例某系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖所示試求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

1、1例1.某系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖所示。試求系統(tǒng)的傳遞函數(shù) 。 sRsC總總 復(fù)復(fù) 習(xí)習(xí) 題題21.解：3456 1sRsCsG所以提示：提示：本題用等效變換法做較復(fù)雜。主要困難可能出現(xiàn)在分支點(diǎn)和相加點(diǎn)互相移動(dòng)時(shí)（本例中的第一步變換），其移動(dòng)的思路大致是：（參考圖a）當(dāng)原圖的反饋點(diǎn)（即分支點(diǎn)）A前移到 點(diǎn)時(shí)， 點(diǎn)的反饋值比在A點(diǎn)反饋少了 ，為了保證變換的等效性，需在相加點(diǎn) 處加以補(bǔ)償，大小為 ，于是有了圖a。下例的變換也是這個(gè)思路，碰到這類分支點(diǎn)和相加點(diǎn)需要相互移動(dòng)的題目，可用梅遜公式求解較為簡單。 AA sRsB sRs71k2ka例2. 圖(a)為系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖，圖(b)為某典型單位階躍響應(yīng)。試確定，

2、和 的值。08 . 0t0 . 218. 2 ty（b）（a）系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖 （b）階躍響應(yīng)曲線8 2221kasskksRsY skasskksRkasskksY122212221 21limlim122210kskasskkstyyst nnssassksG222aknn222所以又因?yàn)樗?. 解： 因?yàn)?21%9%1002218. 2%e608. 0218 . 0nptsradn946. 4據(jù)題意知解得解得463.2422k014. 6946. 4608. 022na提示：提示：該例顯示了由動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)求系統(tǒng)參數(shù)的方法。故10例3. 系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖所示，試判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。若不穩(wěn)定求在S

3、右半 平面的極點(diǎn)數(shù)。11 22245ssss02245sss系統(tǒng)的特征方程為看出特征方程的系數(shù)不全為正，所以系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。為了求出S右半平面的極點(diǎn)數(shù)，列勞斯陣如下： 2016200080202101012345ssssss0224s第三行元素全為零，對輔助方程求導(dǎo)得083s3. 解：系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為12 可用8，0替換第三行0，0；第四行第一列元素為零；用小正數(shù) 替換0，繼續(xù)排列勞斯陣。 勞斯陣第一列元素變號一次，說明特征方程有一個(gè)正根。勞斯陣有一行元素全為零，說明可能有大小相等、符號相反的實(shí)根；或一對共軛虛根；或?qū)ΨQ于虛軸的兩對共軛復(fù)根。解輔助方程得：0112224jsjssss011

4、2jsjssss這樣特征方程可寫為1sjs js1s2s可見，系統(tǒng)在S右半平面有一個(gè)根 ，在虛軸上有兩個(gè)根 ， ，在S左半平面有兩個(gè)根 ， 。，提示：該例顯示了用勞斯判據(jù)是系統(tǒng)穩(wěn)定性的方法。討論了兩種特殊情況 （勞斯陣某行元素全為零和第一列某元素為零）下勞斯陣的組成方法。13 sG0106423sss例4.閉環(huán)控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖所示。試求滿足下列兩個(gè)條件的三階開環(huán)傳遞函 數(shù) ，應(yīng)滿足的條件: (1)由單位階躍函數(shù)輸入引起的穩(wěn)態(tài)誤差為零； (2) 閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為 。14 sGssGsRsE111 011lim0sGssesss由題意知穩(wěn)態(tài)誤差為 sGs0lim sG cbsassksG2

5、 kcsbsasksGsGs231所以設(shè)則閉環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)為則 分母的常數(shù)項(xiàng)應(yīng)為零。4. 解：由單位階躍引起的誤差sskcsbsas1a4b6c10k 21046G ss ss特征方程式為比較系數(shù)得即，16 500520000ssssG%st試計(jì)算閉環(huán)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能指標(biāo) 和 。例5. 某單位反饋隨動(dòng)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為175. 解：這是一個(gè)高階系統(tǒng)，我們注意到極點(diǎn)離虛軸的距離較極點(diǎn)離虛軸遠(yuǎn)的 多，這個(gè)極點(diǎn)對閉環(huán)系統(tǒng)瞬態(tài)性能的影響很小，因此，可以忽略該極點(diǎn)， 而使系統(tǒng)近似為二階系統(tǒng)。近似原則如下： 保持系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)值不變； 瞬態(tài)性能變化不大。根據(jù)這個(gè)原則，原開環(huán)傳遞函數(shù)近

6、似為 5401500540500520000sssssssssG 2222240540nnnsssss近似后的閉環(huán)傳遞函數(shù)為18395. 0325. 652402nnn所以%26%100%21e時(shí)當(dāng)時(shí)當(dāng)26 . 1452 . 13nnst提示：提示：該例顯示了高階系統(tǒng)近似為二階系統(tǒng)的方法，請注意近似原則。則1901. 0例6已知系統(tǒng)閉環(huán)根軌跡和反饋通路的零、極點(diǎn)分布如圖的(a)和(b)所示， 試確定閉環(huán)存在重極點(diǎn)情況下的閉環(huán)傳遞函數(shù)，此時(shí)反饋通路根軌跡 增益為 。 sH圖 根軌跡和 的零、極點(diǎn)分布20212ssskGH21kkk1k2k 122ssksH其中 ， 為前向通路的根軌跡增益； 為反

