狀態(tài)空間極點(diǎn)配置設(shè)計(jì)

1、第第4章章 極點(diǎn)配置設(shè)計(jì)：狀態(tài)空間方法極點(diǎn)配置設(shè)計(jì)：狀態(tài)空間方法 主要內(nèi)容主要內(nèi)容 (1)狀態(tài)反饋極點(diǎn)配置 (2)狀態(tài)觀測(cè)器 (3)帶狀態(tài)觀測(cè)器的調(diào)節(jié)器設(shè)計(jì) (4)輸入系統(tǒng)的極點(diǎn)配置4.1 引言引言 狀態(tài)空間中的極點(diǎn)配置設(shè)計(jì)方法是基本的設(shè)計(jì)方法之一。如果系統(tǒng)是完全狀態(tài)可控的，那么，要求的z平面上閉環(huán)極點(diǎn)可以選擇，并且，以這些極點(diǎn)為閉環(huán)極點(diǎn)的系統(tǒng)可以設(shè)計(jì)。這種在z平面設(shè)置期望的閉環(huán)極點(diǎn)的設(shè)計(jì)方法，稱(chēng)為極點(diǎn)配置設(shè)計(jì)法。 在極點(diǎn)配置設(shè)計(jì)方法中，將反饋全部狀態(tài)變量，使得全部閉環(huán)極點(diǎn)均設(shè)置在各期望的位置上。然而，實(shí)際的控制系統(tǒng)中，量測(cè)到全部狀態(tài)變量是不可能的，不是全部狀態(tài)變量都可以用于反饋。為了實(shí)現(xiàn)狀態(tài)

2、反饋，估計(jì)這些未知的狀態(tài)變量是很必要的，這種估計(jì)可以用狀態(tài)觀測(cè)器進(jìn)行。 狀態(tài)反饋極點(diǎn)配置問(wèn)題，可以分成為兩個(gè)部分：首先假定系統(tǒng)的全部狀態(tài)都可能用于反饋，設(shè)計(jì)一個(gè)全狀態(tài)反饋的控制系統(tǒng)；然后，再設(shè)計(jì)一個(gè)狀態(tài)觀測(cè)器，用來(lái)估計(jì)狀態(tài)反饋要用的狀態(tài)變量。設(shè)計(jì)中依據(jù)的參數(shù)為期望的閉環(huán)極點(diǎn)的位置和采樣周期T。4.2 狀態(tài)反饋極點(diǎn)配置狀態(tài)反饋極點(diǎn)配置 假設(shè)系統(tǒng)的全部狀態(tài)變量都可以量測(cè)，并且都能用于反饋。如果系統(tǒng)是完全狀態(tài)可控的，那么，用狀態(tài)反饋的方法，適當(dāng)?shù)剡x擇狀態(tài)反饋增益矩陣，可以將閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)配置在z平面的任何期望的位置。 首先必須指出，狀態(tài)空間中，任意極點(diǎn)配置的充分且必要的條件是，系統(tǒng)必須是完全狀態(tài)可控

3、的。4.2.1 狀態(tài)反饋狀態(tài)反饋 假設(shè)連續(xù)系統(tǒng)由方程：描述。只討論單輸入-單輸出情況。對(duì)該系統(tǒng)按一定周期進(jìn)行零階保持采樣得到的離散系統(tǒng)為：其中矩陣和由：給出。為簡(jiǎn)化起見(jiàn)，將系統(tǒng)寫(xiě)為：BuAxdtdx)()()(kTukTxTkTxTAsATdsBee0)()() 1(kukxkx連續(xù)控制器D(s)在時(shí)間域里用微分方程來(lái)表示，把微分運(yùn)算用等效差分來(lái)近似，就可得到逼近微分方程的差分方程。等效差分有前向差分、后向差分等方法。前向差分法又稱(chēng)為歐拉法，是用前向差分近似導(dǎo)數(shù)：得到差分方程；后向差分法用后向差分近似導(dǎo)數(shù)：來(lái)得到差分方程。4.2.1.1 差分法和雙線性變換法差分法和雙線性變換法)(1)()()

4、(txTqTtxTtxdttdx)(1)()()(txqTqTTtxtxdttdx在上述變換變量中，相當(dāng)于用(zl)/T或者(zl)/(zT)代替s。前面的章節(jié)已經(jīng)表明，可把變量z和s用自然指數(shù)關(guān)聯(lián)起來(lái)，即zexp(sT)。這兩個(gè)差分近似相應(yīng)于級(jí)數(shù)展開(kāi)：（前向差分法/歐拉法）（4.1）（后向差分法）（4.2）另一種與數(shù)值積分的梯形法相對(duì)應(yīng)的近似法是：（4.3）這種近似也常常叫做雙線性變換，或者塔斯廷（Tustin）近似。sTezsT1sTeezsTsT1112/12/12/2/sTsTeeezsTsTsT使用上述近似方法時(shí)，可用下述s直接代替G(s)中的自變量s而得到脈沖傳遞函數(shù)G(z)，其中

5、：（前向差分法/歐拉法）（4.4）（后向差分法）（4.5）（雙線性變換法）（4.6）從而Tzs1zTzs1112zzTs)()(sGzG（4.4）式由s平面到z平面的映射（4.5）式由s平面到z平面的映射（4.6）式由s平面到z平面的映射可以看出：使用前向差分法有可能把一個(gè)穩(wěn)定的連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)映射為一個(gè)不穩(wěn)定的離散時(shí)間系統(tǒng)。使用后向差分近似時(shí)，一個(gè)穩(wěn)定的連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)將總是給出一個(gè)穩(wěn)定的離散系統(tǒng)。但是一些不穩(wěn)定連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)也可能被轉(zhuǎn)換成穩(wěn)定的離散時(shí)間系統(tǒng)。而且運(yùn)用后向差分法時(shí)頻率被嚴(yán)重壓縮了，不能保證頻率特性不變。使用雙線性變換（塔斯廷近似）將s平面的左半平面映射到z平面的單位圓內(nèi)。因此把連續(xù)時(shí)間

6、系統(tǒng)的穩(wěn)定性與離散時(shí)間系統(tǒng)的穩(wěn)定性不變。經(jīng)過(guò)雙線性近似變換后，模擬頻率與離散頻率之間存在著非線性關(guān)系。設(shè)模擬頻率為，變換后得到的離散頻率為，現(xiàn)在將s=i，z=eiT代入雙線性變換式，得到：則模擬頻率與離散頻率之間有如下關(guān)系：即：（4.7）4.2.1.2 頻率畸變現(xiàn)象的預(yù)防頻率畸變現(xiàn)象的預(yù)防)2tan(221122/2/2/2/TTieeeeTeeTiTiTiTiTiTiTi)2tan(2TT12)(1)2(tan221TTT與的非線性關(guān)系雙線性變換造成的頻率畸變由（4.7）式可知，在=0處沒(méi)有頻率畸變，并且T小時(shí)畸變也小。如果系統(tǒng)要求變換后的某些特定頻率不能畸變時(shí)，可以采用預(yù)畸變方法來(lái)補(bǔ)償。要

7、在規(guī)定的頻率1處沒(méi)有畸變，只要把（4.6）式的雙線性變換修改為下列變換即可：（頻率預(yù)畸變的雙線性變換）（4.8）根據(jù)（4.8）式，可以得出：即該連續(xù)時(shí)間濾波器及其近似式在頻率1處具有同樣值。不過(guò)，該方法僅僅能在規(guī)定的頻率處保證不發(fā)生畸變，在其他頻率處仍會(huì)有畸變。11)2/tan(11zzTs)()(11iGeGTi4.2.2 基于狀態(tài)模型的近似法基于狀態(tài)模型的近似法在某些情況下，已知連續(xù)時(shí)間狀態(tài)空間模型描述的控制器，希望將它離散化成離散時(shí)間近似式?？梢园褷顟B(tài)反饋控制器看作廣義的P控制器。假設(shè)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)方程為：（4.12）且所有的狀態(tài)都是可量測(cè)的。對(duì)應(yīng)的離散系統(tǒng)方程為：（4.13）如果系統(tǒng)（4

