2021甘肅考研數(shù)學一真題及答案

1、2021甘肅考研數(shù)學一真題及答案一、選擇題（本題共 10 小題，每小題 5 分，共 50 分.每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求，把所選選項前的字母填在答題卡指定位置上.） ex - 1(1)函數(shù) f (x)= x, x 0 ,在 x = 0 處1, x = 0(A)連續(xù)且取極大值.(B)連續(xù)且取極小值.(C)可導(dǎo)且導(dǎo)數(shù)為 0.(D)可導(dǎo)且導(dǎo)數(shù)不為 0.【答案】D.8【解析】因為lim f (x)= limex - 1=1 = f (0) ，故 f (x) 在 x = 0 處連續(xù)；x0x0xf (x) - f (0)ex - 1-1xe x -1 - x11因為lim= lim

2、=lim=，故 f (0) =，正確答案為 D.x0x - 0x0x - 0x0x 222(2)設(shè)函數(shù) f ( x, y ) 可微，且 f (x +1, ex ) = x(x +1) 2 ， f (x, x2 ) = 2x2 ln x ，則 df (1,1) =(A) dx + dy .(B) dx - dy .(C) dy .(D) -dy .【答案】C.12【解析】 f (x +1, ex ) + ex f (x +1, ex ) = (x +1) 2 + 2x(x +1)12f (x, x2 ) + 2xf (x, x2 ) = 4x ln x + 2xx = 0x = 1分別將 y =

3、 0 ， y = 1 帶入式有f1(1,1) + f2(1,1) = 1 ， f1(1,1) + 2 f2(1,1) = 2聯(lián)立可得 f1(1,1) = 0 ， f2(1,1) = 1 ， df (1,1) = f1(1,1)dx + f2(1,1)dy = dy ，故正確答案為 C.(3) 設(shè)函數(shù) f (x) =sin x 在 x = 0 處的 3 次泰勒多項式為ax + bx2 + cx3 ，則1+ x2(A) a = 1,b = 0, c = - 7 .(B) a = 1,b = 0, c = 7 .6(C) a = -1,b = -1, c = - 7 .(D)66a = -1,b =

4、 -1, c = 7 .6【答案】A.【解析】根據(jù)麥克勞林公式有sin xx33 237 33f (x) = 1+ x2 = x - 6 + o(x ) 1 - x+ o(x ) = x -x6+ o(x )故a = 1,b = 0, c = - 7 ，本題選 A.60(4) 設(shè)函數(shù) f ( x ) 在區(qū)間0,1上連續(xù)，則1 f ( x )dx =n 2k -1 1n 2k -1 1(A) lim f .(B) lim f .n k =1 2n 2nn k =1 2n n2n k -1 12n k 2(C) lim f .(D) lim f .n k =1【答案】B. 2n nx0 k =1

5、2n n【 解 析 】 由 定 積 分 的 定 義 知 ， 將 (0,1)分 成 n 份 ， 取 中 間 點 的 函 數(shù) 值 ， 則1n 2k -1 10 f (x)dx = lim S f 2n n , 即選 B.n k =1(5) 二次型 f (x , x , x ) = (x + x )2 + (x + x )2 - (x - x )2 的正慣性指數(shù)與負慣性指數(shù)依次為123122331(A) 2, 0 .(B)1,1 .(C) 2,1 .(D)1, 2 .【答案】B.【解析】 f (x , x , x ) = (x + x )2 + (x + x )2 - (x - x )2 = 2x

6、2 + 2x x + 2x x + 2x x12312233121 22 31 3 011 所以 A = 121 ，故特征多項式為 110 l-1| lE - A |= -1-2-1-1-1-1 = (l+1)(l- 3)ll令上式等于零，故特征值為-1， 3 ， 0 ，故該二次型的正慣性指數(shù)為 1，負慣性指數(shù)為 1.故應(yīng)選 B. 1 1 3 (6)已知a = 0 ，a = 2 ，a = 1 ，記b =a，b =a - kb ，b =a - l b - l b ，1 1 2 1 3 2 11221331 12 2若b1 ， b2 ， b3 兩兩正交，則l1 ， l2 依次為5 1(A) ,.2