7、饋通路的根軌跡增益。6. 解：由圖(a)可知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為由圖(b)知因此，系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖所示。09. 0618. 1618. 0382. 02122sssk由幅值條件知，分離點(diǎn)處2101. 02k91k由已知條件知在分離點(diǎn)處因此，有2 mn382. 02382. 021s236. 11s由 ，可知閉環(huán)極點(diǎn)之和等于開環(huán)極點(diǎn)之和，將分離點(diǎn) 代入得09. 0k382. 0382. 0236. 1 由此可知，當(dāng) 時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)有重根極點(diǎn)，且三個(gè)極點(diǎn)為 ， 和 ，于是 221382. 0236. 119382. 0236. 11ssssssks22提示提示:（1）系統(tǒng)開環(huán)根軌跡增益為前向通路根軌跡增

8、益和反饋通路根軌跡 增益的乘積。 （2）系統(tǒng)閉環(huán)根軌跡增益等于前向通路的根軌跡增益。 （3）系統(tǒng)的閉環(huán)零點(diǎn)由前向通路傳遞函數(shù)的零點(diǎn)和反饋通路傳遞函 數(shù)的極點(diǎn)所組成。23 42sssksGkk5 . 0k例7已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為（1）畫出系統(tǒng)的根軌跡；（2）確定系統(tǒng)呈阻尼振蕩瞬態(tài)響應(yīng)的 值范圍；（3）求產(chǎn)生持續(xù)等幅振蕩時(shí)的 值和振蕩頻率；（4）求主導(dǎo)復(fù)數(shù)極點(diǎn)具有阻尼比為 時(shí)的 值和閉環(huán)極點(diǎn)。244, 2, 02342a0, 2312180ka于是，漸近線與實(shí)軸交點(diǎn)為 。7. 解：（1）畫根軌跡 該系統(tǒng)有三條根軌跡，開環(huán)極點(diǎn)為 。 求漸近線0k60a1k180a當(dāng) 時(shí)當(dāng) 時(shí) 1sP 4

9、2ssssQ 0sQsPsQsP， 求分離點(diǎn)：由開環(huán)傳遞函數(shù)知 ， 代入方程081232ss有25155. 122, 1s155. 31s845. 02s901 . 3422222sssk不在根軌跡上，舍去。分離角為 。根據(jù)幅值條件可求出分離點(diǎn)處的增益，是分離點(diǎn)， 08623kssssfkskskss0123648681 根軌跡與虛軸的交點(diǎn) 特征方程為勞斯表為2648k04862s83. 22, 1js當(dāng) 時(shí)，輔助方程為解得根軌跡如圖所示。27481 . 3 k（2）當(dāng) 時(shí)，系統(tǒng)閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)為一對共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)，系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)為 欠阻尼狀態(tài)，階躍響應(yīng)呈阻尼振蕩形式。48k83. 2n（3）當(dāng) 時(shí)，

10、系統(tǒng)有一對共軛虛根，系統(tǒng)產(chǎn)生持續(xù)等幅振蕩， 。605 . 0cos160138. 1675. 02, 1js（4）阻尼角 ，解方程或由圖可知阻尼角為 的主導(dǎo)極點(diǎn)2 mn 686. 442213sss634. 842111sssk根據(jù)幅值條件知由于 ，因此閉環(huán)極點(diǎn)之和等于開環(huán)極點(diǎn)之和，另一個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)為28例8. 最小相角系統(tǒng)對數(shù)幅頻漸近特性如圖所示，請確定系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。29lg20)(vL0v8. 解：由圖知在低頻段漸近線斜率為0，因?yàn)樽钚〗唤宇l率前的低頻段 ，故 。漸近特性為分段線性函數(shù)，在各交接頻率處， 漸近特性斜率發(fā)生變化。 1 . 0decdB20處斜率變化 ，屬一階微分環(huán)節(jié)。 1decdB202decdB203decdB204decdB20在 處斜率變化 ，屬慣性環(huán)節(jié)。在 處斜率變化 ，屬慣性環(huán)節(jié)。在 處斜率變化 ，屬慣性環(huán)節(jié)。在 處斜率變化 ，屬慣性環(huán)節(jié)。30 111111 . 04321sssssKsG因此系統(tǒng)的傳遞函數(shù)具有下述形式4321,K式中， 待定 30lg20K62.31105 . 1K由 得 。k)(,AAL)(,BBL因漸近線特性為折線，相鄰的兩交接頻率間，漸近特性為直線，故若設(shè)斜率為 ， 、 、為該直線上的兩點(diǎn)，則有直線方程BABAkLLlglg)()(或BABALLklglg)()(3111lg101 . 0lglg3040