線性代數(shù)數(shù)學(xué)建模案例

1、線性代數(shù)數(shù)學(xué)建模案例網(wǎng)絡(luò)流模型廣泛應(yīng)用于交通、運(yùn)輸、通訊、電力網(wǎng)絡(luò)流模型廣泛應(yīng)用于交通、運(yùn)輸、通訊、電力分配、城市規(guī)劃、任務(wù)分派以及計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)等眾分配、城市規(guī)劃、任務(wù)分派以及計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)等眾多領(lǐng)域。當(dāng)科學(xué)家、工程師和經(jīng)濟(jì)學(xué)家研究某種網(wǎng)絡(luò)多領(lǐng)域。當(dāng)科學(xué)家、工程師和經(jīng)濟(jì)學(xué)家研究某種網(wǎng)絡(luò)中的流量問題時(shí)中的流量問題時(shí),線性方程組就自然產(chǎn)生了線性方程組就自然產(chǎn)生了,例如例如,城市城市規(guī)劃設(shè)計(jì)人員和交通工程師監(jiān)控城市道路網(wǎng)格內(nèi)的交規(guī)劃設(shè)計(jì)人員和交通工程師監(jiān)控城市道路網(wǎng)格內(nèi)的交通流量通流量,電氣工程師計(jì)算電路中流經(jīng)的電流電氣工程師計(jì)算電路中流經(jīng)的電流,經(jīng)濟(jì)學(xué)家經(jīng)濟(jì)學(xué)家分析產(chǎn)品通過批發(fā)商和零售商網(wǎng)絡(luò)從生

2、產(chǎn)者到消費(fèi)者分析產(chǎn)品通過批發(fā)商和零售商網(wǎng)絡(luò)從生產(chǎn)者到消費(fèi)者的分配等的分配等. 大多數(shù)網(wǎng)絡(luò)流模型中的方程組都包含了數(shù)大多數(shù)網(wǎng)絡(luò)流模型中的方程組都包含了數(shù)百甚至上千未知量和線性方程百甚至上千未知量和線性方程。 一一 一個(gè)網(wǎng)絡(luò)由一個(gè)點(diǎn)集以及連接部分或全部一個(gè)網(wǎng)絡(luò)由一個(gè)點(diǎn)集以及連接部分或全部點(diǎn)的直線或弧線構(gòu)成。點(diǎn)的直線或弧線構(gòu)成。 網(wǎng)絡(luò)中的點(diǎn)稱作聯(lián)結(jié)點(diǎn)網(wǎng)絡(luò)中的點(diǎn)稱作聯(lián)結(jié)點(diǎn)(或節(jié)點(diǎn)或節(jié)點(diǎn))，網(wǎng)絡(luò)中的連接線稱作分支，網(wǎng)絡(luò)中的連接線稱作分支. 每一分支每一分支中的流量方向已經(jīng)指定，并且流量中的流量方向已經(jīng)指定，并且流量(或流速或流速)已已知或者已標(biāo)為變量。知或者已標(biāo)為變量。(a)601x2x803x4x5x

3、(b) 網(wǎng)絡(luò)流的網(wǎng)絡(luò)流的基本假設(shè)基本假設(shè)是（是（1）網(wǎng)絡(luò)中流入與流）網(wǎng)絡(luò)中流入與流出的總量相等；（出的總量相等；（2）每個(gè)節(jié)點(diǎn)上流入和流出）每個(gè)節(jié)點(diǎn)上流入和流出的總量也相等。例如，上面兩圖（的總量也相等。例如，上面兩圖（a）、（）、（b）。）。 流量在每個(gè)節(jié)點(diǎn)守恒。流量在每個(gè)節(jié)點(diǎn)守恒。 在類似的網(wǎng)絡(luò)模式中，在類似的網(wǎng)絡(luò)模式中，每個(gè)結(jié)點(diǎn)的流量都可以用一個(gè)線性方程來表示。每個(gè)結(jié)點(diǎn)的流量都可以用一個(gè)線性方程來表示。網(wǎng)絡(luò)分析要解決的網(wǎng)絡(luò)分析要解決的問題問題是：在部分信息是：在部分信息(如如網(wǎng)絡(luò)的輸入量網(wǎng)絡(luò)的輸入量)已知的情況下，確定每一分支中已知的情況下，確定每一分支中的流量。的流量。 城市道路網(wǎng)中每