7、 25 1-(B) ,. 2 2(C)5 , - 1 .22(D)- 5 , - 1 .22【答案】A.【解析】利用斯密特正交化方法知 0 b =a - a2 ,b1 b = 2 ，0221 b1,b1 b =a - a3 ,b1 b - a3 ,b2 b ，33b,b 1b ,b 2故l1= a3 ,b1 = 5 ， l2b1,b1 21122= a3 ,b2 = 1 ，故選 A.b2 ,b2 2(7) 設(shè) A, B 為 n 階實矩陣，下列不成立的是 AO AAB (A) r OAT A = 2r ( A )(B) r OAT = 2r ( A ) ABA AO (C) r OAAT = 2

8、r ( A )【答案】C.(D) r BAAT = 2r ( A ) AO T【解析】(A) r OAT A = r (A) + r (A A) = 2r (A). 故 A 正確.(B) AB 的列向量可由 A 的列線性表示，故 r AAB = r AO = r (A) + r (AT ) = 2r (A). OAT 0AT (C) BA 的列向量不一定能由 A 的列線性表示.(D) BA 的行向量可由 A 的行線性表示， r ABA = r AO = r (A) + r (AT ) = 2r (A). OAT 0AT 本題選 C.(8) 設(shè) A ， B 為隨機事件，且0 P(B) P( A)

9、 ，則 P( A | B) P( A)(C) 若 P( A | B) P( A | B) ，則 P( A | B) P( A) .(D) 若 P( A | A U B) P( A | A U B) ，則 P( A) P(B) .【答案】D.=P( A( A U B)【解析】 P( A | A U B)P( A U B)P( A)P( A) + P(B) - P( AB)P( A | A U B) = P( A( A U B) =P( A U B)P( AB) =P( A U B)P(B) -P( AB)P( A) + P(B) - P( AB)因為 P( A | A U B) P( A | A

10、 U B) ，固有 P( A) P(B) - P( AB) ，故正確答案為 D.1 122(9) 設(shè) ( X ,Y ), ( X,Y ),L, (X,Y ) 為來自總體 N (m,m;s2 ,s2 ;r) 的簡單隨機樣本， 令nn12121 n 1 nq= m1 - m2 , X = n X i ,Y = n Yi ,q= X - Y , 則i=1i=1s2 +s2n(A) q 是q的無偏估計， D (q) = 12( ) 12s2 +s2(B) q不是q的無偏估計， D q =n( ) 121 2s2 +s2 - 2rss(C) q是q的無偏估計， D q =n( ) 121 2s2 +s2

11、 - 2rss(D) q不是q的無偏估計， D q =n【答案】C.【解析】因為 X ,Y 是二維正態(tài)分布，所以 X 與Y 也服從二維正態(tài)分布，則 X - Y 也服從二維正態(tài)分布，即 E(q) = E( X - Y ) = E( X ) - E(Y ) = m1 - m2 =q，qs2 +s 2 - 2rssD( ) = D( X - Y ) = D( X ) + D(Y ) - cov( X ,Y ) = 121 2 ，故正確答案為 C.n(10) 設(shè) X1 , X 2 K, X16 是來自總體 N (m, 4) 的簡單隨機樣本， 考慮假設(shè)檢驗問題：H0 : m 10, H1 : m 10.

