曲面及其方程

1、6.3a 曲面及其方程一、曲面方程的概念一、曲面方程的概念平面解析幾何：平面解析幾何：如果平面曲線L與坐標x,y的方程F(x,y)=0有下列關(guān)系：（1）凡是L上的點M(x,y)的坐標都滿足F(x,y)=0;則稱則稱F(x,y)=0是曲線是曲線L的方程，稱的方程，稱L是是F(x,y)=0的圖形的圖形.（2）凡不是L上的點N(x,y)的坐標都不滿足F(x,y)=0.在空間解析幾何空間解析幾何中把曲面S看作動點M(x,y)的軌跡，如果曲面S與坐標x,y,z的方程F(x,y,z)=0有以下關(guān)系：（1）凡是曲面S上的點M(x,y,z)的坐標x,y,z都滿足F(x,y,z)=0;則稱則稱F(x,y,z)=

2、0是曲面是曲面S的方程，的方程，S是是F(x,y,z)=0的圖形的圖形.（2）凡不是曲面S上的點N(x,y,z)的坐標x,y,z都不滿足F(x,y,z)=0;例例 1 1 建建立立球球心心在在),(0000zyxM、半半徑徑為為 R的的球球面面方方程程. 解解設(shè)設(shè)),(zyxM是是空空間間中中的的任任一一點點， 在在球球面面上上M根據(jù)題意根據(jù)題意, ,有有 ,Rzzyyxx 202020 ,Rzzyyxx2202020 所求方程為所求方程為特殊地：球心在原點時方程為特殊地：球心在原點時方程為.Rzyx2222 ，R|MM| 0即即解解 經(jīng)過配方后，得經(jīng)過配方后，得222(21)(44)1 4x

3、xyyz 222(1)(2)5xyz例例2 方程： 是怎樣的曲面S ？222240 xyzxy與與例例1對照可知：對照可知：0(1, 2,0)M方程的圖形方程的圖形S S是球面，球心是球面，球心5R 半徑半徑二、旋轉(zhuǎn)曲面二、旋轉(zhuǎn)曲面定義定義 以一條平以一條平面曲線繞其平面面曲線繞其平面上的一條直線旋上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為面稱為旋轉(zhuǎn)曲面旋轉(zhuǎn)曲面. .旋轉(zhuǎn)曲線稱為旋旋轉(zhuǎn)曲線稱為旋轉(zhuǎn)曲面的母線，轉(zhuǎn)曲面的母線，這條定直線叫旋這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的轉(zhuǎn)曲面的軸軸二、旋轉(zhuǎn)曲面二、旋轉(zhuǎn)曲面定義定義 以一條平面以一條平面曲線繞其平面上的曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周一條直線旋轉(zhuǎn)一周所

4、成的曲面稱為旋所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面轉(zhuǎn)曲面. .這條定直線叫旋轉(zhuǎn)這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的曲面的軸軸二、旋轉(zhuǎn)曲面二、旋轉(zhuǎn)曲面定義定義 以一條平面以一條平面曲線繞其平面上的曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為所成的曲面稱為旋旋轉(zhuǎn)曲面轉(zhuǎn)曲面. .這條定直線叫旋轉(zhuǎn)這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的曲面的軸軸二、旋轉(zhuǎn)曲面二、旋轉(zhuǎn)曲面定義定義 以一條平面以一條平面曲線繞其平面上的曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為所成的曲面稱為旋旋轉(zhuǎn)曲面轉(zhuǎn)曲面. .這條定直線叫旋轉(zhuǎn)這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的曲面的軸軸二、旋轉(zhuǎn)曲面二、旋轉(zhuǎn)曲面定義定義 以一條平面以一條平面曲線繞其平面上的曲

