自動控制_05g章復(fù)習(xí)

1、第第5章章 線性系統(tǒng)的頻域分析法線性系統(tǒng)的頻域分析法 控制系統(tǒng)中的信號可以表示為不同頻率正弦信號的合成，控制系統(tǒng)的頻率特性反映正弦信號作用下系統(tǒng)響應(yīng)的性能。5- -2 頻率特性頻率特性 可對頻率特性頻率特性作如下定義：線性定常系統(tǒng)（或元件）線性定常系統(tǒng)（或元件）的頻率特性是零初始條件下穩(wěn)態(tài)輸出正弦信號與輸入信號的頻率特性是零初始條件下穩(wěn)態(tài)輸出正弦信號與輸入信號的復(fù)數(shù)比。的復(fù)數(shù)比。若用 表示，則有 )(jG)185).()()()()(AeAjGj 稱為系統(tǒng)（元件）的頻率特性，它描述了在不同頻率下系統(tǒng)（或元件）傳遞正弦信號的能力。 )(jG)(jG 還可以用實數(shù)部分和虛數(shù)部分組成的復(fù)數(shù)形式進(jìn)行描

2、述，即 )()()(jQPjG 式中 和 分別稱為系統(tǒng)（或元件）的實頻特性和虛頻特性。 )(P)(QP圖5-3 頻率特性在復(fù)平面上的表示由圖5-3的幾何關(guān)系知，幅頻、相頻特性與實頻、虛頻特性之間的關(guān)系為 )()(arctan)()()()()(sin)()()(cos)()(22PQQPAAQAP2、頻率特性和傳遞函數(shù)的關(guān)系、頻率特性和傳遞函數(shù)的關(guān)系 設(shè)系統(tǒng)的輸入信號、輸出信號分別為 ，其拉氏變換分別為 ，則系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為 )()(tctr、)()(sCsR、)()()(sRsCsG則 )()()(sRsGsC)195.()()(jssGjG3、頻率特性的幾何表示法、頻率特性的幾何表示法 在

3、工程分析和設(shè)計中，通常把線性系統(tǒng)的頻率特性畫成曲線，再運用圖解法進(jìn)行研究。常用的頻率特性曲線有三種：序序號號名稱名稱圖形常用名圖形常用名坐標(biāo)系坐標(biāo)系1幅相頻率特幅相頻率特性曲線性曲線極坐標(biāo)圖、極坐標(biāo)圖、Nyquist圖圖極坐標(biāo)極坐標(biāo)2對數(shù)幅頻對數(shù)幅頻相相頻頻特性曲線特性曲線對數(shù)坐標(biāo)圖、對數(shù)坐標(biāo)圖、Bode圖圖半對數(shù)半對數(shù)坐標(biāo)坐標(biāo)3對數(shù)幅相頻對數(shù)幅相頻率特性曲線率特性曲線對數(shù)幅相圖對數(shù)幅相圖 Nichols圖圖對數(shù)幅對數(shù)幅相坐標(biāo)相坐標(biāo)一、幅相頻率特性曲線一、幅相頻率特性曲線 幅相頻率特性曲線又稱Nyquist曲線，由于它是在復(fù)平面上以極坐標(biāo)的形式表示，故又稱極坐標(biāo)圖。 二、對數(shù)頻率特性曲線二、對

4、數(shù)頻率特性曲線 對數(shù)頻率特性曲線又叫Bode曲線。它由對數(shù)幅頻特性和對數(shù)相頻特性兩條曲線所組成，是頻率法中應(yīng)用得最廣泛的一組圖線。 Bode圖是在半對數(shù)坐標(biāo)系上繪制出來的。所謂半對數(shù)坐標(biāo)，是指橫坐標(biāo)采用對數(shù)刻度，因而刻度是不均勻的，而縱坐標(biāo)則采用線性的均勻刻度。 Bode圖中，對數(shù)幅頻特性是 的對數(shù)值 和頻率 的關(guān)系曲線；對數(shù)相頻特性是 的相角 和頻率 的關(guān)系曲線。 )(jG)(lg20jG)(jG 在畫對數(shù)頻率特性曲線時，必須掌握對數(shù)刻度的概念。橫坐標(biāo)上標(biāo)的是 的實際值，而坐標(biāo)上的距離是按 值的常用對數(shù) 的大小來刻度的。因此坐標(biāo)上任意坐標(biāo)上任意 的的距離應(yīng)為距離應(yīng)為 ，而不是，而不是 lg2

