)意平板折疊桌不僅可以表達木制品的優(yōu)雅和設計師所想要強調(diào)的自動化與功能性，還可以最大程度的節(jié)省空間。題目介紹

9、了一種新型的平板折疊桌，桌腿上固定有鋼筋，鋼筋貫穿桌腿之間的所有木條，鋼筋沿木條內(nèi)部的空槽運動，以保證該折疊桌可通過桌腿繞鉸鏈活動平攤成一張平板。對于問題一，題目中給出平板折疊桌的高度、平面尺寸、板厚、木條寬度及鋼筋位置等具體數(shù)據(jù)，由立體幾何中的相關知識可以建立坐標系，將已知數(shù)據(jù)代入得到空間數(shù)學模型中，即可解得此折疊桌的設計參數(shù)及桌腳邊緣線的數(shù)學描述，可以通過仿真得到折疊桌桌角的動態(tài)變化過程。對于問題二，題目要求折疊桌的設計應做到穩(wěn)固性好、加工方便、用材最少，本文將建立多目標優(yōu)化模型，研究長方形平板材料制作折疊桌時的設計參數(shù)。首先，利用立體幾何關系建立折疊桌設計參數(shù)；然后，鑒于到折疊桌這種藝術

10、品實際使用過程中不會承受較大重物，因而只考慮折疊桌本身重力對其穩(wěn)定性的影響，并且根據(jù)折疊桌材料選取適當?shù)牡孛婺Σ料禂?shù)建立穩(wěn)定性方程；最后，在穩(wěn)定的基礎上從加工方便及耗材最少的角度出發(fā)，建立優(yōu)化設計的模型，確定最優(yōu)解。對于問題三，為了滿足客戶需求，本文將原先的圓形桌面推廣成任意形狀（只要關于 x軸對稱）的桌面，結合第二問中的目標函數(shù)及約束建立數(shù)學模型，用范數(shù)描述實際桌腳邊緣線與用戶需求的桌腳邊緣線相近的相近程度。然后，以此模型為背景，設計幾種構造合理、實用價值相對較高的折疊桌，并利用一、二問的結果求出設計參數(shù)并畫出動態(tài)特性圖。平板折疊桌通過最邊緣的兩根位置固定的鋼筋和具有滑槽可運動的木條組成，本

11、文通過建立數(shù)學模型，分析其折疊過程中的動態(tài)變化過程，從設計加工參數(shù)著手，建立多4 目標優(yōu)化模型，旨在設計出符合客戶需求，產(chǎn)品穩(wěn)定性好，加工方便，用材最少的平板折疊桌。三、模型假設1、桌面圓與每根木條的始端相交于木條寬度的中心位置；2、為了不改變產(chǎn)品的美觀，設計折疊桌時木條寬度保持不變；3、折疊桌板在平置時不會因桌面設計產(chǎn)生中空部分；4、木條間縫隙尺寸為零；5、木條與圓桌面之間的交接處間隙很小，可忽略不記；6、材料均勻，木條在加工過程中不會變形或折斷；7、實際加工誤差對設計影響很小，可忽略不記；8、不計鋼筋尺寸；9、鋼筋每次運動到最大滑槽的極限位置，且折疊桌緩慢放置于地面之上；10、折疊桌桌面設

12、計要滿足桌面關于 x軸對稱。四、符號說明序號符號L說明123456木板的長度桌面圓半徑木板的厚度木板的寬度木板的高度木條的寬度RDBHWli(i =1,2,.,N)qi(i =1,2,.,N)qend78木條i的長度（i =1時表示桌腿）木條i移動過程中與桌面的夾角最終位置時桌腿與桌面的夾角桌面圓內(nèi)與木條i連接部分的位置9bi(x,y)(i =1,2,.,N)xi(yi,zi)101112木條i在末端坐標系內(nèi)的坐標鋼筋在Oxyz坐標系內(nèi)的坐標(dx d y,dz)5 五、模型的建立與求解5.1圓面折疊桌的動態(tài)描述在本問中，為了充分描述創(chuàng)意平板折疊桌的動態(tài)變化過程，首先要確定靜態(tài)折疊桌各個參量的

