有限元分析方法第三章平面問(wèn)題的三角形單元

1、12 2 3.1 離散化離散化 3.2 三結(jié)點(diǎn)單元位移模式三結(jié)點(diǎn)單元位移模式 3.3 用結(jié)點(diǎn)位移表示單元應(yīng)變用結(jié)點(diǎn)位移表示單元應(yīng)變 3.4 用結(jié)點(diǎn)位移表示單元應(yīng)力用結(jié)點(diǎn)位移表示單元應(yīng)力 3.5 單元?jiǎng)偠染仃噯卧獎(jiǎng)偠染仃?3.6 單元?jiǎng)偠染仃嚨男再|(zhì)單元?jiǎng)偠染仃嚨男再|(zhì) 3.7 外力等效移置到結(jié)點(diǎn)外力等效移置到結(jié)點(diǎn) 3.8 兩個(gè)單元的結(jié)構(gòu)兩個(gè)單元的結(jié)構(gòu)3 3 （一）離散化（一）離散化 將平面域?qū)⑵矫嬗騽澐譃橛邢迋€(gè)小單元，每個(gè)單劃分為有限個(gè)小單元，每個(gè)單元用單元結(jié)點(diǎn)相連接，把無(wú)限個(gè)自由度元用單元結(jié)點(diǎn)相連接，把無(wú)限個(gè)自由度的連續(xù)體變?yōu)橥ㄟ^(guò)有限個(gè)結(jié)點(diǎn)聯(lián)結(jié)起來(lái)的連續(xù)體變?yōu)橥ㄟ^(guò)有限個(gè)結(jié)點(diǎn)聯(lián)結(jié)起來(lái)的的“單元組合

2、體單元組合體”，使問(wèn)題轉(zhuǎn)變成有限個(gè)，使問(wèn)題轉(zhuǎn)變成有限個(gè)結(jié)點(diǎn)上有限個(gè)未知量問(wèn)題。結(jié)點(diǎn)上有限個(gè)未知量問(wèn)題。4 45 5 （二）離散化過(guò)程（二）離散化過(guò)程 建立坐標(biāo)系建立坐標(biāo)系 選擇單元類型選擇單元類型 劃分網(wǎng)格劃分網(wǎng)格 單元和結(jié)點(diǎn)編號(hào)，給出結(jié)點(diǎn)坐標(biāo)單元和結(jié)點(diǎn)編號(hào)，給出結(jié)點(diǎn)坐標(biāo) 在結(jié)點(diǎn)上施加載荷及位移約束在結(jié)點(diǎn)上施加載荷及位移約束6 6 （二）離散化過(guò)程（二）離散化過(guò)程 單元類型單元類型7 7 （三）離散化應(yīng)注意的問(wèn)題（三）離散化應(yīng)注意的問(wèn)題 1、單元精度問(wèn)題，復(fù)雜的單元計(jì)算精度、單元精度問(wèn)題，復(fù)雜的單元計(jì)算精度高高 2、單元尺寸問(wèn)題，合理確定單元尺寸、單元尺寸問(wèn)題，合理確定單元尺寸 3、集中力的作

3、用點(diǎn)及分布力的突變點(diǎn)最、集中力的作用點(diǎn)及分布力的突變點(diǎn)最好選在結(jié)點(diǎn)處好選在結(jié)點(diǎn)處 4、區(qū)分厚度變化和物性變化、區(qū)分厚度變化和物性變化 5、單元形狀問(wèn)題，以內(nèi)角、單元形狀問(wèn)題，以內(nèi)角60為宜為宜8 8(xj, yj)umvm(xm, ym)(xi, yi)mijxyOuiujvivjv(x,y)u(x,y) （一）三結(jié)點(diǎn)單元（一）三結(jié)點(diǎn)單元9 9 （一）三結(jié)點(diǎn)單元（一）三結(jié)點(diǎn)單元 i結(jié)點(diǎn)坐標(biāo)為（結(jié)點(diǎn)坐標(biāo)為（xi，yi） i結(jié)點(diǎn)位移為結(jié)點(diǎn)位移為 j結(jié)點(diǎn)坐標(biāo)為（結(jié)點(diǎn)坐標(biāo)為（xj，yj） j結(jié)點(diǎn)位移為結(jié)點(diǎn)位移為 m結(jié)點(diǎn)坐標(biāo)為（結(jié)點(diǎn)坐標(biāo)為（xm，ym） m結(jié)點(diǎn)位移為結(jié)點(diǎn)位移為iiivujjjvummmv

