給排水與采暖工程

1、第三節(jié)第三節(jié) 反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一反函數(shù)的求導(dǎo)法則一反函數(shù)的求導(dǎo)法則定理定理dydxdxdyyxfIxfyyIyxxy1 )(1)(, )(,0)( , )( ，或，或且有且有內(nèi)也可導(dǎo)內(nèi)也可導(dǎo)在對應(yīng)區(qū)間在對應(yīng)區(qū)間那么它的反函數(shù)那么它的反函數(shù)且且內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)在某區(qū)間在某區(qū)間如果函數(shù)如果函數(shù) 即即 反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于直接函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù)反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于直接函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù).證證,xIx 任取任取xx 以以增增量量給給的的單單調(diào)調(diào)性性可可知知由由)(xfy , 0)()( xfxxfy于是有于是有,1yxxy ,)(連連續(xù)續(xù)xfy ，0lim0 yx0)( y 又知又

2、知xyxfx 0lim)(yxy 1lim0)(1y ), 0(xIxxx 續(xù)續(xù)），內(nèi)內(nèi)單單調(diào)調(diào)、可可導(dǎo)導(dǎo)（從從而而連連在在 )(yIyx 0lim0 yxy內(nèi)內(nèi)單單調(diào)調(diào)、連連續(xù)續(xù)，在在對對應(yīng)應(yīng)區(qū)區(qū)間間其其反反函函數(shù)數(shù) )( xIxfy yxy 0lim1例例3.13.1.arcsin的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求反正弦函數(shù)求反正弦函數(shù)xy 解解,)2,2(sin內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)在在而而 yIyx, 0cos)(sin yy且且內(nèi)每一點處可導(dǎo)，內(nèi)每一點處可導(dǎo)， 對應(yīng)區(qū)間對應(yīng)區(qū)間在在)1 , 1(arcsin xIxy)(sin1)(arcsin yxycos1 y2sin11 .112x , 2,2,

3、sin arcsin的反函數(shù)的反函數(shù)是是 yyxxy211)(arcsin (11) xx 即即.11)(arccos )12(2xx 同理可得同理可得并并且且211)(arctan )13( xx 即即例例3.23.2.arctan的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)求求反反正正切切函函數(shù)數(shù)xy ,)2,2(tan內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)在在而而 yIyx, 0sec)(tan2 yy且且)(tan1)(arctan yxy2sec1 y2tan11 .112x , )2,2(,tan arctan的反函數(shù)的反函數(shù)是是 yyxxy解解211)cot( )14( xxarc 同理可得同理可得內(nèi)每一點處可導(dǎo)，內(nèi)每一點處

4、可導(dǎo)， 對應(yīng)區(qū)間對應(yīng)區(qū)間在在),(arctan xIxy并并且且例例3.33.3.)1, 0(log的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求對數(shù)函數(shù)求對數(shù)函數(shù) aaxya, 0ln)( aaayy且且)(1)(log yaaxaayln1 .ln1ax 解解,),(內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)在在 yyIax特別地特別地.1)(lnxx ,),(,log的反函數(shù)的反函數(shù) 是是 yaxxyya內(nèi)內(nèi)每每一一點點處處可可導(dǎo)導(dǎo)， 對對應(yīng)應(yīng)區(qū)區(qū)間間在在), 0(log xaIxy并且并且二復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則二復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 在眾多的函數(shù)中在眾多的函數(shù)中, 我們遇見的更多的是復(fù)合函數(shù)我們遇見的更多的是復(fù)合函數(shù). 例例如函數(shù)如函數(shù)

5、, 這是一個極為簡單的函數(shù)這是一個極為簡單的函數(shù), 但我們但我們要求它的導(dǎo)數(shù)就沒那么簡單要求它的導(dǎo)數(shù)就沒那么簡單. 事實上事實上, 由導(dǎo)數(shù)的乘積公由導(dǎo)數(shù)的乘積公式式, 得得xy2sin )2(sin x)cos(sin2 xx)sinsincos(cos2xxxx x2cos2 對一個如此簡單的函數(shù)對一個如此簡單的函數(shù), 求其導(dǎo)數(shù)都那么困難求其導(dǎo)數(shù)都那么困難, 這就這就提示我們有必要討論復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則提示我們有必要討論復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則. 利用相應(yīng)的利用相應(yīng)的法則來簡化某些復(fù)雜函數(shù)的導(dǎo)數(shù)計算法則來簡化某些復(fù)雜函數(shù)的導(dǎo)數(shù)計算.定理（復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則）定理（復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則）).()()(,)