8、.12）是能控的，那么使用形式為：（4.14）的控制器就可任意配置該閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)。CxyBuAxdtdx)()()()()(kTCxkTykTukTxTkTx)()()(tLxtMutuc對(duì)狀態(tài)采樣并在采樣周期內(nèi)保持控制信號(hào)恒定就可以實(shí)現(xiàn)數(shù)字形式（4.14）的控制器。隨著采樣周期的增加，離散閉環(huán)系統(tǒng)的特性開(kāi)始惡化，不過(guò)，可以修改控制器以改進(jìn)閉環(huán)系統(tǒng)的性能。假定離散時(shí)間控制器形式如下：（4.15）可以采用離散狀態(tài)空間的極點(diǎn)配置設(shè)計(jì)方法來(lái)實(shí)現(xiàn)上述離散時(shí)間控制器（后續(xù)章節(jié)詳細(xì)討論）。這里討論的是，如何使用近似方法把（4.14）式控制器轉(zhuǎn)換成離散時(shí)間形式。)()()(kTxLkTuMkTuc用連續(xù)時(shí)

9、間控制器（5.14）式來(lái)控制連續(xù)系統(tǒng)（5.12）式，得到的閉環(huán)系統(tǒng)為：若在采樣周期內(nèi)保持uc(t)不變，就可以對(duì)狀態(tài)方程積分，得出：（5.16）其中：CxyBMuxABMuxBLAdtdxccc)()()()(kTMukTxTkTxcccdsBeesATcTAccc0如果使用離散時(shí)間控制器（5.15）式控制（5.13）式所示的離散系統(tǒng)，則有：（5.17）一般說(shuō)來(lái)不可能選擇使得：但可以利用級(jí)數(shù)展開(kāi)，并使T的不同冪次項(xiàng)相等，以使二者非常接近。假設(shè)：那么：和)()()()(kTuMkTxLTkTxcLc2/10TLLL2/)()(222TBLABLBLAATBLAIc2/)()(21020TBLAB

10、LATBLAIL取即當(dāng)（5.18）時(shí)，直到T2階為止，系統(tǒng)（5.16）式和（5.17）式都具有同樣的極點(diǎn)。當(dāng)直到并包括T階時(shí)，在不修改L的情況下各極點(diǎn)也是相同的。假設(shè)（5.16）式和（5.17）式的穩(wěn)態(tài)值相同可確定M的修正式。令參考值是常數(shù)并假設(shè)狀態(tài)的穩(wěn)態(tài)值是x0，這可以得到如下關(guān)系：和從T冪到T2冪，上述兩個(gè)關(guān)系式左邊的級(jí)數(shù)展開(kāi)式是相等的。LBLLALLL10)2/)(TBLAILLcccMuxI0)(cuMxLI)(0現(xiàn)在來(lái)確定以使上述兩個(gè)關(guān)系式右邊的級(jí)數(shù)展開(kāi)式對(duì)T和T2也是相等的。假設(shè)：那么：和令這得出：（5.19）2/10TMMM2/)(2BMTBLABMTMc2/)(2010TABM

11、BMTBMMLBMMMM10MLBTIM)2/(故修正的離散時(shí)間控制器為（重新列寫(xiě)）：（5.15）其中：（5.18）（5.19）MLBTIM)2/()2/)(TBLAILL)()()(kTxLkTuMkTuc在連續(xù)時(shí)間控制系統(tǒng)中，PID控制器應(yīng)用得非常廣泛。其設(shè)計(jì)技術(shù)成熟，長(zhǎng)期以來(lái)形成了典型的結(jié)構(gòu)，參數(shù)整定方便，結(jié)構(gòu)更改靈活，能滿(mǎn)足一般的控制要求。特別是PID控制技術(shù)有其突出的優(yōu)點(diǎn)，當(dāng)被控對(duì)象的結(jié)構(gòu)和參數(shù)不能完全掌握，或得不到精確的數(shù)學(xué)模型時(shí)，控制理論的其他設(shè)計(jì)技術(shù)難以使用，系統(tǒng)的控制器的結(jié)構(gòu)和參數(shù)必須依靠經(jīng)驗(yàn)和現(xiàn)場(chǎng)調(diào)試來(lái)確定，這時(shí)應(yīng)用PID控制技術(shù)最為方便。因此，PID控制具有很大的適應(yīng)性和

12、靈活性。當(dāng)今，數(shù)字計(jì)算機(jī)廣泛地應(yīng)用于控制系統(tǒng)中。數(shù)字PID控制比連續(xù)PID控制更為優(yōu)越，因?yàn)橛?jì)算機(jī)程序的靈活性，很容易克服連續(xù)PID控制中存在的問(wèn)題，經(jīng)修正而得到更完善的數(shù)字PID算法。5.2.3 數(shù)字?jǐn)?shù)字PID控制器控制器5.2.3.1 連續(xù)連續(xù)PID控制器控制器在連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的實(shí)際應(yīng)用中，常常根據(jù)受控對(duì)象的特性和控制的性能要求，靈活地采用不同的控制組合，構(gòu)成比例（P）控制器比例+積分（PI）控制器和比例+積分+微分（PID）控制器（5.23）式中KP比例放大系數(shù)；TI積分時(shí)間；TD微分時(shí)間。)()(teKtup)(1)()(0tIpdeTteKtu)()(1)()(0tDIpdttedTd

13、eTteKtu比例控制能迅速反應(yīng)誤差，從而減小穩(wěn)態(tài)誤差。但是，比例控制不能消除穩(wěn)態(tài)誤差。比例放大系數(shù)的加大，會(huì)引起系統(tǒng)的不穩(wěn)定。積分控制的作用是，只要系統(tǒng)有誤差存在，積分控制器就不斷地積累，輸出控制量，以消除誤差。因而，只要有足夠的時(shí)間，積分控制將能完全消除誤差，使系統(tǒng)誤差為零，從而消除穩(wěn)態(tài)誤差。積分作用太強(qiáng)會(huì)使系統(tǒng)超調(diào)加大，甚至使系統(tǒng)出現(xiàn)振蕩。微分控制可以減小超調(diào)量，克服振蕩，使系統(tǒng)的穩(wěn)定性提高，同時(shí)加快系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)速度，減小調(diào)整時(shí)間，從而改善系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能。應(yīng)用PID控制，必須適當(dāng)?shù)卣{(diào)整比例放大系數(shù)KP，積分時(shí)間TI和微分時(shí)間TD，使整個(gè)控制系統(tǒng)得到良好的性能。PID控制器在連續(xù)-時(shí)間工

14、業(yè)控制系統(tǒng)中是由硬件設(shè)備實(shí)現(xiàn)的。而在計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)中，PID控制器是通過(guò)計(jì)算機(jī)PID控制算法程序?qū)崿F(xiàn)的。進(jìn)入計(jì)算機(jī)的連續(xù)時(shí)間信號(hào)，必須經(jīng)過(guò)采樣和整量化后，變成數(shù)字量，方能進(jìn)入計(jì)算機(jī)的存貯器和寄存器，而在數(shù)字計(jì)算機(jī)中的計(jì)算和處理，不論是積分還是微分，只能用數(shù)值計(jì)算去逼近。因此在數(shù)字計(jì)算機(jī)中，PID控制規(guī)律的實(shí)現(xiàn)，也必須用數(shù)值逼近的方法。當(dāng)采樣周期相當(dāng)短時(shí)，用求和代替積分，用差分代替微分，使PID算法離散化，將描述連續(xù)時(shí)間PID算法的微分方程，變?yōu)槊枋鲭x散時(shí)間PID算法的差分方程。5.2.3.2 離散化離散化用矩形求和代替積分時(shí)，有：（5.24）用差分代替微分：（5.25）將式（5.24）、（5.