4、條道路、每個(gè)交叉城市道路網(wǎng)中每條道路、每個(gè)交叉路口的車流量調(diào)查，是分析、評(píng)價(jià)及改路口的車流量調(diào)查，是分析、評(píng)價(jià)及改善城市交通狀況的基礎(chǔ)。根據(jù)實(shí)際車流善城市交通狀況的基礎(chǔ)。根據(jù)實(shí)際車流量信息可以設(shè)計(jì)流量控制方案，必要時(shí)量信息可以設(shè)計(jì)流量控制方案，必要時(shí)設(shè)置單行線，以免大量車輛長(zhǎng)時(shí)間擁堵。設(shè)置單行線，以免大量車輛長(zhǎng)時(shí)間擁堵。 案例案例1 1 下圖為某城市的局部單行示意圖下圖為某城市的局部單行示意圖 【問題描述問題描述】： 某城市單行線如下圖所示, 其中的數(shù)字表示該路段每小時(shí)按箭頭方向行駛的車流量(單位: 輛). 5001234400300100200300 x1x2x3X4圖3 某城市單行線車流量

5、示意圖現(xiàn)在需要解決的問題如下：（1） 建立確定每條道路流量的線性方程組建立確定每條道路流量的線性方程組.（2） 為了唯一確定未知流量為了唯一確定未知流量, 還需要增添哪還需要增添哪幾條道路的流量統(tǒng)計(jì)幾條道路的流量統(tǒng)計(jì)? （3） 當(dāng)當(dāng)x4 = 350時(shí)時(shí), 確定確定x1, x2, x3的值的值.（4） 若若x4 = 200, 則單行線應(yīng)該如何改動(dòng)才合則單行線應(yīng)該如何改動(dòng)才合理理? ?！灸Ｐ图僭O(shè)模型假設(shè)】： （1） 每條道路都是單行線 （2） 每個(gè)交叉路口進(jìn)入和離開的車輛數(shù)目相等. 【模型建立模型建立】 根據(jù)圖3和上述假設(shè), 在, , , 四個(gè)路口進(jìn)出車輛數(shù)目分別滿足： 500 = x1 + x2

6、 400 + x1 = x4 + 300 x2 + x3 = 100 + 200 x4 = x3 + 300 n【模型求解模型求解】根據(jù)上述等式可得如下線性方程組。12142334500100300300 xxxxxxxx 其增廣矩陣1 1 0 0 5001 0 01 1000 1 1 0 3000 01 1300 初 等 行 變 換1 0 01 1000 1 0 16000 0 11 3000 0 0 00 (A, b) =由此可得142434100600300 xxxxxx 即：142434100600300 xxxxxx n為了唯一確定未知流量, 只要增添x4統(tǒng)計(jì)的值即可. 當(dāng)x4 =

7、350時(shí), 確定x1 = 250, x2 = 250, x3 = 50. 若x4 = 200, 則x1 = 100, x2 = 400, x3 = 100 A = 1,-0.6,-0.5;-0.3,0.9,-0.1;-0.2,-0.1,1; b = 60000;100000;0; x = Ab Matlab執(zhí)行后得 x = 1.0e+005 * 1.9966 1.8415 0.5835n可見煤礦要生產(chǎn)199660元的煤, 電廠要生產(chǎn)184150元的電恰好滿足需求. nMatlab實(shí)驗(yàn)題某鄉(xiāng)鎮(zhèn)有甲、乙、丙三個(gè)企業(yè). 甲企業(yè)每生產(chǎn)1元的產(chǎn)品要消耗0.25元乙企業(yè)的產(chǎn)品和0.25元丙企業(yè)的產(chǎn)品. 乙