12、F ( x) 表示標準正態(tài)分布函數(shù)，若該檢驗問題的拒絕域為W = X 11 ，1 16其中 X = X i ，則m= 11.5 時，該檢驗犯第二類錯誤的概率為16i=1(A)1- F (0.5)(B)1- F (1)(C)1- F (1.5)【答案】B.【解析】所求概率為 PX 11(D) 1- F (2)X : N (11.5, 1) ，4 PX 11 = P X -11.5 11-11.5 = 1- F(1)11 故本題選 B.22二、填空題（本題共 6 小題，每小題 5 分，共 30 分.請將答案寫在答題紙指定位置上.）+(11)0p【答案】4+【解析】0dx=x2 + 2x + 2dx

13、=x2 + 2x + 2.+dx0 (x +1)2 +1= arctan( x + 1) +p pp0=-=244 x = 2et + t +1, x 0d 2 y(12)設(shè)函數(shù) y = y(x) 由參數(shù)方程 y = 4(t -1)et + t 2, x 0 確定,則 dx2 t =0 = .2【答案】.3dy4tet + 2td 2 y(4et + 4tet + 2)(2et +1) - (4tet + 2t )2et【解析】由=dx2et +1，得=dx2，(2et +1)3將t = 0 帶入得d 2 ydx2t =0= 2 .3(13)歐拉方程 x2 y + xy - 4y = 0 滿足

14、條件 y(1) = 1, y(1) = 2 得解為 y = .【答案】 x2 .【解析】令 x = et， 則 xy = dy, x2 y d 2 ydy=-， 原方程化為d 2 y- 4 y = 0 ， 特征方程為dtdx2dxdx2l2 - 4 = 0 ， 特征根為 l = 2,l = -2 ， 通解為 y = C e2t + C e-2t = C x2 + C x-2 ， 將初始條件121212y(1) = 1, y(1) = 2 帶入得C = 1,C = 0 ，故滿足初始條件的解為 y = x2 .12(14) 設(shè) S 為 空 間 區(qū) 域 (x, y, z) x2 + 4 y 2 4,

15、 0 z 2 x2dydz + y2dzdx + zdxdy = .S【答案】4p.表 面 的 外 側(cè) ， 則 曲 面 積 分2【解析】由高斯公式得原式= (2x + 2 y +1)dV = 0 dz dxdy = 4p.WD(15) 設(shè) A = aij 為 3 階矩陣， Aij 為代數(shù)余子式， 若 A 的每行元素之和均為 2 ， 且A11 + A21 + A31 = .3A = 3 ，【答案】2.11A1【解析】 A1 = 2 1 , Aa= la,l= 2,a= 1 , 則 A* 的特征值為， 對應(yīng)的特征向量為1 11 A A11A21 1 A31 l1 A11 + A21 + A31 1

16、Aa= 1 , A*a=a而 A* = AAA , A* 1 = A + A+ A =1 ，即 l 122232 122232 l 1 AAA 1 A + A+ A 1 132333 132333 3A11 + A21 + A31 = 2 .(16) 甲乙兩個盒子中各裝有 2 個紅球和 2 個白球，先從甲盒中任取一球，觀察顏色后放入乙盒中， 再從乙盒中任取一球.令 X , Y 分別表示從甲盒和乙盒中取到的紅球個數(shù)，則 X 與 Y 的相關(guān)系數(shù) .1【答案】.5 (0, 0)(0,1)(1, 0)(1,1) 01 01 【解答】聯(lián)合分布率( X ,Y ) : 3113 , X : 11 Y : 1

17、1 105510 22 22 cov( X ,Y ) =1 ， DX = 1 , DY = 1 , 即r= 1 .2044XY5三、解答題（本題共 6 小題，共 70 分.請將解答寫在答題紙指定位置上，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）(17)(本題滿分 10 分)求極限lim 1+x et2 dt10- .x0 ex -1sin x 1【答案】.2 1+x et 2 dt1 0sin x -1-x et 2 dt0【解析】解： lim- = limx0 ex -1sin x x0(ex -1) sin x又因為 x et2 dt = x (1+ t 2 + o(t 2 )dt = x