5、線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為所成的曲面稱為旋旋轉(zhuǎn)曲面轉(zhuǎn)曲面. .這條定直線叫旋轉(zhuǎn)這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的曲面的軸軸二、旋轉(zhuǎn)曲面二、旋轉(zhuǎn)曲面定義定義 以一條平面以一條平面曲線繞其平面上的曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為所成的曲面稱為旋旋轉(zhuǎn)曲面轉(zhuǎn)曲面. .這條定直線叫旋轉(zhuǎn)這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的曲面的軸軸二、旋轉(zhuǎn)曲面二、旋轉(zhuǎn)曲面定義定義 以一條平面以一條平面曲線繞其平面上的曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為所成的曲面稱為旋旋轉(zhuǎn)曲面轉(zhuǎn)曲面. .這條定直線叫旋轉(zhuǎn)這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的曲面的軸軸二、旋轉(zhuǎn)曲面二、旋轉(zhuǎn)曲面

6、定義定義 以一條平面以一條平面曲線繞其平面上的曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為所成的曲面稱為旋旋轉(zhuǎn)曲面轉(zhuǎn)曲面. .這條定直線叫旋轉(zhuǎn)這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的曲面的軸軸二、旋轉(zhuǎn)曲面二、旋轉(zhuǎn)曲面定義定義 以一條平面以一條平面曲線繞其平面上的曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為所成的曲面稱為旋旋轉(zhuǎn)曲面轉(zhuǎn)曲面. .這條定直線叫旋轉(zhuǎn)這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的曲面的軸軸二、旋轉(zhuǎn)曲面二、旋轉(zhuǎn)曲面定義定義 以一條平面以一條平面曲線繞其平面上的曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為所成的曲面稱為旋旋轉(zhuǎn)曲面轉(zhuǎn)曲面. .這條定直線叫旋轉(zhuǎn)這條定直

7、線叫旋轉(zhuǎn)曲面的曲面的軸軸二、旋轉(zhuǎn)曲面二、旋轉(zhuǎn)曲面定義定義 以一條平面以一條平面曲線繞其平面上的曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為所成的曲面稱為旋旋轉(zhuǎn)曲面轉(zhuǎn)曲面. .這條定直線叫旋轉(zhuǎn)這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的曲面的軸軸二、旋轉(zhuǎn)曲面二、旋轉(zhuǎn)曲面定義定義 以一條平面以一條平面曲線繞其平面上的曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為所成的曲面稱為旋旋轉(zhuǎn)曲面轉(zhuǎn)曲面. .這條定直線叫旋轉(zhuǎn)這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的曲面的軸軸二、旋轉(zhuǎn)曲面二、旋轉(zhuǎn)曲面定義定義 以一條平面以一條平面曲線繞其平面上的曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為所成的曲面稱

8、為旋旋轉(zhuǎn)曲面轉(zhuǎn)曲面. .這條定直線叫旋轉(zhuǎn)這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的曲面的軸軸xozy0),( zyf), 0(111zyM M1)1(zz （2）點點 M 到到 z 軸軸的的距距離離等等于于 M1到到 z 軸軸的的距距離離 , 122|y|yxd 建立旋轉(zhuǎn)曲面建立旋轉(zhuǎn)曲面S的方程：的方程：設(shè)點M1(0,y1,z1)在曲線C上，從而有f(y1,z1)=0d. 0),( 0)( 222 zyxfz ,yxf2或或, 12222yxyxy 或或即即設(shè)點M(x,y,z),且有yOz上上曲曲線線0),( zyf繞繞 z軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)的的旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)曲曲面面方方程程 同理：同理：繞繞 y 軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)的的旋轉(zhuǎn)曲面方

9、程旋轉(zhuǎn)曲面方程 . 0,22 zxyf .z,yxf022 例例3 3 將下列各曲線繞對應(yīng)的軸旋轉(zhuǎn)一周，將下列各曲線繞對應(yīng)的軸旋轉(zhuǎn)一周，求生成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程求生成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程繞繞x軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)繞繞z軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)122222 czyax122222 czayx旋轉(zhuǎn)雙葉雙曲面旋轉(zhuǎn)雙葉雙曲面旋轉(zhuǎn)單葉雙曲面旋轉(zhuǎn)單葉雙曲面（2）橢橢圓圓 012222xczay繞繞 y 軸軸和和 z 軸軸； 繞繞 y軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn) 繞繞 z 軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn) 122222 czxay122222 czayx旋轉(zhuǎn)橢球面旋轉(zhuǎn)橢球面（3）拋物線）拋物線 022xpzy繞繞 z 軸；軸； pzyx222 旋轉(zhuǎn)拋物面旋轉(zhuǎn)拋物面解解