5、1、12lglg12圖5-6 對數(shù)分度圖5-6中，P2 至P1點的距離為：11lg10lgP3至P2點的距離為：110lg100lg 12lg20lgP5至P4點的距離為： 頻率 每變化10倍稱為一個十倍頻程或十進(jìn)程，記作decade或簡寫為dec。每個十進(jìn)程沿橫坐標(biāo)走過的間隔為一個單位長度，如圖5-6所示。 對數(shù)幅頻特性對數(shù)幅頻特性的縱坐標(biāo)為 )(lg20)(AL 稱為對數(shù)幅值，單位是分貝?？v坐標(biāo)按分貝做線性刻度。對數(shù)相頻特性對數(shù)相頻特性的縱坐標(biāo)為相角 ，單位是度，因不取對數(shù)，故采用線性刻度。 )(L)(三、對數(shù)幅相特性曲線三、對數(shù)幅相特性曲線 對數(shù)幅相特性曲線又稱Nichols曲線。繪有這

6、一特性曲線的圖形稱為對數(shù)幅相圖或Nichols圖。 對數(shù)幅相特性是由對數(shù)幅頻特性和對數(shù)相頻特性合并而成的曲線。由圖5-7所示的Bode圖求得的相應(yīng)對數(shù)幅相特性如圖5-8所示。 圖5-8 對數(shù)幅相特性5- -3.1、開環(huán)系統(tǒng)的典型環(huán)節(jié)分解、開環(huán)系統(tǒng)的典型環(huán)節(jié)分解一一、典型環(huán)節(jié)、典型環(huán)節(jié)) 12/(122TssT 由于開環(huán)傳遞函數(shù)的分子和分母多項式的系數(shù)都是實數(shù)，因此系統(tǒng)開環(huán)零極點或為實數(shù)或為復(fù)數(shù)。根據(jù)開環(huán)零極點可以將分子分母多項式進(jìn)行因式分解，得典型環(huán)節(jié)。常見的典型環(huán)節(jié)有比例環(huán)節(jié)K，積分環(huán)節(jié)1/s，慣性環(huán)節(jié)1/(Ts+1)，比例微分環(huán)節(jié) 1+s， 微分環(huán)節(jié)s，振蕩環(huán)節(jié) ，延遲環(huán)節(jié)se1、比例環(huán)節(jié)

7、、比例環(huán)節(jié) 比例環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為 KsG)(其頻率特性表達(dá)式為 0)()()(QKPKjG 00arctan)(0)(2KKKA 對數(shù)幅頻特性為一水平線，相頻特性與橫坐標(biāo)重合。比例環(huán)節(jié)的極坐標(biāo)圖為一點。二、典型環(huán)節(jié)的頻率特性二、典型環(huán)節(jié)的頻率特性 圖5-9 比例環(huán)節(jié)頻率特性 2、慣性環(huán)節(jié)、慣性環(huán)節(jié) 慣性環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為 11)(TssG其頻率特性的表達(dá)式為 jTjG11)()()(11)1)(1 (1)(22jQPTjTjTjTjTjG分母有理化： 式中 22221)(,11)(TTQTP故 222211)()()(TQPATPQarctan)()(arctan)(由于 TPQ)()(所以有

