第七章第五節(jié)曲線和方程課件.

1、 定義定義(教材教材P74)：在直角坐標(biāo)系中，在直角坐標(biāo)系中，如果某曲線如果某曲線C上的點(diǎn)與一個(gè)二元方程上的點(diǎn)與一個(gè)二元方程f(x，y) = 0的實(shí)數(shù)解建立了如下關(guān)系：的實(shí)數(shù)解建立了如下關(guān)系： (1) 曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解；程的解；(點(diǎn)不比解多點(diǎn)不比解多) (純粹性純粹性) (2) 以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn)是曲線上的點(diǎn) (解不比點(diǎn)多解不比點(diǎn)多) (完備性完備性) 那么，這個(gè)方程叫做那么，這個(gè)方程叫做曲線的方程曲線的方程；這條曲線叫做這條曲線叫做方程的曲線方程的曲線(圖形圖形) 在笛卡爾以前，人們對(duì)代數(shù)方程在笛卡爾以前

2、，人們對(duì)代數(shù)方程已經(jīng)有了一定的研究，但是對(duì)于二元已經(jīng)有了一定的研究，但是對(duì)于二元方程的研究較少，因?yàn)榇蠹艺J(rèn)識(shí)到方程的研究較少，因?yàn)榇蠹艺J(rèn)識(shí)到二二元方程元方程f(x，y) = 0的解都是不確定的解都是不確定的的對(duì)于這種對(duì)于這種“不定方程不定方程f(x，y) = 0”，除了有少數(shù)人研究它的整數(shù)解以外，除了有少數(shù)人研究它的整數(shù)解以外，大多數(shù)人都認(rèn)為研究它是沒(méi)有意義的，大多數(shù)人都認(rèn)為研究它是沒(méi)有意義的，是不必要的笛卡爾卻對(duì)這個(gè)是不必要的笛卡爾卻對(duì)這個(gè)“沒(méi)有沒(méi)有意義的課題意義的課題”賦予了新的生命，賦予了新的生命，1坐標(biāo)法坐標(biāo)法 他沒(méi)有把他沒(méi)有把x，y看成是未知數(shù)，而看成是未知數(shù)，而是創(chuàng)造性地把是創(chuàng)造性

3、地把x看成是看成是變量變量(從此，變從此，變量引入了數(shù)學(xué)量引入了數(shù)學(xué))，讓，讓x連續(xù)地變，則對(duì)連續(xù)地變，則對(duì)每一個(gè)確定的每一個(gè)確定的x值，一般來(lái)說(shuō)都可以值，一般來(lái)說(shuō)都可以從方程從方程f(x，y) = 0算出相應(yīng)的算出相應(yīng)的y值值(這就這就是是函數(shù)思想的萌芽函數(shù)思想的萌芽)然后，他把這些然后，他把這些點(diǎn)的集合構(gòu)成了一條曲線點(diǎn)的集合構(gòu)成了一條曲線C由這樣由這樣得出的曲線得出的曲線C和方程和方程f(x，y) = 0有非常有非常密切的關(guān)系：密切的關(guān)系： 1坐標(biāo)法坐標(biāo)法 曲線上每一個(gè)點(diǎn)的一對(duì)坐標(biāo)都是曲線上每一個(gè)點(diǎn)的一對(duì)坐標(biāo)都是方程的一個(gè)實(shí)數(shù)解；反之，方程的每方程的一個(gè)實(shí)數(shù)解；反之，方程的每一個(gè)實(shí)數(shù)解對(duì)應(yīng)

4、的點(diǎn)都在曲線上這一個(gè)實(shí)數(shù)解對(duì)應(yīng)的點(diǎn)都在曲線上這就是說(shuō)，曲線上的點(diǎn)集和方程的實(shí)數(shù)就是說(shuō)，曲線上的點(diǎn)集和方程的實(shí)數(shù)解集具有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系這個(gè)解集具有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系這個(gè)“一一一對(duì)應(yīng)一對(duì)應(yīng)”的關(guān)系導(dǎo)致了曲線的研究也的關(guān)系導(dǎo)致了曲線的研究也可以轉(zhuǎn)化成對(duì)曲線方程的研究可以轉(zhuǎn)化成對(duì)曲線方程的研究1坐標(biāo)法坐標(biāo)法 這種通過(guò)研究方程的性質(zhì)，間接這種通過(guò)研究方程的性質(zhì)，間接地來(lái)研究曲線性質(zhì)的方法叫做地來(lái)研究曲線性質(zhì)的方法叫做坐標(biāo)法坐標(biāo)法(就是借助于坐標(biāo)系研究幾何圖形的方就是借助于坐標(biāo)系研究幾何圖形的方法法) 根據(jù)幾何圖形的特點(diǎn)，可以建立根據(jù)幾何圖形的特點(diǎn)，可以建立不同的坐標(biāo)系不同的坐標(biāo)系最常用的坐標(biāo)系是直最常用的坐

