現代數值分析引論

1、&教材教材 (Text Book) 現代數值分析現代數值分析 藺小林、蔣耀林藺小林、蔣耀林 編著（國防工業(yè)出版社）編著（國防工業(yè)出版社）& 參考書目參考書目 (Reference) Numerical Analysis:Mathematics of Scientific Computing (Third Edition) 數值分析數值分析 （英文版（英文版 第第3版版 ） David Kincaid & Ward Cheney（機械工業(yè)出版社機械工業(yè)出版社) Numerical Analysis (Seventh Edition) 數值分析數值分析 （第七版（第七版 影

2、印版）影印版） Richard L. Burden & J. Douglas Faires （高等教育出版社）高等教育出版社） 工程數值分析工程數值分析 王立秋等編著（山東大學出版社）王立秋等編著（山東大學出版社） 工程數值分析題解工程數值分析題解學習方法學習方法1.注意掌握各種方法的基本原理注意掌握各種方法的基本原理2.注意各種方法的構造手法注意各種方法的構造手法3.重視各種方法的誤差分析重視各種方法的誤差分析4.做一定量的習題做一定量的習題5.注意與實際問題相聯系注意與實際問題相聯系學習和了解科學計算的橋梁學習和了解科學計算的橋梁數值分析數值分析 能夠做什么？Introductio

3、n 研究使用計算機求解各種數學問題的研究使用計算機求解各種數學問題的數值方法（近似方法），對求得的解的數值方法（近似方法），對求得的解的精度進行評估，以及如何在計算機上實精度進行評估，以及如何在計算機上實現求解等現求解等一、一、 計算機解決實際問題的步驟計算機解決實際問題的步驟建立數學模型建立數學模型選擇數值方法選擇數值方法編寫程序編寫程序上機計算上機計算 現代數值分析是一門內容豐富、研究方法現代數值分析是一門內容豐富、研究方法深刻、實用性較強的深刻、實用性較強的數學課程數學課程。 研究對象：研究對象：從科學與工程問題中抽象歸納從科學與工程問題中抽象歸納出來的數學問題。出來的數學問題。通信衛(wèi)星

4、覆蓋地球面積通信衛(wèi)星覆蓋地球面積數學模型數學模型實際問題實際問題獲取數據獲取數據數值方法、程序數值方法、程序數據結果數據結果將地球考慮成將地球考慮成一個球體一個球體, 設設R為地球半為地球半徑徑,h為衛(wèi)星高為衛(wèi)星高度度,D為覆蓋面為覆蓋面在平面的投影在平面的投影 DdxdyyxRR222舉例1。求下列方程的根或零點：22 sin1 0 xxx （第四章的內容：非線性方程的數值解法）Can you solve：100(1)0 x Can you solve：100999897961004950161700392122510010 xxxxxx 2。怎么求解下列積分？210 xedx（第八章的內容

5、：數值積分）三種常用的技術三種常用的技術:（1）求未知數據的迭代計算技術）求未知數據的迭代計算技術 （2）連續(xù)模型離散化處理技術）連續(xù)模型離散化處理技術 （3）離散數據的連續(xù)化處理技術）離散數據的連續(xù)化處理技術Def : (算法算法) 為了用計算機解決數學問題而構造的為了用計算機解決數學問題而構造的能夠用數值計算的實施方法。即把對數學問題的解能夠用數值計算的實施方法。即把對數學問題的解法歸結為只有加、減、乘、除等基本運算，并有確法歸結為只有加、減、乘、除等基本運算，并有確定運算次序的完整而準確的描述。定運算次序的完整而準確的描述。算法的特點：算法的特點： 構造性構造性 能夠通過數值演算能夠通過

6、數值演算 一種實施方法一種實施方法算法的可用性（算法的穩(wěn)定性）：算法的可用性（算法的穩(wěn)定性）：理論上很完美的算法，在計算機上未必可用。理論上很完美的算法，在計算機上未必可用。例例1：Gramer 法則解線性方程組：法則解線性方程組：n 階方程組需計階方程組需計 算算 n + 1 個行列式的值，每一個行列式的值需個行列式的值，每一個行列式的值需 次乘法，共需次乘法，共需 次次 乘法。乘法。(1)!nn(1) (1)!nnn例例2：如建立如建立10(0,1,2,8)5nnxIdxnx的遞推公式并作實際計算。的遞推公式并作實際計算。解解: (1) 易知易知11111005155nnnnnxxIIdx

