新教材高中數(shù)學(xué)2.3(第1課時(shí))一元二次不等式及其解法講義新人教A版必修第一冊(cè)_第1頁(yè)
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1、新教材高中數(shù)學(xué)(第1課時(shí))一元二次不等式及其解法講義新人教A版必修第一冊(cè)第1課時(shí)一元二次不等式及其解法學(xué) 習(xí) 目 標(biāo)核 心 素 養(yǎng)1.掌握一元二次不等式的解法(重點(diǎn)).2.能根據(jù)“三個(gè)二次”之間的關(guān)系解決簡(jiǎn)單問(wèn)題(難點(diǎn)).通過(guò)一元二次不等式的學(xué)習(xí),培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).1一元二次不等式的概念只含有一個(gè)未知數(shù),并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式,稱為一元二次不等式2一元二次不等式的一般形式(1)ax2bxc0(a0)(2)ax2bxc0(a0)(3)ax2bxc0(a0)(4)ax2bxc0(a0)思考1:不等式x2y2>0是一元二次不等式嗎?提示:此不等式含有兩個(gè)變量,根據(jù)一元二次不等式的定義

2、,可知不是一元二次不等式3一元二次不等式的解與解集使一元二次不等式成立的未知數(shù)的值,叫做這個(gè)一元二次不等式的解,其解的集合,稱為這個(gè)一元二次不等式的解集思考2:類比“方程x21的解集是1,1,解集中的每一個(gè)元素均可使等式成立”不等式x2>1的解集及其含義是什么?提示:不等式x2>1的解集為x|x<1或x>1,該集合中每一個(gè)元素都是不等式的解,即不等式的每一個(gè)解均使不等式成立4三個(gè)“二次”的關(guān)系設(shè)yax2bxc(a0),方程ax2bxc0的判別式b24ac判別式000解不等式y(tǒng)0或y0的步驟求方程y0的解有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1,x2(x1x2)有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根x1x2

3、沒(méi)有實(shí)數(shù)根畫(huà)函數(shù)yax2bxc(a0)的圖象得等的集不式解y0x|xx1_或xx2Ry0x|x1xx2思考3:若一元二次不等式ax2x1>0的解集為R,則實(shí)數(shù)a應(yīng)滿足什么條件?提示:結(jié)合二次函數(shù)圖象可知,若一元二次不等式ax2x1>0的解集為R,則解得a,所以不存在a使不等式ax2x1>0的解集為R.1不等式35x2x20的解集為()DRC35x2x202x25x30(x3)(2x1)0x3或x.2不等式3x22x10的解集為()C DRD因?yàn)?2)24×3×141280,所以不等式3x22x10的解集為R.3不等式x22x5>2x的解集是_x|x&

4、gt;5或x<1由x22x5>2x,得x24x5>0,因?yàn)閤24x50的兩根為1,5,故x24x5>0的解集為x|x<1或x>54不等式3x25x4>0的解集為_(kāi)原不等式變形為3x25x4<0.因?yàn)?5)24×3×423<0,所以3x25x40無(wú)解由函數(shù)y3x25x4的圖象可知,3x25x4<0的解集為.一元二次不等式的解法【例1】解下列不等式:(1)2x27x3>0;(2)4x218x0;(3)2x23x2<0.解(1)因?yàn)?24×2×325>0,所以方程2x27x30有兩個(gè)

5、不等實(shí)根x13,x2.又二次函數(shù)y2x27x3的圖象開(kāi)口向上,所以原不等式的解集為.(2)原不等式可化為20,所以原不等式的解集為.(3)原不等式可化為2x23x2>0,因?yàn)?4×2×27<0,所以方程2x23x20無(wú)實(shí)根,又二次函數(shù)y2x23x2的圖象開(kāi)口向上,所以原不等式的解集為R.解不含參數(shù)的一元二次不等式的一般步驟(1)化標(biāo)準(zhǔn).通過(guò)對(duì)不等式的變形,使不等式右側(cè)為0,使二次項(xiàng)系數(shù)為正.(2)判別式.對(duì)不等式左側(cè)因式分解,若不易分解,則計(jì)算對(duì)應(yīng)方程的判別式.(3)求實(shí)根.求出相應(yīng)的一元二次方程的根或根據(jù)判別式說(shuō)明方程有無(wú)實(shí)根.(4)畫(huà)草圖.根據(jù)一元二次方程根

