高中數(shù)學(xué) 漸開線與擺線 張濤

1、內(nèi)容內(nèi)容描述描述知識點(diǎn)名稱漸開線與擺線課程內(nèi)容1.了解圓的漸開線的參數(shù)方程。2.了解擺線的生成過程及它的參數(shù)方程。教學(xué)設(shè)計(jì)激趣導(dǎo)入激趣導(dǎo)入：探究引入，把一條沒有彈性的細(xì)繩繞在一個(gè)圓盤上：探究引入，把一條沒有彈性的細(xì)繩繞在一個(gè)圓盤上,在在 繩的外端系上一支鉛筆繩的外端系上一支鉛筆,將繩子拉緊將繩子拉緊,保持繩保持繩 子與圓相切而動(dòng)，看子與圓相切而動(dòng)，看能畫出什么樣的曲線。能畫出什么樣的曲線。知識新授知識新授：漸開線的定義及參數(shù)方程，擺線的定義及參數(shù)方程。：漸開線的定義及參數(shù)方程，擺線的定義及參數(shù)方程。練習(xí)鞏固練習(xí)鞏固：練習(xí)求漸開線的參數(shù)方程。：練習(xí)求漸開線的參數(shù)方程。課堂小結(jié)課堂小結(jié)：1 1、圓

2、的漸開線，漸開線的參數(shù)方程、圓的漸開線，漸開線的參數(shù)方程 2 2、平擺線、擺線的參數(shù)方程、平擺線、擺線的參數(shù)方程漸開線與擺線主講教師：張濤1、漸開線、漸開線設(shè)開始時(shí)繩子外端位于點(diǎn)A，當(dāng)外端展開到點(diǎn)M時(shí)，因?yàn)槔K子對圓心角 的一段弧AB，展開后成為切線BM，所以切線BM的長就是弧AB的長，這就是動(dòng)點(diǎn)滿足的幾何條件。我們把筆尖畫出的曲線叫做圓的漸開線，相應(yīng)的定圓叫做漸開線的基圓。OABM( , )( cos,sin)(cos,sin),OOAxrMx yMBrrBMxryrBMr我們以基圓圓心 為原點(diǎn)， 直線為 軸， 建立平面直角坐標(biāo)系， 設(shè)基圓的半徑為 ， 繩子外端的坐標(biāo)為， 顯然， 點(diǎn)由角唯一確

3、定。取為參數(shù)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為從而數(shù)方程。這就是圓的漸開線的參為參數(shù)解得以同方向的單位向量，所是與向量位向量，因而向量同方向的單是與由于向量)()cos(sin)sin(cos)cos,)(sin()sin,cos()()cos,(sin)sin,(cos221ryrxrryrxerBMBMeOBe個(gè)結(jié)論為什么成立嗎這一結(jié)論，你能說明這”有相同方向與向量“向量數(shù)方程的過程中用到在探究圓的漸開線的參思考：BMe)cos,(sin2注意：注意： 4.基圓內(nèi)無漸開線基圓內(nèi)無漸開線 3.漸開線的形狀取決于基圓的大小漸開線的形狀取決于基圓的大小1.發(fā)生線發(fā)生線BM沿基圓滾過的長度等沿基圓滾過的長度等于基圓上

4、被滾過的圓弧長度。于基圓上被滾過的圓弧長度。 2.漸開線上任意點(diǎn)的法線恒與基圓相切。漸開線上任意點(diǎn)的法線恒與基圓相切。 2、擺線、擺線思考：如果在自行車的輪子上噴一個(gè)白色印記, 那么當(dāng)自行車在筆直的道路上行駛時(shí), 白色印記會(huì)畫出什么樣的曲線？3.532.521.510.5-0.5-1-1.5-1123456OABMDCBMOMAOAMAOArMBM假設(shè) 為圓心， 圓周上的定點(diǎn)為， 開始時(shí)位于 處，圓在直線上滾動(dòng)時(shí)， 點(diǎn)繞圓心作圓周運(yùn)動(dòng)， 轉(zhuǎn)過角后， 圓與直線相切于點(diǎn) ， 線段的長等于弧的長， ， 這就是圓周上的定點(diǎn)在圓 沿直線滾動(dòng)過程中滿足的幾何條件， 我們把點(diǎn)的軌跡叫做平擺線， 簡稱擺線，

5、又叫旋輪線。,( , )sincos(sin)xMrMxABMABxC DMx yMxODOADAOAMCrryDMACABCBrrxr我們?nèi)《ㄖ本€為 軸， 定點(diǎn)滾動(dòng)在定直線上的一個(gè)位置為原點(diǎn)， 建立直角坐標(biāo)系， 設(shè)圓的半徑為設(shè)開始時(shí)定點(diǎn)在原點(diǎn)， 圓滾動(dòng)了 角后與軸相切于點(diǎn) ， 圓心在點(diǎn) ， 從點(diǎn)分別作，軸的垂線， 垂足分別為 ， ， 設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為取 為參數(shù)，根據(jù)點(diǎn)滿足的幾何條件所以，擺線的參數(shù)方程為()(1cos)yr為參數(shù)(1)思考：在擺線的參數(shù)方程中，參數(shù) 的取值范圍是什么？一個(gè)拱的寬度與高度各是多少？0,)2,2 ()rrr參數(shù) 的取值范圍是一個(gè)拱的寬度是高度是其中 是滾動(dòng)圓的半徑例例1.有一標(biāo)準(zhǔn)的漸開線齒輪，齒輪的有一標(biāo)準(zhǔn)的漸開線齒輪，齒輪的齒廓線的基圓直徑為齒廓線的基圓直徑為22mm,求齒廓所求齒廓所在的漸開線的參數(shù)方程。在的漸開線的參數(shù)方程。解：因?yàn)榛鶊A的直徑為解：因?yàn)榛鶊A的直徑為22mm，所以，所以基圓的半徑為基圓的半徑為11mm，因此齒廓線的，因此齒廓線的漸開線的參數(shù)方程為：漸開線的參數(shù)方程為：X=11 (cos + sin )Y=11(sin cos)（為參數(shù)）為參數(shù)）練習(xí)鞏固：例例2.當(dāng)當(dāng)= ， 時(shí)，求出漸開線時(shí)，求出漸開線42X=cos + sin Y=sin cos上的對應(yīng)點(diǎn)上