建平中學(xué)高二第一學(xué)期數(shù)學(xué)：二階行列式2014

1、二階行列式二階行列式 行列式出現(xiàn)于線性方程組的求解，它最早是一種速記的表達式，現(xiàn)在已經(jīng)是數(shù)學(xué)中一種非常有用的工具。行列式概念第一次在西方出現(xiàn)，是1693年在萊布尼茨給洛必達的一系列信中出現(xiàn)的，據(jù)此，萊布尼茨得到了發(fā)明行列式的榮譽。然而，1683年在日本數(shù)學(xué)家關(guān)孝和（被譽為“算圣”、“日本的牛頓”）的著作解伏題元法中就有了行列式的概念。行列式的背景34132yxyx322120zyxzyxzyx123224032231xyztxyztxyztxyzt 問題的引入研究線性方程組的解通過消元的方法可以逐步減少未知數(shù)，通過消元的方法可以逐步減少未知數(shù)，最終達到求解方程的目的。最終達到求解方程的目的。是

2、否能把這個過程模式化、公式化是否能把這個過程模式化、公式化以簡便計算過程？以簡便計算過程？思考：設(shè)二元一次方程組（*）222111cybxacybxa2121,bbaa其中是未知數(shù)的系數(shù)且不全為零， 21,cc是常數(shù)項 引入：用加減消元法解方程組（*） (1)(2)(1) b2:a1b2x + b1b2y = c1b2,(2) b1:b1a2x + b1b2y = b1c2,兩式相減消去y, 得(a1b2 b1a2) x = c1b2 b1c2;類似地, 消去x ,得(a1b2 b1a2) y = c2a1 c1a2; 222111cybxacybxa觀察二元一次方程組的解法，步驟如下（*）0

3、1221baba當(dāng) 時 方程組（*）有唯一解： 1221122112211221babacacaybababcbcx由方程組由方程組（*）的四個系數(shù)確定的四個系數(shù)確定能否簡化方程組解的表達形式？思考:1221122112211221babacacaybababcbcx重要的數(shù)學(xué)符號：重要的數(shù)學(xué)符號：行列式行列式引入記號引入記號 表示算式表示算式 1122abab1221baba1122abab1221baba即即一、二階行列式的概念1122abab叫做行列式（這是個二階行列式） 1 22 1aba b算式 叫做行列式的展開式，其計算結(jié)果叫做行列式的值， 1212,a a b b 叫做行列式的元

4、素。行列式是一個算式1122abab1221baba對于二、二階行列式展開的對角線法則利用對角線把二階行列式寫成它的展開式，這種方法叫做二階行列式展開的對角線法則。1122abab2 1a b1 2ab行列式一般可用大寫字母表示 如記 1122abDab主對角線主對角線副對角線副對角線例1、展開并化簡下列行列式 51(1)8215(2)82cossin(3)sincos211(4)11aaa 5 28 12 1 28 538 22cossin1 231111aaaa 行列式中元素的位置不能隨意改變例2、將下列各式用行列式表示：(1) abmn(2)sincoscossinamnbsincoss

5、incos表示不唯一二階行列式展開的逆向使用二階行列式展開的逆向使用 222111cybxacybxa對于二元一次方程組（*）則稱則稱 為方程組為方程組（*）的的系數(shù)行列式系數(shù)行列式. .D三、用二階行列式解二元一次方程組 2211babaD 若記若記1 22 1aba b2211babaD 222111cybxacybxa2211bcbcDx 2211babaD 222111cybxacybxa2211cacaDy ,22112211bababcbcDDxx .22112211babacacaDDyy 則該二元一次方程組的解則該二元一次方程組的解12212121babacbbcx 12212

6、121babaaccay 可表示為可表示為: :1 22 1cbc b1 22 1a ca c當(dāng) 時， 111 22 122abDa ba bab0解可用二階行列式表示為：方程組（*）222111cybxacybxaDDyDDxyx1122,xcbDcb1122yacDac其中,xyD D可分別看作由常數(shù)12cc、D替換 中的 的系數(shù)得到xy、例例3 3、用行列式解下列二元一次方程組、用行列式解下列二元一次方程組5118(1)4156xyxy 350(2)210 xyxy 5118(1)4156xyxy 5115 154 11310415D 8118D 58564 8

7、6246yD 解：解：6,2yxDDxyDD 即原方程的解為 62xy 350(2)210 xyxy 3521xyxy11727xy 即原方程的解為 7,D 11,xD 2yD 112,77yxDDxyDD xyDD、1、當(dāng)所給方程組的形式不是方 程組（*）的形式時，應(yīng)先化 為方程組（*）的形式，才能 得到正確的2、當(dāng)方程組的系數(shù)行列式的值 不為零時，方程組有唯一解。 說明說明111603510 xyxy 思考：思考：如何用行列式解下列方程組？111605310 xyxy 22xy 142xy 拓展：2、舉例說明，當(dāng)二元一次方程組 的系數(shù)行列式的值為零時， 方程組的解會有怎樣的可能？1、當(dāng)二階

8、行列式的值為零時， 行列式中的元素有何特征？觀察下列方程組的解：3(1)224xyxy3(2)226xyxy系數(shù)行列式均為零系數(shù)行列式均為零無實數(shù)解無實數(shù)解有無窮多解有無窮多解四、利用行列式研究二元 一次方程組解的情況對于二元一次方程組對于二元一次方程組 222111cybxacybxa2211bcbcDx 2211cacaDy 2211babaD 1 22 11 22 1()aba b yaca c通過加減消元法可得： 1 22 11 22 1()aba b xcbc bxD xD即即yD yD即即當(dāng) 時，有唯一解 111 22 1220abDa ba bab1 22 11 22 1()ab

9、a b yaca c1 22 11 22 1()aba b xcbc bxD xD即即yD yD即即當(dāng) 時，根據(jù) 的取值情況分為：0D xyD ,D（1）如果 中至少有一個不為零至少有一個不為零，xyD ,D不妨假設(shè)0 xD 則無論 取何值，x方程 都不成立， xD xD即方程組即方程組無解無解 , 0 xyDD（2）如果 由于 不全為零，1212,a a b b不妨設(shè)10a 那么由 ，可得 0yD= D 2 12 12211,a ba cbcaa則方程 可轉(zhuǎn)換為222a xb yc2 12 1211a ba ca xyaa2112 1(),a a xb ya c即則方程 的所有解都滿足111

10、a xb yc222a xb yc方程而方程 有無窮多解， 111a xb yc即所求方程組有即所求方程組有無窮多解無窮多解二元一次方程組二元一次方程組 222111cybxacybxa二元一次方程組的解的判別(1)當(dāng) 時，有唯一解 11220abDab是方程組有唯一解的充要條件(2)當(dāng) 中至少有一個不為零時， 方程組無解 0 xyDDD ，、(3)當(dāng) 時， 方程組有無窮多解 0 xyD= DD697(1)462xyxy21(2)362xyxy例1、判別下列二元一次方程組解的情況：4(2) 1 5(3)3(2)3 2xyyx 42mxymxmymx,y例2、解關(guān)于 的二元一次方程組， 并對解的情況進行