精品專題資料（2022-2023年收藏）國(guó)賽B題一等獎(jiǎng)資料

1、 2014高教社杯全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽承諾書我們仔細(xì)閱讀了全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽章程和全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽參賽規(guī)則（以下簡(jiǎn)稱為“競(jìng)賽章程和參賽規(guī)則”，可從全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽網(wǎng)站下載）。我們完全明白，在競(jìng)賽開始后參賽隊(duì)員不能以任何方式（包括電話、電子郵件、網(wǎng)上咨詢等）與隊(duì)外的任何人（包括指導(dǎo)教師）研究、討論與賽題有關(guān)的問(wèn)題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競(jìng)賽章程和參賽規(guī)則的，如果引用別人的成果或其他公開的資料（包括網(wǎng)上查到的資料），必須按照規(guī)定的參考文獻(xiàn)的表述方式在正文引用處和參考文獻(xiàn)中明確列出。我們鄭重承諾，嚴(yán)格遵守競(jìng)賽章程和參賽規(guī)則，以保證競(jìng)賽的公正、公平性。如有違反競(jìng)賽章程和參賽規(guī)

2、則的行為，我們將受到嚴(yán)肅處理。我們授權(quán)全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽組委會(huì)，可將我們的論文以任何形式進(jìn)行公開展示（包括進(jìn)行網(wǎng)上公示，在書籍、期刊和其他媒體進(jìn)行正式或非正式發(fā)表等）。我們參賽選擇的題號(hào)是（從 A/B/C/D中選擇一項(xiàng)填寫）：我們的報(bào)名參賽隊(duì)號(hào)為（8位數(shù)字組成的編號(hào)）：B所屬學(xué)校（請(qǐng)?zhí)顚懲暾娜簠①愱?duì)員 (打印并簽名)：1.2.3.指導(dǎo)教師或指導(dǎo)教師組負(fù)責(zé)人 (打印并簽名)：（論文紙質(zhì)版與電子版中的以上信息必須一致，只是電子版中無(wú)需簽名。以上內(nèi)容請(qǐng)仔細(xì)核對(duì)，提交后將不再允許做任何修改。如填寫錯(cuò)誤，論文可能被取消評(píng)獎(jiǎng)資格。）日期：賽區(qū)評(píng)閱編號(hào)（由賽區(qū)組委會(huì)評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào)）：1 2014

3、高教社杯全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽編號(hào)專用頁(yè)賽區(qū)評(píng)閱編號(hào)（由賽區(qū)組委會(huì)評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào)）：賽區(qū)評(píng)閱記錄（可供賽區(qū)評(píng)閱時(shí)使用）：評(píng)閱人評(píng)分備注全國(guó)統(tǒng)一編號(hào)（由賽區(qū)組委會(huì)送交全國(guó)前編號(hào)）：全國(guó)評(píng)閱編號(hào)（由全國(guó)組委會(huì)評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào)）：2 B 題創(chuàng)意平板折疊桌摘要本文通過(guò)建立數(shù)學(xué)模型，對(duì)平板折疊桌進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，旨在設(shè)計(jì)出產(chǎn)品穩(wěn)固性好、加工方便、用材最少的平板折疊桌。同時(shí)根據(jù)折疊桌桌面邊緣線的演化，建立了任意桌型的優(yōu)化設(shè)計(jì)模型，并結(jié)合實(shí)際，設(shè)計(jì)、仿真出具有創(chuàng)意的平板折疊桌。對(duì)于問(wèn)題一，本文建立了桌面邊緣線為圓形的折疊桌離散型動(dòng)態(tài)描述模型和連續(xù)型動(dòng)態(tài)描述模型。離散模型實(shí)現(xiàn)了對(duì)產(chǎn)品設(shè)計(jì)參數(shù)的精確描述，結(jié)合已知尺寸

4、，計(jì)算出此折疊桌的加工參數(shù)（滑槽位置及長(zhǎng)度），并得出最長(zhǎng)滑槽為17.87cm。同時(shí)，分析了每根木條隨桌腿的運(yùn)動(dòng)情況并仿真展示。在連續(xù)模型中，將木條的運(yùn)動(dòng)抽象成線的運(yùn)動(dòng)，以此實(shí)現(xiàn)了桌腳邊緣線的連續(xù)描述，結(jié)合運(yùn)動(dòng)過(guò)程仿真模擬，清晰的展示了桌腳邊緣線的動(dòng)態(tài)過(guò)程。對(duì)于問(wèn)題二，本文建立了桌面邊緣線為圓形的折疊桌優(yōu)化設(shè)計(jì)模型。通過(guò)對(duì)折疊桌的穩(wěn)定性，設(shè)計(jì)尺寸，滑槽長(zhǎng)度的綜合優(yōu)化，得出最優(yōu)設(shè)計(jì)尺寸和加工參數(shù)。在穩(wěn)定性分析過(guò)程中，首先對(duì)立置折疊桌進(jìn)行受力分析，得出只有桌腿承力，因此可進(jìn)行折疊桌簡(jiǎn)化分析，確定單側(cè)木桌重心的位置，求解力的平衡方程得出穩(wěn)定條件。在尺寸設(shè)計(jì)過(guò)程中，根據(jù)穩(wěn)定時(shí)的桌腿位置與高度的關(guān)系，得出

5、平板的設(shè)計(jì)尺寸。在滑槽設(shè)計(jì)過(guò)程中，因滑槽的長(zhǎng)短和加工位置是影響系統(tǒng)穩(wěn)定性及木板設(shè)計(jì)尺寸的關(guān)鍵，同時(shí)從易于加工的角度考慮，得出符合產(chǎn)品設(shè)計(jì)的約束條件。根據(jù)題設(shè)折疊桌參數(shù)，結(jié)合優(yōu)化設(shè)計(jì)模型得出，在地面摩擦系數(shù)為0.4和0.5，權(quán)重值為0.5的情況下，最佳木板長(zhǎng)度均為159cm，滑槽長(zhǎng)度為34.64cm。對(duì)于問(wèn)題三，本文建立了任意桌形折疊桌優(yōu)化設(shè)計(jì)模型。由于桌面形狀的不確定性，需要抽象描述桌形。分析發(fā)現(xiàn)，任意桌形的設(shè)計(jì)必須滿足沿桌長(zhǎng)方向?qū)ΨQ，桌寬方向桌形可不對(duì)稱，這就需要根據(jù)折疊桌桌面的對(duì)稱情況考慮是否需要分別優(yōu)化通過(guò)重力作用點(diǎn)的 yoz平面兩側(cè)桌型。為了表示通用的數(shù)學(xué)模型，僅對(duì)一側(cè)建立優(yōu)化模型，結(jié)