6、的情況畫(huà)出對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的草圖.(5)寫解集.根據(jù)圖象寫出不等式的解集.1解下列不等式(1)2x23x2>0;(2)x24x4>0;(3)x22x3<0;(4)3x25x2>0.解(1)>0,方程2x23x20的根是x1,x22,不等式2x23x2>0的解集為.(2)0,方程x24x40的根是x1x22,不等式x24x4>0的解集為.(3)原不等式可化為x22x3>0,由于<0,方程x22x30無(wú)解,不等式x22x3<0的解集為R.(4)原不等式可化為3x25x2<0,由于>0,方程3x25x20的兩根為x1,x21,不等

7、式3x25x2>0的解集為.含參數(shù)的一元二次不等式的解法【例2】解關(guān)于x的不等式ax2(a1)x1<0.思路點(diǎn)撥對(duì)于二次項(xiàng)的系數(shù)a是否分a0,a<0,a>0三類進(jìn)行討論?當(dāng)a0時(shí),是否還要比較兩根的大小?解當(dāng)a0時(shí),原不等式可化為x>1.當(dāng)a0時(shí),原不等式可化為(ax1)(x1)<0.當(dāng)a<0時(shí),不等式可化為(x1)>0,<1,x<或x>1.當(dāng)a>0時(shí),原不等式可化為(x1)<0.若<1,即a>1,則<x<1;若1,即a1,則x;若>1,即0<a<1,則1<x<.

8、綜上所述,當(dāng)a<0時(shí),原不等式的解集為;當(dāng)a0時(shí),原不等式的解集為x|x>1;當(dāng)0<a<1時(shí),原不等式的解集為;當(dāng)a1時(shí),原不等式的解集為;當(dāng)a>1時(shí),原不等式的解集為.解含參數(shù)的一元二次不等式的一般步驟提醒:對(duì)參數(shù)分類討論的每一種情況是相互獨(dú)立的一元二次不等式的解集,不能合并2解關(guān)于x的不等式:ax222xax(a<0)解原不等式移項(xiàng)得ax2(a2)x20,化簡(jiǎn)為(x1)(ax2)0.a<0,(x1)0.當(dāng)2<a<0時(shí),x1;當(dāng)a2時(shí),x1;當(dāng)a<2時(shí),1x.綜上所述,當(dāng)2<a<0時(shí),解集為;當(dāng)a2時(shí),解集為x|x1;當(dāng)

9、a<2時(shí),解集為.三個(gè)“二次”的關(guān)系探究問(wèn)題1利用函數(shù)yx22x3的圖象說(shuō)明當(dāng)y>0、y<0、y0時(shí)x的取值集合分別是什么這說(shuō)明二次函數(shù)與二次方程、二次不等式有何關(guān)系提示:yx22x3的圖象如圖所示函數(shù)yx22x3的值滿足y>0時(shí)自變量x組成的集合,亦即二次函數(shù)yx22x3的圖象在x軸上方時(shí)點(diǎn)的橫坐標(biāo)x的集合x(chóng)|x<1或x>3;同理,滿足y<0時(shí)x的取值集合為x|1<x<3,滿足y0時(shí)x的取值集合,亦即yx22x3圖象與x軸交點(diǎn)橫坐標(biāo)組成的集合1,3這說(shuō)明:方程ax2bxc0(a0)和不等式ax2bxc>0(a>0)或ax2bx

10、c<0(a>0)是函數(shù)yax2bxc(a0)的一種特殊情況,它們之間是一種包含關(guān)系,也就是當(dāng)y0時(shí),函數(shù)yax2bxc(a0)就轉(zhuǎn)化為方程,當(dāng)y>0或y<0時(shí),就轉(zhuǎn)化為一元二次不等式2方程x22x30與不等式x22x3>0的解集分別是什么觀察結(jié)果你發(fā)現(xiàn)什么問(wèn)題這又說(shuō)明什么提示:方程x22x30的解集為1,3不等式x22x3>0的解集為x|x<1或x>3,觀察發(fā)現(xiàn)不等式x22x3>0解集的端點(diǎn)值恰好是方程x22x30的根3設(shè)一元二次不等式ax2bxc>0(a>0)和ax2bxc<0(a>0)的解集分別為x|x<x

11、1或x>x2,x|x1<x<x2(x1<x2),則x1x2,x1x2為何值?提示:一元二次不等式ax2bxc>0(a>0)和ax2bxc<0(a>0)的解集分別為x|x<x1或x>x2,x|x1<x<x2(x1<x2),則即不等式的解集的端點(diǎn)值是相應(yīng)方程的根【例3】已知關(guān)于x的不等式ax2bxc>0的解集為x|2<x<3,求關(guān)于x的不等式cx2bxa<0的解集思路點(diǎn)撥解法一:由不等式ax2bxc>0的解集為x|2<x<3可知,a<0,且2和3是方程ax2bxc0的兩根,

