二次函數(shù)與不等式

1、拋物線與不等式一.選擇題1.（2014?南寧）如圖，已知二次函數(shù)（）C.a>0A.a>1B.-1<a司D.Tvav2(2)y=-x2+2x,當(dāng)-1vxva時(shí)，y隨x的增大而增大，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是2.（2014?黃石）二次函數(shù)y=ax2+bx+cB.x>3（a利的圖象如圖，則函數(shù)值y>0時(shí)，x的取值范圍是（C.-1<x<3D.xvT或x>33. （2014?義烏市）如圖是二次函數(shù)y=-x2+2x+4的圖象，使y4成立的x的取值范圍是（4.（2013?槐蔭區(qū)二模）如圖，直線C.xD.x<-1或x總y=x與拋物線y=x2-x-3交于A、B兩點(diǎn)

2、，點(diǎn)P是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),P作直線PQ，x軸，交直線y=x于點(diǎn)Q,范圍是（A.2（6）5.（2012?石家莊二模）如圖，一次函數(shù)x1或,1設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m,則線段或<xy1=mx+n（m加）與二次函數(shù)y2=ax1vx0過點(diǎn)的取值+bx+c（a加）的圖象相父于兩點(diǎn)PQ的長(zhǎng)度隨m的增大而減小時(shí)m21,5）、B（9,3）,請(qǐng)你根據(jù)圖象寫出使y1為2成立的x的取值范圍（A. - 1a卻二.解答題B. Tv9C. - 1<x<9D. x<- 1 或 x步6. （2013?香洲區(qū)二模）先閱讀理解下面的例題，再按要求解答后面的問題例題：解一元二次不等式x2-3x+2>0./

3、解：令y=x2-3x+2,畫出y=x2-3x+2如圖所示，由圖象可知：當(dāng)x<1或x>2時(shí)，y>0.所以一元二次不等式x23x+2>0的解集為xv1或x>2.填空：（1）x2-3x+2<0的解集為;（2）x2-1>0的解集為用類似的方法解一元二次不等式-x2-5x+6>0.7. (2010?淮北模擬)如圖，直線y=x+m和拋物線y=x2+bx+c都經(jīng)過點(diǎn)A(1,0),B(3,2).(1)求m的值和拋物線的解析式；(2)求不等式x2+bx+c>x+m的解集.(直接寫出答案)8.(2005?濱州)(I)請(qǐng)將下表補(bǔ)充完整;判別式=b2-4ac二次函

4、數(shù)y=ax2+bx+c(a>0)圖象>0二0<0無實(shí)數(shù)根有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根ax2+bx+c=0(a>0)的I./根x潼一，°fJKx=-(xivx2)使y>0的x的取值范圍xvxi或x>x2xW一不等式ax2+bx+c>0(a>0)的解集不等式ax2+bx+cv0(a>0)的解集(n)利用你在填上表時(shí)獲得的結(jié)論，解不等式-x2-2x+3v0;(m)利用你在填上表時(shí)獲得的結(jié)論，試寫出一個(gè)解集為全體實(shí)數(shù)的一元二次不等式；(IV)試寫出利用你在填上表時(shí)獲得的結(jié)論解一元二次不等式ax2+bx+c>0(

5、a加)時(shí)的解題步驟.x都有y注x；0V xv2時(shí)，總9.已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a,b,c均為實(shí)數(shù)且a用)滿足條件：/對(duì)任意實(shí)數(shù)有yJ(x+1),成立.(1)求a+b+c的值；(2)求a-b+c的取值范圍.10 .已知函數(shù)y=x2-2x-3的圖象，根據(jù)圖象回答卜列問題.(1)當(dāng)x取何值時(shí)y=0.(2)方程x2-2x-3=0的解是什么？(3)當(dāng)x取何值時(shí)，y<0?當(dāng)x取何值時(shí)，y>0?(4)不等式x2-2x-3V0的解集是什么？/11 .(2008?株洲)如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,J的圖象為h-4L-2),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3,-1),二次函數(shù)(1)平移拋物

