《高等數(shù)學(xué)（第2版）》 高職 全套教學(xué)課件

第1章函數(shù)、極限與連續(xù).pptx第2章導(dǎo)數(shù)與微分.pptx第3章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用.pptx第4章1元函數(shù)積分學(xué)及其應(yīng)用.pptx全套可編輯PPT課件第1章函數(shù)、極限與連續(xù)極限理論是微積分的理論基礎(chǔ),它研究的是在自變量某個(gè)變化過(guò)程中,函數(shù)的相應(yīng)變化趨勢(shì).本章將介紹極限基本概念和求極限的常用方法,并用極限的思想方法討論無(wú)窮小及函數(shù)的連續(xù)性.數(shù)列極限的思想早在中國(guó)古代就已萌生.例如,我國(guó)魏晉時(shí)期的數(shù)學(xué)家劉徽,曾用他創(chuàng)造的割圓術(shù)計(jì)算圓的面積.“割之彌細(xì),所失彌少,割之又割……,則與圓周合體而無(wú)失矣.”這個(gè)“無(wú)限接近”的過(guò)程就是一個(gè)極限過(guò)程.1631.1函數(shù)1.2極限1.3無(wú)窮小量與無(wú)窮大量1.4兩個(gè)重要極限及其運(yùn)用1.5函數(shù)的連續(xù)性及基本性質(zhì)1.1函數(shù)一、函數(shù)的概念1.函數(shù)的定義

一、函數(shù)的概念

一、函數(shù)的概念

一、函數(shù)的概念

函數(shù)的表示方法主要有三種:解析法表格法圖像法一、函數(shù)的概念

一、函數(shù)的概念【例3】(絕對(duì)值函數(shù))

一、函數(shù)的概念【例4】(符號(hào)函數(shù))

一、函數(shù)的概念【例5】(取整函數(shù),又名Gauss函數(shù))

其圖像形狀如樓梯,因此這類函數(shù)又稱為階梯型函數(shù).一、函數(shù)的概念2.函數(shù)的幾種特性

一、函數(shù)的概念

一、函數(shù)的概念

一、函數(shù)的概念

一、函數(shù)的概念

思考：既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)是否只有上述這個(gè)?一、函數(shù)的概念

一、函數(shù)的概念

思考：所有周期函數(shù)是否都有最小正周期?二、基本初等函數(shù)

二、基本初等函數(shù)

其中,常函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)及三角函數(shù)，我們?cè)诟咧袝r(shí)已作了系統(tǒng)且詳細(xì)的學(xué)習(xí),此處不再贅述.下面重點(diǎn)介紹反三角函數(shù).

二、基本初等函數(shù)

它們的圖形分別如圖1-9，圖1-10，圖1-11，圖1-12中實(shí)線所示:二、基本初等函數(shù)二、基本初等函數(shù)二、基本初等函數(shù)反三角函數(shù)在各自的定義域內(nèi)滿足以下關(guān)系式:

三、復(fù)合函數(shù)、初等函數(shù)

三、復(fù)合函數(shù)、初等函數(shù)

三、復(fù)合函數(shù)、初等函數(shù)

正確掌握分析復(fù)合函數(shù)的復(fù)合過(guò)程的方法對(duì)以后的學(xué)習(xí)非常重要.方法如下:從外層開始,層層剝離,逐層分解.三、復(fù)合函數(shù)、初等函數(shù)【例6】指出下列復(fù)合函數(shù)的復(fù)合過(guò)程.

三、復(fù)合函數(shù)、初等函數(shù)

【定義8】由基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次的四則運(yùn)算和有限次的復(fù)合運(yùn)算所構(gòu)成,并可用一個(gè)解析式表出的函數(shù)稱為初等函數(shù)．

皆為初等函數(shù).分段函數(shù)一般不是初等函數(shù),如取整函數(shù),符號(hào)函數(shù)都不是初等函數(shù).

思考：絕對(duì)值函數(shù)是不是初等函數(shù)?1.2極限一、數(shù)列的極限1.數(shù)列

【定義1】按一定次序排列的一些數(shù)

一、數(shù)列的極限下面舉幾個(gè)數(shù)列的例子:

一、數(shù)列的極限2.數(shù)列極限先看一個(gè)古代數(shù)學(xué)問(wèn)題———截丈問(wèn)題.2000多年前,中國(guó)的莊子提出“一尺之槌,日取其半,萬(wàn)世不竭.”意為一根一尺長(zhǎng)的竹竿,每天截取它的一半,永遠(yuǎn)都取不完.從第一天起,我們把該竹竿被截后所剩長(zhǎng)度寫下來(lái),便得到如下數(shù)列:

一、數(shù)列的極限無(wú)論經(jīng)過(guò)多少天,竹竿總有剩余,不可能取完.也就是說(shuō),對(duì)任意的正整數(shù)n(無(wú)論它多大),這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)永遠(yuǎn)為正數(shù).但這只是問(wèn)題的一個(gè)方面,另一方面,我們不難發(fā)現(xiàn),當(dāng)n無(wú)限增大時(shí),該數(shù)列的項(xiàng)就無(wú)限接近于0.這里隱含著數(shù)列極限,下面給出定義.一、數(shù)列的極限

一、數(shù)列的極限

【例1】觀察下列數(shù)列的變化趨勢(shì),寫出它們的極限:

一、數(shù)列的極限

一、數(shù)列的極限

一、數(shù)列的極限一般有

一、數(shù)列的極限

二、函數(shù)的極限

二、函數(shù)的極限

二、函數(shù)的極限

二、函數(shù)的極限

二、函數(shù)的極限

顯然有以下結(jié)果:

二、函數(shù)的極限【例2】求下列函數(shù)的極限

二、函數(shù)的極限

二、函數(shù)的極限

二、函數(shù)的極限

二、函數(shù)的極限

因此有

二、函數(shù)的極限

二、函數(shù)的極限

左極限和右極限統(tǒng)稱為單側(cè)極限.二、函數(shù)的極限

二、函數(shù)的極限

二、函數(shù)的極限

【解】由

三、極限的四則運(yùn)算法則

三、極限的四則運(yùn)算法則

定理3中的(1),(2)都可以推廣到有限個(gè)函數(shù)的情形.由于數(shù)列可視為整變量函數(shù)，則此法則對(duì)數(shù)列極限也完全適用。三、極限的四則運(yùn)算法則

三、極限的四則運(yùn)算法則【例9】求下列各式的極限:

三、極限的四則運(yùn)算法則

1.3無(wú)窮小量與無(wú)窮大量一、無(wú)窮小量與無(wú)窮大量的概念

一、無(wú)窮小量與無(wú)窮大量的概念

也就是說(shuō),無(wú)窮小是以0為極限的函數(shù),無(wú)窮大是絕對(duì)值無(wú)限增大的函數(shù).

一、無(wú)窮小量與無(wú)窮大量的概念

在自變量的同一變化過(guò)程中的無(wú)窮小具有如下性質(zhì):【性質(zhì)1】有限個(gè)無(wú)窮小的代數(shù)和是無(wú)窮小.【性質(zhì)2】有界函數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小.由以上兩個(gè)性質(zhì)立得以下兩性質(zhì):【性質(zhì)3】常數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小.【性質(zhì)4】有限個(gè)無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小.一、無(wú)窮小量與無(wú)窮大量的概念

二、無(wú)窮大量與無(wú)窮小量的關(guān)系

簡(jiǎn)言之,同一過(guò)程中的無(wú)窮大的倒數(shù)為無(wú)窮小,非零無(wú)窮小的倒數(shù)是無(wú)窮大.

三、無(wú)窮小量比階問(wèn)題

三、無(wú)窮小量比階問(wèn)題

三、無(wú)窮小量比階問(wèn)題

三、無(wú)窮小量比階問(wèn)題

四、具有極限的函數(shù)與無(wú)窮小量的關(guān)系關(guān)于等價(jià)無(wú)窮小，有下面的重要性質(zhì)：

這個(gè)定理是說(shuō),兩個(gè)無(wú)窮小等價(jià),當(dāng)且僅當(dāng)它們的差是比其中一個(gè)更高階的無(wú)窮小.

四、具有極限的函數(shù)與無(wú)窮小量的關(guān)系

這個(gè)定理告訴我們一種求極限的方法---等價(jià)無(wú)窮小代換法.求兩個(gè)無(wú)窮小的商的極限時(shí),分子和分母都可以用等價(jià)的無(wú)窮小來(lái)代替.通常,我們用形式較簡(jiǎn)單的無(wú)窮小代替較復(fù)雜的無(wú)窮小,以達(dá)到簡(jiǎn)化計(jì)算的目的.進(jìn)一步,分子和分母中的無(wú)窮小乘積因子也可以用等價(jià)無(wú)窮小代替.四、具有極限的函數(shù)與無(wú)窮小量的關(guān)系下面先給出一些常用的等價(jià)無(wú)窮小:

四、具有極限的函數(shù)與無(wú)窮小量的關(guān)系【例4】求下列極限:

四、具有極限的函數(shù)與無(wú)窮小量的關(guān)系

四、具有極限的函數(shù)與無(wú)窮小量的關(guān)系

為什么?因?yàn)橹挥挟?dāng)分子或分母是函數(shù)的乘積時(shí),對(duì)于乘積因子才可以用等價(jià)無(wú)窮小代換.對(duì)于和或差中的函數(shù),一般不能用等價(jià)無(wú)窮小代換!這是用等價(jià)無(wú)窮小代換法求極限的易錯(cuò)點(diǎn),特別注意!正確解法為

