動態(tài)規(guī)劃與矩陣連乘

1、 學習要點學習要點:理解動態(tài)規(guī)劃算法的概念。掌握動態(tài)規(guī)劃算法的基本要素（1）最優(yōu)子結(jié)構(gòu)性質(zhì)（2）重疊子問題性質(zhì)掌握設計動態(tài)規(guī)劃算法的步驟。(1)找出最優(yōu)解的性質(zhì)，并刻劃其結(jié)構(gòu)特征。(2)遞歸地定義最優(yōu)值。(3)以自底向上的方式計算出最優(yōu)值。(4)根據(jù)計算最優(yōu)值時得到的信息，構(gòu)造最優(yōu)解。通過應用范例學習動態(tài)規(guī)劃算法設計策略。（1）矩陣連乘問題；（2）最長公共子序列；（3）圖的任意兩點間的最短距離（4）背包問題；問題 1.問題求解的分類：求任意解，求最優(yōu)解 （工作量哪個大？） 求最優(yōu)解的算法大都具有指數(shù)級的復雜度，因此好的方法很重要，有一種多項式時間的復雜度算法-動態(tài)規(guī)劃動態(tài)規(guī)劃算法與分治法類似，

2、其基本思想是將待求解問題分解成若干個子問題nT(n/2)T(n/2)T(n/2)T(n/2)T(n)=但是經(jīng)分解得到的子問題往往不是互相獨立的。不同子問題的數(shù)目常常只有多項式量級。nT(n)=n/2T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4)n/2T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4)n/2T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4)n/2T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4)如果能夠保存已解決的子問題的答案，而在需要時再找出已求得的答案，就可以避免大量重復計算，從而得到多項式時間算法。n=n/2T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4)n/2n/2T(n/4

3、)T(n/4)n/2T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4) T(n/4)T(n)常用名詞： 狀態(tài)：對于一個問題，所有可能到達的情況 狀態(tài)變量：對每個狀態(tài)K關聯(lián)一個狀態(tài)變量Sk ， 它的值表示狀態(tài)K所對應的問題的當前解值。 決策：是一種選擇，對于每一個狀態(tài)，都可以選擇一種方法，從而到達下一個狀態(tài) 決策變量：在狀態(tài)K下的決策變量Dk的值表示狀態(tài)K當前所做出的決策 策略：一個決策 的集合，滿足某些最優(yōu)條件的策略稱為最優(yōu)策略 狀態(tài)轉(zhuǎn)移函數(shù)(T)：從一個狀態(tài)到另一個狀態(tài)，可以依據(jù)一定的規(guī)則來前進，我們用一個函數(shù)T來描述這樣的規(guī)劃，它將狀態(tài)I和決策變量Dij映射到另一個狀態(tài)j 狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程： 注

4、意：有限個狀態(tài)變量，每個狀態(tài)變量取有限個不同的值。這樣，總的狀態(tài)個數(shù)為有限。 畢竟：人類只能處理有限的事物（有限時間）最優(yōu)化原理： 1951年，美國數(shù)學家R.Bellman等人，提出 了最優(yōu)化原理( Principle of Optimality) 一個最大優(yōu)策略的子策略，對于它的初態(tài)和終態(tài)而言也必是最優(yōu)的數(shù)學描述： 最優(yōu)化原理是動態(tài)規(guī)劃的基礎。 可用動態(tài)規(guī)劃來解決的問題，要符合如個條件： 1.滿足最優(yōu)化原理 2.狀態(tài)滿足無后效性 找出最優(yōu)解的性質(zhì)，并刻劃其結(jié)構(gòu)特征。 遞歸地定義最優(yōu)值。 以自底向上的方式計算出最優(yōu)值。 根據(jù)計算最優(yōu)值時得到的信息，構(gòu)造最優(yōu)解。動態(tài)規(guī)劃的兩種不同的思維法： 逆向

5、思維法 正向思維法（1）單個矩陣是完全加括號的；（2）矩陣連乘積 是完全加括號的，則 可 表示為2個完全加括號的矩陣連乘積 和 的乘積并加括號，即 AABC)(BCADCBA , , ,1050A4010B3040C530D)(DBCA)(DCAB)(DBCA)(CDBA)(CDAB16000, 10500, 36000, 87500, 34500完全加括號的矩陣連乘積可遞歸地定義為：設有四個矩陣 ，它們的維數(shù)分別是：總共有五中完全加括號的方式回顧矩陣相乘： 單個乘法次數(shù)：n 單個加法次數(shù)：n-1 總的乘法次數(shù)：m*n*l 總的加法次數(shù)：m*(n-1)*lmlmmllnlnnllmnmmnnl

6、mlnnmzzzzzzzzzyyyyyyyyyxxxxxxxxxZYX,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,212222111211212222111211212222111211nkjkkijibaz1,給定n個矩陣 ， 其中 與 是可乘的， 。考察這n個矩陣的連乘積 由于矩陣乘法滿足結(jié)合律，所以計算矩陣的連乘可以有許多不同的計算次序。這種計算次序可以用加括號的方式來確定。若一個矩陣連乘積的計算次序完全確定，也就是說該連乘積已完全加括號，則可以依此次序反復調(diào)用2個矩陣相乘的標準算法計算出矩陣連乘積,.,21nAAAiA1iA1,.,2 , 1ninAAA.21 給定n個矩陣A1,