6、合實(shí)際采用離散的優(yōu)化模型，對(duì)折疊桌的穩(wěn)定性，設(shè)計(jì)尺寸，滑槽長(zhǎng)度進(jìn)行分析?？紤]到客戶期望的桌腳邊緣線是連續(xù)的，建立連續(xù)的設(shè)計(jì)桌腳邊緣線方程，通過(guò)空間曲線間距離的積分來(lái)描述兩邊緣線的接近程度。綜合上述條件，可以設(shè)計(jì)出穩(wěn)定性好、加工方便、用材最少的任意桌形的折疊桌并得出最優(yōu)設(shè)計(jì)尺寸和加工參數(shù)。結(jié)合實(shí)際，設(shè)計(jì)出具有創(chuàng)意的心形和菱形的平板折疊桌，并用3DMAX進(jìn)行動(dòng)畫展示。本文脈絡(luò)清晰，層層遞進(jìn)，分析合理，描述準(zhǔn)確，所建立的任意桌形優(yōu)化設(shè)計(jì)模型具有很強(qiáng)的通用性，為折疊桌軟件設(shè)計(jì)提供了有力的理論支撐。關(guān)鍵詞：折疊桌受力分析優(yōu)化仿真3DMAXMATLAB3 一、問(wèn)題重述1.1問(wèn)題背景某公司生產(chǎn)一種可折疊的桌

7、子，桌面呈圓形，桌腿隨著鉸鏈的活動(dòng)可以平攤成一張平板。桌腿由若干根木條組成，分成兩組，每組各用一根鋼筋將木條連接，鋼筋兩端分別固定在桌腿各組最外側(cè)的兩根木條上，并且沿木條有空槽以保證滑動(dòng)的自由度。桌子外形由直紋曲面構(gòu)成，造型美觀。附件視頻展示了折疊桌的動(dòng)態(tài)變化過(guò)程。1.2目標(biāo)任務(wù)問(wèn)題一：給定長(zhǎng)方形平板尺寸為 120 cm × 50 cm × 3 cm，每根木條寬 2.5 cm，連接桌腿木條的鋼筋固定在桌腿最外側(cè)木條的中心位置，折疊后桌子的高度為 53 cm。試建立模型描述此折疊桌的動(dòng)態(tài)變化過(guò)程，在此基礎(chǔ)上給出此折疊桌的設(shè)計(jì)加工參數(shù)和桌腳邊緣線的數(shù)學(xué)描述。問(wèn)題二：折疊桌的設(shè)計(jì)

8、應(yīng)做到產(chǎn)品穩(wěn)固性好、加工方便、用材最少。對(duì)于任意給定的折疊桌高度和圓形桌面直徑的設(shè)計(jì)要求，討論長(zhǎng)方形平板材料和折疊桌的最優(yōu)設(shè)計(jì)加工參數(shù)。對(duì)于桌高 70 cm，桌面直徑 80 cm的情形，確定最優(yōu)設(shè)計(jì)加工參數(shù)。問(wèn)題三：開發(fā)一種折疊桌設(shè)計(jì)軟件，根據(jù)客戶任意設(shè)定的折疊桌高度、桌面邊緣線的形狀大小和桌腳邊緣線的大致形狀，給出所需平板材料的形狀尺寸和切實(shí)可行的最優(yōu)設(shè)計(jì)加工參數(shù)，使得生產(chǎn)的折疊桌盡可能接近客戶所期望的形狀。二、問(wèn)題分析非創(chuàng)意，不生活！創(chuàng)意不僅是一種生活態(tài)度，更是對(duì)更高生活品質(zhì)的追求。創(chuàng)意平板折疊桌不僅可以表達(dá)木制品的優(yōu)雅和設(shè)計(jì)師所想要強(qiáng)調(diào)的自動(dòng)化與功能性，還可以最大程度的節(jié)省空間。題目介紹

9、了一種新型的平板折疊桌，桌腿上固定有鋼筋，鋼筋貫穿桌腿之間的所有木條，鋼筋沿木條內(nèi)部的空槽運(yùn)動(dòng)，以保證該折疊桌可通過(guò)桌腿繞鉸鏈活動(dòng)平攤成一張平板。對(duì)于問(wèn)題一，題目中給出平板折疊桌的高度、平面尺寸、板厚、木條寬度及鋼筋位置等具體數(shù)據(jù)，由立體幾何中的相關(guān)知識(shí)可以建立坐標(biāo)系，將已知數(shù)據(jù)代入得到空間數(shù)學(xué)模型中，即可解得此折疊桌的設(shè)計(jì)參數(shù)及桌腳邊緣線的數(shù)學(xué)描述，可以通過(guò)仿真得到折疊桌桌角的動(dòng)態(tài)變化過(guò)程。對(duì)于問(wèn)題二，題目要求折疊桌的設(shè)計(jì)應(yīng)做到穩(wěn)固性好、加工方便、用材最少，本文將建立多目標(biāo)優(yōu)化模型，研究長(zhǎng)方形平板材料制作折疊桌時(shí)的設(shè)計(jì)參數(shù)。首先，利用立體幾何關(guān)系建立折疊桌設(shè)計(jì)參數(shù)；然后，鑒于到折疊桌這種藝術(shù)

