數(shù)列綜合應(yīng)用(放縮法)

1、精品文檔數(shù)列綜合應(yīng)用（ 1）用放縮法證明與數(shù)列和有關(guān)的不等式一、備考要點數(shù)列與不等式的綜合問題常常出現(xiàn)在高考的壓軸題中，是歷年高考命題的熱點，這類問題能有效地考查學(xué)生綜合運用數(shù)列與不等式知識解決問題的能力解決這類問題常常用到放縮法，而求解途徑一般有兩條：一是先求和再放縮，二是先放縮再求和二、典例講解1先求和后放縮例 1正數(shù)數(shù)列a 的前 n項的和 Sn ，滿足n2 Sn an ，試求：1（1）數(shù)列a 的通項公式；n（2）設(shè)1b ，數(shù)列 bn 的前 n 項的和n a an n 1為B ，求證：nBn122. 先放縮再求和放縮后成等差數(shù)列，再求和例 2已知各項均為正數(shù)的數(shù)列 a 的前 n 項和為 S

2、n ,n且2 2a a S .n n n(1) 求證：2 2a aS ；n n 1n4S S(2) 求證： 1n nS S S1 2 n2 21放縮后成等比數(shù)列，再求和例 3（1）設(shè) a，nN*，a2，證明：2 n n ；n a a a a ( ) ( 1)（2）等比數(shù)列 an 中，1a ，前 n 項的和為 An，12且 A7，A9，A8 成等差數(shù)列設(shè)2anbn a1n，數(shù)列 bn前 n 項的和為 Bn，證明： Bn13。1歡迎下載精品文檔放縮后為差比數(shù)列，再求和例 4已知數(shù)列 a 滿足： a 1，n1ann1 (1 )a (nnn21, 2,3 )求證：anna 31 2nn11放縮后為裂項

3、相消，再求和例 5在 m（m2）個不同數(shù)的排列 P1 P2Pn中，若 1i j m時 Pi Pj （即前面某數(shù)大于后面某數(shù)） ，則稱 Pi 與 Pj 構(gòu)成一個逆序 . 一個排列的全部逆序的總數(shù)稱為該排列的逆序數(shù) . 記排列 (n 1)n(n 1) 321的逆序數(shù)為 an，如排列 21 的逆序數(shù) a1 1，排列 321 的逆序數(shù) a 6 3（1）求 a4、a5，并寫出 an的表達式；（2）令bnanan1anan1，證明：2nb1 b b 2n 32n ，n=1,2, .高考真題再現(xiàn)：1. （06 浙江卷） 已知函數(shù)3 2f ( x) x x ，數(shù)列 xn (x 0) 的第一項 x1 1，以后各

4、項按如下方式取定：n曲線 y f ( x) 在 ( , ( )xn f x 處的切線與經(jīng)過1 n 1（0，0）和（x ， f (xn) ）兩點的直線平行（如圖）n求證：當*n N 時，( )2 2x x 3x 2x ；n n n 1 n 1（）1( )2n x 。1 ) n 21(n2。2歡迎下載精品文檔2. （06 福建卷） 已知數(shù)列a 滿足n*a1 1,an 1 2an 1(n N ).（I ）求數(shù)列a 的通項公式；nn 1 a a a n（II ）證明： 1 2 *n. (n N ). 2 3 a a a 22 3 n 13. （07 浙江） 已知數(shù)列a 中的相鄰兩項 a2k 1，a2k

5、n2 k k x k k 是關(guān)于 x的方程 (3 2 ) 3 2 0x 的兩個根，且a2k 1 a2k (k 1，2，3，L ) （I ）求a ， a2 ， a3 ， a7 ；1（II ）求數(shù)列a 的前 2n項和 S2n ；n（ ）記sin n1f (n) 3 2 sin n，Tn f (2) f (3) f (4) f (n 1)( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ，a a a a a a a a1 2 3 4 5 6 2n 1 2n求證： 1 5 ( )* T n N n6 244. （07 湖北） 已知 m，n 為正整數(shù)，（I ）用數(shù)學(xué)歸納法證明：當 x 1時，m(1 x) 1 mx

6、；m（II ）對于 n6，已知 1 1 1n 3 2，求證1mnm m13 2， m 1，2，L ，n；n n L n n n m （III ）求出滿足等式 3 4 ( 2) ( 3)的所有正整數(shù) n 。3歡迎下載精品文檔5. （08 遼寧） 在數(shù)列 a , b 中, a1 2, b1 4,n n且a ,b , a 成等差數(shù)列 , bn,an 1,bn 1 成等比數(shù)列 .n n n 1求a2 ,a3,a4 及 b2,b3,b4 , 由此猜測 an , bn 的通項公式, 并證明你的結(jié)論 ;證明 :1 1 1 5 .La b a b a b 121 1 2 2 n n。4歡迎下載精品文檔數(shù)列綜合