18、 + 1 x3 + o(x3 ) ，故003(x - 1 x3 + o(x3 )(1+ x + 1 x3 + o(x3 ) - x - 1 x2 + o(x2 )原式= lim 3!3!2x0x21 x2 + o(x2 )= lim 2= 1 .x0x22(18)(本題滿分 12 分)- nx1n+1設(shè)un (x) = e+ xn(n +1)(n = 1, 2, K) ，求級數(shù)un (x) 的收斂域及和函數(shù).n=1 e- x+-+【答案】 S (x) = 1 - e- x(1 x) ln(1 x)x, x(0,1). e, x = 1【解析】 e - 11 -1- nxe- xS (x) =

19、u (x) = e nx +n(n + 1)x n+1 , 收斂域(0,1, S (x) = e= 1 - e- x, x (0,1nn=1n=1 n=1S (x) = 1n+1xn+1 - xn+1= -x ln(1 - x) - - ln(1 - x) - x2n=1n(n + 1)n=1nn=1 n + 1x= = (1 - x) ln(1 - x) + x,-S2 (1) = lim S2 (x) = 1x1x (0,1) e- x+-+S (x) = 1 - e- x(1 x) ln(1 x)x, x(0,1) e, x = 1 e - 1(19)(本題滿分 12 分)x2 + 2

20、y2 - z = 6已知曲線C : 4x + 2 y + z = 30 ，求C 上的點到 xoy 坐標面距離的最大值.【答案】66【解析】設(shè)拉格朗日函數(shù) L ( x, y, z,l,m) = z 2 + l(x 2 + 2 y 2 - z - 6 )+ m(4x + 2 y + z - 30)xzL = 2xl+ 4u = 0 L y = 4 yl+ 2u = 0 L = 2z - l+ u = 0 x2 + 2 y2 - z = 6 4x + 2 y + z = 30解得駐點： (4,1,12),(-8, -2, 66)C 上的點(-8, -2, 66) 到 xoy 面距離最大為 66.(2

21、0)(本題滿分 12 分)設(shè) D R2 是有界單連通閉區(qū)域， I (D) =(1) 求 I (D1 ) 的值.(4 - x 2 - y 2 )dxdy 取得最大值的積分區(qū)域記為 D .1D(2) 計算 D1【答案】-p.(xex2 +4 y2 + y)dx + (4 yex2 +4 y2 - x)dy x2 + 4 y2，其中D1 是 D1 的正向邊界.【解析】（1）由二重積分的幾何意義知： I (D) = (4 - x 2 - y 2 )ds，當且僅當4 - x2 - y2 在 D 上D2p22大于 0 時， I (D) 達到最大，故 D ：x2 + y2 4 且 I (D )=dq (4

22、- r )rdr = 8p .1100(2)補 D2 : x + 4 y = r （ r 很小），取 D 的方向為順時針方向，2222D1(xex2 +4 y2 + y)dx + (4 yex2 +4 y2 - x)dy=x2 + 4 y2=D1 +D2(xex2 +4 y2 + y)dx + (4 yex2 +4 y2 - x)dy x2 + 4 y2- D2(xex2 +4 y2 + y)dx + (4 yex2 +4 y2 - x)dy x2 + 4 y2= - 1 er 2 r 2D2xdx + 4ydy -1 er 2r 2D2ydx - xdy =1-2d s= -p.r 2D2(

23、21)(本題滿分 12 分) a已知 A = 11-1a-1 . -1-1a (1) 求正交矩陣 P ,使得 PT AP 為對角矩陣；(2) 求正定矩陣C ,使得C 2 = (a + 3)E - A.-111 326 5-1- 31【答案】(1)P = 111 ；(2) C = -151 .32633 - 102 -115 36【解析】33 l- a-11(1)由 lE - A =-1l- a1= (l- a + 1) 2(l- a - 2) = 011得l1 = a + 2,l2 = l3 = a -1當l1 = a + 2 時l- a 2-11 101 1 (a + 2)E - A) = -121 rr011 的特征向量為a = 1 ， 112 000 當l2 = l3 = a -1所1-1 -1-11 11-1 -1 -1(a -1)