求數(shù)列通項(xiàng)公式和前N項(xiàng)和的方法

1、求數(shù)列前N項(xiàng)和的方法1.公式法等差數(shù)列前 n n 項(xiàng)和:S.詢an)na12 2特別的，當(dāng)前 n n 項(xiàng)的個(gè)數(shù)為奇數(shù)時(shí)，1（2k 1）gak 1,即前 n n 項(xiàng)和為中間項(xiàng)乘以項(xiàng)數(shù)。這個(gè)公式在很多時(shí)候可以簡(jiǎn)化運(yùn)算。 等比數(shù)列前 n n 項(xiàng)和： q=1q=1 時(shí)，Snna引1 qnq 1，Sn，特別要注意對(duì)公比的討論。1 q其他公式：n1n211 1、Snkn(n 1)2 2、Snk n(n 1)( 2n 1)k 12k 16n3r 1/23 3、Snk Hn(n 1)k 12用常用公式）1 1Sn2門(mén)(門(mén)1)，Sn 12(n1)(n22n 34n 64例 1 1已知log3X123n，求XXX

2、X的前 n n 項(xiàng)和log2311解：由log3xlog3x log32 xlog232由等比數(shù)列求和公式得SnX X2X3n例 2 2設(shè) S Sn= 1+2+3+1+2+3+n+n, n n N N*, ,求f(n)Sn的最大值. .(n32)Sn 1（利解：由等差數(shù)列求和公式得用常用公式）（利nf(n)&(n32)Sn 1n 3464( . n8)25050n. n2錯(cuò)位相減法這種方法是在推導(dǎo)等比數(shù)列的前n n 項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，這種方法主要用于求數(shù)列a an b bn的前 n n 項(xiàng)和，其中 a an、 b bn分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列 例 3 3求和：Sn1 3x 5x27x3（2

3、n 1）xn 1.8，即 n n = 8 8 時(shí),f(n)max150設(shè)xSn1x3x25x37x4(2n1)xn.1厶II丿入（設(shè)制錯(cuò)位）得(1x)Sn1 2x2342x 2x 2xn 12x(2n1)xn（錯(cuò)位相減）再利用等比數(shù)列的求和公式得:(1n 11 x(2n1)xnx ) Sn12 x解：由題可知，（2n 1）xn 1的通項(xiàng)是等差數(shù)列2n2n 1 1的通項(xiàng)與等比數(shù)列xn1的 通項(xiàng)之積Sn(2n 1)xn 1(2n 1)xn(1 x)(1 x)2例 4 4求數(shù)列2獲2 22232n2n，設(shè)Sn2462n222232n12462nSn23,4n 122222（設(shè)制錯(cuò)位）一得(12. 2

4、2 2 222n22223242n2* 1解：由題可知, 2n2n 的通項(xiàng)是等差數(shù)列（錯(cuò)位相減）1 2nn 1n 12n2n 的通項(xiàng)與等比數(shù)列2n 的通項(xiàng)之積2n練習(xí)：求：S Sn=1+5x+9x=1+5x+9x2+ + +(4n-3)x+(4n-3)xn-1解：S Sn=1+5x+9x=1+5x+9x2+ + +(4n-3)x+(4n-3)xn-1兩邊同乘以 x x,得x x S Sn=x+5=x+5 x x2+9x+9x3+ + .+(4n-3)x+(4n-3)xn- -得，(1-x1-x )S Sn=1+4=1+4(x+x+ x x2+x+x3+ + + +x)- -(4n-34n-3)

5、x xn當(dāng) x=1x=1 時(shí)，S Sn=1+5+9=1+5+9+ + + (4n-34n-3)=2n=2n2-n-n當(dāng) x x 工 1 1 時(shí)，S Sn= =1 11-x 4x(1-xn)1-x+1-+1-(4n-34n-3)x xn 3.反序相加法求和這是推導(dǎo)等差數(shù)列的前 n n 項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，就是將一個(gè)數(shù)列倒過(guò)來(lái)排列(反序)， 再把它與原數(shù)列相加，就可以得到n n個(gè)(a1an). . 例 55求sin21 sin22sin232 2sin 88 sin 89的值解：設(shè)S sin21sin22sin23sin288sin 89.將式右邊反序得S sin289sin288si n23

