新教材高中數(shù)學(xué)2.3(第1課時(shí))一元二次不等式及其解法講義新人教A版必修第一冊(cè)

1、新教材高中數(shù)學(xué)(第1課時(shí))一元二次不等式及其解法講義新人教A版必修第一冊(cè)第1課時(shí)一元二次不等式及其解法學(xué) 習(xí) 目 標(biāo)核 心 素 養(yǎng)1.掌握一元二次不等式的解法(重點(diǎn)).2.能根據(jù)“三個(gè)二次”之間的關(guān)系解決簡(jiǎn)單問(wèn)題(難點(diǎn)).通過(guò)一元二次不等式的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).1一元二次不等式的概念只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式，稱為一元二次不等式2一元二次不等式的一般形式(1)ax2bxc0(a0)(2)ax2bxc0(a0)(3)ax2bxc0(a0)(4)ax2bxc0(a0)思考1：不等式x2y2>0是一元二次不等式嗎？提示：此不等式含有兩個(gè)變量，根據(jù)一元二次不等式的定義

2、，可知不是一元二次不等式3一元二次不等式的解與解集使一元二次不等式成立的未知數(shù)的值，叫做這個(gè)一元二次不等式的解，其解的集合，稱為這個(gè)一元二次不等式的解集思考2：類比“方程x21的解集是1，1，解集中的每一個(gè)元素均可使等式成立”不等式x2>1的解集及其含義是什么？提示：不等式x2>1的解集為x|x<1或x>1，該集合中每一個(gè)元素都是不等式的解，即不等式的每一個(gè)解均使不等式成立4三個(gè)“二次”的關(guān)系設(shè)yax2bxc(a0)，方程ax2bxc0的判別式b24ac判別式000解不等式y(tǒng)0或y0的步驟求方程y0的解有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1，x2(x1x2)有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根x1x2

3、沒(méi)有實(shí)數(shù)根畫(huà)函數(shù)yax2bxc(a0)的圖象得等的集不式解y0x|xx1_或xx2Ry0x|x1xx2思考3：若一元二次不等式ax2x1>0的解集為R，則實(shí)數(shù)a應(yīng)滿足什么條件？提示：結(jié)合二次函數(shù)圖象可知，若一元二次不等式ax2x1>0的解集為R，則解得a，所以不存在a使不等式ax2x1>0的解集為R.1不等式35x2x20的解集為()DRC35x2x202x25x30(x3)(2x1)0x3或x.2不等式3x22x10的解集為()C DRD因?yàn)?2)24×3×141280，所以不等式3x22x10的解集為R.3不等式x22x5>2x的解集是_x|x&

4、gt;5或x<1由x22x5>2x，得x24x5>0，因?yàn)閤24x50的兩根為1,5，故x24x5>0的解集為x|x<1或x>54不等式3x25x4>0的解集為_(kāi)原不等式變形為3x25x4<0.因?yàn)?5)24×3×423<0，所以3x25x40無(wú)解由函數(shù)y3x25x4的圖象可知，3x25x4<0的解集為.一元二次不等式的解法【例1】解下列不等式：(1)2x27x3>0；(2)4x218x0；(3)2x23x2<0.解(1)因?yàn)?24×2×325>0，所以方程2x27x30有兩個(gè)

5、不等實(shí)根x13，x2.又二次函數(shù)y2x27x3的圖象開(kāi)口向上，所以原不等式的解集為.(2)原不等式可化為20，所以原不等式的解集為.(3)原不等式可化為2x23x2>0，因?yàn)?4×2×27<0，所以方程2x23x20無(wú)實(shí)根，又二次函數(shù)y2x23x2的圖象開(kāi)口向上，所以原不等式的解集為R.解不含參數(shù)的一元二次不等式的一般步驟(1)化標(biāo)準(zhǔn).通過(guò)對(duì)不等式的變形，使不等式右側(cè)為0，使二次項(xiàng)系數(shù)為正.(2)判別式.對(duì)不等式左側(cè)因式分解，若不易分解，則計(jì)算對(duì)應(yīng)方程的判別式.(3)求實(shí)根.求出相應(yīng)的一元二次方程的根或根據(jù)判別式說(shuō)明方程有無(wú)實(shí)根.(4)畫(huà)草圖.根據(jù)一元二次方程根