6、線-11,使平移后的拋物線過點(diǎn)A,但不過點(diǎn)B,寫出平移后的拋物線的一個(gè)解析式(任寫一個(gè)即可)(2)平移拋物線11,使平移后的拋物線過A、B兩點(diǎn)，記拋物線為的坐標(biāo)；(3)設(shè)P為y軸上一點(diǎn)，且Saabc=Saabp,求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(4)請(qǐng)?jiān)趫D2上用尺規(guī)作圖的方式探究拋物線12上是否存在點(diǎn)Q,12,如圖2,求拋物線12的函數(shù)解析式及頂點(diǎn)C>AQAB為等腰三角形？若存在，請(qǐng)判斷點(diǎn)Q/共有幾個(gè)可能的位置(保留作圖痕跡)；若不存在，請(qǐng)說明埋Ay*八二下7/n；)j:由.圖圖12.把拋物線y=x2向右、向下平移，使它經(jīng)過點(diǎn)A(1,0)且與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)C,如圖所示.(1)求/ABC的度數(shù)；(2)設(shè)D

7、是平移后拋物線的頂點(diǎn)，若BDLBC,試確定平移的方法.B在A的右側(cè)，與y軸父十點(diǎn)13 .把拋物線y=-2x2+4x+1沿坐標(biāo)軸先向左平移2個(gè)單位，再向下平移3個(gè)單位，問所得的拋物線與x軸有沒有交點(diǎn)，若有，求出交點(diǎn)坐標(biāo)；若沒有，說明理由.14 .(2014?南安市一模)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的兩邊OA、OC分別在x軸、y軸的正半軸上,OA=4,OC=2.點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，沿x軸以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)A時(shí)停止運(yùn)動(dòng),設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t秒.將線段CP的中點(diǎn)繞點(diǎn)P按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90得點(diǎn)D,點(diǎn)D隨點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)，連接DP、DA.(1)請(qǐng)用含t的代數(shù)式表示出點(diǎn)

8、D的坐標(biāo)；(2)求t為何值時(shí)，4DPA的面積最大，最大為多少？(3)在點(diǎn)P從。向A運(yùn)動(dòng)的過程中，4DPA能否成為直角三角形？若能，求t的值.若不能，請(qǐng)說明理由；(4)請(qǐng)直接寫出隨著點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)路線的長(zhǎng).15 .如圖，在梯形ABCD中，AD/BC,AB=AD=DC=4厘米，BC=8厘米，在等腰4PQR中，/QPR=120°,底邊QR=12厘米，點(diǎn)B、C、Q、R在同一直線l上，且C、Q兩點(diǎn)重合.如果等腰4PQR以2厘米/秒的速度沿直線l按箭頭所示方向勻速運(yùn)動(dòng)，t秒時(shí)梯形ABCD與等腰4PQR重合部分的面積記為S平方厘米.(1)當(dāng)t=2時(shí)，求S的值；(2)當(dāng)64局0時(shí)，求S與t的函

9、數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值.16 .如圖，在矩形ABCD中，B(16,12),E、F分別是OC、BC上的動(dòng)點(diǎn)，EC+CF=8.當(dāng)F運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，AAEF的面積最小，最小為多少？1B7.8.ax2+bx+c=0 (a>0)的根使y>0的x的取值范圍(2)解解一x2x2 - 1=0 得，x1二 - 1, x2=1 ,所以，不等式x2 1 >0 的解集為 xv 1 或 x>1;令 y= x2 5x+6 ,-5x+6=0得，xi= - 6, x2=1 ,所以一元二次不等式-故答案為：(1) 1vxv2; (2) xv- 1 或 x>1.解：(1)把點(diǎn)A (1, 0)

