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文檔簡介
1、專題1二次函數的圖像和性質問題例題精講例1:(江西模擬)如圖,二次函數y=ax2+bx+c (a wo)的圖象的頂點在第一象限, 且過點(0, 1)和(-1, 0),下列結論:abv0,b2>4,0va+b+cv2, 0vbv1,當x>-1時,y>0.其中正確結論的個數是()A 5個R 4個G 3個DX 2個【解答】般:;由題物線開口向下,:.a < 0 t對稱軸在y軸的右翻,:.h > o ,:.ab < 0 ,所以。IE確;二點(-1)和(7,口)都在拋物線仁上,.c- , a-t:.b-a+ca-1 (而l< 0< A < 1 ,所以
2、措謾f ©正確; ,/a + fr+r=£r+a +1 +1 =2o + 2 r 而叮< 0 (. .2d+2 < 2 r 即=+8+4 2.】的左惻,,.拋糊線與克軸的一個交點坐標為(7 ,。,而拋物線的對稱軸在N軸右側,在直線門 ,拋柳線與#軸的另一個交點在(1 , 0 )和(2 , 0 )之間,,工二 I 時 f > 0 , SCcr+Zi+c > 0 , < arb+v < 2 ,所以中正確;丫工A 7時,拋物線有部分在工輔上方,有部分在工好下方,:.y >?;蚧蚴?lt; 0 ,所以國錯誤. 故選:B .例2:(衡陽中考)
3、如圖,拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于點A (-1 , 0),頂點坐標(1, n) 與y軸的交點在(0, 2) , (0, 3)之間(包含端點),則下列結論:3a+bv0;-1 w a< -;對于任意實數 m a+b> am2+bm總成立;關于 x的方程ax2+bx+c=n-1有兩個不相 等的實數根.其中結論正確的個數為()所以【我答】韓;:和I軟線汗口向下,而拋物線的對稱軸為直線x二-一二1 ,即b=-2* 2a六3T二-二口二八0 j所以。工確,,所以0止確;拽物淺荃頂點坐標(Ln)二I射,二次函數值有最大值".,'皿4-匕-匚3&獷,+Am十l,
4、即立+b加藉f忖,斫以。正靖;拋物送的頂點坐標(1 ,日),拋物送二4r十后T-r與直淺1二門-1有兩個交.點,.關手”的方程04u=e-1有兩不不相等的實數根.所以正碓.例3:(鄂州中考)已知拋物線y=ax2+bx+c (0v2avb)的頂點為P(x0, v。),點A( 1 ,yA),B( 0,yB),C(-1 ,yc)在該拋物線上,當yoRO恒成立時,的最小值為A. 1C. 4B. 2D. 3【解答】耨:由口 y 2ft之h ,逐了口=-_< -t7 ji田跡量r如鬟,過點.4作| I推手點4方.口二."/二1 «至按AF ,過點r作于點),UlflD=jj-/C
5、r CD-I t過京作戶夕£<?,交船地淺于點£ (干(VE 交.T擔于點尸(心仆),則dPX4二ND80,于是也看#dSJh 3,C。xs-yc過點E作ECLLdJ I于扁(?易港 "GS出f).點 ( 1 ,) fi ( 0 f s C ( -1 1 yc ) v £ ( i y£ )物族了之工+人工+E上,得力,/二"十5十。I fic,*="-$ + . r YE=4X J 中 6打十小 f* fA_ a +BJ. (oxj+&x +c) _ .ysyc c-ab-c i化簡t得工+r l-2=。,除得
6、;T=-W I: K = l舍去),二丁/。鎮(zhèn)玳立-根據塞叁,有口£山M -1.ftllr工分1-需,艮口-工?)3 力/*33 ,y3-yc1,一的最小值為?.ya-yc救選:D .例4:(青島模擬)如圖是二次函數y=ax2+bx+c (a, b, c是常數,awo)圖像的一部分,與x軸的正半軸交點在點(2, 0)和(3, 0)之間,對稱軸是x=1 .對于下列說法: abcv 0; 2a+b=0 ; a-b+c=0 ;點(3, yi) ,(-2, y2)都在拋物線上,則有yi>y2,當-1vxv3時,y>0,其中正確的是()【解答】瞬:由差象可得, d<&