6、的情況畫(huà)出對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的草圖.(5)寫解集.根據(jù)圖象寫出不等式的解集.1解下列不等式(1)2x23x2>0；(2)x24x4>0；(3)x22x3<0；(4)3x25x2>0.解(1)>0，方程2x23x20的根是x1，x22，不等式2x23x2>0的解集為.(2)0，方程x24x40的根是x1x22，不等式x24x4>0的解集為.(3)原不等式可化為x22x3>0，由于<0，方程x22x30無(wú)解，不等式x22x3<0的解集為R.(4)原不等式可化為3x25x2<0，由于>0，方程3x25x20的兩根為x1，x21，不等

7、式3x25x2>0的解集為.含參數(shù)的一元二次不等式的解法【例2】解關(guān)于x的不等式ax2(a1)x1<0.思路點(diǎn)撥對(duì)于二次項(xiàng)的系數(shù)a是否分a0，a<0，a>0三類進(jìn)行討論？當(dāng)a0時(shí)，是否還要比較兩根的大小？解當(dāng)a0時(shí)，原不等式可化為x>1.當(dāng)a0時(shí)，原不等式可化為(ax1)(x1)<0.當(dāng)a<0時(shí)，不等式可化為(x1)>0，<1，x<或x>1.當(dāng)a>0時(shí)，原不等式可化為(x1)<0.若<1，即a>1，則<x<1；若1，即a1，則x；若>1，即0<a<1，則1<x<.

8、綜上所述，當(dāng)a<0時(shí)，原不等式的解集為；當(dāng)a0時(shí)，原不等式的解集為x|x>1；當(dāng)0<a<1時(shí)，原不等式的解集為；當(dāng)a1時(shí)，原不等式的解集為；當(dāng)a>1時(shí)，原不等式的解集為.解含參數(shù)的一元二次不等式的一般步驟提醒：對(duì)參數(shù)分類討論的每一種情況是相互獨(dú)立的一元二次不等式的解集，不能合并2解關(guān)于x的不等式：ax222xax(a<0)解原不等式移項(xiàng)得ax2(a2)x20，化簡(jiǎn)為(x1)(ax2)0.a<0，(x1)0.當(dāng)2<a<0時(shí)，x1；當(dāng)a2時(shí)，x1；當(dāng)a<2時(shí)，1x.綜上所述，當(dāng)2<a<0時(shí)，解集為；當(dāng)a2時(shí)，解集為x|x1；當(dāng)

9、a<2時(shí)，解集為.三個(gè)“二次”的關(guān)系探究問(wèn)題1利用函數(shù)yx22x3的圖象說(shuō)明當(dāng)y>0、y<0、y0時(shí)x的取值集合分別是什么這說(shuō)明二次函數(shù)與二次方程、二次不等式有何關(guān)系提示：yx22x3的圖象如圖所示函數(shù)yx22x3的值滿足y>0時(shí)自變量x組成的集合，亦即二次函數(shù)yx22x3的圖象在x軸上方時(shí)點(diǎn)的橫坐標(biāo)x的集合x(chóng)|x<1或x>3；同理，滿足y<0時(shí)x的取值集合為x|1<x<3，滿足y0時(shí)x的取值集合，亦即yx22x3圖象與x軸交點(diǎn)橫坐標(biāo)組成的集合1,3這說(shuō)明：方程ax2bxc0(a0)和不等式ax2bxc>0(a>0)或ax2bx

10、c<0(a>0)是函數(shù)yax2bxc(a0)的一種特殊情況，它們之間是一種包含關(guān)系，也就是當(dāng)y0時(shí)，函數(shù)yax2bxc(a0)就轉(zhuǎn)化為方程，當(dāng)y>0或y<0時(shí)，就轉(zhuǎn)化為一元二次不等式2方程x22x30與不等式x22x3>0的解集分別是什么觀察結(jié)果你發(fā)現(xiàn)什么問(wèn)題這又說(shuō)明什么提示：方程x22x30的解集為1,3不等式x22x3>0的解集為x|x<1或x>3，觀察發(fā)現(xiàn)不等式x22x3>0解集的端點(diǎn)值恰好是方程x22x30的根3設(shè)一元二次不等式ax2bxc>0(a>0)和ax2bxc<0(a>0)的解集分別為x|x<x

11、1或x>x2，x|x1<x<x2(x1<x2)，則x1x2，x1x2為何值？提示：一元二次不等式ax2bxc>0(a>0)和ax2bxc<0(a>0)的解集分別為x|x<x1或x>x2，x|x1<x<x2(x1<x2)，則即不等式的解集的端點(diǎn)值是相應(yīng)方程的根【例3】已知關(guān)于x的不等式ax2bxc>0的解集為x|2<x<3，求關(guān)于x的不等式cx2bxa<0的解集思路點(diǎn)撥解法一：由不等式ax2bxc>0的解集為x|2<x<3可知，a<0，且2和3是方程ax2bxc0的兩根，

