4-3第二類換元積分法

1、1 4-3不定積分的積分方法不定積分的積分方法 (二二)21 、直接積分法、直接積分法2、第一換元積分法、第一換元積分法 dxxxf)()( )()(xuduuf dxxxf)()( )()(xuduuf 以上公式能否從左到右用以上公式能否從左到右用?復(fù)習(xí)復(fù)習(xí) Cxxdxcoslntan Cxxdxsinlncot xdxcsc.cotcsclnCxx .tanseclnsec Cxxxdxdxxa 221.arctan1Caxa 請熟記公式請熟記公式:Caxaxadxax ln211223問題問題?1 dxxx解決方法解決方法改變中間變量的設(shè)置方法改變中間變量的設(shè)置方法.過程過程令令tx 1

2、,212tdtdxtx 則則txdxxx 1 1 dttdttdttt222221Ctt 3322Cxxxt 3) 1(3212 12.第二換元積分法第二換元積分法4 CxFdtttfdxxfxt )( )()()(1)(1 則有則有換元公式換元公式:定理定理( (第二換元積分法第二換元積分法) )CtFdtttf )()()( 若若.)()(, 0)(,)(1的的反反函函數(shù)數(shù)是是且且具具有有連連續(xù)續(xù)的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)其其中中txxtttx 說明說明1.積分程序積分程序: dxxf)(dtttf )()( CxF )(1 CtF )(tx 換換元元積積分分)(1xt 回回代代說明說明2.第一換元積分

3、法是選擇新的積分變量第一換元積分法是選擇新的積分變量,而此積分而此積分 是被是被積函數(shù)作相反方式的換元積函數(shù)作相反方式的換元.5例例1 1 求求.11dxx 解解 令令tx tdtdxtx22 則則 原式原式于是于是 dttt 12 dttt111211 2dttdt Ctt )1ln(22.)1ln( 2Cxx nnbaxtbax 時時，為為去去掉掉根根式式常常常常令令含含6例例2 2 求求.13dxxx dttdxtx566 則則 dtttt2356dttt 163 dttt11)1(63dtttt11) 1(62 Ctttt 1ln23 623.)1ln(6632663Cxxxx 解解

4、令令tx 6 原式原式于是于是 說明說明 無理函數(shù)去根號時無理函數(shù)去根號時, 取根指數(shù)的取根指數(shù)的最小公倍數(shù)最小公倍數(shù).7例例3 3 求求.1dxxx 解解 令令tx 1tdtdxtx212 則則 原式原式于是于是 tdttt212 dttt11122211 22dttdt Ctt )arctan( 2.)1arctan1( 2Cxx 8 原式原式于是于是 例例4 4 求求).0(22 adxxa解解 令令taxsin tdtadxcos tdta22cos dtta22cos12Ctta 2sin2122tax22xa .)(arcsin2222Caxaaxaxa 2,2t9例例5 5 求求

5、解解).0(122 adxax令令taxtan tdtadx2sec dxax221tdtata2secsec1 tdtsecCtt tanseclntax22ax .ln22Caaxax 2,2t dxax221.ln22Caxx 10例例6 6 求求解解).0(122 adxax令令taxsec 2, 0ttdttadxtansec dxax221dttatta tantansec tdtsecCtt tanseclntax22ax .ln22Caaxax dxax221.ln22Caxx 11說明說明: :以上幾例所使用的均為以上幾例所使用的均為三角代換三角代換.三角代換的三角代換的目的

6、也目的也是化掉根式是化掉根式.一般規(guī)律如下：當(dāng)被積函數(shù)中含有一般規(guī)律如下：當(dāng)被積函數(shù)中含有22)1(xa 可令可令;sintax 22)2(xa 可令可令;tantax 22)3(ax 可令可令.sectax 注意注意:應(yīng)靈活運(yùn)用三角代換應(yīng)靈活運(yùn)用三角代換.以上規(guī)律以上規(guī)律并不是絕對的并不是絕對的.12例例7 7 求求解解).0(122 adxxa dxxa221)()(112axdax Cax arcsin dxxa221Cax arcsin13例例8 8 求求解解).0()(1222 adxax令令taxtan tdtadx2sec tdtata244secsec1 tdta23cos1d

7、tta )2cos1(2113tax22ax Ctta )2sin21(213 2,2t.)(arctan21223Cxaaxaxa 原式原式于是于是 14例例9 9 求求解解.11dxex xet 1令令, 12 tex,122dtttdx dtt 122Ctt 11ln ,1ln2 tx 原式原式于是于是 Cxxa 11ln21dtax221Ceexx 1111ln可運(yùn)用此公式15說明說明:當(dāng)分母的次數(shù)較高時當(dāng)分母的次數(shù)較高時, 可采用可采用倒代換倒代換.1tx 例例1010 求求dxxx )4(16令令tx1 ,12dttdx 原式原式dtttt 26141 dttt6541Ct |41|ln2416.|ln41)4ln(2416Cxx 解解 6641)(61ttd16基基本本積積分分表表2 2;coslntan)14( Cxxdx;sinlncot)15( Cxxdx;tanseclnsec)16( Cxxxdx;cotcsclncsc)17( Cxxxdx)0( ;arctan11)18(22aCaxadxxa ;arcsin1)20(22Caxdxxa .ln1)21(2222Caxxdxax ;ln211)19(22Caxa