2010全國高考文科數(shù)學(xué)試題(全國卷1)及答案

1、120102010 年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)文科數(shù)學(xué)( (必修必修+ +選修選修) ) 解析版解析版本試卷分第 I 卷(選擇題)和第卷(非選擇題)兩部分。第 I 卷 1 至 2 頁。第卷 3 至 4 頁?？荚嚱Y(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第第 I I 卷卷注意事項(xiàng)：1答題前，考生在答題卡上務(wù)必用直徑 0.5 毫米黑色墨水簽字筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚，并貼好條形碼。請(qǐng)認(rèn)真核準(zhǔn)條形碼上的準(zhǔn)考證號(hào)、姓名和科目。2每小題選出答案后，用 2B 鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)，在試題卷上作答無效。

2、3第 I 卷共 12 小題，每小題 5 分，共 60 分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。 參考公式：參考公式：如果事件互斥，那么 球的表面積公式 如果事件相互獨(dú)立，那么 其中 R 表示球的半徑 球的體積公式如果事件 A 在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率是，那么 次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件恰好發(fā)生次的概率 其中 R 表示球的半徑 一、選擇題一、選擇題(1)(A) (B)- (C) (D) 1.C【命題意圖】本小題主要考查誘導(dǎo)公式、特殊三角函數(shù)值等三角函數(shù)知識(shí)【解析】(2)設(shè)全集，集合，則2A. B. C. D. 2.C【命題意圖】本小題主要考查集合的概念、集合運(yùn)算等集合有關(guān)知識(shí)【解析】，則

3、= (3)若變量滿足約束條件則的最大值為(A)4 (B)3 (C)2 (D)13.B 【命題意圖】本小題主要考查線性規(guī)劃知識(shí)、作圖、識(shí)圖能力及計(jì)算能力.【解析】畫出可行域（如右圖），由圖可知,當(dāng)直線 經(jīng)過點(diǎn) A(1,-1)時(shí)，z最大，且最大值為. （4）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，=5，=10，則=(A) (B) 7 (C) 6 (D) 4.A【命題意圖】本小題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)、指數(shù)冪的運(yùn)算、根式與指數(shù)式的互化等知識(shí)，著重考查了轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想. 【解析】由等比數(shù)列的性質(zhì)知，10,所以,所以 3(5)的展開式 的系數(shù)是(A)-6 (B)-3 (C)0 (D)35.A. 【命題意圖】本

4、小題主要考查了考生對(duì)二項(xiàng)式定理的掌握情況，尤其是展開式的通項(xiàng)公式的靈活應(yīng)用，以及能否區(qū)分展開式中項(xiàng)的系數(shù)與其二項(xiàng)式系數(shù)，同時(shí)也考查了考生的一些基本運(yùn)算能力.【解析】的系數(shù)是 -12+6=-6(6)直三棱柱中，若，則異面直線與所成的角等于(A)30 (B)45(C)60 (D)906.C【命題意圖】本小題主要考查直三棱柱的性質(zhì)、異面直線所成的角、異面直線所成的角的求法. 【解析】延長 CA 到 D，使得，則為平行四邊形，就是異面直線與所成的角，又三角形為等邊三角形，(7)已知函數(shù).若且，則的取值范圍是(A) (B)(C) (D) 7.C【命題意圖】本小題主要考查對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)

5、的值域，考生在做本小題時(shí)極易忽視 a 的取值范圍，而利用均值不等式求得 a+b=,從而錯(cuò)選 D,這也是命題者的用苦良心之處.【解析 1】因?yàn)?f(a)=f(b),所以|lga|=|lgb|,所以 a=b(舍去)，或，所以 a+b=又 0ab,所以 0a1f(1)=1+1=2,即 a+b 的取值范圍是(2,+).【解析 2】由 0ab,且f(a)=f(b)得：，利用線性規(guī)劃得：，化為求的取值范圍問題，過點(diǎn)時(shí) z 最小為 2,(C) 4 （8）已知、為雙曲線 C:的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn) P 在 C 上，=，則(A)2 (B)4 (C) 6 (D) 88.B【命題意圖】本小題主要考查雙曲線定義、幾何性質(zhì)、

6、余弦定理，考查轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，通過本題可以有效地考查考生的綜合運(yùn)用能力及運(yùn)算能力.【解析 1】.由余弦定理得cosP=4【解析 2】由焦點(diǎn)三角形面積公式得：4（9）正方體-中，與平面所成角的余弦值為（A） （B） （C） （D）9.D 【命題意圖】本小題主要考查正方體的性質(zhì)、直線與平面所成的角、點(diǎn)到平面的距離的求法，利用等體積轉(zhuǎn)化求出 D 到平面 AC的距離是解決本題的關(guān)鍵所在,這也是轉(zhuǎn)化思想的具體體現(xiàn).【解析 1】因?yàn)?BB1/DD1,所以 B與平面 AC所成角和 DD1與平面 AC所成角相等,設(shè) DO平面 AC，由等體積法得,即.設(shè) DD1=a,則,.5所以,記 DD1與平面 AC所成角為