6、si n22sin 1. (反序)又因?yàn)閟in xcos(90 x), sin2x cos2x 1+ +得(反序相加)2S (sin21cos21 )(sin22cos22 )(si n2892cos 89 )= 8989S S= 44.544.54.分組法求和有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類數(shù)列適當(dāng)拆開(kāi)，可分為幾個(gè)等差、等比或常見(jiàn)的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可1 1 1例 6 6求數(shù)列的前 n n 項(xiàng)和：1 1,4,一27,3n 2，a aa1 1 1解：設(shè)Sn(1 1)(4)(飛7)(p 3n 2)aaa將其每一項(xiàng)拆開(kāi)再重新組合得Sn3 31)1)2 21 1Sn

7、(1 P1F) (1 4 7 a3n 2)a a（分組）當(dāng) a a= 1 1 時(shí)，Sn(3n 1)n(3n 1)n22組求和）當(dāng)a 1時(shí)，& na11a(3n 1)n2a a1 n(3n 1)na 12例 7 7求數(shù)列n(n+1)(2n+1)n(n+1)(2n+1)的前 n n 項(xiàng)和. .解：設(shè)akk(k 1)(2k1) 2k33k2k（分組）Snk(kk 11)(2kn31)=(2kk 13k2k)將其每一項(xiàng)拆開(kāi)再重新組合得S Snnnn322 k 3 kkk 1k 1k 1（分組求和）練習(xí)：求數(shù)列1 1解：S S 1 12 2(1(1 2 25.裂項(xiàng)法求和=2(1323n(n 1)2(nn

8、3)3(1222n2)2)丄上1,31,?,(n2481尹?？ ?的前1 1 1 1 1 12-2- 3 3 ? (n(n -)-)4 48 82 2? n)n) J J 小 2 2 F F 2 232 2nn2(nn n 項(xiàng)和。(1 2 n)n(n 1)(2 n 1) n(n 1)2 2這是分解與組合思想在數(shù)列求和中的具體應(yīng)用. .裂項(xiàng)法的實(shí)質(zhì)是將數(shù)列中的每項(xiàng)（通使之能消去一些項(xiàng)，最終達(dá)到求和的目的. .通項(xiàng)分解（裂項(xiàng)）如:(1)anf(n 1)f(n)(2 2)111(3)an(4)n(n1)n n111r1(5 5)an-n(n1)(n2)2n(n1)(6)(6)n 212(n1) n1

9、ann(n 1)2nn(n 1)2nn項(xiàng)）分解，然后重新組合, 例 99求數(shù)列tan(n 1) tanncos n cos(n 1)an如1丄(匚)(2n 1)(2n 1)2 2n 1 2n 1(n 1)(n 2)Fl百,則Sn 1(2解: :設(shè)an.n則Sn 例 10101_1_10.23的前 n n 項(xiàng)和. .1,23 n(裂項(xiàng))（裂項(xiàng)求和）=(.2 .1)(.32)在數(shù)列 a an 中,an，又bn，求數(shù)列b bn的前anan 1n n 項(xiàng)的和. .解:ann 12n n 12 2 數(shù)列b bn的前 n n 項(xiàng)和1 1Sn8(1?) (?1=8(1 )=n 1）（裂項(xiàng)）11 1-)( )

10、33 48nn 1(丄n1)(裂項(xiàng)求和)n 1這是分解與組合思想在數(shù)列求和中的具體應(yīng)用. .裂項(xiàng)法的實(shí)質(zhì)是將數(shù)列中的每項(xiàng)（通a6k 11, a6k 23, a6k 32, a6k 41 , a6k 53, a6k 62原等式成立6.合并法求和針對(duì)一些特殊的數(shù)列，將某些項(xiàng)合并在一起就具有某種特殊的性質(zhì)，因此，在求數(shù)列的和時(shí)，可將這些項(xiàng)放在一起先求和，然后再求S Sn. . 例 1212 求 cos1cos1 + + cos2cos2 + + cos3cos3 + + + + cos178cos178 + + cos179cos179 的值. .解：設(shè) S Sn= cos1cos1 + + cos

11、2cos2 + + cos3cos3 + + + + cos178cos178 + + cos179cos179 cosn cos(180 n )(找特殊性質(zhì)項(xiàng))二 S Sn= (cos1cos1 + + cos179cos179 ) + + ( cos2cos2 + + cos178cos178) + + (cos3cos3 + + cos177cos177 ) + + + + (cos89cos89 + + cos91cos91) + + cos90cos90(合并求和)=0 0 例 1313數(shù)列aan :印1,a23,a32,an 2a. 1a.，求 S S2002. .解軍：設(shè) S S

