非線性控制理論(第3章)3.1-3.2

1、非線性控制理論2第二章第二章 相平面分析相平面分析 一種用于研究二階系統(tǒng)的圖形方法。一種用于研究二階系統(tǒng)的圖形方法。 在二維平面內(nèi)在二維平面內(nèi)(二維坐標系二維坐標系)，圖示出各種初始條件下系，圖示出各種初始條件下系統(tǒng)的運行軌跡，根據(jù)該軌跡分布圖檢查系統(tǒng)的某些特征。統(tǒng)的運行軌跡，根據(jù)該軌跡分布圖檢查系統(tǒng)的某些特征。 可得到諸如系統(tǒng)穩(wěn)定性判定等一些運動信息?？傻玫街T如系統(tǒng)穩(wěn)定性判定等一些運動信息。 高階系統(tǒng)在計算和幾何表示上都比較復(fù)雜，因此本方法高階系統(tǒng)在計算和幾何表示上都比較復(fù)雜，因此本方法局限于二階、一階系統(tǒng)。局限于二階、一階系統(tǒng)。 控制理論基礎(chǔ)中已有學(xué)習(xí)，略?？刂评碚摶A(chǔ)中已有學(xué)習(xí)，略。3

2、控制系統(tǒng)的首要性質(zhì)是它的穩(wěn)定性，因為一個不穩(wěn)定控制系統(tǒng)的首要性質(zhì)是它的穩(wěn)定性，因為一個不穩(wěn)定的系統(tǒng)一般是沒有什么用處的，往往還有潛在的危險。的系統(tǒng)一般是沒有什么用處的，往往還有潛在的危險。 定性地說，如果一個系統(tǒng)在靠近其期望工作點的某處定性地說，如果一個系統(tǒng)在靠近其期望工作點的某處開始運動，且該系統(tǒng)以后將永遠保持在此點附近運行，那開始運動，且該系統(tǒng)以后將永遠保持在此點附近運行，那么就把該系統(tǒng)描述為穩(wěn)定的。單擺的兩個平衡點么就把該系統(tǒng)描述為穩(wěn)定的。單擺的兩個平衡點(頂端和頂端和底端底端)常常用來說明不同穩(wěn)定性的特性。底端是一個穩(wěn)定常常用來說明不同穩(wěn)定性的特性。底端是一個穩(wěn)定的平衡點，而頂端是一個

3、不穩(wěn)定的平衡點。的平衡點，而頂端是一個不穩(wěn)定的平衡點。 第三章第三章 李亞普諾夫理論基礎(chǔ)李亞普諾夫理論基礎(chǔ)4 對于非線性、時變、多輸入多輸出控制系統(tǒng)穩(wěn)定性對于非線性、時變、多輸入多輸出控制系統(tǒng)穩(wěn)定性問題的研究，經(jīng)典控制理論無能為力?？衫枚砹_斯科問題的研究，經(jīng)典控制理論無能為力。可利用俄羅斯科學(xué)家李亞普諾夫（學(xué)家李亞普諾夫（A. M. Lyapunov）的穩(wěn)定性理論來分）的穩(wěn)定性理論來分析和研究。析和研究。 A. M. Lyapunov于于1892年出版專著年出版專著運動系統(tǒng)穩(wěn)定運動系統(tǒng)穩(wěn)定性的一般問題性的一般問題，使得，使得Lyapunov穩(wěn)定性理論已經(jīng)成為控穩(wěn)定性理論已經(jīng)成為控制理論的最重