四、具有極限的函數(shù)與無(wú)窮小量的關(guān)系

結(jié)合定理2,我們介紹等價(jià)無(wú)窮小代換法中的一種特殊的技巧---舍去高階無(wú)窮小.根據(jù)定理2,對(duì)于能用等價(jià)無(wú)窮小代換的分母或分子(或乘積因子),若是兩個(gè)不同階的無(wú)窮小的和,則可以把其中較高階的無(wú)窮小舍去,即以其中較低階的無(wú)窮小作代換.以下舉例說(shuō)明:【例5】求下列極限:

四、具有極限的函數(shù)與無(wú)窮小量的關(guān)系

1.4兩個(gè)重要極限及其運(yùn)用兩個(gè)重要極限及其運(yùn)用

本節(jié)介紹兩個(gè)重要極限:

【例2】求下列極限.

說(shuō)明:例2還可以用等價(jià)無(wú)窮小代換法,解法如下:

顯然,用等價(jià)無(wú)窮小代換法更加簡(jiǎn)潔,讀者可見這種方法的巧妙之處.

【例3】求下列極限.

一般地,有

1.5函數(shù)的連續(xù)性及基本性質(zhì)一、函數(shù)連續(xù)性的概念

一、函數(shù)連續(xù)性的概念如圖1－14所示.

一、函數(shù)連續(xù)性的概念

一、函數(shù)連續(xù)性的概念

一、函數(shù)連續(xù)性的概念

一、函數(shù)連續(xù)性的概念

一、函數(shù)連續(xù)性的概念

二、函數(shù)的間斷點(diǎn)

二、函數(shù)的間斷點(diǎn)

二、函數(shù)的間斷點(diǎn)

二、函數(shù)的間斷點(diǎn)

三、初等函數(shù)的連續(xù)性

由函數(shù)連續(xù)性的定義及極限的運(yùn)算法則,可得以下性質(zhì).

以上性質(zhì)證明留給讀者.我們還可證明:三、初等函數(shù)的連續(xù)性

【定理1】基本初等函數(shù)在它們的定義域內(nèi)都是連續(xù)的.

由上述定理1及性質(zhì)1,2可得:

【定理2】一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的.

三、初等函數(shù)的連續(xù)性【例5】求下列極限:

三、初等函數(shù)的連續(xù)性

四、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)有一些很重要的性質(zhì),它們的幾何意義都很明顯,但證明比較困難,下面我們不加證明地以定理的形式給出這些性質(zhì).

四、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

四、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

一位游客在位于天河區(qū)的天河體育中心觀看完比賽之后,前往位于海珠區(qū)的廣州塔觀光.他可以選擇乘坐地鐵,自駕車,坐船渡過(guò)珠江等方式到達(dá)廣州塔,但無(wú)論他選擇哪種路線及方式,都有一個(gè)共同點(diǎn)---他必須穿過(guò)珠江(除非繞道離開廣州),這是因?yàn)?他的出發(fā)點(diǎn)和目的地位于珠江的兩岸.我們把這個(gè)簡(jiǎn)單的生活常識(shí)抽象開來(lái),便得到如下的零點(diǎn)定理.四、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

定理的幾何意義如圖1－16所示.

零點(diǎn)定理應(yīng)用廣泛,下面介紹它在證明方程根的存在性方面的具體應(yīng)用.四、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

由零點(diǎn)定理可推論出更一般性的介值定理.四、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

第2章導(dǎo)數(shù)與微分高等數(shù)學(xué)的研究主線為微積分模塊,其中研究函數(shù)導(dǎo)數(shù)及微分的模塊稱為微分學(xué),而研究函數(shù)不定積分與定積分的模塊稱為積分學(xué),二者在高數(shù)研究中處在同等重要地位.微分學(xué)模塊作為主線分支之一,它的研究核心為函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及微分,前者主要求解函數(shù)在某點(diǎn)處的瞬時(shí)變化率問(wèn)題,此問(wèn)題的順利求解,也使得人們可以合理利用導(dǎo)數(shù)工具研究物理領(lǐng)域的瞬時(shí)速度及經(jīng)濟(jì)學(xué)領(lǐng)域的邊際分析等問(wèn)題.后者主要是指給自變量施加微小變動(dòng)時(shí),函數(shù)增量的具體變化情況,在工程領(lǐng)域中應(yīng)用廣泛.2.1函數(shù)的導(dǎo)數(shù)2.2導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算2.3函數(shù)的微分2.1函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一、引例1.汽車行駛過(guò)程中的瞬時(shí)速度問(wèn)題