12、2002=a1a2a3a2002例 1111求證:coslcos0 cos1cos1 cos2解：設(shè)S1cos0 cos11cos1 cos22cos88 cos89 sin 11cos88 cos89sin1cos n cos(n 1)tan(n 1) tan n（裂項(xiàng)）S1cos0 cos11cos1 cos21cos88 cos89（裂項(xiàng)求和）1sin1(tan 1tanO ) (tan2tan1 ) (tan3 tan2 ) tan89 tan88 1sin1(tan 89tan 0 )=sin 1cot1cos1sin21a6k 11, a6k 23, a6k 32, a6k 41

13、, a6k 53, a6k 62由a11, a23, a32, an 2an 1an可得a7a41, a53, a61, a83, a92, a102,1, an3, a122,殊性質(zhì)項(xiàng)）=(log3aiaio) (logsa?ag)=log39 log39 log39=ioio7.利用數(shù)列的通項(xiàng)求和先根據(jù)數(shù)列的結(jié)構(gòu)及特征進(jìn)行分析，找出數(shù)列的通項(xiàng)及其特征，然后再利用數(shù)列的通項(xiàng)揭示的規(guī)律來(lái)求數(shù)列的前n n 項(xiàng)和，是一個(gè)重要的方法. .例 i5i5求i ii iiiiii i之和. .n個(gè)i解：由于iiiii - 9999i(i0ki)（找通項(xiàng)及特征）k個(gè)i9k個(gè)i9a6k ia6k 2a6k 3

14、a6k 4a6k 5a6k 60（找特殊性質(zhì)項(xiàng)）S S2002=aia2a3a2002（合并求和）=(aia2a3a6)(a?a8ai2)(a6k ia6k 2a6k 6)(ai993ai994ai998)ai999a2000a200ia2002=aiggga2000a200ia2002=a6k ia6k 2a6k 3a6k 4=5 5例 1414在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，若a5a69,求log3ailog3a2log3aio的值. .解：設(shè)Snlog3a1log3a2log3ai0由等比數(shù)列的性質(zhì)amanapaq（找特和對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)logaMlogaN logaM N得Sn(log3ai

15、log3aio) (log3a2log3ag)(log3a5log3a6)(合并求和)(log3a5a6)二111 111 1111n個(gè)119(101121) -(1021)9】(10391)1-(10n1)(分組求和)91(10110210310 )-1(1 11 1)99n個(gè)1_1 10(10n1) n910 19=丄(10n110 9n)81以上一個(gè) 7 7 種方法雖然各有其特點(diǎn)，但總的原則是要善于改變?cè)瓟?shù)列的形式結(jié) 構(gòu)，使其能進(jìn)行消項(xiàng)處理或能使用等差數(shù)列或等比數(shù)列的求和公式以及其它已知的基 本求和公式來(lái)解決，只要很好地把握這一規(guī)律，就能使數(shù)列求和化難為易，迎刃而解。求數(shù)列通項(xiàng)公式的八種

16、方法、公式法(定義法)根據(jù)等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義求通項(xiàng) 二、累加、累乘法1 1、累加法適用于:an 1anf(n)a2a1若an 1anf(n )(n2)，則a3La2f(1)f(2)Lanf(n)兩邊分別相加得an 1a1f(n)例 1 1 已知數(shù)列an滿足an1an2n 1,a11，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。解：由an 1an2n 1得an 1an2n 1則1)1an(anan J(an 1an 2) L (a3a2)(a2al)al2( n 1) 1 2( n 2) 1L (2 21) (2 11)12(n 1) (n 2) L 2 1 (n 1) 12 (n 1) 12(n 1)( n

17、1) 1n2所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為ann2。解法一：由an 1an2 3n1得an 1例 2 2 已知數(shù)列an滿足an 1an3n3，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。an(anan 1) (an 1n 1(2 31)2(3n13n223(1 3n1)(2Lan 2)Ln 231)33 )(a3L(n(21)a2)32(n1) 3(a21)(2aj311) 33n3n所以an3n1.解法二：an3an2 3n1兩邊除以3n1an 1，得盯3nan23n313n 1an3nan因此(22(nan3n)(an 1an(3an 2)3113百13n(an 2(尹an 3)色、旦31)3an2(n3n3)(21