15、25）代入式（5.23），PID算法變?yōu)椋海?.26）或（5.27）kjItIjeTTdeT00)()(1)1()()(kekeTTdttedTDD)1()()()()(0kekeTTjeTTkeKkuDkjIp)1()()()()(0kekeKjeKkeKkuDkjIp式中：u（k）第k個(gè)采樣時(shí)刻的控制；KP 比例放大系數(shù)；KI 積分放大系數(shù)：；KD 微分放大系數(shù)：；T 采樣周期。式（5.26）或（5.27）是數(shù)字PID算法的非遞推形式，稱(chēng)全量算法。算法中，為了求和，必須將系統(tǒng)偏差的全部過(guò)去值e(j)（j=1，2，3，k）都存貯起來(lái)。這種算法得出控制量的全量輸出u(k)，是控制量的絕對(duì)數(shù)值。

16、在控制系統(tǒng)中，這種控制量確定了執(zhí)行機(jī)構(gòu)的位置，故將這種算法稱(chēng)為“位置算法”。IPITTKK TTKKDPD當(dāng)執(zhí)行機(jī)構(gòu)需要的不是控制量的絕對(duì)值，而是控制量的增量（例如去驅(qū)動(dòng)步進(jìn)電動(dòng)機(jī)）時(shí)，需要用PID的“增量算法”。由位置算法求出：再求出：兩式相減，得出控制量的增量算法：（5.28）（5.28）稱(chēng)為增量式PID算法。)1()()()()(0kekeTTjeTTkeKkuDkjIp)2() 1()() 1() 1(0kekeTTjeTTkeKkuDkjIp)2() 1(2)()() 1()() 1()()(kekekeTTkeTTkekeKkukukuDIpPID控制算法的簡(jiǎn)化示意圖對(duì)增量式數(shù)字P

17、ID算法（5.28）歸并后，得：（5.29）其中：)2() 1()()(210keqkeqkeqkuTTKqTTKqTTTTKqDPDPDIP210)21 (1 表達(dá)式（5.29）已看不出是PID的表達(dá)式了，也看不出P、I、D作用的直接關(guān)系，只表示了各次誤差量對(duì)控制作用的影響。從式（5.29）看出，數(shù)字增量式PID算法，只要貯存最近的三個(gè)誤差采樣值e（k）、e（k-1）、e（k-2）就足夠了。KP、TI、TD、T都預(yù)先選擇好，因而每次采樣后計(jì)算很方便。利用增量算法，可以得出位置的遞推算法：（5.30）PID算法的選擇，與受控對(duì)象的執(zhí)行元件有關(guān)系。若系統(tǒng)的執(zhí)行部件是步進(jìn)電動(dòng)機(jī)，用位置算法就不合適

18、，因?yàn)椴竭M(jìn)電機(jī)本身就具有積分作用，因而要選用增量算法進(jìn)行控制。)2() 1()() 1()() 1()(210keqkeqkeqkukukuku用增量算法的PID控制器有以下優(yōu)點(diǎn)：增量算法不需要做累加，控制量增量的確定僅與最近幾次誤差采樣值有關(guān)，計(jì)算誤差或計(jì)算精度問(wèn)題，對(duì)控制量的計(jì)算影響較小。而位置算法要用到過(guò)去的誤差的累加值容易產(chǎn)生大的累加誤差。增量式算法得出的是控制量的增量，例如閥門(mén)控制中，只輸出閥門(mén)開(kāi)度的變化部分，誤動(dòng)作影響小，必要時(shí)通過(guò)邏輯判斷限制或禁止本次輸出，不會(huì)嚴(yán)重影響系統(tǒng)的工作。而位置算法的輸出是控制量的全量輸出，誤動(dòng)作影響大。采用增量算法，易于實(shí)現(xiàn)手動(dòng)到自動(dòng)的無(wú)沖擊切換。實(shí)際

19、的控制系統(tǒng)中，存在著飽和特性。當(dāng)控制變量達(dá)到一定值后，系統(tǒng)的輸出變量不再增長(zhǎng)，系統(tǒng)進(jìn)入飽和區(qū)。這就要求系統(tǒng)的控制變量必須限制在某個(gè)范圍之內(nèi)，即：有時(shí)候，對(duì)控制量的變化率也有限制：若計(jì)算得到的控制量超出了上述范圍，系統(tǒng)實(shí)際執(zhí)行的不是控制量的計(jì)算值，而是控制量的最大值（umax或umin），控制達(dá)不到預(yù)期的效果，甚至引起振蕩。這種現(xiàn)象在開(kāi)工、停工或大幅度改變給定值的情況下尤其容易發(fā)生。5.2.3.3 數(shù)字?jǐn)?shù)字PID的改進(jìn)算法的改進(jìn)算法maxminuuu|maxuu PID位置算法的積分飽和當(dāng)誤差信號(hào)e較大時(shí)，由數(shù)字PID位置算法計(jì)算得出的控制u很大，以至uumax，如圖中曲線a?？刂葡到y(tǒng)這時(shí)執(zhí)行的

20、控制，實(shí)際上是u=umax，而不是計(jì)算值u，見(jiàn)圖中曲線b。被控量的增長(zhǎng)顯然比不考慮飽和時(shí)的增長(zhǎng)要慢?？梢钥吹剑芸亓吭鲩L(zhǎng)慢，正誤差值的積累更大，當(dāng)受控量增長(zhǎng)到等于給定值時(shí)，誤差等于零，但誤差和積累項(xiàng)累積值很大，控制量u還將繼續(xù)維持飽和，經(jīng)過(guò)相當(dāng)?shù)臅r(shí)間（圖中）后。才脫離飽和，這樣，使系統(tǒng)被控量的超調(diào)量明顯加大，嚴(yán)重的情況下，會(huì)引起系統(tǒng)出現(xiàn)振蕩。PID位置算法中，“飽和”主要由積分項(xiàng)引起，稱(chēng)為“積分飽和”。是在誤差量較大時(shí)，不進(jìn)行積分，控制量u的計(jì)算中，只計(jì)算比例項(xiàng)和微分項(xiàng)，直到誤差達(dá)到一定值之后，才加入積分累積，如圖中曲線b所示。控制量不易進(jìn)入飽和區(qū)，即使進(jìn)入飽和區(qū)了，也能很快退出，系統(tǒng)被控量的

21、特性，比直接用PID位置算法時(shí)的特性有了改善。積分分離法的PID算法為：（5.31）其中：為門(mén)限值，見(jiàn)圖所示。用積分分離的改進(jìn)算法效果較好，程序簡(jiǎn)單。5.2.3.3.1 積分分離法積分分離法用積分分離法克服積分飽和a不采用積分分離法；b采用積分分離法；0t 后積分累積。)1()()()()(0kekeKjeKKkeKkuDkjlIp時(shí)當(dāng)時(shí)當(dāng)| )(|0| )(|1kekeKl基本思想是，當(dāng)控制進(jìn)入飽和區(qū)以后，便不再進(jìn)行積分項(xiàng)的累加，而只執(zhí)行削弱積分的運(yùn)算。因而,在計(jì)算u(k)時(shí)，先判斷u(k-1)是否已超出限制值，若u(k-1)umax，則只累加負(fù)偏差，若u(k-1)umax，或uumax，實(shí)

22、際系統(tǒng)中只能取u =umax，見(jiàn)（b）圖中u，則系統(tǒng)的響應(yīng)減慢。（c）繪出了當(dāng)控制量的變化率受限制時(shí)，給定量的變化和系統(tǒng)的響應(yīng)及控制量的變化曲線。從上圖的分析，可以看出，比例和微分飽和，使系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)過(guò)程變慢，達(dá)不到計(jì)算的效果。為了抑制微分飽和，加速系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)過(guò)程，可以采用積累補(bǔ)償法。積累補(bǔ)償法的基本思想是，將那些因飽和而未能執(zhí)行的控制增量信息累積起來(lái)，一旦有可能時(shí)再補(bǔ)充執(zhí)行。這樣，信息沒(méi)有丟失，動(dòng)態(tài)過(guò)程可以加快。做法是，如果計(jì)算出的u(k)越界，多余的未執(zhí)行的控制增量將存貯在累加器中。一旦控制u(k)脫離了飽和區(qū)，累加器中的量將全部或部分地加到計(jì)算機(jī)算出的控制增量中，以補(bǔ)償由于限制而未執(zhí)行的控