一、引例2.平面曲線的切線斜率問(wèn)題

一、引例

一、函數(shù)的概念

二、導(dǎo)數(shù)的概念1.導(dǎo)數(shù)的極限定義

二、導(dǎo)數(shù)的概念

即：

二、導(dǎo)數(shù)的概念

二、導(dǎo)數(shù)的概念

速度的概念也可延伸到經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域，如經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)速度等．

二、導(dǎo)數(shù)的概念

二、導(dǎo)數(shù)的概念2.導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)函數(shù)

二、導(dǎo)數(shù)的概念

二、導(dǎo)數(shù)的概念

二、導(dǎo)數(shù)的概念3.左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)

二、導(dǎo)數(shù)的概念

二、導(dǎo)數(shù)的概念

【解】函數(shù)是分段函數(shù)，需用左、右導(dǎo)數(shù)來(lái)判斷．二、導(dǎo)數(shù)的概念

二、導(dǎo)數(shù)的概念

三、可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系

連續(xù)性與可導(dǎo)性是函數(shù)的兩個(gè)重要性質(zhì)，二者之間的關(guān)系如何呢？先從幾何直觀上看一下．（圖2－2）三、可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系

成立．但反之不成立．三、可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系

三、可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系

由此可見，函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)是它在該點(diǎn)可導(dǎo)的必要條件而非充分條件．

2.2導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算一、導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則

一、導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則

一、導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則【例1】求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：

【解】

一、導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則【例2】求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：

【解】

二、反函數(shù)的求導(dǎo)法則

二、反函數(shù)的求導(dǎo)法則

【解】

三、基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式

為了運(yùn)算的方便，下面給出基本初等函數(shù)的求導(dǎo)數(shù)公式．而這些公式在前面的例題中已經(jīng)得到了．

三、基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式

三、基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式【例5】求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：

四、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則

四、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則【例6】求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：

四、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則

充分熟悉復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則后，中間變量不必寫出來(lái)．五、隱函數(shù)及其求導(dǎo)法則

注意:有些隱函數(shù)并不是很容易化為顯函數(shù)的，那么在隱函數(shù)的形式下求其導(dǎo)數(shù)時(shí)該如何呢？下面讓我們來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題！五、隱函數(shù)及其求導(dǎo)法則隱函數(shù)的求導(dǎo)

五、隱函數(shù)及其求導(dǎo)法則

即

六、對(duì)數(shù)求導(dǎo)法

六、對(duì)數(shù)求導(dǎo)法

所以

如上形式的冪-指函數(shù)一般都可以采用上述的對(duì)數(shù)求導(dǎo)法來(lái)求導(dǎo)數(shù)．六、對(duì)數(shù)求導(dǎo)法

六、對(duì)數(shù)求導(dǎo)法所以

七、高階導(dǎo)數(shù)

七、高階導(dǎo)數(shù)

七、高階導(dǎo)數(shù)

或

七、高階導(dǎo)數(shù)

由此可見，求高階導(dǎo)數(shù)就是多次接連地求導(dǎo)數(shù)．所以，仍可應(yīng)用前面學(xué)過(guò)的求導(dǎo)方法來(lái)計(jì)算高階導(dǎo)數(shù)．七、高階導(dǎo)數(shù)

七、高階導(dǎo)數(shù)

【解】

七、高階導(dǎo)數(shù)

【解】

2.3函數(shù)的微分一、微分的概念

一、微分的概念

一、微分的概念

對(duì)于一般函數(shù)有一、微分的概念

一、微分的概念

一、微分的概念

二、微分的計(jì)算1.基本微分公式

二、微分的計(jì)算

二、微分的計(jì)算

二、微分的計(jì)算微分運(yùn)算法則

二、微分的計(jì)算2.微分運(yùn)算法則

二、微分的計(jì)算

此性質(zhì)稱為微分形式的不變性．二、微分的計(jì)算

【解】因?yàn)?/p>

也可以利用微分形式的不變性來(lái)求：

由以上例題可見，求導(dǎo)數(shù)與求微分在方法上沒(méi)有什么本質(zhì)的區(qū)別，故統(tǒng)稱為微分法．三、微分的應(yīng)用

（2-1）

（2-2）三、微分的應(yīng)用

（2-3）

三、微分的應(yīng)用

四、微分幾何意義

四、微分幾何意義

【例3】某正方體金屬邊長(zhǎng)為4厘米，當(dāng)金屬受熱膨脹時(shí)，邊長(zhǎng)增加0.01厘米，體積微分是？

四、微分幾何意義

第3章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

【導(dǎo)例1】廣東某企業(yè)主營(yíng)汽車鑄造模具生產(chǎn),在日常業(yè)務(wù)實(shí)踐過(guò)程中,為了防范風(fēng)險(xiǎn),常對(duì)總訂單采取分批生產(chǎn)交貨的模式,已知每批汽車鑄造模具的生產(chǎn)前置費(fèi)為40000元,每臺(tái)模具設(shè)備的庫(kù)存管理費(fèi)為800元/年,在市場(chǎng)需求一致(供需相等)的情形下,且不允許缺貨現(xiàn)象,問(wèn)每批至少生產(chǎn)多少臺(tái)設(shè)備,才能使得該企業(yè)一年的總成本支出(生產(chǎn)前置費(fèi)和庫(kù)存管理費(fèi))最少?第3章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