7、FZj*OJc>Or 則日兒< 0 f故上確r.D .1.2tf+A=O T 故(X正神 圖數閨會與T軸的正半軸交點在思 2 。)和。,0 )之間1對稱相是,,函數耙魚與工軸的另一個交點在點(0 口和點f T , 0 )之司,,.當r- I時,y-nhr < 0 ,故值野謾t丁點(?Ti), t T ,冷)都在拋物線上,對都由為,=】,,V| >J2,故引正埔j承數圖藪與x軸的交點沒有具體說明交點的坐標,.當1 <工C時,玲。不一定成立,故錯誤r故選:A.例5:(恩施中考)如圖,在平面直角坐標系中2條直線為li : y=-3x+3 ,l2:y=-3x+9 ,直線l
8、i交x軸于點A ,交y軸于點B ,直線12交x軸于點D ,過點B作x軸的平行線交l2于點C,點A、E關于y軸對稱,拋物線y=ax 2+bx+c過E、B、C三點,下列判斷中:a-b+c=0 ;2a+b+c=5 ;拋物線關于直線x=1對稱;拋物線過點(b, c);S四邊形ABC D =5 ,【蟀答】霹:直送/3工+3交工軸點4,交y軸于點日,( 1 , (J ) if 0.3).丫點& E關于y軸對稱,3, (- 1 r 0 ),7直選上:二-打+ 9私輸于原D 1過點作了軸的平行線交也亍點C ,/.Z>(3,0), C點縱坐標與4點縱坐標相同都息3 ,把代入了二7H+。,密二-3工
9、+九解凰t=2 r/.C (2,3).,-地物線F二。工,十打工十白過總、H、(7三慮,)日一出十0二0|0-1c=3,斡得卜二2 ,4tv + 2ft+c=3卜= 3,'.j = -jr4-2x+3 *,口fe=。r故正確;J; :a L , b1 , c3 ,2a+64-c=-24-2+3=35 t MQfBiR ;北拋物法過日(0,3) fC (2 t 3)兩點,元標轉品直線工二I ,,利物線關于直線_ul對稱,故正琬:Yb=2 f c=3 ,拋物線過。(2,3 )點,觸物線過點btc,故正確;直線八力打,ABl/CD (又口 .二四邊形43C 0是平行四邊形,二¥四邊
10、形日口二"仁“,四二2x3二1故錯誤.續(xù)上可知,正踴的結論有3個.故選:C .習題精煉1.已知拋物線y=ax 2+bx+c ( aw 0)的 對稱軸為直線x=2 ,與x軸的一個交點坐標為(4, 0),其部分圖象如圖所示,下列結論:拋物線過原點; 4a+b+c=0; a - b+c < 0 ;拋物線的頂點坐標為(2, b);當xv2時,y隨x增大而增大.其中結論正確的是()2.如圖:二次函數時,a+b>am2+bm;C.D.y=ax2+bx+c的圖像所示,下列結論中: abc> 0;2a+b=0;當mr 1 a b+c>0;若 ax12+bx1=ax22+bx2
11、 ,且 xx2 ,貝U x1+x2=2,正確的3.函數y=x2C. 3個D. 4個+bx+c與y=x的圖像如圖所示,有以下結論:b2- 4c>0; b+c+1=0; 3b+c+6=0;當 1vxv 3 時,x2+ (b1)x+cv 0./A.其中正確的個數為(1個B. 2個4.已知拋物線C.(D. 4個V 0)與x軸最多有一個交點,現有以下結論:<0;該拋物線的對稱軸在y軸左側;關于 x的方程有實數根;對于自變量 x的任意一個取值,都有-其中正確的為()A. B C ,D.5 .已知二次函數 y=ax2+bx+c (aw0)的圖象如圖所示,給下以下結論:2a- b=0;abc>