4、u1010 （二）形函數(shù)（二）形函數(shù) 以平面逼近曲面的想法，設(shè)單元內(nèi)任一以平面逼近曲面的想法，設(shè)單元內(nèi)任一點(diǎn)的位移是點(diǎn)的位移是x，y的線性函數(shù)，即的線性函數(shù)，即真實(shí)位移分布真實(shí)位移分布近似位移分布近似位移分布uxyvxy1234561111 （二）形函數(shù)（二）形函數(shù) 將將i，j，m三個(gè)結(jié)點(diǎn)的水平位移分量和結(jié)三個(gè)結(jié)點(diǎn)的水平位移分量和結(jié)點(diǎn)坐標(biāo)分別代入上式中的第一式，可以點(diǎn)坐標(biāo)分別代入上式中的第一式，可以得到：得到：mmmjjjiiiyaxaauyaxaauyaxaau3213213211212 （二）形函數(shù)（二）形函數(shù) 寫成矩陣形式，有：寫成矩陣形式，有：321321111Cyxyxyxuuumm

5、jjiimji1313 （二）形函數(shù)（二）形函數(shù) 將矩陣將矩陣C求逆，可將待定的中間參量求逆，可將待定的中間參量1，2，3用節(jié)點(diǎn)位移用節(jié)點(diǎn)位移ui等表示出來(lái)，即等表示出來(lái)，即mjiuuuC1321AyxyxyxCmmjjii21111414 （二）形函數(shù)（二）形函數(shù) A是三角形單元是三角形單元ijm的面積。只要的面積。只要i，j，m三點(diǎn)彼此不重合則三點(diǎn)彼此不重合則A不等于不等于0；當(dāng)；當(dāng)i，j，m呈逆時(shí)針排列時(shí)呈逆時(shí)針排列時(shí)|C|0。由線性代數(shù)。由線性代數(shù)jiimmjijmijmjjiiiimmmmjjxxxxxxyyyyyyyxyxyxyxyxyxACCC111111111111211151

6、5mjimjimjicccbbbaaaAC211mjjmimjmjimmjjimmjixxxxcyyyybyxyxyxyxa1111mjimjimjimjiuuucccbbbaaaA21321 （二）形函數(shù)（二）形函數(shù)1616mjimjimjimjimjimjiuuuNNNuuucccbbbaaayxAyxu1211321mjimjimjimjiuuucccbbbaaaA21321uxyvxy123456 （二）形函數(shù)（二）形函數(shù)1717mmjjiiuNuNuNuAycxbayxNiiii2,AycxbayxNjjjj2,AycxbayxNmmmm2, （二）形函數(shù)（二）形函數(shù)1818 （二）

7、形函數(shù)（二）形函數(shù) 同理，從三個(gè)結(jié)點(diǎn)的同理，從三個(gè)結(jié)點(diǎn)的y方向位移方向位移vi，vj，vm得出單元內(nèi)任一點(diǎn)的得出單元內(nèi)任一點(diǎn)的y方向位移方向位移 三個(gè)形函數(shù)三個(gè)形函數(shù)Ni，Nj，Nm與與u的完全相同的完全相同mmjjiivNvNvNv1919 （二）形函數(shù)（二）形函數(shù) 單元內(nèi)任一點(diǎn)的位移矢量可記為單元內(nèi)任一點(diǎn)的位移矢量可記為mjimjimjimjievvvuuuNNNNNNvuu0000002020 （二）形函數(shù)（二）形函數(shù) 單元結(jié)點(diǎn)位移列陣單元結(jié)點(diǎn)位移列陣mmjjiimjievuvuvu2121 （二）形函數(shù)（二）形函數(shù) 單元形函數(shù)矩陣單元形函數(shù)矩陣 單元內(nèi)任一點(diǎn)的位移矢量可簡(jiǎn)寫為單元內(nèi)任一

8、點(diǎn)的位移矢量可簡(jiǎn)寫為emejeimjimjieNNNNNNNNNN000000mjiemejeieeeNNNNu2222 （三）形函數(shù)的性質(zhì)（三）形函數(shù)的性質(zhì) （1）形函數(shù)）形函數(shù)Ni在在i結(jié)點(diǎn)值為結(jié)點(diǎn)值為1，在其余結(jié)點(diǎn)，在其余結(jié)點(diǎn)為零；即為零；即 ikikyxNkki01,12,AycxbayxNiiiiiiii02,AycxbayxNjijiijji02,AycxbayxNmimiimmi2323 （三）形函數(shù)的性質(zhì)（三）形函數(shù)的性質(zhì) （2）在單元內(nèi)任一點(diǎn)三個(gè)形函數(shù)之和等）在單元內(nèi)任一點(diǎn)三個(gè)形函數(shù)之和等于于1，即，即Ni+Nj+Nm=1。 ycccxbbbaaaAycxbaycxbaycx

