上海重點(diǎn)中學(xué)2010學(xué)年第一學(xué)期期中考試高三數(shù)學(xué)試卷（理科答案）

1、.上海重點(diǎn)中學(xué)2010學(xué)年第一學(xué)期期中考試高三數(shù)學(xué)試卷（理科）考生注意：本試卷共有20道試題，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘一.填空題（本大題滿分40分）本大題共有10題，考生必須在答題紙相應(yīng)編號的空格內(nèi)直接填寫結(jié)果，每個(gè)空格填對得4分，否則一律得零分.1.若，則正整數(shù)的值為_10_.2.函數(shù)的反函數(shù)是 3.記的展開式中第m項(xiàng)的系數(shù)為，若，則的值為_5_.4.方程的解集為 .5.在平面直角坐標(biāo)系中，以軸為始邊作兩個(gè)銳角,，它們的終邊分別與單位圓相交于A、B兩點(diǎn)，已知A、B的橫坐標(biāo)分別為則tan()的值為_.6.已知函數(shù)，若存在使成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_.7.不等式的解集是_.8.已知函數(shù)，

2、則當(dāng)時(shí)，自變量的取值范圍是_.9.已知函數(shù)，若關(guān)于x的方程在區(qū)間上有實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_.10.設(shè)是定義在上的奇函數(shù)，且對于任意的，恒成立，當(dāng)時(shí)，.若方程恰好有5個(gè)不同的解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_.二.選擇題（本大題滿分20分）本大題共有4題，每題有且只有一個(gè)正確答案，將代表答案的小方格涂黑，選對得5分，否則一律得零分.11若，則M，N兩個(gè)集合的關(guān)系是（ D ）ABCD12“成立”是“成立”的（ A ）A充分而不必要條件 B必要而不充分條件 C充分必要條件 D既不充分也不必要條件13.在中，分別是角的對邊，且，則是（ B ）A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三

3、角形或直角三角形14.已知二次函數(shù)（其中）的圖像如下面右圖所示，則函數(shù)的圖像是 ( A ) f (x)三.解答題（本大題滿分90分）本大題共有6題，解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟15（本題滿分12分）本題共有2個(gè)小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分6分.已知集合，集合，集合（1）求AB；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍解：（1）或， 2分= 4分所以AB= 6分（2）因?yàn)?，所以?0分因此實(shí)數(shù)a的取值范圍是 12分16.（本題滿分14分）本題共有2個(gè)小題，第1小題滿分8分，第2小題滿分6分.在中，（1）求角C； （2）求的面積解：（1）由，得，所以 4分因?yàn)椋?分又， 故

4、 8分（2）根據(jù)正弦定理得， 11分所以的面積為 14分17（本題滿分14分）本題共有2個(gè)小題，第1小題滿分8分，第2小題滿分6分.已知函數(shù)（1）求函數(shù)的最小正周期及最值；（2）令，判斷函數(shù)的奇偶性，并加以證明解：（1） 4分的最小正周期 6分當(dāng)時(shí)，取得最小值；當(dāng)時(shí)，取得最大值28分（2）由（1）知又 11分 13分函數(shù)是偶函數(shù) 14分18（本題滿分14分）本題共有2個(gè)小題，第1小題滿分9分，第2小題滿分5分.現(xiàn)建造一條防洪堤，其斷面為等腰梯形，腰與底邊成角為（如圖），考慮到防洪堤堅(jiān)固性及石塊用料等因素，設(shè)計(jì)其斷面面積為平方米，為了使堤的上面與兩側(cè)面的水泥用料最省，則斷面的外周長（梯形的上底線

5、段與兩腰長的和）要最小.（1）求外周長的最小值，此時(shí)防洪堤高h(yuǎn)為多少？（2）如防洪堤的高限制在范圍內(nèi)，則外周長的最小應(yīng)為多少米？【解】（1）依題意有，所以 3分所以 6分 當(dāng)，即時(shí)等號成立. 所以外圍的周長的最小值為米，此時(shí)堤高米.-9分（2）由（1）知， 因?yàn)楹瘮?shù)在遞增 11分所以當(dāng)時(shí)，（米） 13分故外周長最小應(yīng)為米. 14分19.（本題滿分18分）本題共有2個(gè)小題，第1小題滿分10分，第2小題滿分8分.請認(rèn)真閱讀并思考以下五個(gè)命題：若函數(shù)的圖像與其反函數(shù)的圖像存在公共點(diǎn)，則該公共點(diǎn)必在直線上.函數(shù)是奇函數(shù)的充要條件是.若定義在R上的函數(shù)滿足和，則函數(shù)一定是偶函數(shù).已知函數(shù)在上是增函數(shù)，若

6、，且，則.設(shè)函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱，則函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù).（1）請你將五個(gè)命題中真命題的序號全部選擇出來，并選擇其中一個(gè)加以證明；（2）請你將五個(gè)命題中假命題的序號全部選擇出來，并選擇其中一個(gè)加以證明.解：（1）真命題的序號是. 3分的證明：由得，.又由得，函數(shù)是偶函數(shù).故命題是真命題.的證明：因?yàn)樵赗上是增函數(shù)，且，所以.同向相加得. 故命題是真命題.的證明：由得.依題意知，函數(shù)與其反函數(shù)是同一函數(shù)，. .設(shè)，函數(shù)在上是減函數(shù).故命題是真命題. 10分（2）假命題的序號是. 12分的證明：取，則.函數(shù)的圖像與其反函數(shù)的圖像有三個(gè)公共點(diǎn)，且只有一個(gè)公共點(diǎn)在直線上，而另外兩個(gè)公共點(diǎn)和都不在直線上.所以命題是假命題.的證明：當(dāng)時(shí)，.由，得.所以函數(shù)不是奇函數(shù). 故命題是假命題. 18分20.（本題滿分18分）本題共有3個(gè)小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分7分，第3小題滿分7分.已知函數(shù)定義在R上.（1）若存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若可以表示為一個(gè)偶函數(shù)與一個(gè)奇函數(shù)之和，設(shè)，求出的解析式；（3）若對任意都有成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.解：（1）依題意有，即關(guān)于的方程有解.2分而，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立， 故實(shí)數(shù)m的取值范圍是. 4分（2）假設(shè)，其中為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，則有，即，由解得，. 6分定義在R上，都定義在R上