8、22221111PQTP化簡后有 222)21()21(QP圖5-10 慣性環(huán)節(jié)的幅相頻率特性所以，在復(fù)平面上，慣性環(huán)節(jié)的幅相頻率特性是符合圓的方程，圓心在 處，半徑為1/2。 )0, 2/1 (j其中 1)(, 0)(QP故 90)()(arctan)(,1)(PQA3、積分環(huán)節(jié)、積分環(huán)節(jié) 積分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為 ssG1)(其頻率特性表達(dá)式為 11)(jjjG圖5-11 積分環(huán)節(jié)的幅相頻率特性4、振蕩環(huán)節(jié)、振蕩環(huán)節(jié) 振蕩環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為 222222121)(nnnssTssTsG其頻率特性為 nnnnnjjjjG2)(1 1)(2)()(2222直接利用幅角運算方法求 和 )(A)(222

9、)2()(1 1)(nnA2)(12arctan)(nn圖5-12 振蕩環(huán)節(jié)的幅相頻率特性5、微分環(huán)節(jié)、微分環(huán)節(jié) （1）純微分環(huán)節(jié) 純微分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為 ssG)(其頻率特性表達(dá)式為 jjG)(從而得 90)()(arctan)(,)(PQA)(, 0)(QP其中圖5-13 微分環(huán)節(jié)的幅相頻率特性故arctan)(,1)(22A(2)一階微分環(huán)節(jié) 其傳遞函數(shù)為 ssG1)(其頻率特性式 jjG1)(其中 )(, 1)(QP圖5-14 一階微分環(huán)節(jié)的幅相頻率特性三、典型環(huán)節(jié)的對數(shù)頻率特性三、典型環(huán)節(jié)的對數(shù)頻率特性 對數(shù)頻率特性由對數(shù)幅頻特性對數(shù)幅頻特性和對數(shù)相頻特性對數(shù)相頻特性構(gòu)成。對數(shù)幅頻特

10、性常采用分段直線來近似表示。 1、比例環(huán)節(jié)的Bode圖 前面我們已求得 比例環(huán)節(jié)0)(,)(KA所以KALlg20)(lg20)(圖5-16 比例環(huán)節(jié)的Bode圖2、慣性環(huán)節(jié)的Bode圖 由于 TTAarctan)(,11)(22所以 22221lg2011lg20)(TTL 利用上式可計算并描出較精確的對數(shù)幅頻特性。但實際一般采用漸近線近似法。思路如下：思路如下： 在低頻段， 很小。當(dāng) 即 時略去 此時 T11T22TdBL0)(在高頻段， 很大。當(dāng) 即 時略去1。此時 T11T)(lg20)(dBTL高頻漸近線與低頻漸近線在 處相交，這交點處的頻率稱為交接頻率交接頻率。用漸進(jìn)特性近似表示存

11、在誤差。 T1)(01. 3011lg20)(dBL這就是3分貝誤差的由來 伯德圖如圖5-18所示。 圖5-18 慣性環(huán)節(jié)的Bode圖3、積分環(huán)節(jié)Bode圖 已知 1)(A90)(則 lg201lg20)(L圖5-19 積分環(huán)節(jié)的Bode圖4、微分環(huán)節(jié)的Bode圖 （1）純微分環(huán)節(jié) 已知 90)(,)(A則 lg20)(L圖5-20 純微分環(huán)節(jié)的Bode圖（2）一階微分環(huán)節(jié) 22221lg20)(,arctan)(,1)(LA利用漸近線分段表示對數(shù)幅頻特性 圖5-20 一階微分環(huán)節(jié)的Bode圖5、振蕩環(huán)節(jié)Bode圖2222)(12arctan)(,)2()(1 1)(nnnnA222222)2