【導(dǎo)例2】廣東某汽車4S店,為完成季度銷售目標(biāo),門店經(jīng)理決定調(diào)整A品牌某款新能源汽車的價(jià)格,基于銷售部市場(chǎng)調(diào)查分析,得出該款車型的需求函數(shù)為Q=20-P4,且該款車型當(dāng)前價(jià)格為14.8萬(wàn)元,針對(duì)該款汽車,采取提價(jià)還是降價(jià)策略能使收益增加?雖然上述問(wèn)題現(xiàn)實(shí)背景不同,但均可歸結(jié)為最值問(wèn)題的求解,這即是本章的主要研究?jī)?nèi)容:如何利用導(dǎo)數(shù)工具,有效解決經(jīng)濟(jì)生活中的函數(shù)最值問(wèn)題,細(xì)致研究函數(shù)圖像特征及合理求取函數(shù)的極限值等問(wèn)題.3.1微分中值定理3.2洛必達(dá)法則3.3導(dǎo)數(shù)在幾何上的應(yīng)用3.4導(dǎo)數(shù)在工程上的應(yīng)用3.5函數(shù)圖形的描繪3.1微分中值定理微分中值定理

微分中值定理微分中值定理

微分中值定理微分中值定理

3.2洛必達(dá)法則一、洛必達(dá)法則簡(jiǎn)述

一、洛必達(dá)法則簡(jiǎn)述

二、洛必達(dá)法則的基本應(yīng)用

【例1】求下列極限：

二、洛必達(dá)法則的基本應(yīng)用

二、洛必達(dá)法則的基本應(yīng)用【例2】求下列極限：

二、洛必達(dá)法則的基本應(yīng)用

二、洛必達(dá)法則的基本應(yīng)用

此極限不存在．但事實(shí)上，

二、洛必達(dá)法則的基本應(yīng)用2.其他類型的未定式極限

二、洛必達(dá)法則的基本應(yīng)用

二、洛必達(dá)法則的基本應(yīng)用

二、洛必達(dá)法則的基本應(yīng)用

再取極限得：

3.3導(dǎo)數(shù)在幾何上的應(yīng)用一、函數(shù)的單調(diào)性

我們已經(jīng)學(xué)過(guò)了函數(shù)單調(diào)性的概念及判別法，導(dǎo)數(shù)符號(hào)與函數(shù)的單調(diào)性有如下關(guān)系：

一、函數(shù)的單調(diào)性

【解】為了考察該函數(shù)的單調(diào)性，先來(lái)求該函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

一、函數(shù)的單調(diào)性

在多數(shù)情況下，函數(shù)在單調(diào)增區(qū)間內(nèi)導(dǎo)數(shù)大于零，在單調(diào)減區(qū)間內(nèi)導(dǎo)數(shù)小于零，而在駐點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)等于零．因而，單調(diào)增和單調(diào)減區(qū)間通常以駐點(diǎn)為分界點(diǎn)，但實(shí)際上情形并非總是如此.一、函數(shù)的單調(diào)性

一、函數(shù)的單調(diào)性

一、函數(shù)的單調(diào)性

一、函數(shù)的單調(diào)性

一、函數(shù)的單調(diào)性列表確定函數(shù)的單調(diào)性，見表3－1：

二、函數(shù)的極值1.極值的概念

函數(shù)的極值也是我們已接觸過(guò)的問(wèn)題，定義如下：

極大值和極小值統(tǒng)稱為極值，極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn)．二、函數(shù)的極值

顯然，函數(shù)極值是一個(gè)局部性的概念，它只是與極值點(diǎn)鄰近所有點(diǎn)的函數(shù)值比較而言，并不意味著它是整個(gè)定義區(qū)間內(nèi)的最大值和最小值；極值只能在區(qū)間的內(nèi)部取不能在區(qū)間的端點(diǎn)處取得．二、函數(shù)的極值2.極值的求法根據(jù)極值點(diǎn)的定義，可以給出極值的第一種判別方法.