18、3n 1丄)3n 2)J3n3n 1)2n313nan23則an2 2、累乘法適用于:anf(n)anan 1若-anf(n)，則並a1f (1,f(2),La2an 1L,叫f(n) an兩邊分別相乘得,an 1f(k)例 3 3 已知數(shù)列an滿足an2(n1)5nan,ai3，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。解：因?yàn)閍n 12(n1)5nan，ai3，所以an0,則an 1an2(n 1)5n，故anan-an 12(nan 1an 21 1)5n12 (n2nIng 1) L 3 2a3a2a2aia1:1)5n 2 L5(n1) (n 2) L2(22 131) 522(1 1) 51 3n(n

19、 1)3 2n 15丁n!所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為ann(n 1)5n!.三、待定系數(shù)法適用于an 1qanf(n)分析：通過(guò)湊配可轉(zhuǎn)化為an 11f(n)2【an1f (n); ;解題基本步驟:1 1、確定f(n)2 2、設(shè)等比數(shù)列an1f (n),公比為3 3、列出關(guān)系式an 11f(n)2血1f (n)4 4、比較系數(shù)求235 5、解得數(shù)列an1f (n)的通項(xiàng)公式6 6、解得數(shù)列an的通項(xiàng)公式例 4 4 已知數(shù)列an中，a11,an2a.11(n2)，求數(shù)列a.的通項(xiàng)公式。解法一：Qan2an 11(n 2),an12(an 11)an 12an為 2 2 的等比數(shù)列，再用累加法的解法

20、二：兩邊同時(shí)除以3n1得:那f J3，又Qq 1 2, an1是首項(xiàng)為 2 2,公比為 2 2 的等比數(shù)列nan1 2，即an2n1解法二：Q an2an 11(n 2),兩式相減得an1an2( anan 1)(n2)，故數(shù)列an 1an是首項(xiàng)為 2 2,公比例 5 5 已知數(shù)列an滿足an 12an4 341，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。解法一：設(shè)an 113n2(an3n 1)，比較系數(shù)得14,22，則數(shù)列an4 3n 1是首項(xiàng)為a14 31 15，公比為 2 2 的等比數(shù)列,n 1所以an4 3n 15 2，即an4 3n 15 2n 12注意：例 6 6 已知數(shù)列an滿足an 12an3n

21、 4n5,41，求數(shù)列%的通項(xiàng)公式。5 5、解得數(shù)列an1f (n)的通項(xiàng)公式、2 2解：設(shè)an 1x(n 1) y(n 1) z 2(anxn yn z)比較系數(shù)得x 3,y10, z 18,所以an 13(n 1)210(n 1) 182(an3n210n18)2 2由a13 1 10 1 18 1 31 32 0，得an3n 10n 18 02則41 3(n1) 1(2 IL82，故數(shù)列an3n210n 18為以an3n 10n 182a13 110 1 1813132為首項(xiàng)，以 2 2 為公比的等比數(shù)列，因此2n 1n 42an3n 10n 1832 2，則an2 3n 10n 18。

22、分析：原遞推式可化為an 2an 1(p)(an 1an)的形式，比較系數(shù)可求得數(shù)列an 1an為等比數(shù)列。例 7 7 已知數(shù)列an滿足an 25an 16an,a11念2，求數(shù)列a.的通項(xiàng)公式。解：設(shè)an 2an 1(5)(an 1an)比較系數(shù)得3或2，不妨取2，則an 22an 13(an 12an)，貝yan 12an是首項(xiàng)為 4 4,公比為 3 3 的等比數(shù)列an 12an4 3n 1，所以a.4 3n 15 2n1四、迭代法注意：形如an 2pa. 1qan時(shí)將作為f (n)求解比較系數(shù)得x 3,y10, z 18,解：因?yàn)閍n 1a；(n 1)2“，所以例 8 8 已知數(shù)列an滿

23、足an 1a3(n図，印5，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。163n2n 1r3(n 1) 2n 23n2n 1anan 1an 23(n 2) 2n 332(n 1)n2(n2) (n 1)an 333(n 2)( n 1)n 2(n 3) (n 2) (n 1)an 3L3n 12 3L L (n 2) (n 1)n212 LL (na1n(n 1)3n 1n!2 a1an22n1)n2(n2)(n1)3) (n 2) (n 1)又a15，所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an5n(n 1)3n 1n!22-o注：本題還可綜合利用累乘法和對(duì)數(shù)變換法求數(shù)列的通項(xiàng)公式。五、變性轉(zhuǎn)化法1 1、對(duì)數(shù)變換法適用于指數(shù)關(guān)