12、()(1 lg20)2()(1 lg201lg20)(nnnnL 振蕩環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性曲線也可采用分段直線近似法描繪，如圖5-22。 低頻段，當(dāng) ，即 時，略去 項，此時 n1nn)(01lg20)(dBL 高頻段，當(dāng) ，即 時，略去1和 項，此時n1nn2)(lg40)lg(20)(2dBLnn 斜率為40dB，交接頻率為 ，在此附近會導(dǎo)致較大的誤差。當(dāng) 時按上面公式計算 而按準(zhǔn)確方程有 ，則 ，即誤差的大小與阻尼比有關(guān)。若 在 之間，漸近線可不作修正，否則，應(yīng)作修正。nndBL01lg40)(2lg20)(L2lg20)(L7 . 03 . 0圖5-22 振蕩環(huán)節(jié)的Bode圖5- -3.

13、2、開環(huán)頻率特性曲線的繪制、開環(huán)頻率特性曲線的繪制 一、開環(huán)幅相曲線的繪制一、開環(huán)幅相曲線的繪制 根據(jù)系統(tǒng)開環(huán)頻率特性的表達(dá)式可以通過取點、計算和作圖繪制系統(tǒng)開環(huán)幅相曲線。概略開環(huán)幅相曲線應(yīng)反映開環(huán)頻率特性的三個重要因素： 1、開環(huán)幅相曲線的起點（ =0+）和終點（= ）。 2、開環(huán)幅相曲線與實軸的交點 設(shè)=x時，G(jx)H(j x)的虛部為.2, 1, 0,)()()(0)()(ImkkjHjGjHjGxxxxx或 稱x為穿越頻率，而開環(huán)頻率特性曲線與實軸交點坐標(biāo)值為： )()()()(RexxxxjHjGjHjG例5-2 設(shè)某型系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 )1)(1 ()(21sTsTsKsG

14、試?yán)L制系統(tǒng)的開環(huán)幅相頻率特性曲線。 解 該系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性為 )1)(1 ()(21jTjTjKjG將上式進(jìn)行有理化處理有 )1)(1 ()()(22222121TTTTKP)1)(1 ()1 ()(222221221TTTTKQ而 ,arctanarctan90)(1111)(21222221TTTTKA當(dāng)0時 表 90)0(,)0(,)(),()0(21AQTTKP明低頻率段的漸近線是一條過實軸K(T1+T2)點且平行于虛軸的直線。 當(dāng)時 270909090)(, 0)(, 0)(, 0)(AQP可見，此時高頻段是以270作為極限角而卷入坐標(biāo)原點的。 完整的幅相頻率特性曲線如圖5-26所

15、示。曲線從點 K(T1+T2)， j出發(fā)，跨越負(fù)實軸進(jìn)入第二象限，并以正虛軸為漸近線卷向坐標(biāo)原點。為精確求得曲線與負(fù)虛軸的交點，可令虛頻特性為0，解之得交點角頻率將此值代入實頻特性表達(dá)式可求得曲線與實軸交點21/1TT2121TTTKT交點為： 圖5-26 例5-2系統(tǒng)的幅相頻率特性 在繪制系統(tǒng)的開環(huán)極坐標(biāo)時，應(yīng)注意曲線所具有的一些特征。例如：當(dāng)0時低頻段曲線從何處出發(fā)？而當(dāng) 時的高頻段特性曲線以什么姿態(tài)卷向原點？曲線在值為多大時跨越實軸或虛軸？跨越點的坐標(biāo)值如何？等等。下面給出經(jīng)驗公式。 2)0(,)0(,22)0(,)0(, 22)0(,)0(, 10)0(,)0(, 00vAvvVAvA

