“數與式”-中考數學專題復習

1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上 “數與式” 中考數學專題復習中考命題形勢與趨勢翻閱手中近幾年全國各地的中考試卷，仔細琢磨“數與式”的試題發(fā)現，這部分知識多考查實數、整式、分式以及二次根式的有關概念及其簡單運算和求值，另外還有一類新情境下的探索性、開放性問題也是本章的熱點考題.由于數與式涉及的知識點比較多，范圍比較廣，而且都是研究數學的基礎知識，所以預計2010的中考中的基礎知識的考查仍注重這些內容，題型除了會加大創(chuàng)新的力度外，還將會沿襲傳統(tǒng)的題型.數與式試題的特點與數與式有關的試題的題型一般相對來說都比較小，而且大多出現在選擇與填空中，即使出現個別的解答題，一般也是靠近較前面的，好讓同學們下筆就能

2、得分，個別探索型和開放型的題目也只需同學們略動一下腦筋就能解答，一般沒有偏難的題目，更沒有同學們沒有遇到的問題，至于，試卷中會出現一些新定義，或簡單的閱讀理解問題，也會讓同學們一看即會明了的，總之，數與式部分的試題大多屬于送分題，同學們只要注重基礎知識的復習，不遺漏任何一個知識即可.典型問題歸類例析專題1實數一、知識點1.實數的分類：按定義來分類：有理數和無理數；按正、負數來分類：正實數、0、負實數.2.實數和數軸上的點是一一對應的.3.相反數：只有符號不同的兩個數互為相反數.若a、b互為相反數，則a+b0，或1(a、b0).4.絕對值：從數軸上看，一個數的絕對值就是表示這個數的點與原點的距離

3、5.倒數：乘積為1的兩個實數互為倒數，即若a與b互為倒數，則ab1；反之，若ab1，則a與b互為倒數.這里應特別注意的是0沒有倒數.6.科學記數法、近似數和有效數字：把一個數記成a×10n的形式，這種記法叫科學記數法.注意，科學記數法的實質是有理數的乘方，其中110，n是比原數的整數位數小1的正整數.近似數是指近似地表示某一個量的數.一個近似數，四舍五入到哪一位，這個近似數就精確到哪一位.由四舍五入得到的近似數精確到某一位，那么從左邊第一個不是零的數字起，到最后一位數字止，所以的都叫做這個數的有效數字.7.平方根、算術平方根和立方根：若x2a（a0），則x就叫做a的平方根.一個非負數

4、a的平方根可以符號表示為“±”；正數a的正的平方根，叫做a的算術平方根，記為“”.如果一個數的立方等于a，那么這個數叫做a的立方根.8.實數的開方運算：a(a0)，.9.實數的混合運算順序：和有理數運算一樣，要從高級到低級，即先算乘方、開方，再算乘除，最后算加減，有括號的要先算括號里面的，同級運算要按照從左到右的順序進行.有理數的運算律在實數范圍內仍然適用.10.實數的大小估算與實數大小的比較：（1）數形結合法；（2）作差法比較；（3）作商法比較；（4）倒數法；（5）平方法.二、考題例析考點1負數的意義例1（內江市）汽車向東行駛5千米記作5千米，那么汽車向西行駛5千米記作（）A.5千

5、米B.5千米C.10千米D.0千米分析由負數的意義可知，汽車向東行駛5千米與汽車向西行駛5千米是表示兩個相反意義的量，既然汽車向東行駛5千米記作5千米，那么汽車向西行駛5千米就應該記作與5千米相反的量.解因為汽車向東行駛5千米記作5千米，所以汽車向西行駛5千米就應該記作5千米.故應選B.說明本題意在讓同學們進一步體會負數的意義，知道負數的產生是源于生活，并服務于生活.考點2實數的概念例2（福州市）2009的相反數是（）A.2009 B.2009 C. D.分析利用相反數的定義直接求得2009的相反數.解因為2009的相反數是2009，所以應選A.說明明白相反數的意義可容易求解，即只有符號不同的