7、應(yīng)用（ 1）用放縮法證明與數(shù)列和有關(guān)的不等式一、備考要點數(shù)列與不等式的綜合問題常常出現(xiàn)在高考的壓軸題中，是歷年高考命題的熱點，這類問題能有效地考查學(xué)生綜合運用數(shù)列與不等式知識解決問題的能力解決這類問題常常用到放縮法，而求解途徑一般有兩條：一是先求和再放縮，二是先放縮再求和二、典例講解1先求和后放縮例 1正數(shù)數(shù)列a 的前 n項的和 Sn ，滿足n2 Sn an ，試求：1（1）數(shù)列a 的通項公式；n（2）設(shè)1b ，數(shù)列 bn 的前 n 項的和n a an n 1為B ，求證：nBn12。5歡迎下載精品文檔2. 先放縮再求和放縮后成等差數(shù)列，再求和例 2已知各項均為正數(shù)的數(shù)列 a 的前 n 項和為

8、 Sn ,n且2 2a a S .n n n(1) 求證：2 2a aS 1 ；n nn4S S(2) 求證： 1n nS S S1 2 n2 21放縮后成等比數(shù)列，再求和例 3（1）設(shè) a，nN*，a2，證明：2n a a a ；n na ( ) ( 1)（2）等比數(shù)列 an 中，1a ，前 n 項的和為 An，12且 A7，A9，A8 成等差數(shù)列設(shè)2anbn a1n，數(shù)列 bn前 n 項的和為 Bn，證明： Bn13。6歡迎下載精品文檔放縮后為差比數(shù)列，再求和例 4已知數(shù)列 a 滿足： a 1，n1ann1 (1 )a (nnn21, 2,3 )求證：anna 31 2nn11放縮后為裂項

9、相消，再求和例 5在 m（m2）個不同數(shù)的排列 P1 P2Pn中，若 1i j m時 Pi Pj （即前面某數(shù)大于后面某數(shù)） ，則稱 Pi 與 Pj 構(gòu)成一個逆序 . 一個排列的全部逆序的總數(shù)稱為該排列的逆序數(shù) . 記排列 (n 1)n(n 1) 321的逆序數(shù)為 an，如排列 21 的逆序數(shù) a1 1，排列 321 的逆序數(shù) a 6 3（1）求 a4、a5，并寫出 an的表達式；（2）令bnanan1anan1，證明：2nb1 b bn 2n 3，n=1,2, .2。7歡迎下載精品文檔高考真題再現(xiàn)：1. （06 浙江卷） 已知函數(shù)3 2f ( x) x x ，數(shù)列 xn (x 0) 的第一項

10、 x1 1，以后各項按如下方式取定：n曲線 y f ( x) 在 ( , ( )xn f x 處的切線與經(jīng)過1 n 1（0，0）和（x ， f (xn) ）兩點的直線平行（如圖）n求證：當 n N* 時，( )2 2x x 3x 2x ；n n n 1 n 1（）1( )2n x n 。1 ) 21(n2。8歡迎下載精品文檔2. （06 福建卷） 已知數(shù)列a 滿足n*a1 1,an 1 2an 1(n N ).（I ）求數(shù)列a 的通項公式；nn 1 a a a n（II ）證明： 1 2 *n. (n N ). 2 3 a a a 22 3 n 13. （07 浙江） 已知數(shù)列a 中的相鄰兩項

11、 a2k 1，a2kn2 k k x k k 是關(guān)于 x的方程 (3 2 ) 3 2 0x 的兩個根，且a2k 1 a2k (k 1，2，3，L ) （I ）求a ， a2 ， a3 ， a7 ；1（II ）求數(shù)列a 的前 2n項和 S2n ；n（ ）記sin n1f (n) 3 2 sin n，Tn f (2) f (3) f (4) f (n 1)( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ，a a a a a a a a1 2 3 4 5 6 2n 1 2n求證： 1 5 ( )* T n N n6 24。9歡迎下載精品文檔4. （07 湖北） 已知 m，n 為正整數(shù)，（I ）用數(shù)學(xué)歸納法證明：當 x 1時，m(1 x) 1 mx；（II ）對于 n6，已知1nm1 13 2，求證1mnm m13 2， m 1，2，L ，n；n n L n n n m （III ）求出滿足等式 3 4 ( 2) ( 3)的所有正整數(shù) n 。1 0歡迎下載精品文檔5.