5、標(biāo)系是直角坐標(biāo)系和極坐標(biāo)系角坐標(biāo)系和極坐標(biāo)系在目前的中學(xué)在目前的中學(xué)階段只采用了直角坐標(biāo)系階段只采用了直角坐標(biāo)系1坐標(biāo)法坐標(biāo)法 在數(shù)學(xué)中，用坐標(biāo)法研究幾何圖在數(shù)學(xué)中，用坐標(biāo)法研究幾何圖形的知識(shí)形成的一門學(xué)科，叫形的知識(shí)形成的一門學(xué)科，叫解析幾解析幾何何它它是一門用代數(shù)方法研究幾何問(wèn)是一門用代數(shù)方法研究幾何問(wèn)題的數(shù)學(xué)學(xué)科題的數(shù)學(xué)學(xué)科，產(chǎn)生于十七世紀(jì)初，產(chǎn)生于十七世紀(jì)初期期 法國(guó)數(shù)學(xué)家笛卡爾是解析幾何的法國(guó)數(shù)學(xué)家笛卡爾是解析幾何的奠基人奠基人另一位另一位法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬也是法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬也是解析幾何學(xué)的創(chuàng)立者解析幾何學(xué)的創(chuàng)立者2解析幾何的創(chuàng)立意義及其基本問(wèn)題解析幾何的創(chuàng)立意義及其基本問(wèn)題 他們創(chuàng)立解

6、析幾何，在數(shù)學(xué)史上他們創(chuàng)立解析幾何，在數(shù)學(xué)史上具有劃時(shí)代的意義：具有劃時(shí)代的意義： 一是在數(shù)學(xué)中首次引入了變量的一是在數(shù)學(xué)中首次引入了變量的概念，二是把數(shù)與形緊密地聯(lián)系起來(lái)概念，二是把數(shù)與形緊密地聯(lián)系起來(lái)了了 解析幾何的創(chuàng)立是近代數(shù)學(xué)開(kāi)端解析幾何的創(chuàng)立是近代數(shù)學(xué)開(kāi)端的標(biāo)志，為數(shù)學(xué)的應(yīng)用開(kāi)辟了廣闊的的標(biāo)志，為數(shù)學(xué)的應(yīng)用開(kāi)辟了廣闊的領(lǐng)域領(lǐng)域2解析幾何的創(chuàng)立意義及其基本問(wèn)題解析幾何的創(chuàng)立意義及其基本問(wèn)題 (1) 根據(jù)已知條件求出表示平面根據(jù)已知條件求出表示平面曲線的方程；曲線的方程； (2) 通過(guò)方程，研究平面曲線的通過(guò)方程，研究平面曲線的性質(zhì)性質(zhì) 本節(jié)主要通過(guò)例題的形式學(xué)習(xí)第本節(jié)主要通過(guò)例題的形式

7、學(xué)習(xí)第一個(gè)問(wèn)題，即如何求曲線的方程一個(gè)問(wèn)題，即如何求曲線的方程 3平面解析幾何研究的主要問(wèn)題平面解析幾何研究的主要問(wèn)題 例例1設(shè)設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)是兩點(diǎn)的坐標(biāo)是(1，0)、( 1，0)，若，若kMA kMB = 1，求動(dòng)點(diǎn)，求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程的軌跡方程x2 + y2 = 1 (x 1) 說(shuō)明：說(shuō)明：所求的方程所求的方程x2 + y2 = 1后后面應(yīng)加上條件面應(yīng)加上條件x 1 例例2點(diǎn)點(diǎn)M到兩條互相垂直的直線的到兩條互相垂直的直線的距離相等，求點(diǎn)距離相等，求點(diǎn)M的軌跡方程的軌跡方程 解：解：取已知兩條取已知兩條互相垂直的直線為互相垂直的直線為坐標(biāo)軸，建立直角坐標(biāo)軸，建立直角坐標(biāo)系如圖所示坐標(biāo)系如