13、數(shù)學表達式，然后從折疊過程中運動的每根木條入手，假定折疊桌腿以勻角速運動，根據(jù)木條與桌腿之間的運動關系得出木條運動角速度以及角加速度，同時，鋼筋在木條內(nèi)部運動，通過求解其在不同木條中的始末位置求解滑槽長度，最后確定木條末端的運動過程中的位置，確定桌角邊緣線的形狀及變化過程。5.1.1圓面折疊桌的離散型動態(tài)描述初始狀態(tài)時，折疊桌處于平放位置，在上面建立坐標系，并表達出各個參量的位置如下圖所示，其中 z軸垂直于 xoy平面向內(nèi)：圖1折疊桌示意圖根據(jù)示意圖，可以表示出木條i的長度為：li = 1 L- R-(R-(i - 1)´W)(i =1,2,L,BarNumber)(1)2222其中

14、當木條運動到末態(tài)位置，滑槽與鋼筋卡緊時，桌腿與桌面的夾角為：qend = arcsin(H - D)(2)l16 圖2末態(tài)位置桌腿位置示意圖運動過程中，桌面圓內(nèi)與木條 i連接部位到 yoz平面的長度不變，根據(jù)假設桌面圓相交于桌腿的中心位置為，可以確定木條i連接部位到 yoz平面的長度：bix = 1 L -li = R-(R -(i - 1)´W)(i =1,2L,BarNumber)(3)(4)2222在圖示Oxyz坐標系內(nèi)，桌面圓內(nèi)與木條i連接部分 y坐標可以用下式表示：biy = (BarNumber -i + 1)Wi(i =1,2,L,BarNumber)22桌腿運動過程中

15、，設鋼筋位置固接在桌腿的位置到桌邊的長度與桌腿總長的比值為æ 2Raçè L<a <1÷ö，之所以ø2R <a <1，是因為桌面處于平放位置時，鋼筋位置不能穿過桌L面，而桌面立置時，鋼筋不能穿過桌面邊緣，由此鋼筋所在位置可以表示為：dx = b1x +al1 cosq1dz =al1sinq1(0 £q1 £qend )(0 £q1 £qend)(5)(6)木條運動過程中，滑槽時刻與鋼筋保持接觸，利用幾何關系可以確定每根木條與桌面的夾角為：dzqi = arctan(i

16、=1,2,L,BarNumber)(7)(8)dx -bix將式（5）和式（6）帶入式(7)得：al1sinq1al1 cosq1 +b1x -bixqi = arctan(i =1,2,L,BarNumber)7 假設桌腿勻角速度運動，即q1 =wt，每根木條運動的角速度可以表示為：wi(t) = dqiwa l2 2+wal1(b1x -bix)coswt1dt (al1 coswt +b1x -bix)=(9)2+(al1sinwt)2同樣，每根木條運動的角加速度可以表示為：+3a lal1(b1x -bix)sinwt(b1x -bix) 22 21ai(t) = ddwti = -w

17、 2(10)(al1 coswt +b1x -bix)2 +(al1sinwt)22在每根木條的運動狀態(tài)確定之后，鋼筋在木條內(nèi)部的運動也可以隨相對位置而確定，鋼筋與每根木條接觸的位置到桌面圓邊緣的距離可以用下式表示：di(q) = (aLsinq)2+b1x -bix +aLcosq2+ 2aL(b1x -bix)cosq(0 £q £qend)(11)di(q) = a +(b1x -bix)2L22(0 £q £qend )從整理后的公式可以分析得出，鋼筋在沒根木條滑槽內(nèi)部的位置僅與 cosq的大小有關，而cosq在0 £q £q