23、制。使用“積累補(bǔ)償”法，可以抑制比例微分飽和。然而，由于引入了累加器，便具有積分作用，使得增量算法中也可能出現(xiàn)積分飽和現(xiàn)象。應(yīng)該避免出現(xiàn)積分飽和。PID控制器有K、Ti、Td、Tt、b、N、umin和umax等參數(shù)需要選擇?；緟?shù)是K、Ti和Td。除此之外，還需要確定系統(tǒng)的采樣周期T。實(shí)際的被控對(duì)象，特別是工業(yè)控制過(guò)程，數(shù)學(xué)模型很難準(zhǔn)確獲得，而且隨著時(shí)間的變化，過(guò)程參數(shù)在不斷地變化，過(guò)程模型也在緩慢地變化。因此工程上，PID控制器的參數(shù)常常是通過(guò)實(shí)驗(yàn)來(lái)確定，通過(guò)試湊，或者通過(guò)實(shí)驗(yàn)經(jīng)驗(yàn)公式來(lái)確定。齊格勒和尼科爾斯在1942年提出了兩種經(jīng)典的試探規(guī)則，即階躍響應(yīng)法和最大靈敏度法，可用它們來(lái)確定控

24、制器參數(shù)。此外，還可以運(yùn)用實(shí)驗(yàn)湊試法等方法來(lái)選擇參數(shù)。5.2.3.4 參數(shù)整定參數(shù)整定適用于階躍響應(yīng)呈現(xiàn)單調(diào)特性的系統(tǒng)或過(guò)程。給定單位階躍輸入，記錄響應(yīng)曲線；在響應(yīng)曲線的斜率最陡處作切線；確定斜率和切線與橫坐標(biāo)軸的交點(diǎn)；再確定參數(shù)L（稱(chēng)為視在死區(qū)時(shí)間）和a=RL；查表，獲得控制器的經(jīng)驗(yàn)參數(shù)。5.2.3.4.1 齊格勒齊格勒-尼科爾斯方法尼科爾斯方法5.2.3.4.1.1 階躍響應(yīng)法階躍響應(yīng)法表表5.1 由齊格勒由齊格勒-尼柯?tīng)査闺A躍響應(yīng)法得到的尼柯?tīng)査闺A躍響應(yīng)法得到的PID參數(shù)參數(shù)關(guān)鍵是確定開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的奈奎斯特曲線與負(fù)實(shí)軸的交點(diǎn)。具體方法是：選擇一個(gè)足夠短的采樣周期，使其為被控對(duì)象純滯后時(shí)間的十

25、分之一以下；把控制器與系統(tǒng)（或過(guò)程）相連，按選擇的采樣周期工作，調(diào)整參數(shù)以獲得純比例（P）控制；逐漸增加控制器增益KP（或者說(shuō)，減小比例度=1/KP），直到閉環(huán)系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定邊界為止（出現(xiàn)等幅振蕩），進(jìn)而確定此時(shí)的臨界增益Ku和臨界振蕩周期Tu；通過(guò)查表得到控制器的經(jīng)驗(yàn)參數(shù)。5.2.3.4.1.2 最大靈敏度法最大靈敏度法表5.2根據(jù)最大靈敏度法得到的PID參數(shù)5.2.3.4.1.3 關(guān)于齊格勒關(guān)于齊格勒-尼科爾斯方法的評(píng)價(jià)尼科爾斯方法的評(píng)價(jià)齊格勒-尼柯?tīng)査拐ㄒ?guī)則用兩個(gè)參數(shù)表征過(guò)程的動(dòng)力學(xué)特性，再通過(guò)簡(jiǎn)單的查表得到控制器參數(shù)，在概念上有吸引力，運(yùn)用也非常廣泛。但齊格勒-尼柯?tīng)査挂?guī)則有以下缺點(diǎn)：

26、獲得的閉環(huán)系統(tǒng)的相對(duì)阻尼非常低，典型值大約是0.2；該調(diào)整規(guī)則不能給出全部的控制器參數(shù)；積分時(shí)間總是微分時(shí)間的4倍。通過(guò)修改表中的數(shù)值可以改善阻尼。但若要改進(jìn)整定需要更多的參數(shù)。因此應(yīng)當(dāng)小心使用齊格勒-尼柯?tīng)査剐驼ㄒ?guī)則。5.2.3.4.2 實(shí)驗(yàn)湊試法實(shí)驗(yàn)湊試法實(shí)驗(yàn)湊試法是通過(guò)閉環(huán)運(yùn)行或模擬，觀察系統(tǒng)的響應(yīng)曲線，然后根據(jù)各參數(shù)對(duì)系統(tǒng)的影響，反復(fù)湊試參數(shù)，直至出現(xiàn)滿(mǎn)意的響應(yīng)，從而確定PID控制參數(shù)。實(shí)驗(yàn)湊試，可對(duì)參數(shù)先比例，再積分，最后微分的整定步驟。PID參數(shù)對(duì)控制質(zhì)量的影響不十分敏感。因而整定中，參數(shù)的選擇不是唯一的。不同的比例、積分、微分的組合，可能達(dá)到相近的控制效果。實(shí)際應(yīng)用中，只要受控

27、過(guò)程或受控對(duì)象的主要指標(biāo)達(dá)到設(shè)計(jì)要求，相應(yīng)的控制器參數(shù)即可作為有效的控制參數(shù)。5.2.3. 5 采樣周期的選擇采樣周期的選擇從信號(hào)的保真度來(lái)考慮，采樣周期T不宜太長(zhǎng)，香農(nóng)（Shannon）采樣定理給出了下限頻率即s2max，max是原來(lái)信號(hào)的最高頻率。從控制性能來(lái)考慮，T應(yīng)盡可能地短，也即s應(yīng)盡可能地高，但是采樣頻率越高，對(duì)計(jì)算機(jī)的運(yùn)算速度要求越快，存儲(chǔ)器容量要求越大，計(jì)算機(jī)的工作時(shí)間和工作量隨之增加。另外，采樣頻率高到一定程度，對(duì)系統(tǒng)性能的改善已經(jīng)不顯著了。采樣周期T的選擇與下列一些因素有關(guān)：（1）作用于系統(tǒng)的擾動(dòng)信號(hào)頻率fn。通常fn越高，要求采樣頻率fs也要相應(yīng)提高，即采樣周期（T=2/

28、 fs）縮短。（2）對(duì)象的動(dòng)態(tài)特性。當(dāng)系統(tǒng)中僅是慣性時(shí)間常數(shù)起作用時(shí)，s10m，m為系統(tǒng)的通頻帶；當(dāng)系統(tǒng)中純滯后時(shí)間占有一定份量時(shí)，應(yīng)該選擇T/10；當(dāng)系統(tǒng)中純滯后時(shí)間占主導(dǎo)作用時(shí)，可選擇T。表5.3列出了幾種常見(jiàn)的對(duì)象，選擇采樣周期的經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)。（3）測(cè)量控制回路數(shù)。測(cè)量控制回路數(shù)N越多，采樣周期T越長(zhǎng)。若采樣時(shí)間為s，則采樣周期TNs。（4）與計(jì)算字長(zhǎng)有關(guān)。計(jì)算字越長(zhǎng)，計(jì)算時(shí)間越多，采樣頻率就不能太高。反之，計(jì)算字長(zhǎng)較短，便可適當(dāng)提高采樣頻率。表5.3常見(jiàn)對(duì)象選擇采樣周期的經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)受控物理量采樣周期（s）備注流量15優(yōu)先選用（12）s壓力310優(yōu)先選用（68）s液位68優(yōu)先選用7s溫度152

29、0取純滯后時(shí)間常數(shù)成份1520優(yōu)先選用18s5.2.4 小結(jié)小結(jié)前面內(nèi)容介紹了把一個(gè)連續(xù)時(shí)間控制器轉(zhuǎn)換成一個(gè)數(shù)字控制器的各種不同方法。如果已有可用的模擬設(shè)計(jì)，而且需要一個(gè)數(shù)字解決方法，那么此問(wèn)題還是有相當(dāng)大的意義的。已經(jīng)討論了若干種計(jì)算與連續(xù)時(shí)間傳遞函數(shù)對(duì)應(yīng)的脈沖傳遞函數(shù)的方法，由于雙線性變換方法簡(jiǎn)單，且效果不錯(cuò)，因此通常采用。但值得注意的是它使濾波器的頻率標(biāo)度發(fā)生畸變。只要采樣周期足夠短，這些轉(zhuǎn)換方法都能獲得較好的效果。選擇采樣周期的一個(gè)好辦法是必須遵守附加時(shí)延使相位裕量的減小量為cT/2（弧度）或者180c/s（度），其中c是剪切頻率。5.3 離散化設(shè)計(jì)方法離散化設(shè)計(jì)方法前面所討論的連續(xù)化