二、函數(shù)的極值

二、函數(shù)的極值

二、函數(shù)的極值

二、函數(shù)的極值

二、函數(shù)的極值3.極值的應(yīng)用

二、函數(shù)的極值

比較函數(shù)在駐點(diǎn)與端點(diǎn)處的函數(shù)值：

二、函數(shù)的極值

對(duì)于最值問(wèn)題，有如下結(jié)論：如果一個(gè)實(shí)際問(wèn)題可以預(yù)先斷定必存在最值，并且函數(shù)在定義域內(nèi)只有唯一臨界點(diǎn)，則無(wú)須判別即可斷定，該臨界點(diǎn)的函數(shù)值必為所求最值．這個(gè)結(jié)論在實(shí)際問(wèn)題中有著非常廣泛的應(yīng)用。三、曲線的凹凸區(qū)間與拐點(diǎn)１.曲線凹凸性及拐點(diǎn)的概念

三、曲線的凹凸區(qū)間與拐點(diǎn)

根據(jù)曲線與其上各點(diǎn)切線的位置關(guān)系，對(duì)于曲線的特性給出如下定義：

【定義3】連續(xù)曲線上的凹弧與凸弧的分界點(diǎn)稱為曲線的拐點(diǎn)．三、曲線的凹凸區(qū)間與拐點(diǎn)2.曲線凹凸性的判斷我們將圖3－6分解成如下兩個(gè)圖形，如圖3－7所示．三、曲線的凹凸區(qū)間與拐點(diǎn)

三、曲線的凹凸區(qū)間與拐點(diǎn)

三、曲線的凹凸區(qū)間與拐點(diǎn)

三、曲線的凹凸區(qū)間與拐點(diǎn)

列表3.3討論（表中“╭╮”表示曲線是凸的，“╰╯”表示曲線是凹的）：三、曲線的凹凸區(qū)間與拐點(diǎn)

四、曲率1.弧的微分

四、曲率

四、曲率四、曲率于是

因此，得弧微分四、曲率

四、曲率

解

由于

所以由弧微分公式，得

四、曲率2.曲率的概念

我們先從幾何圖形上分析哪些量與曲線彎曲程度有關(guān)．

四、曲率四、曲率

所以確定曲線弧的彎曲程度時(shí)，必經(jīng)同時(shí)考察弧段的長(zhǎng)度和切線的轉(zhuǎn)角這兩個(gè)因素．四、曲率

四、曲率

四、曲率于是

則曲率

這說(shuō)明,圓周上任一點(diǎn)處的曲率都相等,且等于半徑的倒數(shù).這個(gè)結(jié)論與實(shí)際情況相符合,則當(dāng)圓的半徑越小時(shí),其彎曲就越厲害,即曲率越大.四、曲率3.曲率的計(jì)算公式

利用曲率的定義來(lái)計(jì)算曲線的曲率是不方便的，為簡(jiǎn)便起見，下面給出計(jì)算曲率的公式．

四、曲率

四、曲率4.曲率圓與曲率半徑

四、曲率

四、曲率

因此

曲率半徑為

3.4導(dǎo)數(shù)在工程上的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)在工程上的應(yīng)用

導(dǎo)數(shù)在工程上的應(yīng)用解

要使材料最省，就是要罐頭筒的總表面積最?。?/p>

導(dǎo)數(shù)在工程上的應(yīng)用

于是得出結(jié)論：當(dāng)所做罐頭筒的高和底直徑相等時(shí)，所用材料最省．導(dǎo)數(shù)在工程上的應(yīng)用

導(dǎo)數(shù)在工程上的應(yīng)用

導(dǎo)數(shù)在工程上的應(yīng)用

導(dǎo)數(shù)在工程上的應(yīng)用令

得

由實(shí)際問(wèn)題知，此時(shí)發(fā)動(dòng)機(jī)的效率最大，最大效率為

3.5函數(shù)圖形的描繪一、曲線的漸近線

【定義1】如果曲線上的一點(diǎn)沿著曲線趨于無(wú)窮遠(yuǎn)時(shí)，該點(diǎn)與某條直線的距離趨于零，則稱此直線為曲線的漸近線.1.水平漸近線

一、曲線的漸近線2.鉛垂?jié)u近線

二、函數(shù)作圖描繪函數(shù)圖像的具體方法如下:1.確定函數(shù)的定義域;2.確定曲線關(guān)于坐標(biāo)軸的對(duì)稱性;3.求出曲線和坐標(biāo)軸的交點(diǎn);4.判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間并求出極值;5.確定函數(shù)的凹凸區(qū)間和拐點(diǎn);6.求出曲線的漸近線;7.列表討論并描繪函數(shù)的圖像.二、函數(shù)作圖

(2)函數(shù)不具有奇偶性，因此曲線無(wú)對(duì)稱性.

二、函數(shù)作圖

二、函數(shù)作圖

(6)無(wú)漸近線.