18、end范圍內(nèi)逐漸減小，因而 di(q)在對應區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增。即隨著桌腿的移動，鋼筋在每根木條中的位置逐漸向木條末端（背離桌面的方向）延伸，能夠延伸的距離即為木條內(nèi)部開槽長度，為：Dcaoi = di(qend )-di(0)(12)為了確定桌角邊緣線的形狀及變化過程，本文將每根木條的末端坐標如下：ìxi = bix + li cosqiï2ïïíy = biy = ( -i + 1)WiN(13)i22ïïïîzi = li sinq25.1.2圓面折疊桌的連續(xù)型動態(tài)描述模型為了形象的描述木條運動過程中桌

19、角邊緣線的形狀及變化過程，由離散型動態(tài)描述，本文利用每個時刻木條末端坐標來描繪邊角線時，末端坐標離散，繪制曲線不連續(xù)，盡管可以通過插值擬合的方式把所有末端坐標用以連續(xù)曲線繪出，但是此曲線只是為了近似而近似，不具有明確的物理含義。為了更準確地描繪邊角線，本文設計了折疊桌連續(xù)型動態(tài)描述模型，將每根木條無限細化，寬度無限減小，桌子立置時，可以得出無窮多的木條末端坐標，其中相鄰的兩木條末端坐標無限接近，此時將所有末端連接起來，可以得到更為精確的邊角線描述。此時，因木條寬度忽略不計，每根木條的長度可以表示為：li = 1 L - R-b2iy(0 £ biy £ R - 1W

20、87; R)(14)222桌面圓內(nèi)與桌腿連接部分的長度近似為0：b1x = R2-(R - 1W)2» 0(15)28 桌腿的長度近似為木板總長度的一半：l1 = 1 L -b1x = 1 L(16)(17)22任意一根木條與桌面圓內(nèi)連接部分的長度可表示為：bx = R2-by2(0 £ by £ R - 1W » R)2此時，鋼筋的位置到桌面邊緣的距離的坐標為：ìL -W cos(q ) » b + aLd1x (q ) = b1x + acos(q )(0 £ q £ q end)ïï21x

21、2(18)íïL -Wsin(q ) » a L sin(q )d1z (q ) = a(0 £ q £ q end)ïî22對于每根木條，運動過程中滑槽內(nèi)部鋼筋到桌面邊緣的距離為：22æa L -W sinqö÷øæ L -W cosq +b -b+ aö÷øDi (q) =(0 £q £qend )çç1xixè2è222æ Lsinq ÷ö + a&#

22、230; L cosq -bxö÷ø»aç(0 £q £qend )(19)çè 2è 2ø每根木條，運動過程中與桌面（ xoy平面）的夾角為：La sinqendal1sinqendal1 cosqend +b1x -bx2q = arctan» arctan(20)La2 cosqend -bx綜上，可以確定每根木條的末端坐標如下：ìx = bx + lx cosq2ïïíy = by(21)ïz = lsinqx

23、9;î25.1.3模型的求解根據(jù)題目條件，給定長方形平板尺寸為120cm´50cm´3cm，每根木條寬 2.5cm，連接桌腿木條的鋼筋固定在桌腿最外側(cè)木條的中心位置，折疊后桌子的高度為53cm。5.1.3.1設計加工參數(shù)的確定桌子關于 xoz和 yoz平面對稱，所以只需要考慮四分之一桌面內(nèi)具體參數(shù)的情況。當桌板水平放置時，根據(jù)假設桌面圓相交于桌腿木條的中心位置，運用MATLAB進行數(shù)值計算，可以得出四分之一桌面內(nèi)木條的長度如下：表1四分之一桌面內(nèi)每根木條長度木條編號12345木條長度（cm）52.1946.8343.4641.0039.129 木條編號678910

24、木條長度（cm）37.6736.5835.7935.2835.03木條長度確定后，可以算出桌腿運動的最終位置：qend = arcsin(H - D) = 73.43°l1木條運動過程的同時，鋼筋在滑槽內(nèi)部運動，始末位置確定后根據(jù)式（12）可確定滑槽長度如下表：表2鋼筋位置及滑槽長度表木條編號12345鋼筋初始位置（cm）33.90鋼筋最終位置（cm）33.9033.9038.254.35733.9041.567.66833.9044.2710.36933.9046.4912.5910滑槽長度（cm）木條編號0.006鋼筋初始位置（cm）33.90鋼筋最終位置（cm）48.2933.