12、; 0;4ac- b2<0;9a+3b+cv 0;關于x的一元二次方程ax2+bx+c+3=0有兩個相等實數根;8a+cv 0.其中正確的個數是()A. 2B. 3C. 4D. 56 .如圖所示,拋物線 y=ax2+bx+c (aw0)與x軸交于點 A ( - 2, 0)、B (1,0),直線x=-0.5與此拋物線交于點 C,與x軸交于點 M在直線上取點 D,使MD=M。連接AC BG AD BD某同學根據圖象寫出下列結論:a-b=0;當-2Vx<1時,y>0;四邊形 ACBD菱形;9a- 3b+c>0你認為其中正確的是()IC;五二-0:A. B. C."D
13、. 27 .如圖,二次函數 y=ax +bx+c (aw0)的圖象與 x軸正半軸相交于 A、B兩點,與y軸相交于點C,對稱軸為直線 x=2,且OA=OC則下列結論:abc>0;9a+3b+cv 0;c>- 1;關于x的方程ax2+bx+c (aw0)有一個根為- -其中正確的結論個數有()1=2A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個8 .如圖所示,二次函數y=ax2+bx+c (aw0)的圖象經過點(-1,2),且與x軸交點的橫坐標分另1J為x1 , x2 ,其中-2vx1<-1, 0vx2<1,下列結論(1) 4a-2b+c <0; (2)2a-bv0;
14、 (3)a-3b>0; (4) b2+8av4ac; 其中正確的有(B. 2個A. 1個C. 3個D. 4個(aw0)圖象如圖所示,下列結論:;a -b+c >0;若a(bc 2a+b =0;.其中正確的有(9.二次函數當廿1時,a+b>C.D.10.二次函數y=ax2+bx+c (aw0)的圖象如圖,給出下列四個結論:3a+2b+cv 0; 3a+cv b2-4ac ; 方程 2ax2+2bx+2c-5=0 沒有實數根; m ( am+b)(m -1 ).其中正確結論的個數是()+bv aA. 4個B. 3個 C. 2個D. 1個11.如圖,拋物線y=ax2+bx+c (a
15、w0)的對稱軸為直線 x=1,與x軸的一個交點坐標為 1, 0),其部分圖象如圖所示,下列結論: 4acv b:、3a+c> 0;當x>0時,y隨x的增大而減?。划?y>0時,x的取值范圍是-1vxv3;方程ax2+bx+c=0的兩個根是x1=-1, x2=3;其中結論正確的個數是()3個12.如圖,二次函數C. 2個D.y=ax2+bx+c (aw0)的圖象與 x軸正半軸相交于1個A、B兩點,與y軸相交于點C,對稱軸為直線 x=2,且OA= OC則下列Z論:abc> 0;9a+3b+cv 0;c>-1;關于x的方程ax2+bx+c= 0(aw0)有一個根為4+c
16、,其中正確的結論個數有()A.1個B.2個C.3個D.4個13.已知二次函數y=ax2+bx+c (aw0)圖象如圖所示,下列結論:b2> ( a+c) 2;點(-3, yi) , (1, vD都在拋物線上,則有abcv 0;2a- b<0;yi> y2 ,其中正確的結論有()A.4個B.3個C.2個D.1個14 .如圖,已知二次函數 y=ax2+bx+c (aw0)的圖象如圖所示, 有下列5個結論:abc>0;b-a>c;4a+2b+c> 0;3a>- c;a+b> m (am+b)(ml 的實數).其中正確結 論的有()A.B.C.D.15
17、.如圖,拋物線y1= - (x+1 2)+1與y2=a(x-4) 2-3交于點A(1 , 3),過點A作x軸的平行線,分別交兩條拋物線于 B C兩點,且D、E分別為頂點.則下列結論:a=-;AC=AE ABD是等腰直角三角形;當 x>1時,y1>y2.期中正確的結論的個C. 3個nD. 4 個16 .如圖,若二次函數 y=ax2+bx+c (aw0)圖象的對稱軸為 x=1,與y軸交于點C,與x軸交 于點A、點B(-1, 0),則二次函數的最大值為 a+b+c;a- b+c<0;b2-4ac<0;當y>0時,-1<x<3.其中正確的個數是(沖.工二1A.