6、(,)()(,)(xufxfxxfyxuufyxxu 且其導(dǎo)數(shù)為且其導(dǎo)數(shù)為處也可導(dǎo)處也可導(dǎo) 在點在點則復(fù)合函數(shù)則復(fù)合函數(shù)處可導(dǎo)處可導(dǎo) 在對應(yīng)點在對應(yīng)點 而函數(shù)而函數(shù)處可導(dǎo)處可導(dǎo) 在點在點如果函數(shù)如果函數(shù)即即 復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于函數(shù)對中間變量的導(dǎo)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于函數(shù)對中間變量的導(dǎo)數(shù)數(shù), ,乘以中間變量對自變量的導(dǎo)數(shù)乘以中間變量對自變量的導(dǎo)數(shù). .證證,)(可可導(dǎo)導(dǎo)在在點點由由uufy )(lim0ufuyu )0lim()(0 uufuy故故uuufy )(則則xyx 0lim)(lim0 xuxuufx xuxuufxux 000limlimlim)( )(0)()(xxuf )()(xuf

7、 注：注：dxdvdvdududydxdyxfyxvvuufy 的導(dǎo)數(shù)為的導(dǎo)數(shù)為則復(fù)合函數(shù)則復(fù)合函數(shù)若若中間變量的情形：中間變量的情形：此定理可推廣到有限個此定理可推廣到有限個）（ )( , )( , )( , )( 2 dxdududydxdy 1，常記作：，常記作：）此定理也叫鏈式法則）此定理也叫鏈式法則（)( )( 3xgfxgf 與與）區(qū)分記號：）區(qū)分記號：（例例3.43.4. ),0( )ln(dxdyxxy求求 解解dxdududydxdy , , ln )ln(復(fù)復(fù)合合而而成成由由xuuyxy )( )(ln xuxxu1)1(1)1( 1 xx1) |(ln 一般地，一般地，例

8、例3.53.5.)1, 0(的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)求函數(shù) aaayx解解axxeayln , ,復(fù)復(fù)合合而而成成 由由axueyuln, dxdududydxdy )ln()( axeuaeuln aeaxlnln aaxln aaaxxln)( 即即例例3.63.6.2的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)求求函函數(shù)數(shù)xey 解解dxdududydxdy , ,復(fù)復(fù)合合而而成成 由由2,2xueyeyux )()(2 xeu222xuxexe 例例3.73.7.,12sin2dxdyxxy求求 解解. 12,sin 12sin22復(fù)合而成復(fù)合而成由由xxuuyxxy dxdududydxdy )12( )(sin2 xx

9、u )1()2()1(2 cos2222xxxu 222212cos )1()1(2xxxx 解解.tan,lntanln復(fù)合而成復(fù)合而成 由由 xuuyxy dxdududydxdy xu2sec1 xx cscsec )(tan )(ln xuxx2sectan1 例例3.83.8.tanln的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)求求函函數(shù)數(shù)xy 解解)tan(ln xdxdy )(tan tan1 xxxx2sectan1 xx cscsec 例例3.93.9. ,2132dxdyxy求求 解解)21(312 xdxdy322)21(31 x)21(2 x322)21(31x )4(x 322)21(34xx 例

10、例3.103.10.,cosln 求求 dxdyeyx 解解dxdy)(coscos1 xxee)(coscos1 xxee)()sin(cos1 xxxeeexxee tanxxee tan 例例3.113.11.1arcsin2的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)求求 xy解解dxdy)1()1(11222 xx)1(121)1(112222 xxxxxx2)1)(2(2122 )1)(2(22 xxx三初等函數(shù)的求導(dǎo)問題三初等函數(shù)的求導(dǎo)問題xxxxxxxCtansec)(secsec)(tancos)(sin0)(2 1.基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式xxxxxxxxxcotcsc)(csccsc

11、)(cotsin)(cos)(21 axxaaaaxxln1)(logln)( xxeexx1)(ln)( 2211)(arctan11)(arcsinxxxx 2211)cot(11)(arccosxxxx arc2.函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則設(shè)設(shè))(),(xvvxuu 可導(dǎo)，則可導(dǎo)，則（1） vuvu )(, （2）uccu )(（3）vuvuuv )(, （4）)0()(2 vvvuvuvu.( ( 是常數(shù)是常數(shù)) )C 2)1(5vvv ）（3.反函數(shù)的求導(dǎo)法則反函數(shù)的求導(dǎo)法則dydxdxdyyxfIxfyyIyxxy1 )(1)(, )(,0)( )

