（精心整理）小升初-數(shù)學(xué)-幾何-五大幾何模型

1、五大幾何模型知識框架一、 等積模型等底等高的兩個(gè)三角形面積相等；兩個(gè)三角形高相等，面積比等于它們的底之比；兩個(gè)三角形底相等，面積比等于它們的高之比；夾在一組平行線之間的等積變形，如右圖；反之，如果，則可知直線平行于等底等高的兩個(gè)平行四邊形面積相等(長方形和正方形可以看作特殊的平行四邊形)；三角形面積等于與它等底等高的平行四邊形面積的一半；兩個(gè)平行四邊形高相等，面積比等于它們的底之比；兩個(gè)平行四邊形底相等，面積比等于它們的高之比二、共角定理（鳥頭定理）兩個(gè)三角形中有一個(gè)角相等或互補(bǔ)，這兩個(gè)三角形叫做共角三角形共角三角形的面積比等于對應(yīng)角(相等角或互補(bǔ)角)兩夾邊的乘積之比 三、蝴蝶定理任意四邊形中

2、的比例關(guān)系(“蝴蝶定理”)： 或者蝴蝶定理為我們提供了解決不規(guī)則四邊形的面積問題的一個(gè)途徑通過構(gòu)造模型，一方面可以使不規(guī)則四邊形的面積關(guān)系與四邊形內(nèi)的三角形相聯(lián)系；另一方面，也可以得到與面積對應(yīng)的對角線的比例關(guān)系梯形中比例關(guān)系(“梯形蝴蝶定理”)： ； 的對應(yīng)份數(shù)為四、相似模型(一)金字塔模型 (二) 沙漏模型 ；所謂的相似三角形，就是形狀相同，大小不同的三角形(只要其形狀不改變，不論大小怎樣改變它們都相似)，與相似三角形相關(guān)的常用的性質(zhì)及定理如下：相似三角形的一切對應(yīng)線段的長度成比例，并且這個(gè)比例等于它們的相似比；相似三角形的面積比等于它們相似比的平方；連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中

3、位線三角形中位線定理：三角形的中位線長等于它所對應(yīng)的底邊長的一半相似三角形模型，給我們提供了三角形之間的邊與面積關(guān)系相互轉(zhuǎn)化的工具在小學(xué)奧數(shù)里，出現(xiàn)最多的情況是因?yàn)閮蓷l平行線而出現(xiàn)的相似三角形五、共邊定理（燕尾定理）有一條公共邊的三角形叫做共邊三角形。 共邊定理：設(shè)直線AB與PQ交于點(diǎn)M，則 特殊情況：當(dāng)PQAB時(shí)，易知PAB與QAB的高相等，從而SPAB=SQAB   例題精講一、三角形相似模型【例 1】 圖30-10是一個(gè)正方形，其中所標(biāo)數(shù)值的單位是厘米問：陰影部分的面積是多少平方厘米? 【鞏固】 如圖，四邊形和都是平行四邊形，四邊形的面積是，則四邊形的面積_【例 2】

4、 已知三角形的面積為，是的中點(diǎn)，且，交于，求陰影部分的面積 【鞏固】 圖中是邊長為的正方形，從到正方形頂點(diǎn)、連成一個(gè)三角形，已知這個(gè)三角形在上截得的長度為，那么三角形的面積是多少？ 【例 3】 如圖，是矩形一條對角線的中點(diǎn)，圖中已經(jīng)標(biāo)出兩個(gè)三角形的面積為和，那么陰影部分的一塊直角三角形的面積是多少？【鞏固】 是平行四邊形，面積為72平方厘米，、分別為、的中點(diǎn)，則圖中陰影部分的面積為 平方厘米 二、蝴蝶模型【例 4】 如圖所示，長方形內(nèi)的陰影部分的面積之和為70，AB=8,AD=15四邊形的面積為_ 【鞏固】 如圖5所示，矩形ABCD的面積是24平方厘米，、三角形ADM與三角形BCN的面積之和是

5、7.8平方厘米，則四邊形PMON的面積是 平方厘米?！纠?5】 如圖，是等腰直角三角形，是正方形，線段與相交于點(diǎn)已知正方形的面積48，則的面積是多少？【鞏固】 如圖所示，是梯形，面積是，的面積是9，的面積是27那么陰影面積是多少？【例 6】 如圖，在一個(gè)邊長為6的正方形中，放入一個(gè)邊長為2的正方形，保持與原正方形的邊平行，現(xiàn)在分別連接大正方形的一個(gè)頂點(diǎn)與小正方形的兩個(gè)頂點(diǎn)，形成了圖中的陰影圖形，那么陰影部分的面積為 【鞏固】 下圖中，四邊形都是邊長為1的正方形，、分別是，的中點(diǎn)，如果左圖中陰影部分與右圖中陰影部分的面積之比是最簡分?jǐn)?shù)，那么，的值等于 三、共角定理（燕尾定理）【例 7】 如圖所示

6、，在四邊形中，四邊形的面積是，那么平行四邊形的面積為_       【鞏固】 正六邊形，的面積是平方厘米，分別是正六邊形各邊的中點(diǎn)；那么圖中陰影六邊形的面積是 平方厘米【例 8】 已知四邊形，為正方形，與是兩個(gè)正方形的邊長，求【鞏固】 如圖，三角形的面積是，三角形被分成部分，請寫出這部分的面積各是多少? 【例 9】 如右圖，面積為的中，求陰影部分面積【鞏固】 如圖，的面積為1，點(diǎn)、是邊的三等分點(diǎn)，點(diǎn)、是邊的三等分點(diǎn)，那么四邊形的面積是多少？ 【例 10】 如圖，面積為l的三角形ABC中，D、E、F、G、H、I分別是AB、BC、CA 的

7、三等分點(diǎn),求陰影部分面積. 【鞏固】 如圖，面積為l的三角形ABC中，D、E、F、G、H、I分別是AB、BC、CA 的三等分點(diǎn),求中心六邊形面積.課堂檢測【隨練1】 如圖，在正方形中，、分別在與上，且，連接、，相交于點(diǎn)，過作、得到兩個(gè)正方形和，設(shè)正方形的面積為，正方形的面積為，則_ 【隨練2】 如圖所示，三角形AEF，三角形BDF,三角形BCD，都是正三角形，其中AE:BD=1:3,三角形AEF的面積是1.求陰影部分的面積。家庭作業(yè)【作業(yè)1】 如圖，正六邊形面積為，那么陰影部分面積為多少？【作業(yè)2】 如圖，已知是中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)三角形由這6部分組成，其中比多6平方厘米那么三角形的面積是多少平方厘米？【作業(yè)3】 如下圖，在梯形中，與平行，且，點(diǎn)、分別是和的中點(diǎn)，已知陰影四邊形的面積是54平方厘米，則梯形的面積是 平方厘米【作業(yè)4】 一個(gè)等腰直角三角形和一個(gè)正方形如圖擺放，、這三塊的面積比依次為那么，、這兩塊的面