18、 1B. 2C. 3D. 417.拋物線G : yi=mX!- 4mx+2n- 1與平行于x軸的直線交于 A B兩點,且A點坐標為(-1, 2),請結合圖象分析以下結論:對稱軸為直線x=2;拋物線與y軸交點坐標為(0,- 1);m> 一 ;若拋物線 G: y2=ax2 (aw。)與線段 AB恰有一個公共點,則 a的取值范圍是 wav 2;不等式 m)< - 4mx+2n>0的解作為函數 C的自變量的取值時,對應的函數值均為正數,其中正確結論的個數有()3個18.如圖,二次函數C.D. 5個y=ax2+bx+c的圖象與x軸交于點 A( - 1, 0),與y軸的交點B在(0,2)
19、與(0, 3)之間(不包括這兩點),對稱軸為直線x=2.下列結論:abc0;9a+3b+c>0;若點 M ( -,y1),點 N (-,y2)是函數圖象上的兩點,則y1 vy2;-< a<-.其中正確結論有(A. 1個 B. 2個19.如圖是二次函數與 軸的交點 在點C. 3個 D. 4個(,是常數,)圖象的一部分,和 之間,對稱軸是 .對于下列說法: ; ;時,其中正確的是()為實數);當J LuC.uD.圖象的一部分,拋物線的頂點坐標?與拋物線交于 , 兩點,;方程有兩個相等的實數根;當時,有,其中正確A. B.20.如圖是拋物線與 軸的一個交點 ?,直線下列結論:拋物線
20、與軸的另一個交點是的是()IP I 4A.B.C.hD.答案解析部分一、單選題1 .【答案】C【解析】【解答】解:,拋物線y=ax2+bx+c (aw0)的對稱軸為直線 x=2 ,與x軸的一個交點坐標為(4, 0),,拋物線與x軸的另一交點坐標為(0, 0),結論正確;:拋物線y=ax2+bx+c (aw0)的對稱軸為直線 x=2,且拋物線過原點, - =2 , c=0 ,b= - 4a, c=0, -4a+b+c=0,結論正確;;當x=T 和x=5時,y值相同,且均為正,.a- b+c>0,結論錯誤;當 x=2 時,y=ax 2+bx+c=4a+2b+c= (4a+b+c) +b=b,
21、,拋物線的頂點坐標為(2, b),結論正確;觀察函數圖象可知:當x<2時,y隨x增大而減小,結論錯誤.綜上所述,正確的結論有:.故答案為:C.2.【答案】C【解析】【解答】解:由題意得:a<0, c>0, - - =1 >0,. . b>0,即abcv0,選項錯誤;-b=2a,即2a+b=0,選項正確;當x=1時,y=a+b+c為最大值,22貝U當 廿1時,a+b+c>am+bm+G 即當 ml時,a+b> am+bm 選項正確;由圖像知,當 x= - 1時,ax2+bx+c=a - b+cv 0,選項錯誤;axi2+bxi=ax22+bx2, ax1
22、2- ax22+bx1 - bx2=0, ( x1 - x2)a (x+x2)+b=0 ,而 x1 Wx2,a (x+x2)+b=0,x1+x2= - - = - - =2 ,所以正確.所以正確,共 3項,故選C.3.【答案】B【解析】【解答】解::函數 y=x2+bx+c與x軸無交點,b2- 4ac< 0;故錯誤;當 x=1 時,y=1+b+c=1,故錯誤;:當 x=3 時,y=9+3b+c=3 , .3b+c+6=0;正確;,當1 v xv 3時,二次函數值小于一次函數值, .x2+bx+c< x, .x2+ (b T) x+c v 0.故正確.故選B4.【答案】B【解析】【解
23、答】拋物線與 x軸最多有一個交點,b2- 4ac< 0,b2<4ac,. a<b<0,0< 4ac, . c<0,所以正確;< a<b<0<0,所以正確;拋物線與x軸最多有一個交點,.b2- 4ac< 0,又a<0,. 關于 x 的方程 ax2+bx+c-2=0 中, =b2-4a (c-2 ) =b2-4ac+8a < 0, 所以錯誤;-=-,a>0,b>0,則當 x= 一時,- 有最小值 一所以- > -,正確;故選B.5 .【答案】C【解析】【解答】解:拋物線的對稱軸為x= - =1 , b=