12、( ，或，或且有且有內(nèi)也可導(dǎo)內(nèi)也可導(dǎo)在對應(yīng)區(qū)間在對應(yīng)區(qū)間則它的反函數(shù)則它的反函數(shù)內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)且內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)且在區(qū)間在區(qū)間若若 4.復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則利用上述導(dǎo)數(shù)公式及求導(dǎo)法則，初等函數(shù)求導(dǎo)問利用上述導(dǎo)數(shù)公式及求導(dǎo)法則，初等函數(shù)求導(dǎo)問題可完全解決題可完全解決.注意注意: :初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍為初等函數(shù)初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍為初等函數(shù).).()()(,)(,)()(,)(xufxfxxfyxuufyxxu 且其導(dǎo)數(shù)為且其導(dǎo)數(shù)為處也可導(dǎo)處也可導(dǎo) 在點在點則復(fù)合函數(shù)則復(fù)合函數(shù)處可導(dǎo)處可導(dǎo) 在對應(yīng)點在對應(yīng)點 而函數(shù)而函數(shù)處可導(dǎo)處可導(dǎo) 在點在點如果函數(shù)如果函數(shù)例例3.123.12xxxynxnx

13、yaxxyxxyn )4()( sinsin )3()ln( )2()31( )1(222為常數(shù)為常數(shù)求導(dǎo)：求導(dǎo)：例例3.133.1311ln41 )2(11ln )1(222 xxyxy求導(dǎo)：求導(dǎo)：例例3.143.14xxxyxysin )2( )1( 求導(dǎo)：求導(dǎo)：例例3.153.15)(cos)(sin )2( e)( )1( )( 22)(xfxfyefyxxfxfx 的導(dǎo)數(shù)：的導(dǎo)數(shù)：可導(dǎo)，求下列函數(shù)關(guān)于可導(dǎo)，求下列函數(shù)關(guān)于設(shè)設(shè)例例.)1(102的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)求函數(shù) xy解解)1()1(10292 xxdxdyxx2)1(1092 .)1(2092 xx例例.arcsin22222的

14、導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)求函數(shù)axaxaxy 解解)arcsin2()2(222 axaxaxy2222222222121xaaxaxxa .22xa )0( a例例.)2(21ln32的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)求函數(shù) xxxy解解),2ln(31)1ln(212 xxy)2(31211212 xxxy)2(3112 xxx例例.1sin的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)求函數(shù)xey 解解)1(sin1sin xeyx)1(1cos1sin xxex.1cos11sin2xexx 例例.的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)求函數(shù)xxxy 解解)(21 xxxxxxy)(211(21 xxxxxxx)211(211(21xxxxxx .8124

15、22xxxxxxxxxx 例例.)(sin的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)求函數(shù)nnnxfy 解解)(sin)(sin1nnnnnxfxnfy )(sin)(sin1nnnxxn 1cos nnnxx).(sin)(sin)(sin)(sincos1113nnnnnnnnnnxxfxxfxxn 例例).(,0),1ln(0,)(xfxxxxxf 求求設(shè)設(shè)解解, 1)( xf,0時時當當 x,0時時當當 xhxhxxfh)1ln()1ln(lim)(0 )11ln(1lim0 xhhh ,11x ,0時時當當 xhhfh)01ln()0(lim)0(0 , 1 hhfh)01ln()0(1lnlim)0(0

16、, 1 . 1)0( f.0,110, 1)( xxxxf三、小結(jié)三、小結(jié)注意注意:);()( )()(xvxuxvxu .)()()()(xvxuxvxu 分段函數(shù)分段函數(shù)求導(dǎo)時求導(dǎo)時, 分界點導(dǎo)數(shù)用左右導(dǎo)數(shù)求分界點導(dǎo)數(shù)用左右導(dǎo)數(shù)求.思考題思考題 求曲線求曲線 上與上與 軸平行軸平行的切線方程的切線方程.32xxy x思考題解答思考題解答232xy 令令0 y0322 x321 x322 x切點為切點為 964,32 964,32所求切線方程為所求切線方程為964 y964 y和和一、一、 填空題：填空題：1 1、 設(shè)設(shè)xxysin ，則，則y = = _._.2 2、 設(shè)設(shè)xeayxx23

17、 ，則則dxdy=_.=_.3 3、 設(shè)設(shè))13(2 xxeyx, ,則則0 xdxdy= = _._.4 4、 設(shè)設(shè)1sectan2 xxy, ,則則y = =_._.5 5、 設(shè)設(shè)553)(2xxxfy , ,則則)0(f = =_._.6 6、 曲線曲線xysin2 在在0 x處的切線處的切線軸軸與與x正向的正向的夾角為夾角為_._.練練 習習 題題二、二、 計算下列各函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：計算下列各函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：1 1、 211xxy ；2 2、110110 xxy；3 3、 21csc2xxy ； 4 4、ttxf 11)(, ,求求)4(f ； 5 5、)0, 0( baaxxbbaybax.