16、vKAv型系統(tǒng)：型系統(tǒng)：型系統(tǒng)：型系統(tǒng)： 當(dāng)時的高頻段，由于mn 所以 0)(limjG根據(jù)相角特性得2)()(limmnjG當(dāng)當(dāng) ，特性曲線沿負(fù)虛軸卷向原點；，特性曲線沿負(fù)虛軸卷向原點；1mn當(dāng)當(dāng) ，特性曲線沿負(fù)實軸卷向原點；，特性曲線沿負(fù)實軸卷向原點；2mn當(dāng)當(dāng) ，特性曲線沿正虛軸卷向原點；，特性曲線沿正虛軸卷向原點；3mn圖5-27 極坐標(biāo)圖的低頻段圖5-28 極坐標(biāo)的高頻段二、開環(huán)對數(shù)頻率特性的繪制二、開環(huán)對數(shù)頻率特性的繪制 含有多環(huán)節(jié)的系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)頻率特性的繪制思路：確含有多環(huán)節(jié)的系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)頻率特性的繪制思路：確定低頻漸近線的斜率和位置定低頻漸近線的斜率和位置確定線段交接的頻率

17、以及交確定線段交接的頻率以及交接后線段斜率的變化量接后線段斜率的變化量由低頻到高頻繪制開環(huán)系統(tǒng)的特由低頻到高頻繪制開環(huán)系統(tǒng)的特性曲線。性曲線。 1、低頻漸近線段的確定 vKjGA)()(則 lg20lg20)(lg20)(vKAL上式是一個線性方程，易知直線的斜率為 即低頻漸近線的斜率與系統(tǒng)階數(shù)V有關(guān)，如圖5-31。 decvdB/20圖5-31 低頻段的斜率與位置的關(guān)系2、交接頻率及交接后斜率變化量的確定 對于式 1)(2)(2) 1(1 1)(2)(2) 1(1)()(22112211jTjTjTjjjjKjGlllnljnjkkkmkimiv其交接頻率分別為llkkjjiiTT1,1,1

18、,1曲線經(jīng)過 時，斜率的變化量為+20dB/dec； i曲線經(jīng)過 時，斜率的變化量為-20dB/dec；J曲線經(jīng)過 時，斜率的變化量為+40dB/dec；K曲線經(jīng)過 時，斜率的變化量為-40dB/dec。L 依據(jù)如上分析，我們可歸納出繪制系統(tǒng)開環(huán)Bode圖的一般步驟和方法如下： （1 1）將系統(tǒng)開環(huán)頻率特性）將系統(tǒng)開環(huán)頻率特性 寫成以時間常數(shù)表示、以寫成以時間常數(shù)表示、以典型環(huán)節(jié)頻率特性連乘的形式。典型環(huán)節(jié)頻率特性連乘的形式。 )(jG（2 2）求出各環(huán)節(jié)的交接頻率，并從小到大依次標(biāo)在對數(shù)）求出各環(huán)節(jié)的交接頻率，并從小到大依次標(biāo)在對數(shù)坐標(biāo)圖的橫坐標(biāo)上。坐標(biāo)圖的橫坐標(biāo)上。 （3 3）按傳遞系數(shù)）

19、按傳遞系數(shù)K計算計算20lgK的分貝值，過的分貝值，過 =1這一點，繪出斜率為這一點，繪出斜率為 的直線，此即為低的直線，此即為低頻段的漸近線（或其延長線）。頻段的漸近線（或其延長線）。 KLlg20)(decvdB/20（4 4）從低頻漸近線開始，沿）從低頻漸近線開始，沿軸從左到右即沿著頻率增軸從左到右即沿著頻率增大的方向，每遇到一個交接頻率，就按上述規(guī)律改變一次大的方向，每遇到一個交接頻率，就按上述規(guī)律改變一次對數(shù)幅頻特性曲線的斜率，直至經(jīng)過全部交接頻率為止。對數(shù)幅頻特性曲線的斜率，直至經(jīng)過全部交接頻率為止。 （5 5）若有必要，可利用誤差曲線對幅頻特性的折線群加）若有必要，可利用誤差曲線