8、圖所示設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(x，y)，點(diǎn)，點(diǎn)M的軌跡的軌跡就是到坐標(biāo)軸的距離相等的點(diǎn)的集合就是到坐標(biāo)軸的距離相等的點(diǎn)的集合RMQxOyP = M | |MR| = |MQ|， 例例2點(diǎn)點(diǎn)M到兩條互相垂直的直線的到兩條互相垂直的直線的距離相等，求點(diǎn)距離相等，求點(diǎn)M的軌跡方程的軌跡方程 其中其中Q、R分別是點(diǎn)分別是點(diǎn)M到到x軸、軸、y軸的垂線的軸的垂線的垂足垂足RMQxOyP = M | |MR| = |MQ|， 因?yàn)辄c(diǎn)因?yàn)辄c(diǎn)M到到x軸、軸、y軸的距離分別軸的距離分別是它的縱坐標(biāo)和橫坐標(biāo)的絕對(duì)值，所是它的縱坐標(biāo)和橫坐標(biāo)的絕對(duì)值，所以條件以條件|MR| = |MQ|可寫成可寫成| x | =

9、| y |，即即x y = 0 (1) 由求方程的過(guò)程可知，曲線上由求方程的過(guò)程可知，曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程的解；的解；下面證明下面證明是所求軌跡的方程是所求軌跡的方程 (2) 設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn)M1的坐標(biāo)的坐標(biāo)(x1，y1)是方程是方程的解，那么的解，那么x1 y1 = 0，即，即即即x y = 0 | x1| = | y1|，而，而| x1|、| y1|正是點(diǎn)正是點(diǎn)M1到縱軸、橫軸的距離，因此點(diǎn)到縱軸、橫軸的距離，因此點(diǎn)M1到這到這兩條直線的距離相等，點(diǎn)兩條直線的距離相等，點(diǎn)M1是曲線上是曲線上的點(diǎn)的點(diǎn) 由由(1)(2)可知，可知，方程方程是所求軌跡是所求軌跡的方程，圖形如圖的方

10、程，圖形如圖所示所示 點(diǎn)評(píng)：點(diǎn)評(píng)：建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，能使建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，能使求軌跡方程的過(guò)程較簡(jiǎn)單所求方程求軌跡方程的過(guò)程較簡(jiǎn)單所求方程的形式較的形式較“整齊整齊”x y = 0 RMQxOy (1)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，用有序?qū)嵔⑦m當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，用有序?qū)崝?shù)對(duì)表示曲線上任意一點(diǎn)數(shù)對(duì)表示曲線上任意一點(diǎn)M的坐標(biāo)；的坐標(biāo)； (2)寫出適合條件寫出適合條件P的點(diǎn)的點(diǎn)M的集合；的集合； (3)用坐標(biāo)表示條件用坐標(biāo)表示條件P(M)，列出方，列出方程程f(x，y) = 0； (4)化方程化方程f(x，y) = 0為最簡(jiǎn)形式；為最簡(jiǎn)形式； (5)證明以化簡(jiǎn)后的方程的解為坐證明以化簡(jiǎn)后的方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線

11、上的點(diǎn)標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn)4求簡(jiǎn)單曲線方程的一般步驟：求簡(jiǎn)單曲線方程的一般步驟：練習(xí)練習(xí) 1. 點(diǎn)點(diǎn)P到點(diǎn)到點(diǎn)F(4，0)的距離比它到的距離比它到直線直線x + 5 = 0的距離小的距離小1，求點(diǎn)，求點(diǎn)P的軌的軌跡方程跡方程y2 = 16x 2. 過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)P(2，4)作互相垂直的直線作互相垂直的直線l1，l2，若，若l1交交x軸于軸于A，l2交交y軸于軸于B，求線段求線段AB中點(diǎn)中點(diǎn)M的軌跡方程的軌跡方程x + 2y 5 = 0PBMA xOy (1)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，用有序?qū)嵔⑦m當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，用有序?qū)崝?shù)對(duì)表示曲線上任意一點(diǎn)數(shù)對(duì)表示曲線上任意一點(diǎn)M的坐標(biāo)；的坐標(biāo)； (2)寫出適合條件寫出適合條件P的點(diǎn)的點(diǎn)M的集合；的集合； (3)用坐標(biāo)表示條件用坐標(biāo)表示條件P(M)，列出方，列出方程程f(x，y) = 0； (4)化方程化方程f(x，y) = 0為最簡(jiǎn)形式；為最簡(jiǎn)形式； (