10、品實(shí)際使用過(guò)程中不會(huì)承受較大重物，因而只考慮折疊桌本身重力對(duì)其穩(wěn)定性的影響，并且根據(jù)折疊桌材料選取適當(dāng)?shù)牡孛婺Σ料禂?shù)建立穩(wěn)定性方程；最后，在穩(wěn)定的基礎(chǔ)上從加工方便及耗材最少的角度出發(fā)，建立優(yōu)化設(shè)計(jì)的模型，確定最優(yōu)解。對(duì)于問(wèn)題三，為了滿足客戶需求，本文將原先的圓形桌面推廣成任意形狀（只要關(guān)于 x軸對(duì)稱）的桌面，結(jié)合第二問(wèn)中的目標(biāo)函數(shù)及約束建立數(shù)學(xué)模型，用范數(shù)描述實(shí)際桌腳邊緣線與用戶需求的桌腳邊緣線相近的相近程度。然后，以此模型為背景，設(shè)計(jì)幾種構(gòu)造合理、實(shí)用價(jià)值相對(duì)較高的折疊桌，并利用一、二問(wèn)的結(jié)果求出設(shè)計(jì)參數(shù)并畫出動(dòng)態(tài)特性圖。平板折疊桌通過(guò)最邊緣的兩根位置固定的鋼筋和具有滑槽可運(yùn)動(dòng)的木條組成，本

11、文通過(guò)建立數(shù)學(xué)模型，分析其折疊過(guò)程中的動(dòng)態(tài)變化過(guò)程，從設(shè)計(jì)加工參數(shù)著手，建立多4 目標(biāo)優(yōu)化模型，旨在設(shè)計(jì)出符合客戶需求，產(chǎn)品穩(wěn)定性好，加工方便，用材最少的平板折疊桌。三、模型假設(shè)1、桌面圓與每根木條的始端相交于木條寬度的中心位置；2、為了不改變產(chǎn)品的美觀，設(shè)計(jì)折疊桌時(shí)木條寬度保持不變；3、折疊桌板在平置時(shí)不會(huì)因桌面設(shè)計(jì)產(chǎn)生中空部分；4、木條間縫隙尺寸為零；5、木條與圓桌面之間的交接處間隙很小，可忽略不記；6、材料均勻，木條在加工過(guò)程中不會(huì)變形或折斷；7、實(shí)際加工誤差對(duì)設(shè)計(jì)影響很小，可忽略不記；8、不計(jì)鋼筋尺寸；9、鋼筋每次運(yùn)動(dòng)到最大滑槽的極限位置，且折疊桌緩慢放置于地面之上；10、折疊桌桌面設(shè)

12、計(jì)要滿足桌面關(guān)于 x軸對(duì)稱。四、符號(hào)說(shuō)明序號(hào)符號(hào)L說(shuō)明123456木板的長(zhǎng)度桌面圓半徑木板的厚度木板的寬度木板的高度木條的寬度RDBHWli(i =1,2,.,N)qi(i =1,2,.,N)qend78木條i的長(zhǎng)度（i =1時(shí)表示桌腿）木條i移動(dòng)過(guò)程中與桌面的夾角最終位置時(shí)桌腿與桌面的夾角桌面圓內(nèi)與木條i連接部分的位置9bi(x,y)(i =1,2,.,N)xi(yi,zi)101112木條i在末端坐標(biāo)系內(nèi)的坐標(biāo)鋼筋在Oxyz坐標(biāo)系內(nèi)的坐標(biāo)(dx d y,dz)5 五、模型的建立與求解5.1圓面折疊桌的動(dòng)態(tài)描述在本問(wèn)中，為了充分描述創(chuàng)意平板折疊桌的動(dòng)態(tài)變化過(guò)程，首先要確定靜態(tài)折疊桌各個(gè)參量的

13、數(shù)學(xué)表達(dá)式，然后從折疊過(guò)程中運(yùn)動(dòng)的每根木條入手，假定折疊桌腿以勻角速運(yùn)動(dòng)，根據(jù)木條與桌腿之間的運(yùn)動(dòng)關(guān)系得出木條運(yùn)動(dòng)角速度以及角加速度，同時(shí)，鋼筋在木條內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，通過(guò)求解其在不同木條中的始末位置求解滑槽長(zhǎng)度，最后確定木條末端的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的位置，確定桌角邊緣線的形狀及變化過(guò)程。5.1.1圓面折疊桌的離散型動(dòng)態(tài)描述初始狀態(tài)時(shí)，折疊桌處于平放位置，在上面建立坐標(biāo)系，并表達(dá)出各個(gè)參量的位置如下圖所示，其中 z軸垂直于 xoy平面向內(nèi)：圖1折疊桌示意圖根據(jù)示意圖，可以表示出木條i的長(zhǎng)度為：li = 1 L- R-(R-(i - 1)´W)(i =1,2,L,BarNumber)(1)2222其中

14、當(dāng)木條運(yùn)動(dòng)到末態(tài)位置，滑槽與鋼筋卡緊時(shí)，桌腿與桌面的夾角為：qend = arcsin(H - D)(2)l16 圖2末態(tài)位置桌腿位置示意圖運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，桌面圓內(nèi)與木條 i連接部位到 yoz平面的長(zhǎng)度不變，根據(jù)假設(shè)桌面圓相交于桌腿的中心位置為，可以確定木條i連接部位到 yoz平面的長(zhǎng)度：bix = 1 L -li = R-(R -(i - 1)´W)(i =1,2L,BarNumber)(3)(4)2222在圖示Oxyz坐標(biāo)系內(nèi)，桌面圓內(nèi)與木條i連接部分 y坐標(biāo)可以用下式表示：biy = (BarNumber -i + 1)Wi(i =1,2,L,BarNumber)22桌腿運(yùn)動(dòng)過(guò)程中

15、，設(shè)鋼筋位置固接在桌腿的位置到桌邊的長(zhǎng)度與桌腿總長(zhǎng)的比值為æ 2Raçè L<a <1÷ö，之所以ø2R <a <1，是因?yàn)樽烂嫣幱谄椒盼恢脮r(shí)，鋼筋位置不能穿過(guò)桌L面，而桌面立置時(shí)，鋼筋不能穿過(guò)桌面邊緣，由此鋼筋所在位置可以表示為：dx = b1x +al1 cosq1dz =al1sinq1(0 £q1 £qend )(0 £q1 £qend)(5)(6)木條運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，滑槽時(shí)刻與鋼筋保持接觸，利用幾何關(guān)系可以確定每根木條與桌面的夾角為：dzqi = arctan(i