6、兩個數稱為相反數，0的相反數是0，互為相反數總是成對出現的，不能出現類似“2009是相反數”的錯誤.考點3數軸BA0-52例3（宜賓市）數軸上的點A、B位置如圖所示，則線段AB的長度為（）A.3B.5C.6D.7分析數軸上任意兩點之間的距離等于這兩點對應的數值的差的絕對值，由此可以求解.解因為A點對應的數值為5，B點對應的數值為2，所以7，所以應選D.說明利用數軸上任意兩點間的距離公式計算線段的長度時并不需要考慮數值的先后.如，本題中7.考點4科學記數法、近似數與有效數字例4（濟南市）2009年10月11日，第十一屆全運會將在美麗的泉城濟南召開.奧體中心由體育場，體育館、游泳館、網球館，綜合服

7、務樓三組建筑組成，呈“三足鼎立”、“東荷西柳”布局.建筑面積約為平方米，請用科學記數法表示建筑面積是（保留三個有效數字）（ ）A.35.9×105平方米 B.3.60×105平方米C.3.59×105平方米 D.35.9×104平方米 分析數據有6個整數位，即用科學記數法表示時10的指數為5，要求保留三個有效數字時，則從8開始四舍五入.解因為，所以用科學記數法表示為3.60×105.故應選B.說明本題考查科學記數法和有效數字，求解時應注意，將一個數用科學記數法表示為a×10n(110)的形式，其中a的有效數字就是a×10n的

8、有效數字，且n等于這個數的整數位數減1.考點5實數的估算例5（濟南市）估計20的算術平方根的大小在（ ）A.2與3之間 B.3與4之間C.4與5之間 D.5與6之間分析要估計20的算術平方根的大小，即估計范圍，此時，由于4216，5225，由此可以求解.解因為4252，所以20的算術平方根在4和5之間.故應選C.說明對實數的估算，可以借助于數的平方，從而確定一個無理數的大致范圍.考點6實數的比較大小例6（常德市）設a20，b(3)2，c，d，則a、b、c、d按由小到大的順序排列正確的是（）A.cadb B.bdac C.acdb D.bcad分析可以分別求出a、b、c、d的具體值，從而可以比較

9、大小.解因為a201，b(3)29，c，d2，而129，所以cadb.故應選A.說明比較實數的大小有好多種方法，在具體求解時應根據題目自身的特點選擇容易比較的方法.考點7實數的運算例7（佛山市）（1）有這樣一個問題：與下列哪些數相乘，結果是有理數？A.3 B.2 C.+ D. E.0問題的答案是（只需填字母）：；（2）如果一個數與相乘的結果是有理數，則這個數的一般形式是什么（用代數式表示）？分析（1）可利用實數的運算驗證，看結果情況判斷.（2）設出這個數，從而列式求解.解（1）因為3×6，×3，0×0，所以分別與3、和0相乘，其結果為有理數.故應選A、D、E.（2

10、）設這個數為x，則根據題意，得x·a（a為有理數），所以x（a為有理數），這個數的一般形式是（a為有理數）.說明本題是考查實數的運算，其題型以前不常見，雖然不難，但請同學們應注意關注.另外，應注意避免對無理數的幾種錯誤認識：（1）錯誤認為無限小數就是無理數如1.···(41無限循環(huán)）；（2）錯誤認為帶根號的數是無理數，如；（3）錯誤認為兩個無理數的和、差、積、商也還是無理數，如+，都是無理數，但它們的積卻是有理數；（4）錯誤認為無理數是無限不循環(huán)小數，所以無法在數軸上表示出來，這種說法錯誤，每一個無理數在數軸上都有一個唯一位置，如，我們可以用幾何作圖的方

11、法在數軸上把它找出來，其他的無理數也是如此.三、同步訓練1.實數2，0.3，中，無理數的個數是（ ）A.2 B.3 C.4 D.52.通過世界各國衛(wèi)生組織的協(xié)作和努力，甲型H1N1流感疫情得到了有效的控制，到目前為止，全球感染人數約為20000人左右，占全球人口的百分比約為0.，將數字0.用科學記數法表示為（ ）A.3.1×105 B.3.1×106C.3.1×107D.3.1×1083.平方根節(jié)是數學愛好者的節(jié)目，這一天的月份和日期的數字正好是當年年份最后兩位數字的平方根，例如2009年的3月3日，2016年的4月4日.請你寫出本世紀內你喜歡的一個平方