12、由根與系數(shù)的關(guān)系可知5,6.由a<0知c<0,故不等式cx2bxa<0,即x2x>0,即x2x>0,解得x<或x>,所以不等式cx2bxa<0的解集為.法二:由不等式ax2bxc>0的解集為x|2<x<3可知,a<0,且2和3是方程ax2bxc0的兩根,所以ax2bxca(x2)(x3)ax25ax6ab5a,c6a,故不等式cx2bxa<0,即6ax25axa<06a<0,故原不等式的解集為.1(變結(jié)論)本例中的條件不變,求關(guān)于x的不等式cx2bxa>0的解集解由根與系數(shù)的關(guān)系知5,6且a<

13、0.c<0,故不等式cx2bxa>0,即x2x<0,即x2x<0.解之得.2(變條件)若將本例中的條件“關(guān)于x的不等式ax2bxc>0的解集為x|2<x<3變?yōu)椤瓣P(guān)于x的不等式ax2bxc0的解集是.求不等式cx2bxa<0的解集解法一:由ax2bxc0的解集為知a0.又×20,則c0.又,2為方程ax2bxc0的兩個(gè)根,.又,ba,ca,不等式變?yōu)閤2xa0,即2ax25ax3a0.又a0,2x25x30,所求不等式的解集為.法二:由已知得a0 且2,×2知c0,設(shè)方程cx2bxa0的兩根分別為x1,x2,則x1x2,x1&

14、#183;x2,其中,x13,x2.不等式cx2bxa0的解集為.已知以a,b,c為參數(shù)的不等式(如ax2bxc0)的解集,求解其他不等式的解集時(shí),一般遵循:(1)根據(jù)解集來(lái)判斷二次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào);(2)根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系把b,c用a表示出來(lái)并代入所要解的不等式;(3)約去 a,將不等式化為具體的一元二次不等式求解.1解一元二次不等式的常見(jiàn)方法(1)圖象法:由一元二次方程、一元二次不等式及二次函數(shù)的關(guān)系,可以得到解一元二次不等式的一般步驟:化不等式為標(biāo)準(zhǔn)形式:ax2bxc0(a0)或ax2bxc0(a0);求方程ax2bxc0(a0)的根,并畫(huà)出對(duì)應(yīng)函數(shù)yax2bxc圖象的簡(jiǎn)圖;由圖象得出不等式

15、的解集(2)代數(shù)法:將所給不等式化為一般式后借助分解因式或配方求解當(dāng)m<n時(shí),若(xm)(xn)0,則可得x|xn或xm;若(xm)(xn)0,則可得x|mxn有口訣如下:大于取兩邊,小于取中間2含參數(shù)的一元二次型的不等式在解含參數(shù)的一元二次型的不等式時(shí),往往要對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論,為了做到分類“不重不漏”,討論需從如下三個(gè)方面進(jìn)行考慮(1)關(guān)于不等式類型的討論:二次項(xiàng)系數(shù)a0,a0,a0.(2)關(guān)于不等式對(duì)應(yīng)的方程根的討論:兩根(>0),一根(0),無(wú)根(<0)(3)關(guān)于不等式對(duì)應(yīng)的方程根的大小的討論:x1x2,x1x2,x1x2.3由一元二次不等式的解集可以逆推二次函數(shù)的開(kāi)

16、口及與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo).1思考辨析(1)mx25x<0是一元二次不等式()(2)若a>0,則一元二次不等式ax21>0無(wú)解()(3)若一元二次方程ax2bxc0的兩根為x1,x2(x1<x2),則一元二次不等式ax2bxc<0的解集為x|x1<x<x2()(4)不等式x22x3>0的解集為R.()提示(1)錯(cuò)誤當(dāng)m0時(shí),是一元一次不等式;當(dāng)m0時(shí),是一元二次不等式(2)錯(cuò)誤因?yàn)閍>0,所以不等式ax21>0恒成立,即原不等式的解集為R.(3)錯(cuò)誤當(dāng)a>0時(shí),ax2bxc<0的解集為x|x1<x<x2,否則不成立(4)正確因?yàn)?2)212<0,所以不等式x22x3>0的解集為R.答案(1)×(2)×(3)×(4)2設(shè)a<1,則關(guān)于x的不等式a(xa)<0的解集為_(kāi)因?yàn)閍<1,所以a(xa)·<0(xa)·>0.又a<1,所以>a,所以x>或x<a.3已知關(guān)于x的不等式ax2bxc<0的解集是,則ax2bxc>0的解集為_(kāi)由題意,2,是方程ax2bx

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