16、=1,2,L,BarNumber)(7)(8)dx -bix將式（5）和式（6）帶入式(7)得：al1sinq1al1 cosq1 +b1x -bixqi = arctan(i =1,2,L,BarNumber)7 假設(shè)桌腿勻角速度運(yùn)動(dòng)，即q1 =wt，每根木條運(yùn)動(dòng)的角速度可以表示為：wi(t) = dqiwa l2 2+wal1(b1x -bix)coswt1dt (al1 coswt +b1x -bix)=(9)2+(al1sinwt)2同樣，每根木條運(yùn)動(dòng)的角加速度可以表示為：+3a lal1(b1x -bix)sinwt(b1x -bix) 22 21ai(t) = ddwti = -w

17、 2(10)(al1 coswt +b1x -bix)2 +(al1sinwt)22在每根木條的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)確定之后，鋼筋在木條內(nèi)部的運(yùn)動(dòng)也可以隨相對(duì)位置而確定，鋼筋與每根木條接觸的位置到桌面圓邊緣的距離可以用下式表示：di(q) = (aLsinq)2+b1x -bix +aLcosq2+ 2aL(b1x -bix)cosq(0 £q £qend)(11)di(q) = a +(b1x -bix)2L22(0 £q £qend )從整理后的公式可以分析得出，鋼筋在沒根木條滑槽內(nèi)部的位置僅與 cosq的大小有關(guān)，而cosq在0 £q £q

18、end范圍內(nèi)逐漸減小，因而 di(q)在對(duì)應(yīng)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增。即隨著桌腿的移動(dòng)，鋼筋在每根木條中的位置逐漸向木條末端（背離桌面的方向）延伸，能夠延伸的距離即為木條內(nèi)部開槽長(zhǎng)度，為：Dcaoi = di(qend )-di(0)(12)為了確定桌角邊緣線的形狀及變化過(guò)程，本文將每根木條的末端坐標(biāo)如下：ìxi = bix + li cosqiï2ïïíy = biy = ( -i + 1)WiN(13)i22ïïïîzi = li sinq25.1.2圓面折疊桌的連續(xù)型動(dòng)態(tài)描述模型為了形象的描述木條運(yùn)動(dòng)過(guò)程中桌

19、角邊緣線的形狀及變化過(guò)程，由離散型動(dòng)態(tài)描述，本文利用每個(gè)時(shí)刻木條末端坐標(biāo)來(lái)描繪邊角線時(shí)，末端坐標(biāo)離散，繪制曲線不連續(xù)，盡管可以通過(guò)插值擬合的方式把所有末端坐標(biāo)用以連續(xù)曲線繪出，但是此曲線只是為了近似而近似，不具有明確的物理含義。為了更準(zhǔn)確地描繪邊角線，本文設(shè)計(jì)了折疊桌連續(xù)型動(dòng)態(tài)描述模型，將每根木條無(wú)限細(xì)化，寬度無(wú)限減小，桌子立置時(shí)，可以得出無(wú)窮多的木條末端坐標(biāo)，其中相鄰的兩木條末端坐標(biāo)無(wú)限接近，此時(shí)將所有末端連接起來(lái)，可以得到更為精確的邊角線描述。此時(shí)，因木條寬度忽略不計(jì)，每根木條的長(zhǎng)度可以表示為：li = 1 L - R-b2iy(0 £ biy £ R - 1W

20、87; R)(14)222桌面圓內(nèi)與桌腿連接部分的長(zhǎng)度近似為0：b1x = R2-(R - 1W)2» 0(15)28 桌腿的長(zhǎng)度近似為木板總長(zhǎng)度的一半：l1 = 1 L -b1x = 1 L(16)(17)22任意一根木條與桌面圓內(nèi)連接部分的長(zhǎng)度可表示為：bx = R2-by2(0 £ by £ R - 1W » R)2此時(shí)，鋼筋的位置到桌面邊緣的距離的坐標(biāo)為：ìL -W cos(q ) » b + aLd1x (q ) = b1x + acos(q )(0 £ q £ q end)ïï21x

21、2(18)íïL -Wsin(q ) » a L sin(q )d1z (q ) = a(0 £ q £ q end)ïî22對(duì)于每根木條，運(yùn)動(dòng)過(guò)程中滑槽內(nèi)部鋼筋到桌面邊緣的距離為：22æa L -W sinqö÷øæ L -W cosq +b -b+ aö÷øDi (q) =(0 £q £qend )çç1xixè2è222æ Lsinq ÷ö + a&#

22、230; L cosq -bxö÷ø»aç(0 £q £qend )(19)çè 2è 2ø每根木條，運(yùn)動(dòng)過(guò)程中與桌面（ xoy平面）的夾角為：La sinqendal1sinqendal1 cosqend +b1x -bx2q = arctan» arctan(20)La2 cosqend -bx綜上，可以確定每根木條的末端坐標(biāo)如下：ìx = bx + lx cosq2ïïíy = by(21)ïz = lsinqx

23、9;î25.1.3模型的求解根據(jù)題目條件，給定長(zhǎng)方形平板尺寸為120cm´50cm´3cm，每根木條寬 2.5cm，連接桌腿木條的鋼筋固定在桌腿最外側(cè)木條的中心位置，折疊后桌子的高度為53cm。5.1.3.1設(shè)計(jì)加工參數(shù)的確定桌子關(guān)于 xoz和 yoz平面對(duì)稱，所以只需要考慮四分之一桌面內(nèi)具體參數(shù)的情況。當(dāng)桌板水平放置時(shí)，根據(jù)假設(shè)桌面圓相交于桌腿木條的中心位置，運(yùn)用MATLAB進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，可以得出四分之一桌面內(nèi)木條的長(zhǎng)度如下：表1四分之一桌面內(nèi)每根木條長(zhǎng)度木條編號(hào)12345木條長(zhǎng)度（cm）52.1946.8343.4641.0039.129 木條編號(hào)678910