25、9049.7015.8033.9050.7416.8433.9051.4317.5333.9051.7717.87滑槽長度（cm）14.39分析表中數(shù)據(jù)，可以分析得出，鋼筋從相同的初始狀態(tài)開始移動，bix越大的木條，即木條起點距離 yoz平面越遠的木條，其滑槽長度越長。5.1.3.2動態(tài)變化過程的描述根據(jù)式（8）（9）（10），確定每根木條角度、角速度、角加速度變化情況。起始位置桌面平置時，所有木條與桌面所在平面夾角qi = 0，角加速度a1 = 0，假定第一根桿（桌腿）以恒定的角速度進行折疊折疊運動，為了反映每根桿角速度的變化情況，用MATLAB編程求解所有木條角加速度并表示如下：圖3木條角

26、加速度的變化情況10 從角加速度變化過程可以分析得出，始端距離 yoz平面越遠的木條，角速度變化越快，這與所有桿轉(zhuǎn)過角度的大小一致，距離 yoz平面越遠的木條自始至終轉(zhuǎn)過的角度越大；但到了中后期，其角速度變化最小，距離 yoz平面近的木條角速度變化更快。5.1.3.3桌腳邊緣線的數(shù)學描述：根據(jù)圓面折疊桌的連續(xù)型動態(tài)描述模型，帶入已經(jīng)確定的設計加工參數(shù)，運用MATLAB描點作圖即可得出連續(xù)的光滑的桌角邊緣線：圖4桌角邊緣線動態(tài)過程示意圖由桌角邊緣線的變化情況可以分析得出，隨著q從初始狀態(tài)到極限位置的變化，桌角邊緣線彎曲程度逐漸增大，最終形成一道三維曲線。5.1.4折疊桌動態(tài)過程仿真運用MATLA

27、B對折疊桌運動進行模擬，得運動過程示意圖如下：圖5折疊桌MATLAB動態(tài)變化示意圖的11 此外，運用3DMAX進行設計三維建模，可得到更為逼真的運動過程示意圖如下：圖6折疊桌3DMAX動態(tài)變化示意圖5.2圓面折疊桌設計的優(yōu)化模型及實例分析5.2.1折疊桌的優(yōu)化設計模型折疊桌的設計應做到穩(wěn)固性好、加工方便、用材最少，所以折疊桌設計優(yōu)化模型的建立應從三個方面入手，分別是折疊桌穩(wěn)定性設計，尺寸設計，以及滑槽設計。5.2.1.1折疊桌的穩(wěn)定型設計在優(yōu)化設計折疊桌的過程中，首先應滿足穩(wěn)定性條件，為了研究折疊桌的穩(wěn)定性，本文決定分析其受力情況，如下圖所示：圖7折疊桌運動趨勢示意圖每根木條的滑槽在整個系統(tǒng)運

28、動到最后時刻時會達到終點，被卡住，假設桌腿達到極限位置qend時，所有木條的滑槽末端均與鋼筋接觸。如視頻展示，將折疊桌緩慢放置于地面之上（只考慮自身結構特點，忽略人為因素影響），在桌子使用過程中，不論桌面是否承擔重物，桌腿只會有上圖綠色箭頭方向的運動趨勢，此時對于第 i根木條，鋼筋在滑槽內(nèi)部只有向上的運動趨勢（綠色箭頭方向），從滑槽末端向內(nèi)運動。那么，在折疊桌放置于地面并趨于穩(wěn)定的過程中，桌腿延綠箭頭方向的微小擾動會使兩桌腿之間任意一根木條的滑槽末端離開鋼筋，即所有的木條都不是緊繃的，對鋼筋沒有拉力（沿綠箭頭方向）的作用，此時，只有四條桌腿承受整個系統(tǒng)的全部重力。如下圖所示：12 圖8折疊桌受