(7)將上面的結(jié)果列表3-4，函數(shù)圖像如圖3-19所示.二、函數(shù)作圖二、函數(shù)作圖

(2)函數(shù)不具有奇偶性，因此曲線無(wú)對(duì)稱性.

二、函數(shù)作圖

二、函數(shù)作圖

二、函數(shù)作圖

二、函數(shù)作圖(7)將上面的結(jié)果列表3-5，函數(shù)圖像如圖3-20所示.二、函數(shù)作圖第4章一元函數(shù)積分學(xué)及其應(yīng)用在第2、3章,我們主要研究一類問(wèn)題,給定一個(gè)函數(shù)f(x)的前提下,求解該函數(shù)的微分與導(dǎo)函數(shù)問(wèn)題,現(xiàn)在考慮相反的情況,已知一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)與微分,如何求解出該函數(shù)本身?這就涉及本章的學(xué)習(xí)內(nèi)容———不定積分的求解問(wèn)題,積分與導(dǎo)數(shù)(微分)問(wèn)題也被稱為高等數(shù)學(xué)的兩大主要研究主題.4.1不定積分的概念及性質(zhì)4.2定積分的概念及性質(zhì)4.3積分計(jì)算4.4定積分的基本應(yīng)用4.5廣義積分4.1不定積分的概念及性質(zhì)一、不定積分的概念1.原函數(shù)的定義

思考:一個(gè)函數(shù)應(yīng)具備什么條件，才能保證它的原函數(shù)一定存在呢？一、不定積分的概念

注意:如果一個(gè)函數(shù)存在原函數(shù)，那么它的原函數(shù)是無(wú)窮多個(gè)，并且任意兩個(gè)原函數(shù)之間只相差一個(gè)常數(shù).一、不定積分的概念2.不定積分的定義

即

一、不定積分的概念其中,∫稱為積分號(hào),x稱為積分變量,f(x)稱為被積函數(shù),f(x)dx稱為被積表達(dá)式,C稱為積分常數(shù).

一、不定積分的概念

一、不定積分的概念

一、不定積分的概念3.不定積分的幾何意義

二、不定積分的基本公式及性質(zhì)1.不定積分的基本公式

從導(dǎo)數(shù)基本公式可以得到相應(yīng)的不定積分公式.

二、不定積分的基本公式及性質(zhì)

二、不定積分的基本公式及性質(zhì)

二、不定積分的基本公式及性質(zhì)

【解】

被積函數(shù)本質(zhì)上還是冪函數(shù)，利用公式（2），得

注意:在應(yīng)用積分基本公式時(shí)注意要符合公式的一般形式才可以靈活使用.二、不定積分的基本公式及性質(zhì)2.不定積分的性質(zhì)

由不定積分的定義及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可得不定積分的性質(zhì)：

【性質(zhì)1】

求不定積分時(shí)，被積函數(shù)中不為零的常數(shù)因子可以提到積分號(hào)外面，即

二、不定積分的基本公式及性質(zhì)【性質(zhì)2】

函數(shù)和的不定積分等于各個(gè)函數(shù)不定積分的和，即:

【性質(zhì)3】

不定積分與微分之間的運(yùn)算關(guān)系:

二、不定積分的基本公式及性質(zhì)3.直接積分法

利用不定積分基本公式及性質(zhì)，求簡(jiǎn)單函數(shù)的不定積分叫作不定積分的直接積分法.【例5】計(jì)算下列不定積分：

二、不定積分的基本公式及性質(zhì)

二、不定積分的基本公式及性質(zhì)

注意:檢驗(yàn)積分結(jié)果正確性，只需對(duì)結(jié)果求導(dǎo)，驗(yàn)證其導(dǎo)數(shù)是否等于被積函數(shù)即可.二、不定積分的基本公式及性質(zhì)

二、不定積分的基本公式及性質(zhì)

二、不定積分的基本公式及性質(zhì)當(dāng)t=0時(shí)，s=0，代入上式，得C=0，于是

4.2定積分的概念及性質(zhì)一、定積分的概念1.曲邊梯形的面積

一、定積分的概念一、定積分的概念

一、定積分的概念

一、定積分的概念2.定積分的定義

一、定積分的概念

一、定積分的概念3.定積分的幾何意義

一、定積分的概念

二、定積分的基本性質(zhì)為方便起見，先作出以下兩點(diǎn)規(guī)定：

規(guī)定（1）說(shuō)明在某一點(diǎn)上積分對(duì)象是一條線段，線段沒(méi)有面積，所以定積分為零；

規(guī)定（2）說(shuō)明若調(diào)換定積分的上下限，定積分結(jié)果是原來(lái)的相反數(shù).二、定積分的基本性質(zhì)

【性質(zhì)2】

常數(shù)因子可以提到積分號(hào)外面，即

二、定積分的基本性質(zhì)