24、-2a,所以2a+b=0,故錯誤;拋物線開口向上,得:a>0;拋物線的對稱軸為 x=- - >0故b<0;拋物線交y軸于負半軸,得:c<0;所以abc>0;故正確;由圖知:拋物線與 x軸有兩個不同的交點,則 =b2-4ac>0,4ac-b2<0,故正確;根據拋物線的對稱軸方程可知:(-1, 0)關于對稱軸的對稱點是(3, 0);當x=-1時,y<0,所以當x=3時,也有y < 0,即9a+3b+cv0;故正確;二次函數y=ax2+bx+c的最小值為-3,所以關于x的一元二次方程 ax2+bx+c+3=0有兩個相 等的實數根,故正確;由圖知:
25、當x= 2時y>0,所以4a- 2b+c >0,因為b= - 2a,所以4a+4a+c>0,即8a+c >0,故錯誤;所以這結論正確的有4個.故選C.6 .【答案】D【解析】【解答】解:,拋物線y=ax2+bx+c (aw0)與x軸交于點A ( - 2, 0)、B (1,0),,該拋物線的對稱軸為 x=- - = - 0.5 ,a=b, a - b=0,正確;.拋物線開口向下,且拋物線與x軸交于點A(-2, 0)、B(1, 0),當-2vxv1時,y>0,正確;點A、B關于x=0.5對稱,AM=BM又 MC=MD且 CDL AB,,四邊形ACBD菱形,正確;當x=
26、 - 3時,y v 0,即 y=9a 3b+cv 0,錯誤.綜上可知:正確的結論為.故選D.7.【答案】C【解析】【解答】解:由圖象開口向下,可知 a<0,與y軸的交點在x軸的下方,可知c<0,又對稱軸方程為x=2,所以- - >0,所以b>0,abc>0,故正確;由圖象可知當x=3時,y>0,.9a+3b+c>,故錯誤;由圖象可知OA< 1, .OA=OC .OCX 1,即-c< 1, -c> - 1,故正確;假設方程的一個根為 x=- -,把x=- -代入方程可得 一 -一 +c=0 ,整理可得ac- b+1=0,兩邊同時乘c可得
27、ac2 - bc+c=0 ,即方程有一個根為 x=-c,由可知-c=OA而當x=OA是方程的根, .x=-c是方程的根,即假設成立,故正確;綜上可知正確的結論有三個,故選C.8 .【答案】B【解析】【解答】解:(1)根據圖象知,當 x=-2時,y<0,即4a-2b+cv0;故本選項正確;(2) 該函數圖象的開口向下,a<0;又對稱軸-1 <x=-<0, 2a-b<0,故本選項正確;(3) ,. a<0, -<0,.b<0,則 a-3b <0.故本選項錯誤;(4) y=>2, a<0,4ac-b 2< 8a,即 b2+8a&
28、gt;4ac,故本選項錯誤.綜上所述,正確的結論有2個;故選B.9 .【答案】D【解析】【解答】根據拋物線開口向下可得 a<0,根據對稱軸為直線 x=1 ,可得b=-2a ,則 b>0,與y軸的交點在 x軸的上方,則c>0,所以abc<0,故錯誤;由b=-2a得2a+b=0, 故正確;因為 x=1時,函數值最大,所以 a+b+c>+c ,即a+b>(m 1),故正確;因為拋物線與 x軸的交點到對稱軸的距離大于 1,所以拋物線與x軸 的交點一個在(2, 0)與(3, 0)之間,一個在(0, 0)與(-1 , 0)之間,所以當 x=-1 時,y<0,即a-
29、b+c <0,故錯誤;當時,則,所以x= 與x= 時的函數值相等,所以 -1=1-,即,故正確,綜上正確的結論有故答案為:D.10 .【答案】B【解析】【解答】解:由圖象可知,當 x=1時,y<0,即a+b+c<0, av 0, bv 0:對稱軸x=b=2a<0,a+2a+c<0,即 3a+c<0,3a+b+c<0,故正確;.拋物線與x軸有兩個交點,, " b - 4ac>0,3a+c<0<b2- 4ac,故正確; 2ax2+2bx+2c- 5=0,ax2+bx+c=- ,結合圖象可知:拋物線y=ax2+bx+c與直線y=-
30、的交點無法判斷,故錯誤;;當x=m(n - 1)時,y=am+bm+c;且當x=- 1時,函數 y取得最大值,2. - a- b+c>am+bm+Gm(am+b)+b<a,故正確;綜上,正確結論有共4個,故答案為:B11.【答案】B【解析】【解答】解:二.拋物線與 x軸有2個交點,b2- 4ac >0,即 4ac< b2 , 所以正確;x= =1,即 b= 2a,而 x= - 1 時,y= 0,即 a_ b+c= 0,a+2a+c = 0,即 3a+c= 0,所以錯誤;,拋物線的對稱軸為直線 x=1,開口向下,當x>1時,y隨x增大而減小,所以錯誤.;拋物線的對稱