29、力情況簡化圖經(jīng)上述受力分析，可以將系統(tǒng)的承力結構剝離出來，如上圖所示，從藍色箭頭方向觀察，系統(tǒng)關于 yoz平面對稱，若分析左側(cè)部分，整個系統(tǒng)的重心位置如紅色箭頭所示（不可將一條桌腿剝離出來分析，因為桌腿與桌腿之間有鋼條連接，內(nèi)部力的大小及作用方向未知，地面給每條桌腿提供的摩擦力在沿 y軸方向的分量難以確定），整個系統(tǒng)分成左右兩部分進行簡化，將大大減少了運算難度，并保持了嚴密的物理過程。此時，鋼條對每條桌腿的力是內(nèi)力，地面對兩條桌腿的摩擦力在 y軸方向的分量相互抵消，只存在沿 x軸方向的分量。所以可以精確地確定半張桌子在直立狀態(tài)下的重心的位置，因為桌高很小，重力加速度近似保持不變，求系統(tǒng)重心位置

30、即是求系統(tǒng)質(zhì)心位置。系統(tǒng)關于 yoz平面對稱，miy = 0，計算桿的總質(zhì)心位置如下：ìïïïNrDWl b + 1 li cosqæçixèåmiöååmixiåmiii÷ø2mlx =i=1ïmiy = 0(22)íïïïN1li sinqi + Dæö÷å= i=1rDWliçåmiziåmiè 2ømlz =&

31、#239;åmiî其中 N = 2R，此外，半圓板質(zhì)量mc = r 1pR2D，根據(jù)巴普斯定理，可得半圓板的W2重心位置距離圓心 x = 4R。c3p13 綜上，可以算出系統(tǒng)質(zhì)心位置：ìïmixi + r 1pR2 4R D3på2mx =ïrRLDïïmy = 0(23)íïïïmizi + r 1pR2 Då22mz = H -ïrRLDî在計算過程中，為了簡化計算難度，將桿的寬度無限減小，使用連續(xù)型桿重心確定方法代替離散型桿重心確定方法，建

32、立極坐標系，運用微元法確定質(zhì)心的 x方向坐標和z方向坐標，運用微積分的方法對坐標進行求解：圖 9極坐標系所以，桌子立置時，木條整體的質(zhì)心位置可確定如下：ìïïïïíL1 Lò0 Dr( - Rsinj)Rsinj ( L - Rsinj)cosq + Rsinjdj2 2åmipååmimixi =2m =lxmiy = 0(24)ïïïL1 L2 2pò0 Dr( - Rsinj)RsinjD + ( - Rsinj)sinqdjåmimlz

33、= åmizi =2åïmiî其中，q與j的關系表示如下：a 1 Lsinqend2tanq =(25)a 1 Lcosqend - Rsinj2綜上，半張桌子的質(zhì)心位置確定如下：14 ìïïmixi + r 1pR2 4R D3på2mx =rRLDïïmy = 0(26)íïïïmizi + r 1pR2 Då22mz = H -ïrRLDî當系統(tǒng)質(zhì)心（即重心）位置確定之后，對系統(tǒng)進行受力分析，如下圖所示：圖10折疊桌簡化