30、設(shè)計(jì)技術(shù)，在被控對(duì)象的特性不太清楚的情況下，可以充分利用技術(shù)成熟的連續(xù)化設(shè)計(jì)技術(shù)（如PID控制器的設(shè)計(jì)技術(shù)），并把它移植到計(jì)算機(jī)上予以實(shí)現(xiàn)，以達(dá)到滿(mǎn)意的控制效果。但連續(xù)化設(shè)計(jì)技術(shù)要求相當(dāng)短的采樣周期，只能實(shí)現(xiàn)較簡(jiǎn)單的控制算法。由于控制任務(wù)的需要，當(dāng)所選擇的采樣周期比較大或?qū)刂瀑|(zhì)量要求比較高時(shí)，必須從被控對(duì)象的特性出發(fā)，直接根據(jù)計(jì)算機(jī)控制理論（采樣控制理論）來(lái)設(shè)計(jì)數(shù)字控制器，這類(lèi)方法稱(chēng)為離散化設(shè)計(jì)方法。離散化設(shè)計(jì)技術(shù)比連續(xù)化設(shè)計(jì)技術(shù)更具有一般意義，它完全是根據(jù)采樣控制系統(tǒng)的特點(diǎn)進(jìn)行分析和綜合，并導(dǎo)出相應(yīng)的控制規(guī)律和算法。離散化設(shè)計(jì)方法，實(shí)質(zhì)上是基于變換的方法，是將離散時(shí)間系統(tǒng)進(jìn)行z變換后，在z

31、域或z平面上的設(shè)計(jì)方法。常用的方法包括：最少拍設(shè)計(jì)法，根軌跡設(shè)計(jì)法，和頻率響應(yīng)設(shè)計(jì)法。5.3.1 最少拍設(shè)計(jì)法最少拍設(shè)計(jì)法最少拍設(shè)計(jì)法設(shè)計(jì)離散時(shí)間系統(tǒng)的準(zhǔn)則是：離散時(shí)間系統(tǒng)在典型的時(shí)間域輸入信號(hào)的作用下（例如階躍輸入、速度輸入、加速度輸入等），經(jīng)過(guò)有限個(gè)采樣周期（也稱(chēng)有限個(gè)拍），輸出信號(hào)的穩(wěn)態(tài)誤差為零，且在盡可能少的有限個(gè)數(shù)目的采樣周期，穩(wěn)態(tài)誤差為零。用這種方法設(shè)計(jì)的離散時(shí)間系統(tǒng)稱(chēng)為最少拍（有限拍）控制系統(tǒng)。本節(jié)討論的設(shè)計(jì)方法，是針對(duì)單輸入單輸出離散時(shí)間系統(tǒng)，給定了最佳響應(yīng)特性，根據(jù)受控對(duì)象的脈沖傳遞函數(shù)，求取控制器的脈沖傳遞函數(shù)，這是z域的設(shè)計(jì)，設(shè)計(jì)過(guò)程中沒(méi)有做任何的假設(shè)和近似，完全是傳遞函

32、數(shù)的解析推導(dǎo)得出，因而也稱(chēng)為解析設(shè)計(jì)法。5.3.1.1 最少拍設(shè)計(jì)法的依據(jù)最少拍設(shè)計(jì)法的依據(jù)考察圖中繪出的離散時(shí)間系統(tǒng)。系統(tǒng)連續(xù)時(shí)間受控對(duì)象傳遞函數(shù)為Gp（s），零階保持器傳遞函數(shù)為G0（s），輸入信號(hào)為r（t），輸出響應(yīng)信號(hào)為y（t），則誤差信號(hào)e（t）為： e（t）=r（t）-y（t）（5.32）采樣周期為T(mén)。數(shù)字控制器脈沖傳遞函數(shù)為D（z），其輸入信號(hào)為e（kT），輸出信號(hào)為u（kT），也就是控制信號(hào)。u（kT）輸入至零階保持器，零階保持器的輸出u（t）是一個(gè)分段連續(xù)的時(shí)間信號(hào)，是受控對(duì)象的輸入信號(hào)。上圖中，把受控對(duì)象連同其前面的零階保持器為廣義的受控對(duì)象，定義其脈沖傳遞函數(shù)為GH（z）

33、：（5.33）則上圖可以簡(jiǎn)化為下圖。)(1)()()(0sGseLsGsGLzGpTspH上圖繪出的離散時(shí)間系統(tǒng)中，閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)Gc（z）為：（5.34）其中，R（z）輸入序列r（k）的z變換式；Y（z）輸出序列y（k）的z變換式。由閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)Gc（z）的表達(dá)式（5.34）中解出D（z）：（5.35）)()()()(1)()()(zRzYzGzDzGzDzGHHc)(1)()()(zGzGzGzDcHc誤差序列e（kT）的變換式為：（5.36）其中，1-Gc（z）即為離散時(shí)間系統(tǒng)的誤差的脈沖傳遞函數(shù)。用采樣點(diǎn)的值表示，需將E（z）展開(kāi)為：（5.37）一般的離散時(shí)間系統(tǒng)，典型的輸入信號(hào)

34、可以表示為：（5.38）式中，A（z）為z -1的多項(xiàng)式。)()(1)()(1)()()()(zGzDzRzGzRzYzRzEHc21)2() 1 ()0()(zezeezE111)()(qzzAzR對(duì)單位階躍輸入信號(hào)，r（t）=1（t）：則A（z）=1 q=0對(duì)單位速度輸入信號(hào)，r（t）=t1（t）：則 q =1111)(zzR2111)(zTzzR1)(TzzA對(duì)單位加速度輸入信號(hào)：2)1 (21)(12)1 ()(21)(112311122qzzTzAzzzTzRttr將式（5.38）代入式（5.36），得到：（5.39）最少拍響應(yīng)系統(tǒng)的設(shè)計(jì)，要求系統(tǒng)在有限個(gè)采樣周期后進(jìn)入穩(wěn)態(tài)，且系統(tǒng)采

35、樣點(diǎn)的誤差為零，則E（z）的展開(kāi)式必為有限項(xiàng)。由式（5.39）則要求誤差傳遞函數(shù)為有限項(xiàng)，即：（5.40）F（z）是z-1的有限項(xiàng)多項(xiàng)式。將（5.40）代入（5.39），有： E（z）=A（z）F（z） （5.41）由于A（z）、F（z）都是z-1的有限項(xiàng)多項(xiàng)式，則E（z）也是z-1的有限項(xiàng)多項(xiàng)式。保證了在有限個(gè)采樣周期后，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為零。111)(1)()(1)()(qcczzGzAzGzRzE)(1)(111zFzzGqc由式（5.40）得出系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為：（5.42）展開(kāi)形為：（5.43）其中，L=q1，L為正整數(shù)，p為閉環(huán)系統(tǒng)的階數(shù)。最少拍響應(yīng)系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為z-1的

36、有限項(xiàng)多項(xiàng)式，保證系統(tǒng)在有限個(gè)采樣周期內(nèi)到達(dá)穩(wěn)態(tài)。)(11)(11zFzzGqcppLLczazazazaazG22110)(從式（5.43）看出，按最少拍響應(yīng)的條件設(shè)計(jì)的離散時(shí)間系統(tǒng)，其閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)的全部極點(diǎn)均位于z=0處，即全部極點(diǎn)均位于z平面的原點(diǎn)?？梢哉f(shuō)，離散時(shí)間系統(tǒng)，當(dāng)其閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)的特征方程的全部根均位于z=0的點(diǎn)時(shí)，即特征方程具有下面形式：zp =0（5.44）其中， pL，該系統(tǒng)在有限個(gè)采樣周期內(nèi)，穩(wěn)態(tài)誤差必為零。將（5.40）式代入（5.35）式，得：（5.45）這便是要求的滿(mǎn)足最少拍響應(yīng)的條件的數(shù)字控制器。)(1)()()(11zFzzGzGzDqHc5.3.1.2