10、, B (3, 2)分別代入直線0=1+m , "m= - 1, b= - 3, c=2,所以(2x2- 3x+2 >x - 1,解得:解：(I )判別式 =b2- 4ac二次函數(shù)y=ax2+bx+c (a>0)的圖象xv 1 或 x>3. >0二次方程不等式 ax2+bx+c>0 ( a> 0) 不等式 ax2+bx+c< 0 ( a> 0)的解集xvx1或x>x2的解集x1Vxx2x25x+6>0 的解集為一6vxv1.y=x+m和拋物線y=x2+bx+c得: y=x - 1, y=x2- 3x+2 ; 二0 <0

11、全體實(shí)數(shù)無解(n)由原不等式，得 x2+2x- 3>0, ,=4+12>0,解方程 x2+2x - 3=0 ,全體實(shí)數(shù)無解得不相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為拋物線與不等式參考答案與試題解析；2D3D4D5A.解答題6.解：(1)解x"3x+2=0得x1=1,x2=2,所以，不等式x23x+2<0的解集為1<x<2;9.(a-1) (x- 1)2碼，因?yàn)?vxv2, (x-1)用，故x1=-3,x2=1,a=1>0,，原不等式的解集為：xv-3或x>1;(若畫出函數(shù)y=x2+2x-3的圖象，并標(biāo)出與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)而得解集的，同樣可以)/(出)如x2+x

12、+1>0等，(只要寫出滿足要求的一個(gè)一元二次不等式即可)；/(IV)(1)先把二次項(xiàng)系數(shù)化為正數(shù)；(2)求判別式的值；(3)求方程ax2+bx+c=0的實(shí)數(shù)根；(4)寫出一元二次不等式的解集.解：(1)由題意可知對(duì)任意實(shí)數(shù)x都有y2,當(dāng)x=1時(shí)，y或；且當(dāng)0vxv2時(shí)，總有yi(x+1)'成立，故當(dāng)x=1,yK,當(dāng)x=1時(shí)，y=2,故二次函數(shù)y=ax2+bx+c經(jīng)過(1,2)點(diǎn)，a+b+c=2;22)ax2+bx+c2x,ax2+(b2)x+c主，由(1)知b=2ac,代入得=(a+c)24ac池(ac)20,所以 c=a, b=2 - 2a.再列得 ax2+bx+c(x+1)

13、2 2,把c=a,b=2-2a代入可得(a工)x2-2(a-)x+a22根據(jù)圖象法可得此拋物線要永遠(yuǎn)在y=2x這條一次函數(shù)上方滿足a>0.綜上所述,a的取值范圍是0va<,a-b+c=4a-2,把a(bǔ)的取值范圍代入可得-2va-b+c碼.10.解：(1)由圖象知，函數(shù)y=x2-2x-3與x軸的交點(diǎn)為(-1,0),(3,0),所以當(dāng)x=-1或3時(shí)，y=0;(2)由圖象知，x22x3=0的解為x1=-1,x2=3;(3)(4) 解： 得到由圖象知，當(dāng)-1vx<3時(shí)，yv0,當(dāng)xv-1或x>3時(shí)，y>0;不等式x2-2x-3v0的解集為-1Vx<3.(1)讓拋物線過

14、點(diǎn)A,即把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入計(jì)算，得到，b+c=-1,不過點(diǎn)B,則把點(diǎn)B的坐標(biāo)代入3b+c布，依此兩個(gè)要求，隨便找一個(gè)數(shù)即可.故平移后的拋物線的一個(gè)解析式D0黜1答國(guó)J-2= -(2)設(shè)12的解析式為+bx+c,聯(lián)立方程組,解得:,則12的解析y= - x一 1二一 9+3b+c2式為y=-x2+1-12x-點(diǎn)C的坐標(biāo)為(9 ，力)416(3)如答圖1,過點(diǎn)A、B、C三點(diǎn)分別作x軸的垂線，垂足分別為 D、E、F,則AD=2 , CF=-L , BE=1 ,ISy=-x2+2x-3或y=-x2+4x-5等(滿足條件即可)；5-|),設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0, h),Saabc=Sa abp=當(dāng)點(diǎn)P位于點(diǎn)G