18、 .三、三、 求拋物線求拋物線cbxaxy 2上具有水平切線的點上具有水平切線的點. .四、四、 寫出曲線寫出曲線xxy1 與與x軸交點處的切線方程軸交點處的切線方程. .一、一、1 1、)cos2sin(xxxx ；2 2、22ln3xeaaxx ； 3 3、2 ； 4 4、)tansec2(secxxx ；5 5、253；6 6、4 . .二、二、1 1、 22)1(21xxx ； 2 2、2)110(10ln210 xx； 3 3、222)1(2cot)1(csc2xxxxx ； 4 4、181； 5 5、)(ln)()()(xbabaaxxbbabax . .三、三、)44,2(2aa

19、cbab . .四、四、022 yx和和022 yx. .練習題答案練習題答案三、小結(jié)三、小結(jié)反函數(shù)的求導(dǎo)法則反函數(shù)的求導(dǎo)法則（注意成立條件）（注意成立條件）;復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則（注意函數(shù)的復(fù)合過程（注意函數(shù)的復(fù)合過程,合理分解正確使用鏈合理分解正確使用鏈導(dǎo)法）導(dǎo)法）;已能求導(dǎo)的函數(shù)已能求導(dǎo)的函數(shù):可分解成基本初等函數(shù)可分解成基本初等函數(shù),或?；虺?shù)與基本初等函數(shù)的和、差、積、商數(shù)與基本初等函數(shù)的和、差、積、商.思考題思考題 若若)(uf在在0u不可導(dǎo)，不可導(dǎo)，)(xgu 在在0 x可導(dǎo)，且可導(dǎo)，且)(00 xgu ，則，則)(xgf在在0 x處處（ ）（1）必可導(dǎo)；）必可導(dǎo)

20、；（2）必不可導(dǎo)；）必不可導(dǎo)；（3）不一定可導(dǎo)；）不一定可導(dǎo)；思考題解答思考題解答正確地選擇是正確地選擇是（3）例例|)(uuf 在在 處不可導(dǎo)，處不可導(dǎo)，0 u取取xxgusin)( 在在 處可導(dǎo)，處可導(dǎo)，0 x|sin|)(xxgf 在在 處不可導(dǎo)，處不可導(dǎo)，0 x )1(取取4)(xxgu 在在 處可導(dǎo)，處可導(dǎo)，0 x44|)(xxxgf 在在 處可導(dǎo)，處可導(dǎo)，0 x )2(一、一、 填空題：填空題：1 1、 設(shè)設(shè)4)52( xy, ,則則y = =_._.2 2、 設(shè)設(shè)xy2sin , ,則則y = =_._.3 3、 設(shè)設(shè))arctan(2xy , ,則則y = =_._.4 4、

21、設(shè)設(shè)xycosln , ,則則y = =_._.5 5、 設(shè)設(shè)xxy2tan10 ，則，則y = =_._.6 6、 設(shè)設(shè))(xf可導(dǎo)，且可導(dǎo)，且)(2xfy ， 則則dxdy= =_._.7 7、 設(shè)設(shè)xkexftan)( , ,則則)(xf = =_， 若若ef 4 ，則，則 k_._.練練 習習 題題二、二、 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：1 1、 xy1arccos ； 2 2、xxy2sin ；3 3、)ln(22xaxy ；4 4、)cotln(cscxxy ；5 5、2)2(arcsinxy ； 6 6、xeyarctan ；7 7、xxyarccosarcsin ； 8

22、8、xxy 11arcsin. .三、三、 設(shè)設(shè))(xf，)(xg可導(dǎo)，且可導(dǎo)，且0)()(22 xgxf, ,求函數(shù)求函數(shù))()(22xgxfy 的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù) . .四四、設(shè)設(shè))(xf在在0 x處處可可導(dǎo)導(dǎo)，且且0)0( f，0)0( f, ,又又)(xF在在0 x處處可可導(dǎo)導(dǎo)，證證明明 )(xfF在在0 x處處也也可可導(dǎo)導(dǎo) . .一、一、1 1、3)52(8 x； 2 2、x2sin； 3 3、412xx ； 4 4、xtan ； 5 5、)2sec22(tan10ln1022tanxxxxx ； 6 6、)(22xfx ； 7 7、xxkekxk21tansectan , ,21. .二、二、1 1、122 xxx； 2 2、22sin2cos2xxxx ；3 3、221xa ； 4 4、xcsc； 5 5、242arcsin2xx ； 6 6、)1(2arctanxxex ；練習題答案練習題答案 7 7、22)(arccos12xx ； 8 8、)1(2)1(1xxx . .三三、)()()()()()(22xgxfxgxgxfxf . .三、小結(jié)三、小結(jié)任何初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)都可以按常數(shù)和基本初任何初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)都可以按常數(shù)和基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式和上述求導(dǎo)法則求出等函數(shù)的求導(dǎo)