37、 最少拍設(shè)計(jì)法的限制條件最少拍設(shè)計(jì)法的限制條件（1）數(shù)字控制器的脈沖傳遞函數(shù)D（z）的分子多項(xiàng)式的階數(shù)不能大于分母多項(xiàng)式的階數(shù)。（2）如果受控對(duì)象的傳遞函數(shù)Gp（s）中包含有純滯后環(huán)節(jié)e-s，則所設(shè)計(jì)的閉環(huán)控制系統(tǒng)中，必須包含有純滯后，且滯后的時(shí)間至少要等于受控對(duì)象的滯后時(shí)間。（3）如果將GH（z）展開(kāi)為z-1的級(jí)數(shù)，Gc（z）按z-1的級(jí)數(shù)展開(kāi)式中的次數(shù)最低的項(xiàng)的階數(shù)，至少要與GH（z）的展開(kāi)式中z-1的最低階數(shù)一樣。例如，GH（z）按z-1展開(kāi)式中從z-1項(xiàng)開(kāi)始，則Gc（z）的展開(kāi)式中的z0項(xiàng)系數(shù)必為零，即是說(shuō)，展開(kāi)式必是：（5.46）這就意味著，當(dāng)用有限幅度的控制信號(hào)時(shí)，受控對(duì)象不能瞬時(shí)

38、響應(yīng)，如果GH（z）的展開(kāi)式是從z-1開(kāi)始的，響應(yīng)必須至少延遲一個(gè)采樣周期。5.3.1.2.1 物理可實(shí)現(xiàn)性物理可實(shí)現(xiàn)性ppczazazazG2211)(在數(shù)字控制器的設(shè)計(jì)中，還必須考慮系統(tǒng)穩(wěn)定性方面的問(wèn)題，必須避免用控制器的零點(diǎn)對(duì)消受控對(duì)象的不穩(wěn)定的極點(diǎn)。同樣，也不能用控制器的不穩(wěn)定的極點(diǎn)去對(duì)消受控對(duì)象中單位圓上或單位圓外的零點(diǎn)。為保證穩(wěn)定性，設(shè)計(jì)中應(yīng)該：（1）不能用D（z）來(lái)對(duì)消GH（z）的不穩(wěn)定的和臨界穩(wěn)定的極點(diǎn)，則GH（z）的全部不穩(wěn)定極點(diǎn)和臨界穩(wěn)定極點(diǎn)，必須作為1-Gc（z）的零點(diǎn)；（2）GH（z）的單位圓內(nèi)的零點(diǎn)，用D（z）的極點(diǎn)對(duì)消，而GH（z）的位于單位圓外和單位圓上的零點(diǎn)，不

39、能用D（z）的極點(diǎn)對(duì)消，而必須作為Gc（z）的零點(diǎn)。5.3.1.2.2 穩(wěn)定性穩(wěn)定性根據(jù)上述條件選擇閉環(huán)傳遞函數(shù)Gc（z），誤差傳遞函數(shù)1-Gc（z），D（z）等等，使得所設(shè)計(jì)的離散時(shí)間系統(tǒng)在有限個(gè)采樣周期內(nèi)，對(duì)特定類(lèi)型的輸入信號(hào)的作用，輸出的穩(wěn)態(tài)誤差為零，這種設(shè)計(jì)稱(chēng)最少拍設(shè)計(jì)，這樣設(shè)計(jì)的離散時(shí)間系統(tǒng)稱(chēng)為最少拍控制系統(tǒng)。但是，僅根據(jù)上述條件設(shè)計(jì)的最少拍控制系統(tǒng)只保證了在有限個(gè)采樣周期后，系統(tǒng)的響應(yīng)在采樣點(diǎn)上是穩(wěn)態(tài)誤差為零，而不能保證任意兩個(gè)采樣點(diǎn)之間的時(shí)間范圍內(nèi)穩(wěn)態(tài)誤差為零。這種離散時(shí)間系統(tǒng)輸出信號(hào)y（t）有振蕩，稱(chēng)為最少拍振蕩系統(tǒng)，或稱(chēng)最少拍紋波系統(tǒng)。離散時(shí)間系統(tǒng)在典型的輸入信號(hào)作用下，經(jīng)過(guò)

40、有限個(gè)數(shù)目的采樣周期，系統(tǒng)輸出信號(hào)的穩(wěn)態(tài)誤差為零，采樣點(diǎn)間無(wú)紋波；這樣的離散時(shí)間系統(tǒng)稱(chēng)最少拍無(wú)紋波（或稱(chēng)無(wú)振蕩）系統(tǒng)。根據(jù)物理可實(shí)現(xiàn)的條件和穩(wěn)定的條件設(shè)計(jì)的最少拍離散時(shí)間系統(tǒng)是紋波系統(tǒng)。紋波的出現(xiàn)，即y（t）有振蕩，這一振蕩是由于受控對(duì)象的輸入控制u（t）在波動(dòng)引起的，要消除系統(tǒng)的振蕩，必須對(duì)受控制對(duì)象的輸入控制u（t）進(jìn)行限制。無(wú)振蕩系統(tǒng)要求在系統(tǒng)輸出信號(hào)采樣值之間不出現(xiàn)紋波，為此必須滿(mǎn)足：（5.47）這樣，對(duì)受控對(duì)象的輸入控制u（t）有要求：對(duì)階躍輸入信號(hào)，控制信號(hào)u（t）為常數(shù)，包括零；對(duì)速度和加速度輸入信號(hào)，u（t）為單調(diào)上升或單調(diào)下降的信號(hào)，若受控對(duì)象有足夠的積分環(huán)節(jié)，u（t）也可以

41、為常數(shù)。對(duì)加速度輸入對(duì)速度輸入對(duì)階躍輸入),(.)(),(.)(),(.)(nTtConsttynTtConsttynTtConstty 解析法設(shè)計(jì)過(guò)程中，根據(jù)GH（z）和R（z），選取閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)Gc（z）和誤差傳遞函數(shù)1-Gc（z）。由式（5.40）：1-Gc（z）=(1z-1)N F(z)輸入信號(hào)的z變換式為：（5.48）受控對(duì)象的脈沖傳遞函數(shù)：（5.49）GH（z）為GH（z）的不含（1z1）的因子部分。5.3.1.3 受控對(duì)象不包含單位圓外的極、受控對(duì)象不包含單位圓外的極、零點(diǎn)時(shí)的設(shè)計(jì)過(guò)程零點(diǎn)時(shí)的設(shè)計(jì)過(guò)程LzzAzR11)()()(11)(1ZGzzGHNH（1）Gc（z）的分子

42、多項(xiàng)式與分母多項(xiàng)式的階次差，與GH（z）分子多項(xiàng)式和分母多項(xiàng)式的階次差相同。以保證D（z）是物理可實(shí)現(xiàn)的。（2）如果GH（z）按z1展開(kāi)成級(jí)數(shù)形式，Gc（z）按z1展開(kāi)式中，最低的指數(shù)項(xiàng)的次數(shù)，至少應(yīng)該等于GH（z）中最低指數(shù)的次數(shù)。（3）選擇1-Gc（z）表達(dá)式中的N，取為R（z）和GH（z）中L與N中較大者。（4）選擇F（z），通常，閉環(huán)控制系統(tǒng)到達(dá)穩(wěn)態(tài)需之采樣周期的數(shù)目為N +M，其中N，即為1-Gc（z）中的N；M+1為受控對(duì)象GH（z）的脈沖傳遞函數(shù)中極點(diǎn)數(shù)多于零點(diǎn)數(shù)的數(shù)目。例如：GH（z）中，極點(diǎn)數(shù)比零點(diǎn)數(shù)多2，M=2-1=1。根據(jù)這一點(diǎn)，常常能確定Gc（z）的階數(shù)。又由于1- G