9、baAyxNyxNyxNmjimjimjimmmjjjiiimji2121,2424 （三）形函數(shù)的性質(zhì)（三）形函數(shù)的性質(zhì) 由形函數(shù)的性質(zhì)由形函數(shù)的性質(zhì)1和性質(zhì)和性質(zhì)2及與坐標(biāo)的線及與坐標(biāo)的線性關(guān)系性關(guān)系 在三角形在三角形ijm的形心有的形心有 在在ij及及im兩邊的中點(diǎn)有兩邊的中點(diǎn)有 在單元在單元ijm面積上積分有面積上積分有 在單元在單元ijm的的ij邊上積分有邊上積分有31,31,31mjiNNN21,21,21mjiNNN3,3,3AdxdyNAdxdyNAdxdyNeeemji2,2,2ijijmijijjijijildSNldSNldSN2525 （三）形函數(shù)的性質(zhì)（三）形函數(shù)的性

10、質(zhì) （3）三角形單元）三角形單元ijm在在ij邊上的形函數(shù)與邊上的形函數(shù)與第三個(gè)結(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)無(wú)關(guān)。第三個(gè)結(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)無(wú)關(guān)。2626Luvuxyyxxvyuyvxuxyyx00mmjjiiuNuNuNummjjiivNvNvNv （一）幾何矩陣（一）幾何矩陣Be 2727mmjjiimmjjiixymmjjiiymmjjiixvxyxNvxyxNvxyxNuyyxNuyyxNuyyxNxvyuvyyxNvyyxNvyyxNyvuxyxNuxyxNuxyxNxu, （一）幾何矩陣（一）幾何矩陣Be 2828eeeeLNLumjilAycxbayxNllll,2,mjilAcyNAbxNllll,22

11、（一）幾何矩陣（一）幾何矩陣Be 2929eemjiemejeimmjjiimmjjiimjimjieBBBBvuvuvubcbcbccccbbbA00000021emejeieBBBB mjilbccbABllllel,0021 （一）幾何矩陣（一）幾何矩陣Be 3030 （二）（二）Be的作用的作用 表示表示l點(diǎn)位移對(duì)單元應(yīng)變的貢獻(xiàn)率，一旦點(diǎn)位移對(duì)單元應(yīng)變的貢獻(xiàn)率，一旦單元確定，單元確定，Be也就確定了，此時(shí)單元內(nèi)也就確定了，此時(shí)單元內(nèi)的應(yīng)變僅依賴于結(jié)點(diǎn)位移。的應(yīng)變僅依賴于結(jié)點(diǎn)位移。 Be中所有元素與坐標(biāo)中所有元素與坐標(biāo)x，y無(wú)關(guān)，說(shuō)明單無(wú)關(guān)，說(shuō)明單元內(nèi)應(yīng)變是常數(shù)，且各點(diǎn)應(yīng)變均相同。元內(nèi)應(yīng)

12、變是常數(shù)，且各點(diǎn)應(yīng)變均相同。因此稱這種三結(jié)點(diǎn)單元為常應(yīng)變單元。因此稱這種三結(jié)點(diǎn)單元為常應(yīng)變單元。3131DeeeBeeeeeeSDBDemejeieSSSS （一）矩陣（一）矩陣Se 3232 （一）矩陣（一）矩陣Se 1、平面應(yīng)力問(wèn)題、平面應(yīng)力問(wèn)題2100010112EDmjilbccbABllllel,0021mjilbccbcbAESllllllel,21211223333 （一）矩陣（一）矩陣Se 2、平面應(yīng)變問(wèn)題、平面應(yīng)變問(wèn)題mjilbccbcbAESllllllel,1221122111121213434 （二）（二）Se的作用的作用 表示表示l點(diǎn)位移對(duì)單元應(yīng)力的貢獻(xiàn)率，一旦點(diǎn)位移