7、A2,An，其中Ai與Ai+1是可乘的，i=1，2，n-1。如何確定計算矩陣連乘積的計算次序，使得依此次序計算矩陣連乘積需要的數(shù)乘次數(shù)最少。u窮舉法窮舉法：列舉出所有可能的計算次序，并計算出每一種計算次序相應需要的數(shù)乘次數(shù)，從中找出一種數(shù)乘次數(shù)最少的計算次序。 算法復雜度分析：算法復雜度分析：對于n個矩陣的連乘積，設其不同的計算次序為P(n)。由于每種加括號方式都可以分解為兩個子矩陣的加括號問題：(A1.Ak)(Ak+1An)可以得到關于P(n)的遞推式如下：)/4()(11)()(1)(2/311nnPnnknPkPnPnnku動態(tài)規(guī)劃動態(tài)規(guī)劃將矩陣連乘積 簡記為Ai:j ，這里ij jii

8、AAA.1考察計算Ai:j的最優(yōu)計算次序。設這個計算次序在矩陣Ak和Ak+1之間將矩陣鏈斷開，ikj，則其相應完全加括號方式為).)(.(211jkkkiiAAAAAA計算量：Ai:k的計算量加上Ak+1:j的計算量，再加上Ai:k和Ak+1:j相乘的計算量特征：計算Ai:j的最優(yōu)次序所包含的計算矩陣子鏈 Ai:k和Ak+1:j的次序也是最優(yōu)的。矩陣連乘計算次序問題的最優(yōu)解包含著其子問題的最優(yōu)解。這種性質(zhì)稱為最優(yōu)子結(jié)構(gòu)性質(zhì)最優(yōu)子結(jié)構(gòu)性質(zhì)。問題的最優(yōu)子結(jié)構(gòu)性質(zhì)是該問題可用動態(tài)規(guī)劃算法求解的顯著特征。設計算Ai:j，1ijn，所需要的最少數(shù)乘次數(shù)mi,j，則原問題的最優(yōu)值為m1,n 當i=j時，A

9、i:j=Ai，因此，mi,i=0，i=1,2,n當ij時，可以遞歸地定義mi,j為：jkipppjkmkimjim1, 1,這里 的維數(shù)為 iAiipp1jipppjkmkimjijimjki, 1,min0,1jki 的位置只有 種可能kij 對于1ijn不同的有序?qū)?i,j)對應于不同的子問題。因此，不同子問題的個數(shù)最多只有由此可見，在遞歸計算時，許多子問題被重復計算多次許多子問題被重復計算多次。這也是該問題可用動態(tài)規(guī)劃算法求解的又一顯著特征。用動態(tài)規(guī)劃算法解此問題，可依據(jù)其遞歸式以自底向上的方式進行計算。在計算過程中，保存已解決的子問題答案。每個子問題只計算一次，而在后面需要時只要簡單查

10、一下，從而避免大量的重復計算，最終得到多項式時間的算法)(22nnn舉例：設有以下四個矩陣m12=35*40*20=28000m23=40*20*10=8000m34=20*10*15=3000m13=minm12+35*20*10,m23+35*40*10 =min28000+7000,8000+14000 =22000同樣有：m24=14000m14=minm24+35*40*15,m12+m34+35*20*15,m13+35*10*15 =min14000+21000,28000+3000+10500,22000+5250 =min35000,41500,27250=27250最佳乘法

11、順序為: (A1(A2A3)A4)1510,41020,32040,24035,1,jijijijiaAaAaAaAvoid MatrixChain(int *p，int n，int *m，int *s) for (int i = 1; i = n; i+) mii = 0; for (int r = 2; r = n; r+) for (int i = 1; i = n - r+1; i+) int j=i+r-1; mij = mi+1j+ pi-1*pi*pj; sij = i; for (int k = i+1; k j; k+) int t = mik + mk+1j + pi-1*

12、pk*pj; if (t mij) mij = t; sij = k; 算法復雜度分析：算法復雜度分析：算法matrixChain的主要計算量取決于算法中對r，i和k的3重循環(huán)。循環(huán)體內(nèi)的計算量為O(1)，而3重循環(huán)的總次數(shù)為O(n3)。因此算法的計算時間上界為O(n3)。算法所占用的空間顯然為O(n2)。A1A2A3A4A5A63035 3515 155 510 1020 20251137520103504375 55 4271252053510002625 54 321300020153525000 53 22min 52541531521pppmmpppmmpppmmm矩陣連乘計算次序問

13、題的最優(yōu)解包含著其子問題的最優(yōu)解。這種性質(zhì)稱為最優(yōu)子結(jié)構(gòu)性質(zhì)最優(yōu)子結(jié)構(gòu)性質(zhì)。在分析問題的最優(yōu)子結(jié)構(gòu)性質(zhì)時，所用的方法具有普遍性：首先假設由問題的最優(yōu)解導出的子問題的解不是最優(yōu)的，然后再設法說明在這個假設下可構(gòu)造出比原問題最優(yōu)解更好的解，從而導致矛盾。 利用問題的最優(yōu)子結(jié)構(gòu)性質(zhì)，以自底向上的方式遞歸地從子問題的最優(yōu)解逐步構(gòu)造出整個問題的最優(yōu)解。最優(yōu)子結(jié)構(gòu)是問題能用動態(tài)規(guī)劃算法求解的前提。同一個問題可以有多種方式刻劃它的最優(yōu)子結(jié)構(gòu)，有些表示方法的求解速度更快（空間占用小，問題的維度低）遞歸算法求解問題時，每次產(chǎn)生的子問題并不總是新問題，有些子問題被反復計算多次。這種性質(zhì)稱為子問題的重疊性質(zhì)子問題的重疊性質(zhì)。動態(tài)規(guī)