10、 此此錐錐面面可可看看成成 yOz 面面上上直直線線 cotyz 圓錐面方程圓錐面方程.cot22 yxz 軸軸生生成成的的旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)曲曲面面繞繞z).(cot 2222yxz 即即xozyoxzy ）表示什么曲面？）表示什么曲面？其中其中問：問：0( )(222 kzykx定義定義三、柱面三、柱面觀察柱面的觀察柱面的形成過程形成過程: :平行于定直線并沿定曲線平行于定直線并沿定曲線 移動的移動的直線直線 所形成的曲面稱為所形成的曲面稱為柱面柱面. .CL這條定曲線這條定曲線 叫柱面的叫柱面的準線準線，動直線，動直線 叫柱面的叫柱面的母線母線CL定義定義三、柱面三、柱面觀察柱面的形觀察柱面的形成

11、過程成過程:平行于定直線并沿定曲線平行于定直線并沿定曲線 移動的直線移動的直線 所形成的曲面稱為所形成的曲面稱為柱面柱面. .CL這條定曲線這條定曲線 叫柱面的叫柱面的準線準線，動直線，動直線 叫叫柱面的柱面的母線母線.CL定義定義三、柱面三、柱面觀察柱面的形觀察柱面的形成過程成過程:平行于定直線并沿定曲線平行于定直線并沿定曲線 移動的直線移動的直線 所形成的曲面稱為所形成的曲面稱為柱面柱面. .CL這條定曲線這條定曲線 叫柱面的叫柱面的準線準線，動直線，動直線 叫叫柱面的柱面的母線母線.CL定義定義三、柱面三、柱面觀察柱面的形觀察柱面的形成過程成過程:平行于定直線并沿定曲線平行于定直線并沿定

12、曲線 移動的直線移動的直線 所形成的曲面稱為所形成的曲面稱為柱面柱面. .CL這條定曲線這條定曲線 叫柱面的叫柱面的準線準線，動直線，動直線 叫叫柱面的柱面的母線母線.CL定義定義三、柱面三、柱面觀察柱面的形觀察柱面的形成過程成過程:平行于定直線并沿定曲線平行于定直線并沿定曲線 移動的直線移動的直線 所形成的曲面稱為所形成的曲面稱為柱面柱面. .CL這條定曲線這條定曲線 叫柱面的叫柱面的準線準線，動直線，動直線 叫叫柱面的柱面的母線母線.CL定義定義三、柱面三、柱面觀察柱面的形觀察柱面的形成過程成過程:平行于定直線并沿定曲線平行于定直線并沿定曲線 移動的直線移動的直線 所形成的曲面稱為所形成的

13、曲面稱為柱面柱面. .CL這條定曲線這條定曲線 叫柱面的叫柱面的準線準線，動直線，動直線 叫叫柱面的柱面的母線母線.CL定義定義三、柱面三、柱面觀察柱面的形觀察柱面的形成過程成過程:平行于定直線并沿定曲線平行于定直線并沿定曲線 移動的直線移動的直線 所形成的曲面稱為所形成的曲面稱為柱面柱面. .CL這條定曲線這條定曲線 叫柱面的叫柱面的準線準線，動直線，動直線 叫叫柱面的柱面的母線母線.CL定義定義三、柱面三、柱面觀察柱面的形觀察柱面的形成過程成過程:平行于定直線并沿定曲線平行于定直線并沿定曲線 移動的直線移動的直線 所形成的曲面稱為所形成的曲面稱為柱面柱面. .CL這條定曲線這條定曲線 叫柱