24、木條長(zhǎng)度（cm）37.6736.5835.7935.2835.03木條長(zhǎng)度確定后，可以算出桌腿運(yùn)動(dòng)的最終位置：qend = arcsin(H - D) = 73.43°l1木條運(yùn)動(dòng)過(guò)程的同時(shí)，鋼筋在滑槽內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，始末位置確定后根據(jù)式（12）可確定滑槽長(zhǎng)度如下表：表2鋼筋位置及滑槽長(zhǎng)度表木條編號(hào)12345鋼筋初始位置（cm）33.90鋼筋最終位置（cm）33.9033.9038.254.35733.9041.567.66833.9044.2710.36933.9046.4912.5910滑槽長(zhǎng)度（cm）木條編號(hào)0.006鋼筋初始位置（cm）33.90鋼筋最終位置（cm）48.2933.

25、9049.7015.8033.9050.7416.8433.9051.4317.5333.9051.7717.87滑槽長(zhǎng)度（cm）14.39分析表中數(shù)據(jù)，可以分析得出，鋼筋從相同的初始狀態(tài)開始移動(dòng)，bix越大的木條，即木條起點(diǎn)距離 yoz平面越遠(yuǎn)的木條，其滑槽長(zhǎng)度越長(zhǎng)。5.1.3.2動(dòng)態(tài)變化過(guò)程的描述根據(jù)式（8）（9）（10），確定每根木條角度、角速度、角加速度變化情況。起始位置桌面平置時(shí)，所有木條與桌面所在平面夾角qi = 0，角加速度a1 = 0，假定第一根桿（桌腿）以恒定的角速度進(jìn)行折疊折疊運(yùn)動(dòng)，為了反映每根桿角速度的變化情況，用MATLAB編程求解所有木條角加速度并表示如下：圖3木條角

26、加速度的變化情況10 從角加速度變化過(guò)程可以分析得出，始端距離 yoz平面越遠(yuǎn)的木條，角速度變化越快，這與所有桿轉(zhuǎn)過(guò)角度的大小一致，距離 yoz平面越遠(yuǎn)的木條自始至終轉(zhuǎn)過(guò)的角度越大；但到了中后期，其角速度變化最小，距離 yoz平面近的木條角速度變化更快。5.1.3.3桌腳邊緣線的數(shù)學(xué)描述：根據(jù)圓面折疊桌的連續(xù)型動(dòng)態(tài)描述模型，帶入已經(jīng)確定的設(shè)計(jì)加工參數(shù)，運(yùn)用MATLAB描點(diǎn)作圖即可得出連續(xù)的光滑的桌角邊緣線：圖4桌角邊緣線動(dòng)態(tài)過(guò)程示意圖由桌角邊緣線的變化情況可以分析得出，隨著q從初始狀態(tài)到極限位置的變化，桌角邊緣線彎曲程度逐漸增大，最終形成一道三維曲線。5.1.4折疊桌動(dòng)態(tài)過(guò)程仿真運(yùn)用MATLA

27、B對(duì)折疊桌運(yùn)動(dòng)進(jìn)行模擬，得運(yùn)動(dòng)過(guò)程示意圖如下：圖5折疊桌MATLAB動(dòng)態(tài)變化示意圖的11 此外，運(yùn)用3DMAX進(jìn)行設(shè)計(jì)三維建模，可得到更為逼真的運(yùn)動(dòng)過(guò)程示意圖如下：圖6折疊桌3DMAX動(dòng)態(tài)變化示意圖5.2圓面折疊桌設(shè)計(jì)的優(yōu)化模型及實(shí)例分析5.2.1折疊桌的優(yōu)化設(shè)計(jì)模型折疊桌的設(shè)計(jì)應(yīng)做到穩(wěn)固性好、加工方便、用材最少，所以折疊桌設(shè)計(jì)優(yōu)化模型的建立應(yīng)從三個(gè)方面入手，分別是折疊桌穩(wěn)定性設(shè)計(jì)，尺寸設(shè)計(jì)，以及滑槽設(shè)計(jì)。5.2.1.1折疊桌的穩(wěn)定型設(shè)計(jì)在優(yōu)化設(shè)計(jì)折疊桌的過(guò)程中，首先應(yīng)滿足穩(wěn)定性條件，為了研究折疊桌的穩(wěn)定性，本文決定分析其受力情況，如下圖所示：圖7折疊桌運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)示意圖每根木條的滑槽在整個(gè)系統(tǒng)運(yùn)

28、動(dòng)到最后時(shí)刻時(shí)會(huì)達(dá)到終點(diǎn)，被卡住，假設(shè)桌腿達(dá)到極限位置qend時(shí)，所有木條的滑槽末端均與鋼筋接觸。如視頻展示，將折疊桌緩慢放置于地面之上（只考慮自身結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，忽略人為因素影響），在桌子使用過(guò)程中，不論桌面是否承擔(dān)重物，桌腿只會(huì)有上圖綠色箭頭方向的運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)，此時(shí)對(duì)于第 i根木條，鋼筋在滑槽內(nèi)部只有向上的運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)（綠色箭頭方向），從滑槽末端向內(nèi)運(yùn)動(dòng)。那么，在折疊桌放置于地面并趨于穩(wěn)定的過(guò)程中，桌腿延綠箭頭方向的微小擾動(dòng)會(huì)使兩桌腿之間任意一根木條的滑槽末端離開鋼筋，即所有的木條都不是緊繃的，對(duì)鋼筋沒有拉力（沿綠箭頭方向）的作用，此時(shí)，只有四條桌腿承受整個(gè)系統(tǒng)的全部重力。如下圖所示：12 圖8折疊桌受