34、系統(tǒng)受力分析示意圖以 yoz平面對稱的兩部分在接觸位置不會存在剪力，故研究的右側(cè)系統(tǒng)重力等于兩條桌腿提供的支持力：FN = Gright對 y軸取矩，根據(jù)穩(wěn)定狀態(tài)力矩平衡，åM y = 0æHömFNH ³ Grightçç- x ÷÷mtanqendèø整理得：1- xm ³m(27)tanqH在折疊桌設計過程中，這是必須滿足的條件。5.2.1.2折疊桌的尺寸設計當設計折疊桌尺寸時，考慮桌腿與桌面所在平面的夾角，在桌面高度一定時，將桌腿長度表示出來，與此同時，將桌腿與桌面連接部分到

35、yoz平面的長度bix表示出來，二15 者之和即為桌子平置時桌長的一半。由示意圖可以清晰的看出幾何關系。圖 11折疊桌尺寸設計示意圖計算桌子長度如下：éêëùúûH-(R - 1W)L = 2+ R22(28)sinqend25.2.1.3折疊桌的滑槽設計當設計折疊桌滑槽的時候，由第一問實例分析可以得出結論：鋼筋從相同的初始狀態(tài)開始移動，bix越大的木條，即木條起點距離 yoz平面越遠的木條，其滑槽長度越長，確定每一根木條滑槽的末端位置，并用紅色的曲線連接起來，為了加工方便，我們將所有滑槽按最大槽長設計（藍線所在位置），如下圖所示：圖

36、 12折疊桌滑槽位置示意圖其中，桌腿始端到 yoz平面的距離可以表示為：16 b1x = R2-(R - 1W)2(29)2距 yoz平面最遠的木條的始端與 yoz平面的距離可以表示為：bnx = R2-(1W)2(30)(31)2初始位置桌面平置時，滑槽位置，如圖黑線表示在坐標系 xoy內(nèi)的 x坐標為：dn(0)=a ´ L2移動木條到最終位置時，鋼筋在滑槽內(nèi)運動到極限位置卡住，此刻滑槽位置在桌面平置時的位置可以表達為：22é æ 1 L -b1xö÷øùéê1xëæ 1 L -b1

37、xö÷øùdn(qend )= bnx +asinq + b +acosq -bnx(32)ççêúúè 2è 2ëûû因此，滑槽長度可以表示為：Dcao = dn(qend )-dn(0)(33)為了滑槽設計的約束條件，本文研究鋼筋在其內(nèi)部的運動情況，初始位置時，鋼筋位置不能超過距離 y軸最遠的的第n根桿對應的桌面圓邊界，即為：dn(0)³ bnx(34)此時，在折疊桌腿運動到極限位置時，鋼筋位置不能超過距離 y軸最遠的的第 n根桿對應的桌面邊

38、界，即為：dn(qend )£ 1 L(35)2， 2R <a <1。其中，0 £q £qendL5.2.1.4折疊桌的優(yōu)化設計模型為了滿足優(yōu)化設計條件，必須全面考慮上述三方面的優(yōu)化設計指標，建立優(yōu)化模型。綜合考慮桌子的穩(wěn)定性，加工復雜程度，用材量及桌腳邊緣線吻合程度，確定平板尺寸，鋼筋位置，開槽長度，得到最優(yōu)設計。目標函數(shù)：f = minuL(q)+(1-u)Dcao(q)(36)其中uÎ0,1。17 約束條件：ìïïïïïH- xmm ³ d(q)1- xm= tanq

39、=HHtanqHéùúH-(R - 1W)L = 2+ R22êsinq2ëûïï( )-dn(0)endDcao = dn qdn(0)³ bnxdn(qend )£ 1 Ls.t.(28)íïïïïïï20 £q £qend2R <a <1ïîL5.2.2折疊桌優(yōu)化設計的實例分析題設已知桌高 70 cm，桌面直徑 80 cm，確定最優(yōu)設計加工參數(shù)，使產(chǎn)品穩(wěn)固性好、加工方便