13、對(duì)單元應(yīng)力的貢獻(xiàn)率，一旦單元確定，單元確定，Se也就確定了，此時(shí)單元內(nèi)的也就確定了，此時(shí)單元內(nèi)的應(yīng)力僅依賴于結(jié)點(diǎn)位移。應(yīng)力僅依賴于結(jié)點(diǎn)位移。 Se中所有元素都是常數(shù)，中所有元素都是常數(shù)，e的三個(gè)分量也的三個(gè)分量也是常數(shù)，與坐標(biāo)是常數(shù)，與坐標(biāo)x，y無(wú)關(guān)，因此稱這種無(wú)關(guān)，因此稱這種三結(jié)點(diǎn)單元為常應(yīng)力單元。三結(jié)點(diǎn)單元為常應(yīng)力單元。3535 （一）單元結(jié)點(diǎn)力（一）單元結(jié)點(diǎn)力 單元在結(jié)點(diǎn)處受到的力單元在結(jié)點(diǎn)處受到的力 ，是單元和結(jié)點(diǎn)，是單元和結(jié)點(diǎn)相連接的內(nèi)力。單元的三個(gè)結(jié)點(diǎn)共有相連接的內(nèi)力。單元的三個(gè)結(jié)點(diǎn)共有6了了結(jié)點(diǎn)力分量，分別是結(jié)點(diǎn)力分量，分別是 TmymxjyjxiyixTmjieFFFFFFFF

14、FF3636 （一）單元結(jié)點(diǎn)力（一）單元結(jié)點(diǎn)力 單元結(jié)點(diǎn)虛位移單元結(jié)點(diǎn)虛位移 單元內(nèi)虛位移場(chǎng)單元內(nèi)虛位移場(chǎng)TmmjjiievuvuvueeeeNvuu3737 （一）單元結(jié)點(diǎn)力（一）單元結(jié)點(diǎn)力 單元內(nèi)的虛應(yīng)變單元內(nèi)的虛應(yīng)變 單元結(jié)點(diǎn)力在結(jié)點(diǎn)虛位移上的虛功單元結(jié)點(diǎn)力在結(jié)點(diǎn)虛位移上的虛功eeeeBLummymmxjjyjjxiiyiixeTevFuFvFuFvFuFF3838 （一）單元結(jié)點(diǎn)力（一）單元結(jié)點(diǎn)力 單元吸收的總虛變形功單元吸收的總虛變形功 由虛功原理得由虛功原理得eeeeeTTeeeTdDBBtdteeeeTedDBBtF3939 （一）單元結(jié)點(diǎn)力（一）單元結(jié)點(diǎn)力 由于由于B，D中元素

15、都是常數(shù)，式中積分中元素都是常數(shù)，式中積分 則得到單元結(jié)點(diǎn)平衡方程則得到單元結(jié)點(diǎn)平衡方程ADBBdDBBeeTeeTeeeeeeTeKDBtABF4040 （二）單元?jiǎng)偠染仃嚕ǘ﹩卧獎(jiǎng)偠染仃?單元?jiǎng)偠染仃噯卧獎(jiǎng)偠染仃嘖e 將矩陣將矩陣Ke以分塊形式表示以分塊形式表示eeTeeTeDBtABdDBBtKeemmemjemiejmejjejieimeijeiiemejeieTmeTjeTieKKKKKKKKKBBBDBBBtAK4141 （二）單元?jiǎng)偠染仃嚕ǘ﹩卧獎(jiǎng)偠染仃?將幾何矩陣和彈性矩陣代入可得每個(gè)子將幾何矩陣和彈性矩陣代入可得每個(gè)子塊的表達(dá)式塊的表達(dá)式mjisrbbcccbbcbccb

16、ccbbAtEDBtABKsrsrsrsrsrsrsrsreseTrers,21212121141111112114242 （1）Ke中的每個(gè)元素都是一個(gè)剛度系數(shù)，中的每個(gè)元素都是一個(gè)剛度系數(shù)，表示單位結(jié)點(diǎn)位移分量所引起的結(jié)點(diǎn)力分表示單位結(jié)點(diǎn)位移分量所引起的結(jié)點(diǎn)力分量。量。 （2）Ke是對(duì)稱矩陣，即是對(duì)稱矩陣，即Ke=KeT。 （3）Ke是奇異矩陣，即是奇異矩陣，即|Ke|=0。 （4）當(dāng)兩個(gè)單元大小、形狀、對(duì)應(yīng)點(diǎn)次序）當(dāng)兩個(gè)單元大小、形狀、對(duì)應(yīng)點(diǎn)次序相同且在整體坐標(biāo)系中方位相同，則它們相同且在整體坐標(biāo)系中方位相同，則它們的單元?jiǎng)偠染仃囈彩窍嗤摹５膯卧獎(jiǎng)偠染仃囈彩窍嗤摹?343 外力等效移