29、力情況簡(jiǎn)化圖經(jīng)上述受力分析，可以將系統(tǒng)的承力結(jié)構(gòu)剝離出來(lái)，如上圖所示，從藍(lán)色箭頭方向觀察，系統(tǒng)關(guān)于 yoz平面對(duì)稱，若分析左側(cè)部分，整個(gè)系統(tǒng)的重心位置如紅色箭頭所示（不可將一條桌腿剝離出來(lái)分析，因?yàn)樽劳扰c桌腿之間有鋼條連接，內(nèi)部力的大小及作用方向未知，地面給每條桌腿提供的摩擦力在沿 y軸方向的分量難以確定），整個(gè)系統(tǒng)分成左右兩部分進(jìn)行簡(jiǎn)化，將大大減少了運(yùn)算難度，并保持了嚴(yán)密的物理過(guò)程。此時(shí)，鋼條對(duì)每條桌腿的力是內(nèi)力，地面對(duì)兩條桌腿的摩擦力在 y軸方向的分量相互抵消，只存在沿 x軸方向的分量。所以可以精確地確定半張桌子在直立狀態(tài)下的重心的位置，因?yàn)樽栏吆苄?，重力加速度近似保持不變，求系統(tǒng)重心位置

30、即是求系統(tǒng)質(zhì)心位置。系統(tǒng)關(guān)于 yoz平面對(duì)稱，miy = 0，計(jì)算桿的總質(zhì)心位置如下：ìïïïNrDWl b + 1 li cosqæçixèåmiöååmixiåmiii÷ø2mlx =i=1ïmiy = 0(22)íïïïN1li sinqi + Dæö÷å= i=1rDWliçåmiziåmiè 2ømlz =&

31、#239;åmiî其中 N = 2R，此外，半圓板質(zhì)量mc = r 1pR2D，根據(jù)巴普斯定理，可得半圓板的W2重心位置距離圓心 x = 4R。c3p13 綜上，可以算出系統(tǒng)質(zhì)心位置：ìïmixi + r 1pR2 4R D3på2mx =ïrRLDïïmy = 0(23)íïïïmizi + r 1pR2 Då22mz = H -ïrRLDî在計(jì)算過(guò)程中，為了簡(jiǎn)化計(jì)算難度，將桿的寬度無(wú)限減小，使用連續(xù)型桿重心確定方法代替離散型桿重心確定方法，建

32、立極坐標(biāo)系，運(yùn)用微元法確定質(zhì)心的 x方向坐標(biāo)和z方向坐標(biāo)，運(yùn)用微積分的方法對(duì)坐標(biāo)進(jìn)行求解：圖 9極坐標(biāo)系所以，桌子立置時(shí)，木條整體的質(zhì)心位置可確定如下：ìïïïïíL1 Lò0 Dr( - Rsinj)Rsinj ( L - Rsinj)cosq + Rsinjdj2 2åmipååmimixi =2m =lxmiy = 0(24)ïïïL1 L2 2pò0 Dr( - Rsinj)RsinjD + ( - Rsinj)sinqdjåmimlz

33、= åmizi =2åïmiî其中，q與j的關(guān)系表示如下：a 1 Lsinqend2tanq =(25)a 1 Lcosqend - Rsinj2綜上，半張桌子的質(zhì)心位置確定如下：14 ìïïmixi + r 1pR2 4R D3på2mx =rRLDïïmy = 0(26)íïïïmizi + r 1pR2 Då22mz = H -ïrRLDî當(dāng)系統(tǒng)質(zhì)心（即重心）位置確定之后，對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行受力分析，如下圖所示：圖10折疊桌簡(jiǎn)化

34、系統(tǒng)受力分析示意圖以 yoz平面對(duì)稱的兩部分在接觸位置不會(huì)存在剪力，故研究的右側(cè)系統(tǒng)重力等于兩條桌腿提供的支持力：FN = Gright對(duì) y軸取矩，根據(jù)穩(wěn)定狀態(tài)力矩平衡，åM y = 0æHömFNH ³ Grightçç- x ÷÷mtanqendèø整理得：1- xm ³m(27)tanqH在折疊桌設(shè)計(jì)過(guò)程中，這是必須滿足的條件。5.2.1.2折疊桌的尺寸設(shè)計(jì)當(dāng)設(shè)計(jì)折疊桌尺寸時(shí)，考慮桌腿與桌面所在平面的夾角，在桌面高度一定時(shí)，將桌腿長(zhǎng)度表示出來(lái)，與此同時(shí)，將桌腿與桌面連接部分到

35、yoz平面的長(zhǎng)度bix表示出來(lái)，二15 者之和即為桌子平置時(shí)桌長(zhǎng)的一半。由示意圖可以清晰的看出幾何關(guān)系。圖 11折疊桌尺寸設(shè)計(jì)示意圖計(jì)算桌子長(zhǎng)度如下：éêëùúûH-(R - 1W)L = 2+ R22(28)sinqend25.2.1.3折疊桌的滑槽設(shè)計(jì)當(dāng)設(shè)計(jì)折疊桌滑槽的時(shí)候，由第一問(wèn)實(shí)例分析可以得出結(jié)論：鋼筋從相同的初始狀態(tài)開始移動(dòng)，bix越大的木條，即木條起點(diǎn)距離 yoz平面越遠(yuǎn)的木條，其滑槽長(zhǎng)度越長(zhǎng)，確定每一根木條滑槽的末端位置，并用紅色的曲線連接起來(lái)，為了加工方便，我們將所有滑槽按最大槽長(zhǎng)設(shè)計(jì)（藍(lán)線所在位置），如下圖所示：圖

36、 12折疊桌滑槽位置示意圖其中，桌腿始端到 yoz平面的距離可以表示為：16 b1x = R2-(R - 1W)2(29)2距 yoz平面最遠(yuǎn)的木條的始端與 yoz平面的距離可以表示為：bnx = R2-(1W)2(30)(31)2初始位置桌面平置時(shí)，滑槽位置，如圖黑線表示在坐標(biāo)系 xoy內(nèi)的 x坐標(biāo)為：dn(0)=a ´ L2移動(dòng)木條到最終位置時(shí)，鋼筋在滑槽內(nèi)運(yùn)動(dòng)到極限位置卡住，此刻滑槽位置在桌面平置時(shí)的位置可以表達(dá)為：22é æ 1 L -b1xö÷øùéê1xëæ 1 L -b1