40、、用材最少。查閱相關資料可知，木材與地面之間摩擦系數(shù)為 0.40.5，由上述優(yōu)化模型，通過 MATLAB計算可得最優(yōu)設計尺寸和加工參數(shù)如下。表 3不同 m值下折疊桌的優(yōu)化設計參數(shù)u值 0.000.100.200.300.400.500.600.700.800.901.00板長159.0159.0159.0159.0159.0159.0160.0164.0164.0164.0164.0鋼筋位置0.500.500.500.500.500.500.500.500.500.500.50滑槽起始=0.444.7144.7144.7144.7144.7144.7144.9645.9645.9645.964

41、5.96位置滑槽末端79.3579.3579.3579.3579.3579.3578.8977.4477.4477.4477.44位置滑槽長度34.6434.6434.6434.6434.6434.6433.9331.4831.4831.4831.48u值 0.000.100.200.300.400.500.600.700.800.901.00板長159.0159.0159.0159.0159.0159.0165.0169.0169.0169.0169.0鋼筋位置0.500.500.500.500.500.500.600.600.600.600.60滑槽起始=0.5結論：44.7144.714

42、4.7144.7144.7144.7153.4754.6754.6754.6754.67位置滑槽末端79.3579.3579.3579.3579.3579.3582.3381.5181.5181.5181.51位置滑槽長度34.6434.6434.6434.6434.6434.6428.8626.8426.8426.8426.84當u值在0到1范圍內(nèi)變化時，全局最優(yōu)解在集中于幾個值，分析可確定全局最優(yōu)解。用戶可根據(jù)自身情況對最優(yōu)解進行選擇。18 5.3折疊桌任意桌型的優(yōu)化設計方案在第二問中，圓形折疊桌的優(yōu)化方案從穩(wěn)定性、加工參數(shù)、圓桌用材三個方面進行設計。在第三問中，根據(jù)題設可知，桌面的邊緣線

43、形狀及桌面大小、高度由客戶給定，同時客戶會給出桌角邊緣線的大致形狀。為了得到設計合理，結構優(yōu)化，具有較好穩(wěn)定性的創(chuàng)意平板折疊桌，本文將在第二問的基礎上，建立任意桌型的優(yōu)化設計方案，并結合實際情況展示出設計產(chǎn)品。5.3.1任意桌型的數(shù)學假設在條件假設中，桌面的設計必須滿足關于 x軸對稱，因為按照這種設計理念，可設計的桌面形狀更多更復雜，滿足客戶需求，關于 x軸對稱木條以對稱的方式折疊，滿足美學設計理念，且按這種方式折疊，系統(tǒng)質(zhì)量關于 x的對稱，穩(wěn)定性更加優(yōu)異，設計過程中，還要保證在同一坐標系內(nèi)，給定一個 x值，只對應一個 y值，否則折疊桌平置時桌面會有空洞。建立坐標系于所設計桌面的中心位置，因桌

44、型的不確定性，可以分別優(yōu)化兩側(cè)折疊桌，所得的總體最優(yōu)設計即是最佳結果。圖12任意桌型參變量示意圖因客戶的桌面邊緣線關于 x的對稱，取桌面坐標的一、四象限或者二、三象限進行分析等價，此處選取一、四象限分析，假定桌面邊緣線為：Bx = f (y), yÎ(0, )(29)2因桌面的實際切割情況是離散的，單邊的木條數(shù)為 N = B，曲線與木條的交點為2W木條寬度的中心位置，該點到 yoz平面的距離：bix = f ( -(i - 1)W) iÎ(1,2,.,N)B(30)22木條的長度可表示為：19 Lli = 2-bixiÎ(1,2,3.N)(31)(32)(33)(