4、要的幾個柱石之一。制理論的最重要的幾個柱石之一。5 研究非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性的有力工具是李雅普諾夫理研究非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性的有力工具是李雅普諾夫理論，它是論，它是19世紀俄國科學(xué)家李雅普諾夫在他的世紀俄國科學(xué)家李雅普諾夫在他的動態(tài)穩(wěn)動態(tài)穩(wěn)定性的一般問題定性的一般問題中提出來的，包括兩種穩(wěn)定性分析方中提出來的，包括兩種穩(wěn)定性分析方法法(即所謂線性化方法和直接法即所謂線性化方法和直接法)，并于，并于1892年首次發(fā)表。年首次發(fā)表。 今天，李雅普諾夫的線性化方法已成為表示線性控今天，李雅普諾夫的線性化方法已成為表示線性控制的理論依據(jù)。制的理論依據(jù)。而李雅普諾夫直接方法已成為非線性系統(tǒng)分析和設(shè)計的而李雅普諾

5、夫直接方法已成為非線性系統(tǒng)分析和設(shè)計的最重要的工具，線性化方法和直接方法一起構(gòu)成了所謂最重要的工具，線性化方法和直接方法一起構(gòu)成了所謂的李雅普諾夫穩(wěn)定性理論。的李雅普諾夫穩(wěn)定性理論。 6 間接法間接法(或線性化法或線性化法)：在平衡點附近，一個非線性系：在平衡點附近，一個非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定特性基本上與其線性化逼近的穩(wěn)定特性相同，這統(tǒng)的穩(wěn)定特性基本上與其線性化逼近的穩(wěn)定特性相同，這種方法成為把線性控制用于很多固有非線性的物理系統(tǒng)的種方法成為把線性控制用于很多固有非線性的物理系統(tǒng)的理論依據(jù)。理論依據(jù)。 7 直接法直接法(李亞普諾夫方法李亞普諾夫方法)：從機械系統(tǒng)的相關(guān)能量概：從機械系統(tǒng)的相關(guān)能量概念

6、歸納出來，即如果一個機械系統(tǒng)運動的總機械能一直隨念歸納出來，即如果一個機械系統(tǒng)運動的總機械能一直隨著時間減少，那么該運動就是穩(wěn)定的。用直接法分析非線著時間減少，那么該運動就是穩(wěn)定的。用直接法分析非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性時，其想法在于為該系統(tǒng)構(gòu)造一個標量類性系統(tǒng)的穩(wěn)定性時，其想法在于為該系統(tǒng)構(gòu)造一個標量類能量函數(shù)能量函數(shù)(李亞普諾夫函數(shù)李亞普諾夫函數(shù))，觀察此函數(shù)是否下降。此方，觀察此函數(shù)是否下降。此方法具有普遍性，適用于任何系統(tǒng)，如時變的、定常的、線法具有普遍性，適用于任何系統(tǒng)，如時變的、定常的、線性的、非線性的、有限維的、無限維的等。局限性：往往性的、非線性的、有限維的、無限維的等。局限性：往往很

7、難為給定系統(tǒng)求得一個合適的李亞普諾夫函數(shù)。很難為給定系統(tǒng)求得一個合適的李亞普諾夫函數(shù)。 不對微分方程求解而直接研究系統(tǒng)的性能。不對微分方程求解而直接研究系統(tǒng)的性能。8 除了穩(wěn)定性分析以外，李亞普諾夫直接法的一個重除了穩(wěn)定性分析以外，李亞普諾夫直接法的一個重要應(yīng)用是要應(yīng)用是非線性控制器的設(shè)計非線性控制器的設(shè)計，其想法是設(shè)法建立系統(tǒng)，其想法是設(shè)法建立系統(tǒng)狀態(tài)的某個標量正定函數(shù)，然后選擇一個控制律使得該狀態(tài)的某個標量正定函數(shù)，然后選擇一個控制律使得該函數(shù)下降。這樣設(shè)計出的非線性控制系統(tǒng)將會確保穩(wěn)定。函數(shù)下降。這樣設(shè)計出的非線性控制系統(tǒng)將會確保穩(wěn)定。 93.1 3.1 幾個基本概念的描述幾個基本概念的