43、c（z）=(1-z-1)N F(z)則F（z）中包含有z0項(xiàng)的系數(shù)必然為1。111)(2212zzzzzzGH例例5.4如圖所表示的采樣數(shù)據(jù)控制系統(tǒng)，受控對(duì)象的脈沖傳遞函數(shù)為：T =1s，輸入信號(hào)分別為：?jiǎn)挝浑A躍單位速度單位加速度分別設(shè)計(jì)出相應(yīng)于這三種不同輸入信號(hào)的最少拍離散時(shí)間系統(tǒng)。解：解：首先，求取前面加有零階保持器的受控對(duì)象的脈沖傳遞函數(shù)：) 1(10)(sssGp)3679. 01)(1 ()718. 01 (679. 33679. 01111)1 (101) 1(101) 1(101)(11111121111zzzzzzzzzssLzssseLzGTsH1.對(duì)單位階躍輸入信號(hào)第一步，

44、選擇系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)Gc（z）和誤差的脈沖傳遞函數(shù)1-Gc（z）。（1）根據(jù)前面的分析，GH（z）中有一個(gè)z1，則Gc（z）中必包含一個(gè)z1因子。（2）GH（z）的分母中有（1-z1），輸入信號(hào)為單位階躍信號(hào)：分母中也是（1-z1），則N=1。（3）GH（z）中極點(diǎn)數(shù)比零點(diǎn)數(shù)多1，即M+1=1，M=0。因而Gc（z）的階數(shù)大于或等于M +1=1。選擇：Gc（z）=z11- Gc（z）=1-z1這樣選，Gc（z）的傳遞函數(shù)的分子比分母低一階，GH（z）的分子比分母多項(xiàng)式也低一階。且選擇：F（z）=1111)(zzR第二步，求D（z）：第三步，檢驗(yàn)誤差序列：由誤差的變換函數(shù)得知，所設(shè)計(jì)的系統(tǒng)

45、，當(dāng)k 1后，e（k）=0。就是說(shuō)，一拍以后，系統(tǒng)輸出等于輸入信號(hào)，見(jiàn)圖（5.25a）。設(shè)計(jì)計(jì)算正確。11111111718. 01)3679. 01 (2717. 0)1 ()3679. 01)(1 ()718. 01 (679. 3)(1)()()(zzzzzzzzzGzGzGzDcHc111)1 ()()(1)(11zzzRzGzEc2.對(duì)速度輸入信號(hào)，與對(duì)階躍輸入信號(hào)設(shè)計(jì)步驟一樣：選擇：F（z）=1則：解之，得： K=2，b=-0.5211211)1 (1)1 ()(zzsTzTzzR2111)1 ()(1)1 ()(zzGbzKzzGcc21212111211)1 ()1 (1zzK

46、bzKzzbzKz所以：求解D（z）：檢驗(yàn)誤差誤差：誤差的z變換函數(shù)E（z）說(shuō)明，按單位速度輸入設(shè)計(jì)的系統(tǒng)，當(dāng)k2之后，即二拍之后，誤差e（k）=0，如圖5.25（b）所示。滿(mǎn)足題目要求。2111)1 ()(1)5 . 01 (2)(zzGzzzGcc)718. 01)(1 ()3679. 01)(5 . 01 (5434. 0)1 ()3679. 01)(1 ()718. 01 (679. 3)5 . 01 (2)(1)()()(111121111111zzzzzzzzzzzzGzGzGzDcHc121121)1 ()1 ()()(1)(zzzzzRzGzEc3.對(duì)單位加速度輸入：選擇：由得

47、出：解之，得： K=3b1=-1 b2=1/3則：sTzzzTzR1)1 (2)1 ()(311123122111)1 ()(1)1 ()(zzGzbzbKzzGcc3122111)1 ()1 (1)(1zzbzbKzzGc321322113311zzzzKbzKbKz31211)1 ()(1)311 (3)(zzGzzzzGcc求D（z）：檢驗(yàn)E（z）：由誤差的z變換函數(shù)可知，按加速度輸入信號(hào)設(shè)計(jì)的系統(tǒng)，當(dāng)k3以后，即三拍之后，誤差e（k）0，見(jiàn)圖5.25（c）所示。)718. 01 ()1 ()3679. 01)(311 (8154. 0)1 ()3679. 01)(1 ()718. 01

48、 (679. 3)311 (3)(1)()()(121121311111211zzzzzzzzzzzzzzGzGzGzDcHc213111315 . 05 . 0)1 (2)1 ()1 ()()(1)(zzzzzzzRzGzEc（a）針對(duì)單位階躍輸入信號(hào)設(shè)計(jì)的系統(tǒng)（b）針對(duì)單位速度輸入信號(hào)設(shè)計(jì)的系統(tǒng)（c）針對(duì)單位加速度輸入信號(hào)設(shè)計(jì)的系統(tǒng)圖5.25例5.4最少拍離散時(shí)間系統(tǒng)的輸入、輸出和誤差系統(tǒng)響應(yīng)：從本例的設(shè)計(jì)計(jì)算中可以看到：對(duì)同一個(gè)受控對(duì)象，當(dāng)輸入信號(hào)不同時(shí)，所設(shè)計(jì)得出的控制器D（z）是不同的。不同的控制器使閉環(huán)系統(tǒng)在不同的信號(hào)作用下，實(shí)現(xiàn)了最少拍控制。本例中，受控對(duì)象GH（z）的特點(diǎn)是：（

49、1）分子多項(xiàng)式比分母多項(xiàng)式低一階；（2）不包含單位圓外極、零點(diǎn)。在這種情況下，針對(duì)單位階躍、單位速度和單位加速度輸入作用下，得到的閉環(huán)系統(tǒng)和控制器列入下表5.4中。654323111213625169321)1 (2)1 ()311 (3)()()(zzzzzzzzzzzRzGzYc表表5.4 最少拍系統(tǒng)設(shè)計(jì)最少拍系統(tǒng)設(shè)計(jì)從上例的設(shè)計(jì)中，可以看到，最少拍系統(tǒng)的設(shè)計(jì)，是用控制器D（z）的零點(diǎn)去對(duì)消受控對(duì)象脈沖傳遞函數(shù)中的極點(diǎn)。對(duì)于穩(wěn)定的受控對(duì)象，這種對(duì)消是允許的。然而，當(dāng)受控對(duì)象的脈沖傳遞函數(shù)中包含有z平面上單位圓外或單位圓上的極、零點(diǎn)時(shí)，這種對(duì)消將導(dǎo)出一個(gè)不穩(wěn)定的數(shù)字控制器。這是絕對(duì)不允許的。

50、此時(shí)：（1）必須在閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)Gc（z）中加入單位圓外的零點(diǎn)，以消掉受控對(duì)象中的單位圓外的零點(diǎn)；（2）還必須在誤差的脈沖傳遞函數(shù)1-Gc（z）中加入不穩(wěn)定的零點(diǎn)，以消掉受控對(duì)象中的單位圓外或圓上的極點(diǎn)。這樣做，保證了閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)Gc（z）是穩(wěn)定的，也保證了D（z）是穩(wěn)定的。5.3.1.4 受控對(duì)象包含單位圓外或圓上受控對(duì)象包含單位圓外或圓上的極、零點(diǎn)時(shí)的設(shè)計(jì)過(guò)程的極、零點(diǎn)時(shí)的設(shè)計(jì)過(guò)程例例5.5 上例中，若受控對(duì)象傳遞函數(shù)為：T =0.2s，輸入為單位階躍信號(hào)，試設(shè)計(jì)一個(gè)最少拍離散時(shí)間系統(tǒng)。解解：與例5.4中的步驟一樣。第一步，求GH（z）：) 105. 0)(11 . 0(10)(ss

51、ssGp)0183. 01)(135. 01)(1 ()14. 11)(045. 01 (76. 00183. 005. 0135. 02 . 0115. 0) 1() 1(10105. 00025. 011 . 002. 015. 01) 1(10)(1)(11111122zzzzzzzzzzzzzTzzzssssLzzsGseLzGpTsH第二步，選擇閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)Gc（z）和誤差的脈沖傳遞函數(shù)1-Gc（z）。選擇時(shí)除物理可實(shí)現(xiàn)的條件外，尚需滿(mǎn)足穩(wěn)定性的條件。由于GH（z）包含有單位圓外的零點(diǎn)，則Gc（z）中必須包含這一零點(diǎn)。對(duì)單位階躍輸入：選擇：則：解之，得：K=0.467，a=0.5