20、對幅頻特性的折線群加以修正，最終獲得精確的對數(shù)幅頻特性的光滑曲線。以修正，最終獲得精確的對數(shù)幅頻特性的光滑曲線。 （6 6）對數(shù)相頻特性可直接利用相頻特性表達(dá)式逐點計算）對數(shù)相頻特性可直接利用相頻特性表達(dá)式逐點計算而得。而得。 例5-3 某系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 )20)(1()2(100)(sssssG試?yán)L制系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)頻率特性。 解 將開環(huán)傳遞函數(shù)轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)形式 ) 105. 0)(1() 15 . 0(10)(sssssG其對應(yīng)的頻率特性表達(dá)式為 ) 105. 0)(1() 15 . 0(10)(jjjjjG（2）在 處，1dBvKL20lg20lg20)(（3）過 點畫一條斜率為 的斜

21、線，以此作為低頻漸近線。 dBL20)(1、decdB/20（4）因第一個交接頻率 ，故低頻漸近線畫至 止，經(jīng)過 后曲線的斜率應(yīng)為 ；當(dāng)曲線延伸至第二個交接頻率時 ，斜率又恢復(fù)為 直至 時，曲線斜率再增加 ，變?yōu)?的斜線。 111decdB/4022decdB/20203decdB/20decdB/40 根據(jù)上述分析可畫出系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)幅頻特性曲線如圖5-32所示。 直接繪制系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)幅頻特性的步驟如下： （1）交接頻率為 2005. 01, 25 . 01, 13211,10vK圖5-32 例5-3系統(tǒng)的Bode圖圖5-33 例5-4系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖例5-4 試?yán)L制圖5-33所示系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)

22、特性漸近線。 解 系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 105. 0)81)(12() 15 . 0(4)(2ssssssG其頻率特性表達(dá)式為 105. 0)81)(12() 15 . 0(4)(2jjjjjjG4, 1Kv（3）畫分段折線，最終得如圖5-34所示的對數(shù)幅頻特性漸近線。 繪圖步驟：（1） ，找出各交接頻率 （2）找點 時， 1dBKL124lg20lg20)(8, 2, 5 . 0321圖5-34 例5-4系統(tǒng)的對數(shù)幅頻特性 例5-5 已知某最小相位系統(tǒng)的對數(shù)幅頻特性漸近線如圖5-37所示。試寫出該系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)。 解 （1）低頻漸近線的斜率為-20，根據(jù) lg20lg20)(lg20)(

23、vKAL故系統(tǒng)有且僅有一個積分環(huán)節(jié)即 1v圖5-37 例5-5系統(tǒng)的對數(shù)幅頻特性（2）因低頻漸近線在 處的對數(shù)幅值為15dB 16 . 515lg20KK（3）在 處，對數(shù)幅頻特性漸近線的斜率由-20變?yōu)?40，故 是慣性環(huán)節(jié)的交接頻率， 225 . 021TT（4）在 處，特性曲線的斜率由-40 變回到-20，則知 是一階微分環(huán)節(jié)的交接頻率， 7714. 071根據(jù)如上分析得 ) 15 . 0() 114. 0(6 . 5) 1() 1()(sssTsssKsG5- -4 頻率域穩(wěn)定判據(jù)頻率域穩(wěn)定判據(jù) 奈氏判據(jù)奈氏判據(jù)：若系統(tǒng)的開環(huán)不穩(wěn)定，即開環(huán)傳遞函數(shù)G(S)H(S)在右半平面上有極點，其

24、個數(shù)為P，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是：在GH平面上的開環(huán)頻率特性 曲線G(j)H(j)及其鏡像當(dāng)從變化到時，將以逆時針的方向圍繞（1，j0）點P圈；若系統(tǒng)開環(huán)穩(wěn)定，即P=0，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：在GH平面上的開環(huán)頻率特性曲線及其鏡像不包圍（1，j0）點。 利用奈氏判據(jù)判斷閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定，還可求出該系統(tǒng)在右半s平面上的極點的個數(shù) NPRPZ2對數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)對數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù) 在極坐標(biāo)圖上應(yīng)用奈氏判據(jù)時，（1,j0）點是個關(guān)鍵點，開環(huán)頻率特性G(j)H(j) 曲線是否圍繞它，怎樣圍繞它，圍繞幾圈，掌握這些信息后，就可以判斷閉環(huán)系統(tǒng)是否穩(wěn)定。 （1，j0）點表示成幅角形式是 而A()1對