7、,則,所以.【解析 2】設(shè)上下底面的中心分別為；與平面AC所成角就是B與平面AC所成角，（10）設(shè)則（A）（B） (C) (D) 10.C 【命題意圖】本小題以指數(shù)、對(duì)數(shù)為載體，主要考查指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)、實(shí)數(shù)大小的比較、換底公式、不等式中的倒數(shù)法則的應(yīng)用.【解析 1】 a=2=, b=In2=,而,所以 ab,c=,而,所以 ca,綜上 cab.【解析 2】a=2=,b=ln2=, ，； c=，cab （11）已知圓的半徑為 1，PA、PB 為該圓的兩條切線，A、B 為兩切點(diǎn)，那么的最小值為(A) (B) (C) (D)11.D【命題意圖】本小題主要考查向量的數(shù)量積運(yùn)算與圓的切線長定理

8、，著重考查最值的求法判別式法,同時(shí)也考查了考生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解題的能力及運(yùn)算能力.【解析 1】如圖所示：設(shè) PA=PB=,APO=,則APB=，PO=，=，令，則，即，由是實(shí)數(shù)，所以6，解得或.故.此時(shí).【解析 2】設(shè)，換元：，【解析 3】建系：園的方程為，設(shè)， （12）已知在半徑為 2 的球面上有 A、B、C、D 四點(diǎn)，若 AB=CD=2,則四面體 ABCD 的體積的最大值為(A) (B) (C) (D) 12.B【命題意圖】本小題主要考查幾何體的體積的計(jì)算、球的性質(zhì)、異面直線的距離,通過球這個(gè)載體考查考生的空間想象能力及推理運(yùn)算能力.【解析】過 CD 作平面 PCD，使 AB平面 PCD

9、,交 AB 與 P,設(shè)點(diǎn) P 到 CD 的距離為,則有,當(dāng)直徑通過 AB 與 CD 的中點(diǎn)時(shí),故. 第第卷卷注意事項(xiàng)： 1答題前，考生先在答題卡上用直徑 0.5 毫米黑色墨水簽字筆將自己的姓名、準(zhǔn)考 證號(hào)填寫清楚，然后貼好條形碼。請(qǐng)認(rèn)真核準(zhǔn)條形碼上的準(zhǔn)考證號(hào)、姓名和科目。7 2第卷共 2 頁，請(qǐng)用直徑 0.5 毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域 內(nèi)作答，在試題卷上作答無效。 3.第卷共 10 小題，共 90 分。 二填空題：本大題共 4 小題，每小題 5 分，共 20 分把答案填在題中橫線上 (注意：在試題卷上作答無效) (13)不等式的解集是 .13. 【命題意圖】本小題主要考查不等

10、式及其解法【解析】: ，數(shù)軸標(biāo)根得：(14)已知為第二象限的角，,則 .14.【命題意圖】本小題主要考查三角函數(shù)值符號(hào)的判斷、同角三角函數(shù)關(guān)系、和角的正切公式,同時(shí)考查了基本運(yùn)算能力及等價(jià)變換的解題技能.【解析】因?yàn)闉榈诙笙薜慕?又, 所以，,所(15)某學(xué)校開設(shè) A 類選修課 3 門，B 類選修課 4 門，一位同學(xué)從中共選 3 門，若要求兩類課程中各至少選一門，則不同的選法共有 種.(用數(shù)字作答)15. A【命題意圖】本小題主要考查分類計(jì)數(shù)原理、組合知識(shí),以及分類討論的數(shù)學(xué)思想.【解析 1】:可分以下 2 種情況:(1)A 類選修課選 1 門,B 類選修課選 2 門,有種不同的選法;(2)

11、A 類選修課選 2 門,B 類選修課選 1 門,有種不同的選法.所以不同的選法共有+種.【解析 2】: (16)已知是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，是短軸的一個(gè)端點(diǎn)，線段的延長線交于點(diǎn)， 且，則的離心率為 .816. 【命題意圖】本小題主要考查橢圓的方程與幾何性質(zhì)、第二定義、平面向量知識(shí)，考查了數(shù)形結(jié)合思想、方程思想,本題凸顯解析幾何的特點(diǎn)：“數(shù)研究形，形助數(shù)”，利用幾何性質(zhì)可尋求到簡化問題的捷徑.【解析 1】如圖，,作軸于點(diǎn) D1,則由，得,所以,即,由橢圓的第二定義得又由,得【解析 2】設(shè)橢圓方程為第一標(biāo)準(zhǔn)形式，設(shè)，F(xiàn) 分 BD 所成的比為 2，代入， 三解答題：本大題共 6 小題，共 70 分解答應(yīng)寫