37、xö÷øùdn(qend )= bnx +asinq + b +acosq -bnx(32)ççêúúè 2è 2ëûû因此，滑槽長(zhǎng)度可以表示為：Dcao = dn(qend )-dn(0)(33)為了滑槽設(shè)計(jì)的約束條件，本文研究鋼筋在其內(nèi)部的運(yùn)動(dòng)情況，初始位置時(shí)，鋼筋位置不能超過(guò)距離 y軸最遠(yuǎn)的的第n根桿對(duì)應(yīng)的桌面圓邊界，即為：dn(0)³ bnx(34)此時(shí)，在折疊桌腿運(yùn)動(dòng)到極限位置時(shí)，鋼筋位置不能超過(guò)距離 y軸最遠(yuǎn)的的第 n根桿對(duì)應(yīng)的桌面邊

38、界，即為：dn(qend )£ 1 L(35)2， 2R <a <1。其中，0 £q £qendL5.2.1.4折疊桌的優(yōu)化設(shè)計(jì)模型為了滿足優(yōu)化設(shè)計(jì)條件，必須全面考慮上述三方面的優(yōu)化設(shè)計(jì)指標(biāo)，建立優(yōu)化模型。綜合考慮桌子的穩(wěn)定性，加工復(fù)雜程度，用材量及桌腳邊緣線吻合程度，確定平板尺寸，鋼筋位置，開槽長(zhǎng)度，得到最優(yōu)設(shè)計(jì)。目標(biāo)函數(shù)：f = minuL(q)+(1-u)Dcao(q)(36)其中uÎ0,1。17 約束條件：ìïïïïïH- xmm ³ d(q)1- xm= tanq

39、=HHtanqHéùúH-(R - 1W)L = 2+ R22êsinq2ëûïï( )-dn(0)endDcao = dn qdn(0)³ bnxdn(qend )£ 1 Ls.t.(28)íïïïïïï20 £q £qend2R <a <1ïîL5.2.2折疊桌優(yōu)化設(shè)計(jì)的實(shí)例分析題設(shè)已知桌高 70 cm，桌面直徑 80 cm，確定最優(yōu)設(shè)計(jì)加工參數(shù)，使產(chǎn)品穩(wěn)固性好、加工方便

40、、用材最少。查閱相關(guān)資料可知，木材與地面之間摩擦系數(shù)為 0.40.5，由上述優(yōu)化模型，通過(guò) MATLAB計(jì)算可得最優(yōu)設(shè)計(jì)尺寸和加工參數(shù)如下。表 3不同 m值下折疊桌的優(yōu)化設(shè)計(jì)參數(shù)u值 0.000.100.200.300.400.500.600.700.800.901.00板長(zhǎng)159.0159.0159.0159.0159.0159.0160.0164.0164.0164.0164.0鋼筋位置0.500.500.500.500.500.500.500.500.500.500.50滑槽起始=0.444.7144.7144.7144.7144.7144.7144.9645.9645.9645.964

41、5.96位置滑槽末端79.3579.3579.3579.3579.3579.3578.8977.4477.4477.4477.44位置滑槽長(zhǎng)度34.6434.6434.6434.6434.6434.6433.9331.4831.4831.4831.48u值 0.000.100.200.300.400.500.600.700.800.901.00板長(zhǎng)159.0159.0159.0159.0159.0159.0165.0169.0169.0169.0169.0鋼筋位置0.500.500.500.500.500.500.600.600.600.600.60滑槽起始=0.5結(jié)論：44.7144.714

42、4.7144.7144.7144.7153.4754.6754.6754.6754.67位置滑槽末端79.3579.3579.3579.3579.3579.3582.3381.5181.5181.5181.51位置滑槽長(zhǎng)度34.6434.6434.6434.6434.6434.6428.8626.8426.8426.8426.84當(dāng)u值在0到1范圍內(nèi)變化時(shí)，全局最優(yōu)解在集中于幾個(gè)值，分析可確定全局最優(yōu)解。用戶可根據(jù)自身情況對(duì)最優(yōu)解進(jìn)行選擇。18 5.3折疊桌任意桌型的優(yōu)化設(shè)計(jì)方案在第二問(wèn)中，圓形折疊桌的優(yōu)化方案從穩(wěn)定性、加工參數(shù)、圓桌用材三個(gè)方面進(jìn)行設(shè)計(jì)。在第三問(wèn)中，根據(jù)題設(shè)可知，桌面的邊緣線

43、形狀及桌面大小、高度由客戶給定，同時(shí)客戶會(huì)給出桌角邊緣線的大致形狀。為了得到設(shè)計(jì)合理，結(jié)構(gòu)優(yōu)化，具有較好穩(wěn)定性的創(chuàng)意平板折疊桌，本文將在第二問(wèn)的基礎(chǔ)上，建立任意桌型的優(yōu)化設(shè)計(jì)方案，并結(jié)合實(shí)際情況展示出設(shè)計(jì)產(chǎn)品。5.3.1任意桌型的數(shù)學(xué)假設(shè)在條件假設(shè)中，桌面的設(shè)計(jì)必須滿足關(guān)于 x軸對(duì)稱，因?yàn)榘凑者@種設(shè)計(jì)理念，可設(shè)計(jì)的桌面形狀更多更復(fù)雜，滿足客戶需求，關(guān)于 x軸對(duì)稱木條以對(duì)稱的方式折疊，滿足美學(xué)設(shè)計(jì)理念，且按這種方式折疊，系統(tǒng)質(zhì)量關(guān)于 x的對(duì)稱，穩(wěn)定性更加優(yōu)異，設(shè)計(jì)過(guò)程中，還要保證在同一坐標(biāo)系內(nèi)，給定一個(gè) x值，只對(duì)應(yīng)一個(gè) y值，否則折疊桌平置時(shí)桌面會(huì)有空洞。建立坐標(biāo)系于所設(shè)計(jì)桌面的中心位置，因桌