25、應(yīng)于對數(shù)幅頻坐標(biāo)圖上L()0的水平線； 則對應(yīng)于對數(shù)相頻坐標(biāo)圖上180的水平線。其實，極坐標(biāo)圖上的整個負(fù)實軸均對應(yīng)于Bode圖上的180水平線。1)(1801A，即180)(180)( 在極坐標(biāo)圖上， G(j)H(j) 曲線每包圍（1,j0）點一次，必然是G(j)H(j) 在A() 1的條件下穿越負(fù)實軸(1)區(qū)段一次。若G(j)H(j) 曲線逆時針包圍（1,j0）點一圈，意味著G(j)H(j)曲線在(1)區(qū)段有一次正穿越；相反，若G(j)H(j) 曲線順時針包圍（1,j0）點一圈，意味著有一次負(fù)穿越。這種正負(fù)穿越在對數(shù)坐標(biāo)圖上的對應(yīng)關(guān)系是：在對數(shù)坐標(biāo)圖的L() 0dB的范圍內(nèi)，當(dāng)增加時，相頻特

26、性曲線從下向上穿過180相位線為正穿越，反之為負(fù)穿越。 圖551繪出了對數(shù)坐標(biāo)圖上頻率特性曲線的正穿越和負(fù)穿越。圖5-51 在Bode圖上的正負(fù)穿越 根據(jù)對數(shù)坐標(biāo)圖上頻率特性的穿越情況，可將Nyquist判據(jù)陳述如下：設(shè)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)在右半s平面上的極點數(shù)為P，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件為：在開環(huán)對數(shù)幅頻特性 的所有區(qū)段內(nèi)，當(dāng)頻率增加時對數(shù)相頻特性 相位線的正負(fù)穿越次數(shù)之差為 。對于閉環(huán)不穩(wěn)定的系統(tǒng)，其右半s平面上的極點數(shù)為 dBL0)(180)(對2P)(2NNPZ例 5-12 某單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 )2 . 01)(02. 01 (160)()(ssssHsG

27、試用Bode圖判斷其閉環(huán)系統(tǒng)是否穩(wěn)定。 解 開環(huán)系統(tǒng)的頻率特性為 )2 . 01)(02. 01 (160)()(jjjjHjG 其對數(shù)頻率特性曲線如圖5-52所示。 圖5-52 Bode圖 已知P0，又由圖可以得知，在 的頻帶范圍內(nèi) dBL0)(2110PNN 故閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。 5- -5 穩(wěn)定裕度穩(wěn)定裕度 控制系統(tǒng)穩(wěn)定與否是絕對穩(wěn)定性的概念。而對一個穩(wěn)定的系統(tǒng)而言，還存在一個穩(wěn)定程度的問題，即相對穩(wěn)定性。相對穩(wěn)定性與系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)指標(biāo)有著密切的關(guān)系。在設(shè)計一個控制系統(tǒng)時，不僅要求它是絕對穩(wěn)定的，而且還應(yīng)保證系統(tǒng)具有一定的穩(wěn)定程度，即具備適當(dāng)?shù)南鄬Ψ€(wěn)定性。只有這樣，才能避免因建立數(shù)學(xué)模型和