8、企業(yè)每生產(chǎn)1元的產(chǎn)品要消耗0.65元甲企業(yè)的產(chǎn)品, 0.05元自產(chǎn)的產(chǎn)品和0.05元丙企業(yè)的產(chǎn)品. 丙企業(yè)每生產(chǎn)1元的產(chǎn)品要消耗0.5元甲企業(yè)的產(chǎn)品和0.1元乙企業(yè)的產(chǎn)品. 在一個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi), 甲、乙、丙三個(gè)企業(yè)生產(chǎn)的產(chǎn)品價(jià)值分別為100萬(wàn)元, 120萬(wàn)元, 60萬(wàn)元, 同時(shí)各自的固定資產(chǎn)折舊分別為20萬(wàn)元, 5萬(wàn)元和5萬(wàn)元. (1) 求一個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)這三個(gè)企業(yè)扣除消耗和折舊后的新創(chuàng)價(jià)值. (2) 如果這三個(gè)企業(yè)接到外來訂單分別為50萬(wàn)元, 60萬(wàn)元, 40萬(wàn)元, 那么他們各生產(chǎn)多少才能滿足需求? 相關(guān)內(nèi)容見相關(guān)內(nèi)容見線性代數(shù)線性代數(shù)課件的第課件的第3.7節(jié)的節(jié)的“人人口遷移模型口遷移模型”，

9、以及，以及4.5節(jié)的節(jié)的“離散動(dòng)態(tài)系統(tǒng)模離散動(dòng)態(tài)系統(tǒng)模型型”。 除了上述例子，現(xiàn)實(shí)生活中還有很多，可以通除了上述例子，現(xiàn)實(shí)生活中還有很多，可以通過建立形如過建立形如 的差分方程的例子。的差分方程的例子。1nnxAx【模型準(zhǔn)備模型準(zhǔn)備】 某試驗(yàn)性生產(chǎn)線每年一月份進(jìn)行熟練工與非熟練工的人數(shù)統(tǒng)計(jì)， 然后將熟練工支援其他生產(chǎn)部門, 其缺額由招收新的非熟練工補(bǔ)齊。 新、老非熟練工經(jīng)過培訓(xùn)及實(shí)踐至年終考核有成為熟練工. 假設(shè)第一年一月份統(tǒng)計(jì)的熟練工和非熟練工各占一半， 求以后每年一月份統(tǒng)計(jì)的熟練工和非熟練工所占百分比。 案例四案例四 【模型準(zhǔn)備模型準(zhǔn)備】金融機(jī)構(gòu)為保證現(xiàn)金充分支付, 設(shè)立一筆總額5400萬(wàn)

10、的基金, 分開放置在位于A城和B城的兩家公司, 基金在平時(shí)可以使用, 但每周末結(jié)算時(shí)必須確?？傤~仍然為5400萬(wàn). 經(jīng)過相當(dāng)長(zhǎng)的一段時(shí)期的現(xiàn)金流動(dòng), 發(fā)現(xiàn)每過一周, 各公司的支付基金在流通過程中多數(shù)還留在自己的公司內(nèi), 而A城公司有10%支付基金流動(dòng)到B城公司, B城公司則有12%支付基金流動(dòng)到A城公司. 起初A城公司基金為2600萬(wàn), B城公司基金為2800萬(wàn). 按此規(guī)律, 兩公司支付基金數(shù)額變化趨勢(shì)如何? 如果金融專家認(rèn)為每個(gè)公司的支付基金不能少于2200萬(wàn), 那么是否需要在必要時(shí)調(diào)動(dòng)基金? 案例五案例五 n在Matlab命令窗口輸入以下命令 syms k %定義符號(hào)變量 P*1,0;0,

11、0.78(k+1)*P(-1)*2600;2800 nMatlab執(zhí)行后得 ans = 32400/11-3800/11*(39/50)(k+1) 27000/11+3800/11*(39/50)(k+1)【模型準(zhǔn)備模型準(zhǔn)備】設(shè)有A, B, C三個(gè)政黨參加每次的選舉, 每次參加投票的選民人數(shù)保持不變. 通常情況下, 由于社會(huì)、經(jīng)濟(jì)、各黨的政治主張等多種因素的影響, 原來投某黨票的選民可能改投其他政黨 。案例六案例六 【模型假設(shè)模型假設(shè)】 （1）參與投票的選民不變, 而且沒有棄權(quán)票 ；（2）每次投A黨票的選民, 下次投票時(shí), 分別有 比例的選民投A, B, C政黨的票; 每次投B黨票的選民, 下次投票時(shí), 分別有 比例的選民投A, B, C各政黨的票; 每次投C黨票的選民, 下次投票時(shí), 分別有 比例的選民投A, B, C各政黨的票 。（3） 表示第k次選舉時(shí)分別投A, B, C各黨的選民人數(shù) 。,kkkxyz123,r r r123,s s s123,ttt【模型建立模型建立】 根據(jù)假設(shè)可得 , 11111