15、的上方時(shí),綜上所述所求點(diǎn)P的坐標(biāo)為(55，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,25獨(dú)、16)FGjfh,同理h二一S，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0, 2161625、0,-羽或(0,E3_IE4'DE=2,DF=,FE=,得：SzABC=S梯形ABEDS梯形BCFES梯形ACFD=延長(zhǎng)BA父y軸于點(diǎn)G,直線、4,41&AB的解析式為y=x-春，則點(diǎn)G的坐標(biāo)為(0,22當(dāng)點(diǎn)P位于點(diǎn)G的下方時(shí)，PG二一£H,連接AP、BP,則Saabp=Sabpg-Saapg=2(4)作圖痕跡如答圖2所示.12.若AB為等腰三角形的腰，則分別以若AB為等腰三角形的底邊, 由圖可知，滿足條件的點(diǎn)有 解：(1)設(shè) B (

16、a, 0),拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)則作A、B為圓心，以AB長(zhǎng)為半徑畫圓，交拋物線分別于Q1、Q2；AB的垂直平分線，交拋物線分別于Q3、Q4,Q1、Q2、Q3、Q4,共4個(gè)可能的位置.(a> 1),則平移后拋物線解析式為y= (x-1) (x-a) =x2- ( a+1)x+a，C (0, a),即 OB=OC=a , / ABC=45 °& 一 口(2)根據(jù)題意，得 |AB|二a-1, Z ABD= Z CBD - ZABC=45 °,D 點(diǎn)坐標(biāo)為(11-),即)，代入拋物線y= (x-1) (x-a)中，得(T) (a+1a)=13.14.解得a=3, .

17、 D (2, - 1),故拋物線y=x2向右平移2個(gè)單位，再向下平移1個(gè)單位，得到新拋物線. 解：所得的拋物線與 x軸有交點(diǎn).y= - 2x2+4x+1= - 2 (x- 1) 2+3,平移后的解析式是：y= - 2 (x+1)2. 令 y=0 ,得-2 (x+1) 2=0, x1=x2= - 1 .，交點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,0).解：(1) .點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，沿x軸以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn) A勻速運(yùn)動(dòng)，.-.OP=t,而OC=2,P (t, 0),設(shè)CP的中點(diǎn)為F,則F點(diǎn)的坐標(biāo)為(上，1), z2將線段CP的中點(diǎn)F繞點(diǎn)P按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得點(diǎn)D,其坐標(biāo)為(t+1 ,工)；2(2)D

18、點(diǎn)坐標(biāo)為(t+1 ,OA=4 ,SdpaJaP d22 2(4 t)叱(4t t2)12 4(t - 2) 2+1 4.當(dāng)(3)t=2時(shí)，S最大=1 ； 能構(gòu)成直角三角形.當(dāng)/ PDA=90 時(shí)，PC/ AD ,由勾股定理得，PD2+AD 2=AP 2,即(上)2+1+ (4-1-1) + 2222= (4-t)解得，t=2或t=-6 (舍去). t=2 秒.當(dāng)/ PAD=90。時(shí)，此時(shí)點(diǎn) D在AB上,DO515.在RtAQMC中，有 MC=2 , QM=2近，可以Samqc=|qM?MC=>2/3 >2=2/-3 (cm 2);可知，COPspad,三二三PDPA'也2-RlTfa,PA=1,即t+1=4,t=3秒.綜上，可知當(dāng)t為2秒或3秒時(shí)，4DPA能成為直角三角形.(4)根據(jù)點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)路線與OB平行且相等，OB=2而,，點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)路線的長(zhǎng)為2/5.解：(1)由題意得：當(dāng)t=2時(shí)，Q點(diǎn)遠(yuǎn)動(dòng)到BC中點(diǎn)處，如圖所示，