28、系統(tǒng)分析計算中的某些簡化處理，或參數(shù)變化導(dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定。 對于一個開環(huán)傳遞函數(shù)中沒有虛軸右側(cè)零極點的最小相位系統(tǒng)，G(j)H(j)曲線越靠近（1，j0）點，系統(tǒng)階躍響應(yīng)的振蕩就越強烈，系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性就越差。因此，可用G(j)H(j)曲線對（1，j0）點的靠近程度來表示系統(tǒng)的相對穩(wěn)定程度。通常，這種靠近程度是以相角裕度和幅值裕度來表示的。一、相角裕度一、相角裕度 在GH平面上畫一個以原點為圓心的單位圓，如圖556。當(dāng)當(dāng) C時， G(j)H(j)曲線正好與該單位圓相交，即A ()=1。按相角裕度的定義有：)()(180)180()()(ccccjHjGjHjG 相角裕度又叫做相角余量，簡稱相余量

29、，它是指幅相頻率特性G(j)H(j)的 幅值 的向量與負(fù)實軸的夾角，常用希臘字母 表示。1)()()(jHjGA 設(shè)C為系統(tǒng)的截止頻率1)()()(cccjHjGA定義相角裕度為)()(180ccjHjG 由于 ，因此在Bode圖中，相角裕度表現(xiàn)為L()=0dB 處的相角 水平線之間的距離。 01lg20)(lg20)(ccAL180)(與c圖553 相角裕度與幅值裕度二、幅值裕度二、幅值裕度 設(shè)x為系統(tǒng)的穿越頻率， x時G(j)H(j)曲線與負(fù)實軸相交，此時特性曲線的幅值為A(x)，如圖556。幅值裕度是指（1，j0）點的幅值與A(x)之比，常用h表示。)()(1)(1jHjGAhx 在對數(shù)

30、坐標(biāo)下，幅值裕度按下式定義： )()(lg20jHjGh 相角裕度表示開環(huán)Nyquist圖在單位圓上在單位圓上離（1，j0）點的遠(yuǎn)近程度。 幅值裕度表示開環(huán)Nyquist圖在負(fù)實軸上在負(fù)實軸上離（1，j0）點的遠(yuǎn)近程度。 相角裕度的物理意義在于：閉環(huán)穩(wěn)定系統(tǒng)在截止頻率 c處若開環(huán)相頻特性再滯后一個角度，則系統(tǒng)處于臨界狀態(tài)；若開環(huán)相頻特性滯后大于 ，系統(tǒng)將變成不穩(wěn)定。 幅值裕度的物理意義在于：閉環(huán)穩(wěn)定系統(tǒng)的開環(huán)幅頻特性增大h倍，則 x處的幅值A(chǔ)(x)將等于1，曲線正好通過（1，j0）點，系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)；若開環(huán)幅頻特性增大h倍以上，系統(tǒng)將變成不穩(wěn)定。 對于最小相位系統(tǒng)，欲使系統(tǒng)穩(wěn)定，就要求相

31、角裕度 0和幅值裕度h1。為保證系統(tǒng)具有一定的相對穩(wěn)定性，穩(wěn)定裕度就不能太小。在工程設(shè)計中一般取 3060， A(x) 0.5。 5.6 閉環(huán)系統(tǒng)的頻域性能指標(biāo) 1、控制系統(tǒng)的頻帶寬度 設(shè)(j)為系統(tǒng)閉環(huán)頻率特性，當(dāng)閉環(huán)頻率特性下降到頻率為0時的分貝值以下3分貝時，對應(yīng)的頻率稱為帶寬頻率，記為b。即當(dāng) b時3)0(lg20)(lg20jj 而頻帶范圍(0b)稱為系統(tǒng)的帶寬。帶寬定義表明，對高于帶寬頻率的正弦輸入信號，系統(tǒng)輸出將呈現(xiàn)較大的衰減。21221)21 ()21 (1nbbT二階系統(tǒng)一階系統(tǒng)諧振峰值Mr和時域超調(diào)量%之間的關(guān)系二階系統(tǒng)的超調(diào)量%諧振峰值Mr 由此可看出，諧振峰值Mr僅與阻尼比有關(guān)，超調(diào)量%也僅取決于阻