31、軸為直線 x=1,(程 點方 而一-1, 0)關于直線x=1的對稱點的坐標為(3, 0), ax2+bx+c= 0的兩個根是x1= - 1, x2 = 3,所以正確;.拋物線與x軸的兩點坐標為(-1, 0) , (3,0),當-1vxv3時,y>0,所以正確;故答案為:B.12.【答案】C【解析】【解答】解:由拋物線的開口可知:a<0,由拋物線與y軸的交點可知:c<0,由拋物線的對稱軸可知:- >0, ,.b>0,abc>0,故正確;令 x= 3, y>0, .9a+3b+c>0,故錯誤OGc 1, -c> - 1,故正確;觀察圖象可知關于
32、 x的方程ax2+bx+c (aw0) =0的兩根:一個根在 0與1之間,一個根在 3與4之間,由OG= OA則OB= 4+c,即關于x的方程ax2+bx+c=0 (aw0)有一個根為4+c, 故正確;故答案為:C13.【答案】B【解析】【解答】解:二.拋物線開口向上,. . a>0, <0, ,.b>0, 拋物線交y軸于負半軸, .c<0,abc< 0,故正確, 一 > - 1, a> 0,b< 2a, -2a-b>0,故錯誤,. x=1 時,y>0,a+b+c> 0,a+c> b,. x= 1 時,y< 0,a
33、b+c< 0,( a+c) 2 - b2= ( a+b+c) (a-b+c) < 0,.b2> ( a+c) 2 , 故正確,點(-3, y。,(1, y2)都在拋物線上,觀察圖象可知y1>y2,故正確.故答案為:B.14.【答案】B【解析】【解答】解:對稱軸在 y軸的右側,ab< 0,由圖象可知:c>0,abc< 0,故不正確;當 x= - 1 時,y=a - b+c< 0, . b - a>c,故正確;由對稱知,當x=2時,函數值大于 0,即y=4a+2b+c>0,故正確;< x= - 一=1 ,b= - 2a,a - b+
34、c<0,a+2a+c< 0,3a< - c,故不正確;當x=1時,y的值最大.此時,y=a+b+c,而當 x=m 時,y=am+bm+q所以 a+b+c>am+bm+c (rrp5l),a+b> am+brr 即 a+b> m (am+t),故正確.故正確.故答案為:B.15 .【答案】B【解析】【解答】解:,將點 A (1, 3)代入y2=a(x-4) 2-3得23=a(1-4) -3 ,解之:a=-,故正確;,: E是拋物線y2=a(x-4) 2-3的頂點, E (4, -3), C (7, 3),.'.AC=|1-7|=6 ,AE=一.ACWA
35、E,故錯誤;當y=3時,則3x+1) +1解之:Xi=1, x2=-3 ,x=-3 時,y=3 B (-3 , 3) , D (-1 , 1),則 AB=4, AD=BD=.Ai+Bd=A ,.ABD是等腰直角三角形,故正確;-(x-4) 2-3=-(x+1) 2+1 , 解之:xi=1, X2=37, 當37>x>1時,yi>y2 ,故錯誤.故答案為:16 .【答案】B【解析】【解答】解:圖像的頂點坐標橫坐標是x=1,將X=1代入二次函數y=ax2+bx+c得:y=a+b+c,又:圖像開口向下,當 x=1時函數有最大值 y=a+b+c,故是正確的;把 X=-1代 入二次函數y=ax2+bx+c得:y=a-b+c=0 ,是錯誤的;圖像與x軸有兩個交點,故b2-4ac >0,是錯誤的;二圖象的對稱軸為x=1,與x軸交于點A、點B(T, 0),,A (3,0),1<x<3時,y>0,是正確的,綜上所述即可得出答案是正確的,故答案為B。17 .【答案】B【解析】【解答】解:拋物線對稱軸為直線x二-一 一 故正確;當x=0時,y=2n- 1故錯誤;把A點坐標(-1,2)代入拋物線解析式得:2=m+4
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