7、xdxxn所以所以115(1,2,8)nnIInn (方法不可用方法不可用)(2) 因為因為111111556,5nnnnnnnnIIIIIIIIn又11165nInn當當 n = 9 時，有時，有8115445I取取8111()0.020425445I 11(8,7,1)55nnIInn 算法的優(yōu)劣：算法的優(yōu)劣：評價標準評價標準：(1) 計算量的大小計算量的大小例例：計算計算1011( )nnnnnP xa xa xaxa直接計算：需直接計算：需 n ( n +1)/2 次乘法和次乘法和 n 次加法。次加法。迭代計算：迭代計算：0121( )()nnnP xa xa xa xaxa按下列迭代

8、公式計算按下列迭代公式計算001,1,2,( )kkknnuaux uaknPxu只需只需 n 次乘法和次乘法和 n 次加法。次加法。(2) 存儲量的多少存儲量的多少(3) 邏輯結構是否簡單邏輯結構是否簡單二、數值分析的特點二、數值分析的特點1. 近似：由此產生“誤差”在計算數學和應用數學中一個有趣的問題：在計算數學和應用數學中一個有趣的問題：什么是什么是零零？原點附近原點附近1101101101在純數學中，認為此矩陣為滿秩矩陣，但在計算數學中，它卻是降秩矩陣。？112111010101100101100101100nnn 2. 與計算機不能分離：上機實習（掌握一門語言：C語言，會用Matla

9、b）1.2 誤差誤差 ( Error )1 誤差的背景介紹誤差的背景介紹 ( Introduction )1. 來源與分類來源與分類 ( Source & Classification )u模型誤差模型誤差 ( Modeling Error ): 從實際問題中抽象出數學模型從實際問題中抽象出數學模型 u觀測誤差觀測誤差 ( Measurement Error ): 通過測量得到模型中參數通過測量得到模型中參數的值的值 u方法誤差方法誤差 (截斷誤差截斷誤差 Truncation Error）: 求近似解。求近似解。求解數求解數學模型時，用簡單代替復雜學模型時，用簡單代替復雜, ,或者用

10、有限過程代替無限過程所引或者用有限過程代替無限過程所引起的誤差起的誤差u舍入誤差舍入誤差 ( Roundoff Error ): 機器字長有限，機器字長有限，通常用四舍五通常用四舍五入的辦法取近似值，由此引起的誤差入的辦法取近似值，由此引起的誤差. . 誤差與有效數字誤差與有效數字 (Error and Significant Digits)u 絕對誤差絕對誤差 ( absolute error )*( ) e xx x其中其中 x*為精確值，為精確值，x為為x*的近似值。的近似值。 10006074302.dxex例如：例如：*xx工程上常記為工程上常記為| ( )|e x的上限記為的上限記

11、為 , , 稱為稱為絕對誤差限絕對誤差限( accuracy ) u 相對誤差相對誤差 ( relative error )*()()re xexx 稱稱r( (x) )為為相對誤差限相對誤差限。由于精確值 x*一般是未知的 如果存在一個適當小的正數如果存在一個適當小的正數r r ，使得，使得 rrxxxxxexe )()( )|rxxx 的的相對誤差限相對誤差限常定義為常定義為u有效數字有效數字 （significant digits ）用科學計數法，記用科學計數法，記 ( (其中其中 ）若若 （即（即 的截取按四舍五入規(guī)的截取按四舍五入規(guī)則），則稱則），則稱 為有為有n 位有效數字，精確到