8、描述n3.1.1非線性系統(tǒng)非線性系統(tǒng) 一個非線性系統(tǒng)通常可用下列形式的一組非線性微分方程來表示： (3.1.1)其中 為 維非線性矢量函數(shù)， 為 維狀態(tài)向量。狀態(tài)的個數(shù) 叫做系統(tǒng)的階。方程的一個解 通常對應(yīng)于狀態(tài)空間內(nèi) 從0變到無窮大時的一條曲線。 ),(txfx f1nxnn)(txt10 雖然雖然(3.1.1)中沒有明顯地包含控制輸入作為一個變量，中沒有明顯地包含控制輸入作為一個變量，但是它可以直接用于反饋控制系統(tǒng)，因為控制輸入一般是但是它可以直接用于反饋控制系統(tǒng)，因為控制輸入一般是狀態(tài)變量的函數(shù)，因此狀態(tài)變量的函數(shù)，因此(3.1.1)可以表示包含控制輸入的反可以表示包含控制輸入的反饋控制

9、系統(tǒng)的反饋控制系統(tǒng)的閉環(huán)動態(tài)特性。即饋控制系統(tǒng)的反饋控制系統(tǒng)的閉環(huán)動態(tài)特性。即 (3.1.2)ttxuxfx),(,11n3.1.2 自治和非自治系統(tǒng)自治和非自治系統(tǒng) 線性系統(tǒng)中我們有時變和定常的說法，在非線性線性系統(tǒng)中我們有時變和定常的說法，在非線性系統(tǒng)理論中，習(xí)慣上用系統(tǒng)理論中，習(xí)慣上用“自治的自治的”和和“非自治的非自治的”來代替。來代替。 定義：如果非線性方程定義：如果非線性方程(3.1.1)中的非線性矢量函中的非線性矢量函數(shù)不明顯地與時間有關(guān)，即如果系統(tǒng)的狀態(tài)方程能數(shù)不明顯地與時間有關(guān)，即如果系統(tǒng)的狀態(tài)方程能夠?qū)憺椋簤驅(qū)憺椋?)(xfx 則此系統(tǒng)稱為自治的。否則系統(tǒng)稱為非自治的。則此

10、系統(tǒng)稱為自治的。否則系統(tǒng)稱為非自治的。 (3.1.3)12 很明顯，線性定常系統(tǒng)是自治的，線性時變系統(tǒng)是很明顯，線性定常系統(tǒng)是自治的，線性時變系統(tǒng)是非自治的。非自治的。 嚴格地說，所有的物理系統(tǒng)都是非自治的，自治系嚴格地說，所有的物理系統(tǒng)都是非自治的，自治系統(tǒng)的概念是一個理想化的概念。統(tǒng)的概念是一個理想化的概念。 自治系統(tǒng)和非自治系統(tǒng)之間的基本區(qū)別是：自治系統(tǒng)和非自治系統(tǒng)之間的基本區(qū)別是：自治系自治系統(tǒng)的狀態(tài)與初始時間無關(guān)統(tǒng)的狀態(tài)與初始時間無關(guān)，非自治系統(tǒng)的狀態(tài)通常不，非自治系統(tǒng)的狀態(tài)通常不是這樣。這種區(qū)別要求在定義非自治系統(tǒng)的穩(wěn)定性概是這樣。這種區(qū)別要求在定義非自治系統(tǒng)的穩(wěn)定性概念時明顯地考