12、出文字說明，證明過程或演算步驟（17）（本小題滿分 10 分）(注意：在試題卷上作答無效)記等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，設(shè)，且成等比數(shù)列，求.(18)(本小題滿分 12 分)(注意：在試題卷上作答無效) 已知的內(nèi)角，及其對(duì)邊，滿足，求內(nèi)角 9(19)(本小題滿分 12 分)（注意：注意：在試題卷上作答無效在試題卷上作答無效) 投到某雜志的稿件，先由兩位初審專家進(jìn)行評(píng)審若能通過兩位初審專家的評(píng)審，則予以錄用；若兩位初審專家都未予通過，則不予錄用；若恰能通過一位初審專家的評(píng)審，則再由第三位專家進(jìn)行復(fù)審，若能通過復(fù)審專家的評(píng)審，則予以錄用，否則不予錄用設(shè)稿件能通過各初審專家評(píng)審的概率均為 0.5，復(fù)審的稿件

13、能通過評(píng)審的概率為 0.3各專家獨(dú)立評(píng)審 (I)求投到該雜志的 1 篇稿件被錄用的概率； (II)求投到該雜志的 4 篇稿件中，至少有 2 篇被錄用的概率 （20）（本小題滿分 12 分）（注意：（注意：在試題卷上作答無效在試題卷上作答無效）如圖，四棱錐 S-ABCD 中，SD底面 ABCD，AB/DC，ADDC，AB=AD=1，DC=SD=2，E 為棱 SB 上的一點(diǎn)，平面 EDC平面 SBC .（）證明：SE=2EB；（）求二面角 A-DE-C 的大小 . （21）(本小題滿分 12 分)（注意：（注意：在試題卷上作答無效在試題卷上作答無效）10已知函數(shù)（I）當(dāng)時(shí)，求的極值;（II）若在上

14、是增函數(shù)，求的取值范圍 (22)(本小題滿分 12 分)（注意：（注意：在試題卷上作答無效在試題卷上作答無效）已知拋物線的焦點(diǎn)為 F，過點(diǎn)的直線 與相交于、兩點(diǎn)，點(diǎn) A 關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為 D .（）證明：點(diǎn)在直線上；（）設(shè)，求的內(nèi)切圓的方程 . 三，解答題：接答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。 (17) 解： （1）由 am=a1+（n-1）d 及 a1=5，aw=9 得 a1+2d=5 a1+9d=-9 解得 a1=9 d=-2 數(shù)列am的通項(xiàng)公式為 an=11-2n。 因?yàn)?Sm=(n-5)2+25. 所以 n=5 時(shí), Sm 取得最大值。（18）解： （1）因?yàn)?PH 是四棱錐 P-

15、ABCD 的高。11 所以 ACPH 又 ACBD,PH,BD 都在平面 PHD 內(nèi),且 PHBD=H. 所以 AC平面 PBD 故平面 PAC 平面 PBD (2)由（1）知 Sm=na1+d=10n-n2 (2)因?yàn)?ABCD 為等腰梯形，AB CD,ACBD,AB=. 所以 HA=HB=. 因?yàn)锳PB=ADR=600 所以 PA=PB=,HD=HC=1. 可得 PH=. 等腰梯形 ABCD 的面積為 S=AC x BD = 2+. .9 分 所以四棱錐的體積為 V=x（2+）x= .12 分（19）解：（1）調(diào)查的 500 位老年人中有 70 位需要志愿者提供幫助,因此該地區(qū)老年人中需要

16、幫助的老年人的比例的估計(jì)值為. 4 分(2) 由于所以有 99%的把握認(rèn)為該地區(qū)的老年人是否需要幫助與性別有關(guān). 8 分（3）由于（2）的結(jié)論知，該地區(qū)的 老年人是否需要幫助與性別有關(guān)，并且從樣本數(shù)據(jù)能看出該地區(qū)男性老年人與女性老年人中需要幫助的比例有明顯差異,因此在調(diào)查時(shí),先確定該地區(qū)老年人中男,女的比例，再把老年人分成男,女兩層并采用分層抽樣方法比采用簡單反隨即抽樣方法更好. 12 分（20）解：（1）由橢圓定義知又 L 的方程式為 y=x+c,其中 c= (2) 設(shè) A,(x1,y1),B(x1,y1)則 A,B 兩點(diǎn)坐標(biāo)滿足方程組 y=x+c x2+=1 化簡得(1+b2)x2+2cx+1-2b2=0 則 x1+x2=.x1x2= （2） 12即 .則解得 .（21）解：（）時(shí)，。當(dāng)時(shí);當(dāng)時(shí)，;當(dāng)時(shí)，。故在，單調(diào)增加，在（-1，0）單調(diào)減少。（）。令，則。若，則當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)，而，從而當(dāng) x0 時(shí)0，即0.若，則當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)，而，從而當(dāng)時(shí)0，即0. 綜合得的取值范圍為(22)解: (1) 因?yàn)?AC=BD所以BCD=ABC又因?yàn)?EC 與圓相切于點(diǎn) C,故ACE=ABC所以ACE=BCD(II)因?yàn)镋CB=CDB, EBC=BCD, 5 分所以