12、位有效數字，精確到 。12010mnx.a aa 01 anm.xx 1050|*naxnm 103.1415926535897932;*3.1415例：例：問：問： 有幾位有效數字？請證明你的結論。有幾位有效數字？請證明你的結論。* 131 40 3141510and*0 5100 510*., | |.證明證明:有有4 位有效數字位有效數字,精確到小數點后第精確到小數點后第 3 位位.有效數字有效數字和相對誤差的關系和相對誤差的關系Th1. 若近似數若近似數 x 有有n 位有效數值，則其相對誤差限為位有效數值，則其相對誤差限為(1)11|( )|102nrexa反之，若反之，若x 的相對誤

13、差限滿足：的相對誤差限滿足：則則x 至少有至少有n 位有效數字。位有效數字。(1)11|( )|102(1)nrexa證：證：記記則則所以所以121210(101010 )mnnxaaa 111110|(1) 10mmaxa*1(1)211110|1|( )|10|102m nnrmxxexxaa反之易得。反之易得。注：注：定理表明，有效數字的位數越多，相對誤差越小定理表明，有效數字的位數越多，相對誤差越小1. 一元函數一元函數 y= f (x)誤差分析誤差分析 ( 準確值準確值 y*=f (x*) ) 由由Taylor 公式公式)(2)*()()*()(*)(2 fxxxfxxxfxf )(

14、| )(| )(|*|*| )(|xxfxfxxyyye )(|)()(|)(xxfxfxyrr 同理同理: :)(| )(|)(xxfy 所以所以反問題反問題: : 估計估計)(xr 2. 多元函數多元函數 z = f (x1, x2, xn) 誤差分析誤差分析 nkkkxxfz1)(|)( )()()(2121xxxx (1)22122121)(|)(|)/(xxxxxxx (3)(|)(|)(122121xxxxxx (2)數據誤差對算術運算影響數據誤差對算術運算影響例例. 二次方程二次方程 x2 16 x + 1 = 0, 取取求求 使具有使具有4 位有效數位有效數937. 763 6

15、381 x解解: :直接計算直接計算 x18 7.937 = 0.0630005. 0)937. 7()8()(1 x計算出的計算出的x1 具有兩位有效數字具有兩位有效數字修改算法修改算法062747093715163811. x000005093715000509371593715221.).(.).().()( x4 4位有效數位有效數例例2. 圓面積計算的誤差估計圓面積計算的誤差估計2RS 圓面積計算公式圓面積計算公式:全微分近似全微分近似:RRS 2 )(2)(RRS )(2)(RSrr 取取 r = 50 cm, 則有則有 cm5 . 0)( R 21%=2%)(Sr )(S 150

16、 cm2,反問題反問題: 估計估計)(),(RRr 數值計算中的基本原則數值計算中的基本原則(1)(1)避免絕對值小的數做除數避免絕對值小的數做除數; ;(2)(2)避免兩相近數相減避免兩相近數相減; ;(3)(3)防止大數防止大數“吃吃”小數現象小數現象a = 109，b = 9，設想在，設想在8位浮點數系中相加位浮點數系中相加a + b =1.0000000 109+ 0.000000009 109由于只保留由于只保留8位有效數，數據位有效數，數據09被舍去被舍去,實際加法實際加法操作操作 a + b計算結果是計算結果是 將將 a 的數據作為計算結果的數據作為計算結果賦值給賦值給 a+ b

17、.(4)盡量減少計算工作量盡量減少計算工作量(乘、除法次數乘、除法次數)例例 計算計算 P(x) = 1+ 2 x +3 x2 + 4 x3 + 5 x4 的值的值 P(x)=1+ x (2 + x ( 3 + x (4+ 5 x)一個應用一個應用: 2進制數轉換為進制數轉換為10進制數進制數 (1 1 1 0 1 1 1 0)2 = 27+26 +25 +0 +23 +22 +2 +0 =(12+1)2+1)2+0)2+1)2+1)2+1)2+0=238求多項式值的秦九韶算法求多項式值的秦九韶算法 輸入輸入 x；a0，a1，an S a0；u1k 從從 1 到到 n 循循環(huán)環(huán)uxuSS + ak u輸出數據輸出數據S ；結束；結束輸入輸入 x；a0，a1，an S ank 從從 n 到到 1 循循環(huán)環(huán)Sak1+ xS輸出數據輸出數據S ；結