二、定積分的基本性質(zhì)

【性質(zhì)6】

定積分與積分變量的符號(hào)無(wú)關(guān)，即有

注意:性質(zhì)6說(shuō)明定積分的值只與被積函數(shù)及積分區(qū)間有關(guān)，而與積分變量的符號(hào)無(wú)關(guān)，改變積分變量的符號(hào)定積分的值也不會(huì)改變.二、定積分的基本性質(zhì)

二、定積分的基本性質(zhì)

二、定積分的基本性質(zhì)

因此

二、定積分的基本性質(zhì)

二、定積分的基本性質(zhì)

由性質(zhì)可知

即

4.3積分計(jì)算一、典型積分法利用不定積分定義、性質(zhì)以及基本公式和一些三角變換，能夠計(jì)算一些較簡(jiǎn)單的不定積分，但對(duì)于較復(fù)雜的不定積分，還必須尋求其他方法.本節(jié)重點(diǎn)介紹幾類典型方法：第一類換元法、第二類換元法和分部積分法.一、典型積分法1.第一類換元法(湊微分法)

一、典型積分法

下面引入第一類換元法，也稱湊微分法來(lái)解決這類問(wèn)題.一、典型積分法

一、典型積分法根據(jù)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，得

綜上有

一、典型積分法

一、典型積分法

一、典型積分法常用的湊微分法有：

一、典型積分法

一、典型積分法

一、典型積分法2.第二類換元積分法

一、典型積分法

例1的做法是若不能直接利用積分基本公式和第一類換元法，被積函數(shù)又含有根式時(shí)，可以通過(guò)變量代換，將含有根式的被積函數(shù)轉(zhuǎn)化為不含根式的被積函數(shù)，使得新積分變量的不定積分更加易于求解，這就是第二類換元法.一、典型積分法

一、典型積分法

一、典型積分法于是

一、典型積分法

一、典型積分法

一般地，如果被積函數(shù)含有帶三角函數(shù)的二次根式時(shí)，如果用湊微分法難以計(jì)算時(shí)，可以通過(guò)三角代換法來(lái)計(jì)算：一、典型積分法

一、典型積分法3.分部積分法

對(duì)于有些不定積分，既不能直接利用公式，而第一類積分法和第二類積分法都解決不了.這時(shí)可以用分部積分法.

移項(xiàng)，得

一、典型積分法對(duì)上式兩邊求不定積分，得

這就是分部積分公式，也可寫作

一、典型積分法

一、典型積分法

【解】

若這樣運(yùn)用分部積分法

二、微積分基本原理1.積分上限函數(shù)

二、微積分基本原理

二、微積分基本原理

【例19】求極限

二、微積分基本原理2.微積分基本公式

公式（4-1）稱為牛頓-萊布尼茨公式，簡(jiǎn)稱N-L公式，也稱作微積分基本公式.

二、微積分基本原理

所以，一樣有

二、微積分基本原理

注意:若被積函數(shù)中帶有絕對(duì)值，可根據(jù)積分性質(zhì)，先去掉絕對(duì)值再進(jìn)行計(jì)算.二、微積分基本原理

二、微積分基本原理

解

利用定積分對(duì)區(qū)間的可加性，得

三、定積分的換元法與分部積分法

在計(jì)算定積分時(shí)，如果利用不定積分的基本公式或第一類換元積分法就可以求得被積函數(shù)的原函數(shù)，則可直接利用牛頓－萊布尼茲公式求得定積分的解．但是，如果用第二類換元積分法或分部積分法求出定積分中被積函數(shù)的原函數(shù)之后，再利用牛頓－萊布尼茲公式求定積分，這種方法往往是很麻煩的，本節(jié)我們來(lái)介紹計(jì)算定積分的換元積分法與分部積分法．三、定積分的換元法與分部積分法1.定積分的換元法

這就是定積分的換元公式，因?yàn)閾Q元的同時(shí)還要換上下限，所以也簡(jiǎn)稱為“換元同時(shí)換限”.

考慮：定積分的換元法與不定積分的換元法有什么不同？三、定積分的換元法與分部積分法

三、定積分的換元法與分部積分法

于是

三、定積分的換元法與分部積分法【例26】

證明：

三、定積分的換元法與分部積分法

于是

三、定積分的換元法與分部積分法

從而

三、定積分的換元法與分部積分法

從而

注意:例26的結(jié)論可以用來(lái)簡(jiǎn)化計(jì)算偶函數(shù)、奇函數(shù)在對(duì)稱于原點(diǎn)的區(qū)間上的定積分.三、定積分的換元法與分部積分法2.定積分的分部積分法

三、定積分的換元法與分部積分法

4.4定積分的基本應(yīng)