17、置外力等效移置 將作用在物體上的集中外力或分布外力用等將作用在物體上的集中外力或分布外力用等效的結(jié)點(diǎn)力替代效的結(jié)點(diǎn)力替代 等效原則等效原則 虛功相等，若單元上作用有不在結(jié)點(diǎn)上的集虛功相等，若單元上作用有不在結(jié)點(diǎn)上的集中力及分布力，則集中力和分布力在其作用中力及分布力，則集中力和分布力在其作用點(diǎn)的虛位移上的虛功等于其等效結(jié)點(diǎn)力在結(jié)點(diǎn)的虛位移上的虛功等于其等效結(jié)點(diǎn)力在結(jié)點(diǎn)虛位移上的虛功。點(diǎn)虛位移上的虛功。4444 體力體力f 單元單元e受體力受體力 體力的等效結(jié)點(diǎn)力體力的等效結(jié)點(diǎn)力Tyxfff TbmybmxbjybjxbiybixebFFFFFFF 4545 等效結(jié)點(diǎn)力在結(jié)點(diǎn)虛位移上的虛功應(yīng)當(dāng)?shù)?/p>

18、等效結(jié)點(diǎn)力在結(jié)點(diǎn)虛位移上的虛功應(yīng)當(dāng)?shù)扔隗w力在虛位移上的虛功于體力在虛位移上的虛功eefdxdyNtdxdyfvfutFeTTeyxebTeefdxdyNtFeTeb46460fTebtAF101010314747 邊界分布力邊界分布力f 單元單元e受分布面力，集度為受分布面力，集度為 等效結(jié)點(diǎn)力記為等效結(jié)點(diǎn)力記為Tyxfff TqmyqmxqjyqjxqiyqixeqFFFFFFF 4848 設(shè)分布外力設(shè)分布外力f作用在單元的作用在單元的ij邊上，由虛功邊上，由虛功相等原則相等原則ijTTijeyxeqTedsfNtdsfvfutFijeTeqdsfNtF4949yxnnnijijxlyyni

19、jjiylxxnijijijjilqxxlqyynqf0005050002/2/2/2/00200yxyxijijjiijjieqnnnntlqxxyyxxyytqF5151 單元任意點(diǎn)的集中力單元任意點(diǎn)的集中力 設(shè)設(shè)e單元任一點(diǎn)單元任一點(diǎn)c處受集中力處受集中力F 集中力的等效結(jié)點(diǎn)力集中力的等效結(jié)點(diǎn)力 TyxFFF TcmycmxcjycjxciycixecFFFFFFF 5252 根據(jù)等效結(jié)點(diǎn)力在結(jié)點(diǎn)根據(jù)等效結(jié)點(diǎn)力在結(jié)點(diǎn) 虛位移上的虛位移上的虛功等于集中力在虛位移上所做的虛功虛功等于集中力在虛位移上所做的虛功 FNFvFuFTecTeycxcecTeTccvuTymcxmcyjcxjcyic

20、xiceTccFNFNFNFNFNFNFNF5353 若若e單元受集中力、體積力和分布力的共同單元受集中力、體積力和分布力的共同作用，在線彈性范圍內(nèi)，可將上述三種情作用，在線彈性范圍內(nèi)，可將上述三種情況疊加況疊加 ijeTeTTecTmymxjyjxiyixedsfNtfdxdyNtFNFFFFFFFe5454 矩形薄平板，一端固支，矩形薄平板，一端固支，一端受集中力。劃分為兩一端受集中力。劃分為兩個(gè)三角形單元，共個(gè)三角形單元，共4個(gè)結(jié)點(diǎn)。個(gè)結(jié)點(diǎn)。第一個(gè)單元結(jié)點(diǎn)排序第一個(gè)單元結(jié)點(diǎn)排序1，2，3，第二個(gè)單元結(jié)點(diǎn)排序，第二個(gè)單元結(jié)點(diǎn)排序3，4，1。 eeeKF5555 對(duì)于對(duì)于單元，由于單元，由于1，2結(jié)點(diǎn)為全位移約束，結(jié)點(diǎn)為全位移約束，則則u1=0，v1=0，u2=0，v2=0，有，有 3332110000vu1312111FFFF56561331321311231221211131121111KKKKKKKKKK321133132131123122121113112111131211KKKKKKKKKFFF5757 同理對(duì)于同理對(duì)于單元單元 0044332vuvu2124232FFFF58582112142132412442432312342332KKKKKKKKKK143211214213241244243231234233212423KKKKKKKKKFFF5959Y