11、慮起始時間，從而使得對非自治系統(tǒng)的念時明顯地考慮起始時間，從而使得對非自治系統(tǒng)的分析要比自治系統(tǒng)困難得多。分析要比自治系統(tǒng)困難得多。初始松弛系統(tǒng)初始松弛系統(tǒng) （即：初始條件為零）（即：初始條件為零）13n3.1.3 平衡點平衡點 定義平衡點：定義平衡點：如果系統(tǒng)狀態(tài)一旦等于如果系統(tǒng)狀態(tài)一旦等于x*，系統(tǒng)狀態(tài)，系統(tǒng)狀態(tài)將永遠維持在將永遠維持在x*，則稱，則稱x*是系統(tǒng)的一個平衡點是系統(tǒng)的一個平衡點。 實際上，平衡點的特性是：實際上，平衡點的特性是： ),(0txf 即在平衡點時，即在平衡點時，系統(tǒng)狀態(tài)變化的速率為零，狀態(tài)維系統(tǒng)狀態(tài)變化的速率為零，狀態(tài)維持在一個固定的值持在一個固定的值。求解代數(shù)方

12、程組。求解代數(shù)方程組(3.1.4)可以得到系可以得到系統(tǒng)的平衡點。統(tǒng)的平衡點。 (3.1.4)143.2 3.2 李亞普諾夫穩(wěn)定性概述李亞普諾夫穩(wěn)定性概述 李亞普諾夫?qū)⒎€(wěn)定性問題的研究歸納為兩種方法：李亞普諾夫?qū)⒎€(wěn)定性問題的研究歸納為兩種方法： 間接法：第一種方法是求出線性化以后的常微分方程間接法：第一種方法是求出線性化以后的常微分方程的解，從而分析原系統(tǒng)的穩(wěn)定性，又稱李亞普諾夫第一法。的解，從而分析原系統(tǒng)的穩(wěn)定性，又稱李亞普諾夫第一法。 直接法：第二種方法不需要求解微分方程的解，而直接法：第二種方法不需要求解微分方程的解，而能夠提供系統(tǒng)穩(wěn)定性的信息。又稱李亞普諾夫第二法。能夠提供系統(tǒng)穩(wěn)定性的

13、信息。又稱李亞普諾夫第二法。 對于非線性、時變、多輸入多輸出系統(tǒng)來說，第二種對于非線性、時變、多輸入多輸出系統(tǒng)來說，第二種方法特別重要。它基于一種廣義能量函數(shù)及其隨時間變化方法特別重要。它基于一種廣義能量函數(shù)及其隨時間變化的特性來研究系統(tǒng)穩(wěn)定性。以下通過一個例子來說明。的特性來研究系統(tǒng)穩(wěn)定性。以下通過一個例子來說明。15例例3-1 一個彈簧質(zhì)量阻尼器系統(tǒng)，如下圖示。系統(tǒng)一個彈簧質(zhì)量阻尼器系統(tǒng)，如下圖示。系統(tǒng)的運動由如下微分方程描述。的運動由如下微分方程描述。0kxx fxm 令令1m0kxx fx （1）選取狀態(tài)變量選取狀態(tài)變量xx 112xxx 則系統(tǒng)的狀態(tài)方程為則系統(tǒng)的狀態(tài)方程為212fx

14、kxx21xx （2）16在任意時刻，系統(tǒng)的總能量在任意時刻，系統(tǒng)的總能量2122212121),(kxxxxE（3）顯然，當(dāng)顯然，當(dāng) 時時 ， 而當(dāng)而當(dāng) 時時0 x0)(xE0 x0)(0E而總能量隨時間的變化率為而總能量隨時間的變化率為222211221121dddd),(ddfxxxxkxtxxEtxxExxEt可見，只有在可見，只有在 時，時， 。在其他各處均有。在其他各處均有 ，這表明系統(tǒng)總能量是衰減的，因此系統(tǒng)是穩(wěn)定的。這表明系統(tǒng)總能量是衰減的，因此系統(tǒng)是穩(wěn)定的。02x0/ddtE0/ddtE Lyapunov第二法是研究系統(tǒng)平衡狀態(tài)穩(wěn)定性的。第二法是研究系統(tǒng)平衡狀態(tài)穩(wěn)定性的。17平衡狀態(tài)平衡狀態(tài) 一般地，系統(tǒng)狀態(tài)方程為一般地，系統(tǒng)狀態(tài)方程為 ，其初