12、由根與系數(shù)的關(guān)系可知5，6.由a<0知c<0，故不等式cx2bxa<0，即x2x>0，即x2x>0，解得x<或x>，所以不等式cx2bxa<0的解集為.法二：由不等式ax2bxc>0的解集為x|2<x<3可知，a<0，且2和3是方程ax2bxc0的兩根，所以ax2bxca(x2)(x3)ax25ax6ab5a，c6a，故不等式cx2bxa<0，即6ax25axa<06a<0，故原不等式的解集為.1(變結(jié)論)本例中的條件不變，求關(guān)于x的不等式cx2bxa>0的解集解由根與系數(shù)的關(guān)系知5，6且a<

13、0.c<0，故不等式cx2bxa>0，即x2x<0，即x2x<0.解之得.2(變條件)若將本例中的條件“關(guān)于x的不等式ax2bxc>0的解集為x|2<x<3變?yōu)椤瓣P(guān)于x的不等式ax2bxc0的解集是.求不等式cx2bxa<0的解集解法一：由ax2bxc0的解集為知a0.又×20，則c0.又，2為方程ax2bxc0的兩個(gè)根，.又，ba，ca，不等式變?yōu)閤2xa0，即2ax25ax3a0.又a0，2x25x30，所求不等式的解集為.法二：由已知得a0 且2，×2知c0，設(shè)方程cx2bxa0的兩根分別為x1，x2，則x1x2，x1&

14、#183;x2，其中，x13，x2.不等式cx2bxa0的解集為.已知以a，b，c為參數(shù)的不等式(如ax2bxc0)的解集，求解其他不等式的解集時(shí)，一般遵循：(1)根據(jù)解集來(lái)判斷二次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)；(2)根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系把b，c用a表示出來(lái)并代入所要解的不等式；(3)約去 a，將不等式化為具體的一元二次不等式求解.1解一元二次不等式的常見(jiàn)方法(1)圖象法：由一元二次方程、一元二次不等式及二次函數(shù)的關(guān)系，可以得到解一元二次不等式的一般步驟：化不等式為標(biāo)準(zhǔn)形式：ax2bxc0(a0)或ax2bxc0(a0)；求方程ax2bxc0(a0)的根，并畫(huà)出對(duì)應(yīng)函數(shù)yax2bxc圖象的簡(jiǎn)圖；由圖象得出不等式

15、的解集(2)代數(shù)法：將所給不等式化為一般式后借助分解因式或配方求解當(dāng)m<n時(shí)，若(xm)(xn)0，則可得x|xn或xm；若(xm)(xn)0，則可得x|mxn有口訣如下：大于取兩邊，小于取中間2含參數(shù)的一元二次型的不等式在解含參數(shù)的一元二次型的不等式時(shí)，往往要對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論，為了做到分類“不重不漏”，討論需從如下三個(gè)方面進(jìn)行考慮(1)關(guān)于不等式類型的討論：二次項(xiàng)系數(shù)a0，a0，a0.(2)關(guān)于不等式對(duì)應(yīng)的方程根的討論：兩根(>0)，一根(0)，無(wú)根(<0)(3)關(guān)于不等式對(duì)應(yīng)的方程根的大小的討論：x1x2，x1x2，x1x2.3由一元二次不等式的解集可以逆推二次函數(shù)的開(kāi)

16、口及與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo).1思考辨析(1)mx25x<0是一元二次不等式()(2)若a>0，則一元二次不等式ax21>0無(wú)解()(3)若一元二次方程ax2bxc0的兩根為x1，x2(x1<x2)，則一元二次不等式ax2bxc<0的解集為x|x1<x<x2()(4)不等式x22x3>0的解集為R.()提示(1)錯(cuò)誤當(dāng)m0時(shí)，是一元一次不等式；當(dāng)m0時(shí)，是一元二次不等式(2)錯(cuò)誤因?yàn)閍>0，所以不等式ax21>0恒成立，即原不等式的解集為R.(3)錯(cuò)誤當(dāng)a>0時(shí)，ax2bxc<0的解集為x|x1<x<x2，否則不成立(4)正確因?yàn)?2)212<0，所以不等式x22x3>0的解集為R.答案(1)×(2)×(3)×(4)2設(shè)a<1，則關(guān)于x的不等式a(xa)<0的解集為_(kāi)因?yàn)閍<1，所以a(xa)·<0(xa)·>0.又a<1，所以>a，所以x>或x<a.3已知關(guān)于x的不等式ax2bxc<0的解集是，則ax2bxc>0的解集為_(kāi)由題意，2，是方程ax2bx