44、型的不確定性，可以分別優(yōu)化兩側(cè)折疊桌，所得的總體最優(yōu)設(shè)計(jì)即是最佳結(jié)果。圖12任意桌型參變量示意圖因客戶的桌面邊緣線關(guān)于 x的對(duì)稱，取桌面坐標(biāo)的一、四象限或者二、三象限進(jìn)行分析等價(jià)，此處選取一、四象限分析，假定桌面邊緣線為：Bx = f (y), yÎ(0, )(29)2因桌面的實(shí)際切割情況是離散的，單邊的木條數(shù)為 N = B，曲線與木條的交點(diǎn)為2W木條寬度的中心位置，該點(diǎn)到 yoz平面的距離：bix = f ( -(i - 1)W) iÎ(1,2,.,N)B(30)22木條的長(zhǎng)度可表示為：19 Lli = 2-bixiÎ(1,2,3.N)(31)(32)(33)(

45、34)分析單側(cè)桌面，最長(zhǎng)可活動(dòng)木條（桌腿）記為lk：Llk = max( -bix)21£i£N其始端到到 yoz平面的距離為bk：Lbk = 2 -lk最短可活動(dòng)木條記為l j：Ll j = min( -bix)21£i£N其始端到到 yoz平面的距離為bj：Lbj =2 -l j為滿足穩(wěn)定性需求和美觀設(shè)計(jì)理念，最長(zhǎng)可活動(dòng)木條在最短木條的外側(cè)，即(35)(37)yk > y j因?yàn)樽劳人狞c(diǎn)組成的支撐面積越大，穩(wěn)定性越好，同樣的，如果最長(zhǎng)可活動(dòng)木條不在最外側(cè)，鋼筋難以固定增加工藝復(fù)雜程度。鋼筋的初始位置位置為：d0(0) =alk +bk(38)2

46、bj其中£a £1，說(shuō)明鋼筋位置不能破壞桌面且不能脫離桌腿。L以上參數(shù)設(shè)定了任意桌型的基本參數(shù)及相關(guān)約束。5.3.2任意桌型的穩(wěn)定性分析在第二問(wèn)，由圓形桌面穩(wěn)定性分析可知，折疊桌的受力桿為可活動(dòng)的最長(zhǎng)桿，且鋼筋的位置固定在此桿上，其余桿均不受力。本問(wèn)中，滑槽及鋼筋相對(duì)位置保持一致時(shí)，穩(wěn)定性條件依舊成立，即：1- xmHm ³tanqend由于桌形的改變，導(dǎo)致質(zhì)心 xm發(fā)生變化，為了適用于任何設(shè)計(jì)合理的桌形，根據(jù)桌面邊緣線方程，對(duì)質(zhì)心重新計(jì)算。實(shí)際情況下，木條始端、終端是參差不齊的，即離散分布的，為了便于計(jì)算，此處假設(shè)木條寬度無(wú)限小，用連續(xù)型模型處理木條質(zhì)心。由示意

47、圖可知，半桌面部分的質(zhì)心 x1為：20 B/2 1r f ( y)2 dyf ( y)dyò-B/2 2B /2x1 =(39)(40)ò-B /2木條部分質(zhì)心 x2為：r(bx + 1 lx tanj)lxdyB /2ò2-B /2x2 =12 Lhalf B -f ( y)dyB /2ò-B /2綜合以上兩部分質(zhì)心，則總質(zhì)心 xm位置為：B/2 1 r f ( y)2 dy +ò-B/2 2r(bx + 1 lx tanj)lxdyB /2ò-B /22xm =(41)Lhalf B對(duì)于任意桌面邊緣線的折疊桌，設(shè)計(jì)其qend時(shí)應(yīng)滿

48、足1- xmHm ³tanqend在此條件下，設(shè)計(jì)出的折疊桌在qend的取值范圍內(nèi)滿足穩(wěn)定性。5.3.3任意桌型的尺寸設(shè)計(jì)在桌型的尺寸設(shè)計(jì)過(guò)程中，結(jié)合實(shí)際，采用離散型的數(shù)學(xué)模型。從桌的結(jié)構(gòu)上可以知道，最長(zhǎng)的木條（桌腿）與地面相接，在折疊桌立置的情況下，該木條與桌面的夾角為 qend，因高度 H是客戶給定的，則可以得出桌腿長(zhǎng)度為lk = H sinqend。則半個(gè)平板桌的長(zhǎng)度 Lhalf為：HLhalf=+bk(42)(43)sinqend因此可以給出單側(cè)折疊桌設(shè)計(jì)所需木材：S = BLhalf其中，半個(gè)平板桌的長(zhǎng)度并非實(shí)際半個(gè)木板的長(zhǎng)度，而是簡(jiǎn)化模型中可以一分為二的任意一部分，一分為

49、二的界限在桌子重力作用點(diǎn)的 yoz平面，此時(shí)兩部分之間無(wú)剪力作用，符合力的簡(jiǎn)化模型。21 5.3.4任意桌型的滑槽設(shè)計(jì)滑槽的長(zhǎng)度受到鋼筋位置的影響，而鋼筋在木條滑槽內(nèi)部的運(yùn)動(dòng)僅受最大滑槽長(zhǎng)度的限制，最大滑槽長(zhǎng)度受到最短木條長(zhǎng)度的限制。為了易于加工，降低加工成本，將所有需要加工的滑槽按最大滑槽加工。此時(shí)，只需確定最大滑槽的最短長(zhǎng)度?；鄣某跏嘉恢脼椋篸k(o) =alk +bk(44)滑槽的末端最大位置為：則滑槽設(shè)計(jì)長(zhǎng)度為：d j(qend) = bj + (lk sinqend)2+(lk cosqend +bk -bj)2(45)(46)dcao = d j(qend)-dk(o)滑槽長(zhǎng)度受到鋼筋位置的限制，即鋼筋初始位置不能嵌入桌面，鋼筋末端最大位置不能超過(guò)桌板邊緣：ìíîdk(o) > bj(47)d (qend) < bj +l jj5.3.5任意桌型的桌腳邊緣線優(yōu)化為