14、面的叫柱面的準線準線，動直線，動直線 叫叫柱面的柱面的母線母線.CL定義定義三、柱面三、柱面觀察柱面的形觀察柱面的形成過程成過程:平行于定直線并沿定曲線平行于定直線并沿定曲線 移動的直線移動的直線 所形成的曲面稱為所形成的曲面稱為柱面柱面. .CL這條定曲線這條定曲線 叫柱面的叫柱面的準線準線，動直線，動直線 叫叫柱面的柱面的母線母線.CL定義定義三、柱面三、柱面觀察柱面的形觀察柱面的形成過程成過程:平行于定直線并沿定曲線平行于定直線并沿定曲線 移動的直線移動的直線 所形成的曲面稱為所形成的曲面稱為柱面柱面. .CL這條定曲線這條定曲線 叫柱面的叫柱面的準線準線，動直線，動直線 叫叫柱面的柱面

15、的母線母線.CL定義定義三、柱面三、柱面觀察柱面的形觀察柱面的形成過程成過程:平行于定直線并沿定曲線平行于定直線并沿定曲線 移動的直線移動的直線 所形成的曲面稱為所形成的曲面稱為柱面柱面. .CL這條定曲線這條定曲線 叫柱面的叫柱面的準線準線，動直線，動直線 叫叫柱面的柱面的母線母線.CL定義定義三、柱面三、柱面觀察柱面的形觀察柱面的形成過程成過程:平行于定直線并沿定曲線平行于定直線并沿定曲線 移動的直線移動的直線 所形成的曲面稱為柱面所形成的曲面稱為柱面. .CL定義定義三、柱面三、柱面觀察柱面的形觀察柱面的形成過程成過程:平行于定直線并沿定曲線平行于定直線并沿定曲線 移動的直線移動的直線

16、所形成的曲面稱為所形成的曲面稱為柱面柱面. .CL這條定曲線這條定曲線 叫柱面的叫柱面的準線準線，動直線，動直線 叫叫柱面的柱面的母線母線.CL柱面舉例柱面舉例xozyxozyxy22 拋物柱面拋物柱面xy 平面平面二元方程二元方程F(x,y)=0 在空間表示的曲面在空間表示的曲面S是什么？是什么？ SzyxM),( 0),(:)0 ,(yxFCxOyyxM曲曲線線面面上上的的 的的直直線線上上面面上上的的曲曲線線過過軸軸平平行行、在在與與0),(:),(yxFCxOyzzyxMxyzOS)z , y,x(M C),y,x(M 0。的的面面上上的的曲曲線線準準線線為為面面）、軸軸（即即表表示示

17、母母線線柱柱面面 0),(: / 0),(: yxFCxOyxOyzyxFS 例例12222 czby橢圓柱面橢圓柱面 / 軸軸x12222 byax雙曲柱面雙曲柱面 / 軸軸zpzx22 拋物柱面拋物柱面 / 軸軸y1 z平面平面 / 軸軸x、/ 軸軸y( , )0 / :( , )0 F x yzxOyxOyC F x y表示母線軸（即面）、準線為面上的曲線的。柱柱面面三元三元二次二次方程的圖形曲面稱為方程的圖形曲面稱為二次曲面二次曲面了解了解( (畫畫) )曲面的形狀的一種方法：曲面的形狀的一種方法： 用坐標面和平行于坐標面的平面與曲用坐標面和平行于坐標面的平面與曲面相截，通過考察其交線

18、（即面相截，通過考察其交線（即截痕截痕）的形）的形狀來了解曲面的形狀狀來了解曲面的形狀幾種特殊的二次方程的曲面：幾種特殊的二次方程的曲面：四、二次曲面四、二次曲面截痕法。截痕法。1、方程、方程1222222 czbyax 曲面與坐標面的交線：曲面與坐標面的交線：,012222 yczax.012222 xczby,012222 zbyax橢圓曲面與平面曲面與平面 的交線的交線1zz 12122222122221)()(zzzccbyzccax橢球面橢球面2、方程、方程1222222 czbyax 曲面與坐標面的交線：曲面與坐標面的交線：,yczax 012222.xczby 012222,012222 zbyax橢圓曲面與平面曲面與平面 的交線的交線1zz 12122222122221zz)zc(cby)zc(cax單葉雙曲面單葉雙曲面