24、系的遞推公式例 9 9 已知數(shù)列an滿足an 1n 523an,印7，求數(shù)列a.的通項(xiàng)公式。解：因?yàn)閍n 12 3n5an，ai7，所以an0, an 1兩邊取常用對(duì)數(shù)得lg a.5lgann Ig3 lg 2設(shè)lgan 1x(n 1) y5(lg anxn y)（同類型四）比較系數(shù)得，x曲4,ylg316lg24, lg3 lg a14lg3 lg2lg316lg314lg316lgan叫416所以數(shù)列l(wèi)g an比數(shù)列，則lg an4lg3n416lg316竽是以lg7罟晉（lg7號(hào)44lg316lg3 lg2為首項(xiàng)，以44）外，因此5 5 為公比的等16Ig an(Ig 7lg3 lg3

25、lg2)5n 1ig(7ig(74i i343帝1345 n 1ig(713仍5n 4n 131616412刁)5n124)5n 15nig3 ig24641 1ig(343花2刁)nig(3411i2刁)2廠)5n 4n 15n 11則an75n131622 2、倒數(shù)變換法適用于分式關(guān)系的遞推公式, 分子只有一項(xiàng)例 1010 已知數(shù)列a“滿足an2an2，a1，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。an1 1解：求倒數(shù)得一2an 1anan 1an12an 111為等差數(shù)列，首項(xiàng)-1，公ana1丄1(nan21),an3 3、換元法適用于含根式的遞推關(guān)系例 1111 已知數(shù)列an滿足an 1（1 4anJ函

26、），q1，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。,124an，則ani(b21)代入an 1116(1 4an 124an)得1)丄1 4丄(b；1) bn1624即4b：1(bn3)2因?yàn)閎n1 24an0, 則2bn !bn3，即bm1可化為B132(bn3)，所以bn3是以b1324a131 24 1列,因此bn3n 1(J2，則bn(2)n 21 132為首項(xiàng)，以-為公比的等比數(shù)2 2_ 13，即,1 24an(-)n 23，得an3(4)n(2)n3。六、數(shù)學(xué)歸納法通過(guò)首項(xiàng)和遞推關(guān)系式求出數(shù)列的前數(shù)學(xué)歸納法加以證明。n n 項(xiàng),猜出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再用例 1212 已知數(shù)列an滿足an 1an(2n

27、8(n 1)1)2(2 n 3)2，a18，求數(shù)列a*的通項(xiàng)公式。9解：由a2a3a4an8(n 1)2 2(2n 1) (2n 3)及a18，得8(1 1)88224(2 1 1)2(2 1 3)29925258(2 1)248348(2 2 1)2(2 2 3)22525 49498(3 1)488 480(2 3 1)2(2 3 3)24949 8181aia3a2an 1(2nJ21，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明這個(gè)結(jié)論。(2n 1)2由此可猜測(cè)an(1(1 )當(dāng)n 1時(shí),ai(2 1 1)21(2 1 1)28，所以等式成立。9(2)假設(shè)當(dāng)n k時(shí)等式成立，即ak2常，則當(dāng)n k 1時(shí)，a8

28、(k1)a22(2 k1)2(2k3)2(2 k 1)31(2k 3)28(k 1)(2k 1)2(2k 3)2(2k 1)2(2k 3)2(2k 1)2(2 k 1)2(2k 3)2(2k 3)21(2 k 3)22( k 1) 12122(k 1) 1由此可知，當(dāng)n k 1時(shí)等式也成立。根據(jù)(1 1), (2 2)可知，等式對(duì)任何n N*都成立。七、階差法1 1、遞推公式中既有Sn,又有an2當(dāng)a11時(shí)，an3n 2，此時(shí)aa?a9成立ak 1分析：把已知關(guān)系通過(guò)anSnSn 1,n轉(zhuǎn)化為數(shù)列2an或Sn的遞推關(guān)系，然后采用相應(yīng)的方法求解。解：對(duì)任意nN有Sn1(a1)(a.n2)當(dāng) n=1n=1時(shí)，S11 /a1(a61)(a12)，解得a11或a12當(dāng) n n2 2 時(shí)，Sn 11(an11)(an 12)- -整理得：(anan 1)(anan 13)0a2.a4.a9成等比數(shù)列，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。 an各項(xiàng)均為正數(shù)，anan 13例 1313 已知數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)，且前n n 項(xiàng)和Sn滿足Sn-(an1)(an2)，且62當(dāng)ai2時(shí)，an3n 1，此時(shí)a?a9不成立，故ai2舍去所以an3n 22 2、對(duì)無(wú)窮遞推數(shù)列例 1414已知數(shù)列a