52、33故：111)(zzR)1)(1 ()(1)14. 11 ()(1111azzzGzKzzGcc2121)1 (114. 11azzaKzKz)533. 01)(1 ()(1)14. 11 (467. 0)(1111zzzGzzzGcc第三步，求D（z）：第四步，檢驗(yàn)誤差：求系統(tǒng)響應(yīng)：)533. 01)(045. 01 ()0183. 01)(135. 01 (615. 0)533. 01)(1 ()0183. 01)(135. 01)(1 ()14. 11)(045. 01 (76. 0)14. 11 (467. 0)(1)()()(11111111111111zzzzzzzzzzzzzz

53、zGzGzGzDcHc1111533. 0111)533. 01)(1 ()()(1)(zzzzzRzGzEc4321111467. 011)14. 11 (467. 0)()()(zzzzzzzzRzGzYc由于GH（z）中包含有單位圓外零點(diǎn)。該零點(diǎn)不能用D（z）的極點(diǎn)對(duì)消，而必須作為閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)Gc（z）的零點(diǎn)，而且GH（z）的分子中z-1的最低階指數(shù)為1，則Gc（z）=K z-1（1+1.14 z-1），為二階方程。所以1-Gc（z）必然為二階方程。針對(duì)單位階躍輸入，L=1，則F（z）不再為1，而是一階的有限項(xiàng)多項(xiàng)式，F(xiàn)（z）=（1+a z-1）=（1+0.533 z-1）。這樣，誤

54、差脈沖傳遞函數(shù)中出現(xiàn)了z-1項(xiàng)，在k2以后，誤差為零。右圖繪出了系統(tǒng)的r（k）、y（k）和e（k）。根據(jù)物理可實(shí)現(xiàn)性和穩(wěn)定性的條件設(shè)計(jì)的最少拍離散時(shí)間系統(tǒng)，在有限個(gè)采樣周期后，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為零。但只是在采樣點(diǎn)上系統(tǒng)的輸出誤差為零，在采樣點(diǎn)之間有脈動(dòng)。例例5.6 對(duì)對(duì)例5.4中，輸入是階躍信號(hào)下設(shè)計(jì)的系統(tǒng)，求輸出響應(yīng)y（t），并求保持器的輸出。解：解：（1）求系統(tǒng)的輸出采樣點(diǎn)之間的輸出，可以用修正的z變換求得，這時(shí)系統(tǒng)的各部分表示于上圖中。采樣點(diǎn)之間的響應(yīng)的z變換為：（5.50）（5.51）5.3.1.5 最少拍無(wú)振蕩系統(tǒng)設(shè)計(jì)最少拍無(wú)振蕩系統(tǒng)設(shè)計(jì))(),(),(zUTzGTzYH)()()(z

55、EzDzU（5.52）當(dāng)T =1s時(shí)：求采樣點(diǎn)間一半時(shí)間處的輸出，即y（kT+T）中的T=0.5。有： TTTsTspTsHezezzTTKesssKLzesGseLTzG) 1(111111)1 ()(1),(2111113679. 01)1 (11),(zezzzTKTzGTH)()(),(),(zEzDTzGTzYH由例5.4已經(jīng)求得：E（z）=1)(718. 01)3679. 01 (2718. 0)(11zEzzzD1718. 01)3679. 01 (2718. 03679. 01)1 (1110),(111111zzzezzzTTzYT將T=0.5代入，得：87654321021

56、211111119645. 00496. 19311. 00961. 18662. 01804. 17405. 03615. 12896. 0718. 0282. 01148636. 0279876. 128958. 0718. 01)3679. 01 (2718. 03679. 016065. 0)1 (115 . 010)5 . 0 ,(zzzzzzzzzzzzzzzzzzzzY計(jì)算得出的y（t）的變換函數(shù)各值對(duì)應(yīng)于T =0.5，1.5，2.5，3.5，4.5，5.5，6.5，7.5，8.5s時(shí)的系統(tǒng)輸出y（t）的值。系統(tǒng)的輸出y（t）曲線繪于圖5.28（a）。（2）求受控對(duì)象的輸入控制U

57、：式中各系數(shù)對(duì)應(yīng)了u（k）的值。保持器的輸出信號(hào)u（t）對(duì)時(shí)間t的變化曲線，繪于圖5.28（b）。87654321110291. 00406. 00564. 00785. 01093. 01522. 02119. 02951. 02718. 01718. 01)3679. 01 (2718. 0)()(1)()()()(zzzzzzzzzzzRzGzDzEzDzUc圖5.28例5.6系統(tǒng)的響應(yīng)和控制從圖5.28（a）看到，雖然例5.4中設(shè)計(jì)的閉環(huán)系統(tǒng)，在一個(gè)采樣周期后，系統(tǒng)進(jìn)入穩(wěn)態(tài)，采樣點(diǎn)時(shí)刻系統(tǒng)輸出信號(hào)的誤差為零。但y（t）在采樣點(diǎn)之間的誤差不是零，而是有差的，既y（t）是脈動(dòng)的。這種輸出信

58、號(hào)的脈動(dòng)，稱(chēng)為紋波，這樣設(shè)計(jì)的閉環(huán)離散時(shí)間系統(tǒng)稱(chēng)為最少拍紋波離散時(shí)間系統(tǒng)。從圖5.28（b）看到，輸出信號(hào)的脈動(dòng)，是由于受控對(duì)象的輸入控制u（t）的變化引起的，就是說(shuō)，最少拍紋波離散時(shí)間系統(tǒng)進(jìn)入穩(wěn)態(tài)以后，輸入控制u（t）在波動(dòng)。為了消除紋波，系統(tǒng)設(shè)計(jì)中除必須滿(mǎn)足物理可實(shí)現(xiàn)性和穩(wěn)定性的條件外，還必須滿(mǎn)足對(duì)控制的要求，滿(mǎn)足式（5.47）表示的條件?？疾閁（z）：（5.53）為使u（t）在最少拍后不再波動(dòng)，Gc（z）中除必須包含有GH（z）中單位圓外和單位圓上的零點(diǎn)作為自己的零點(diǎn)外，還必須將GH（z）中全部單位圓內(nèi)的零點(diǎn)作為自己的零點(diǎn)。)()()()()()(zRzGzGzGzYzUHcH例例5.7

59、 例5.4所示的采樣數(shù)據(jù)控制系統(tǒng)，T=1s（1）針對(duì)單位階躍輸入信號(hào)，試設(shè)計(jì)最少拍無(wú)紋波離散時(shí)間系統(tǒng)。（2）求該系統(tǒng)對(duì)單位速度輸入信號(hào)的響應(yīng)。解：解：（1）針對(duì)單位階躍輸入信號(hào)第一步，由例5.4得：第二步，根據(jù)物理可實(shí)現(xiàn)的條件，穩(wěn)定性的條件，還根據(jù)無(wú)紋波的條件，取：又根據(jù)F（z）的首項(xiàng)必須是1，且1-Gc（z）的階數(shù)與Gc（z）的階數(shù)相同，有：)3679. 01)(1 ()718. 01 (679. 3)(1111zzzzzGH)()1 ()(1)718. 01 ()(111zFzzGzzbzGcc)1)(1 ()(111azzzGc第三步，求解：則：a 1=-b a =0.718b解之，得：

60、 b=0.582，a =0.418故：第四步，求D（z）：211121) 1(1)1)(1 (718. 01)(1azzaazzzbbzzGc)418. 01)(1 ()(1)718. 01 (582. 0)(1111zzzGzzzGcc1111111111418. 01)3679. 01 (1582. 0)418. 01)(1 ()718. 01 (582. 0)718. 01 (679. 3)3679. 01)(1 ()(1)()(1)(zzzzzzzzzzzGzGzGzDccH第五步，校驗(yàn)誤差序列：則：e（0）=1，e（1）=0.418，e（2）=e（3）=0所設(shè)計(jì)的系統(tǒng)在k2時(shí)進(jìn)入穩(wěn)態(tài)