45、34)分析單側(cè)桌面，最長可活動木條（桌腿）記為lk：Llk = max( -bix)21£i£N其始端到到 yoz平面的距離為bk：Lbk = 2 -lk最短可活動木條記為l j：Ll j = min( -bix)21£i£N其始端到到 yoz平面的距離為bj：Lbj =2 -l j為滿足穩(wěn)定性需求和美觀設計理念，最長可活動木條在最短木條的外側(cè)，即(35)(37)yk > y j因為桌腿四點組成的支撐面積越大，穩(wěn)定性越好，同樣的，如果最長可活動木條不在最外側(cè)，鋼筋難以固定增加工藝復雜程度。鋼筋的初始位置位置為：d0(0) =alk +bk(38)2

46、bj其中£a £1，說明鋼筋位置不能破壞桌面且不能脫離桌腿。L以上參數(shù)設定了任意桌型的基本參數(shù)及相關約束。5.3.2任意桌型的穩(wěn)定性分析在第二問，由圓形桌面穩(wěn)定性分析可知，折疊桌的受力桿為可活動的最長桿，且鋼筋的位置固定在此桿上，其余桿均不受力。本問中，滑槽及鋼筋相對位置保持一致時，穩(wěn)定性條件依舊成立，即：1- xmHm ³tanqend由于桌形的改變，導致質(zhì)心 xm發(fā)生變化，為了適用于任何設計合理的桌形，根據(jù)桌面邊緣線方程，對質(zhì)心重新計算。實際情況下，木條始端、終端是參差不齊的，即離散分布的，為了便于計算，此處假設木條寬度無限小，用連續(xù)型模型處理木條質(zhì)心。由示意

47、圖可知，半桌面部分的質(zhì)心 x1為：20 B/2 1r f ( y)2 dyf ( y)dyò-B/2 2B /2x1 =(39)(40)ò-B /2木條部分質(zhì)心 x2為：r(bx + 1 lx tanj)lxdyB /2ò2-B /2x2 =12 Lhalf B -f ( y)dyB /2ò-B /2綜合以上兩部分質(zhì)心，則總質(zhì)心 xm位置為：B/2 1 r f ( y)2 dy +ò-B/2 2r(bx + 1 lx tanj)lxdyB /2ò-B /22xm =(41)Lhalf B對于任意桌面邊緣線的折疊桌，設計其qend時應滿

48、足1- xmHm ³tanqend在此條件下，設計出的折疊桌在qend的取值范圍內(nèi)滿足穩(wěn)定性。5.3.3任意桌型的尺寸設計在桌型的尺寸設計過程中，結合實際，采用離散型的數(shù)學模型。從桌的結構上可以知道，最長的木條（桌腿）與地面相接，在折疊桌立置的情況下，該木條與桌面的夾角為 qend，因高度 H是客戶給定的，則可以得出桌腿長度為lk = H sinqend。則半個平板桌的長度 Lhalf為：HLhalf=+bk(42)(43)sinqend因此可以給出單側(cè)折疊桌設計所需木材：S = BLhalf其中，半個平板桌的長度并非實際半個木板的長度，而是簡化模型中可以一分為二的任意一部分，一分為

49、二的界限在桌子重力作用點的 yoz平面，此時兩部分之間無剪力作用，符合力的簡化模型。21 5.3.4任意桌型的滑槽設計滑槽的長度受到鋼筋位置的影響，而鋼筋在木條滑槽內(nèi)部的運動僅受最大滑槽長度的限制，最大滑槽長度受到最短木條長度的限制。為了易于加工，降低加工成本，將所有需要加工的滑槽按最大滑槽加工。此時，只需確定最大滑槽的最短長度?；鄣某跏嘉恢脼椋篸k(o) =alk +bk(44)滑槽的末端最大位置為：則滑槽設計長度為：d j(qend) = bj + (lk sinqend)2+(lk cosqend +bk -bj)2(45)(46)dcao = d j(qend)-dk(o)滑槽長度受到鋼筋位置的限制，即鋼筋初始位置不能嵌入桌面，鋼筋末端最大位置不能超過桌板邊緣：ìíîdk(o) > bj(47)d (qend) < bj +l jj5.3.5任意桌型的桌腳邊緣線優(yōu)化為