12、根（題中所舉例子除外）.年月日.4.+.專題二 整式一、考點掃描1.代數式的有關概念：代數式是由運算符號把數或表示數的字母連結而成的式子.求代數式的值的方法：化簡求值；整體代入.2.整式的有關概念：只含有數與字母的積的代數式叫做單項式；幾個單項式的和，叫做多項式；所含字母相同，并且相同字母的指數也分別相同的項，叫做同類項.3.去括號與添括號：括號前面是正號，把括號和括號前的正號去掉后，括號里的各項不改變符號；括號前是負號，把括號和括號前的負號去掉，括號里的各項都要改變符號；給括號前添正號，括在括號里的各項都不改變符號；給括號前添負號，括到括號里的各項都要改變符號.4.合并同類項：同類項的系數相

13、加，所得的結果作為系數，字母和字母的指數不變.5.乘法公式：平方差公式：(a+b)(ab)a2b2；完全平方公式：(a±b)2a2±2ab+b2.6.整指數冪的運算：am×anam+n，(am)namn，(a×b)nan×bn，am÷anam+n(a0).7.零指數冪與負整數指數冪：不等于零的數的零次冪等于1.即a01(a0).不等于零的數的負整數次冪等于這個數的正整數次冪的倒數.即ap(a0，p是正整數).8.整式的運算：（1）加減運算：幾個整式相加減，通常用括號把每一個整式括起來，再用加減號連接.整式加減的一般步驟是：如果遇到括號

14、，按去括號法則去括號；合并同類項.（2）乘除運算：單項式與單項式相乘，把它們的系數、相同字母的冪分別相乘，對于只在一個單項式出現的字母，則連同它的指數作為積的一個因式；單項式與多項式相乘，就是用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加；多項式與多項式相乘，就是先用多項式的每一項去乘另一個多項式的每一項，再把所得的積相加.單項式相除，把系數、同底數冪分別相除后，作為商的因式；對于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數一起作為商的一個因式.9.因式分解：多項式的因式分解，就是把一個多項式化為幾個整式的積.分解因式要進行到每一個因式都不能再分解為止.分解因式的常用方法有：提公因式法和運用公式法.二

15、、考題分析考點8列代數式例8（株洲市）孔明同學買鉛筆m支，每支0.4元，買練習本n本，每本2元.那么他買鉛筆和練習本一共花了元.分析買鉛筆m支，每支0.4元，則需錢0.4m元，買練習本n本，每本2元，則需錢2n元，由此可以列式求解.解因為買鉛筆m支，每支0.4元，買練習本n本，每本2元，所以鉛筆和練習本一共花了(0.4m+2n)元錢.說明列代數式的關鍵是正確掌握數學關聯詞，并且書寫代數式時應注意規(guī)范性.考點9冪的運算例9（太原市）下列計算中，結果正確的是（ ）A.a2·a3a6 B.(2a)·(3a)6a C.(a2)3a6 D.a6÷a2a3分析為了能準確地獲得

16、答案，可利用冪的運算法則逐一計算驗證.解因為a2·a3a5，(2a)·(3a)6a2，a6÷a2a4，所以選項A，B，D都是錯誤的，只有(a2)3a6運算是正確的.故應選C.說明要能正確地獵取答案，就必須熟練掌握冪的運算法則，弄清楚每一個法則的前因后果.考點10同類項例10（賀州市）已知代數式2a3bn+1與3am2b2是同類項，則2m+3n.分析利用同類項的定義，構造出m和n的簡易方程，求得m和n即可求解.解因為代數式2a3bn+1與3am2b2是同類項，所以3m2，且n+12，解得m5，n1，當m5，n1時，2m+3n2×5+3×113.說

17、明同類項是所含字母相同，相同字母的指數也相同的項，根據同類項的定義可得字母指數的方程，然后再求代數式的值，這是中考中常出現的題型.考點11去括號例11（嘉興市）下列運算正確的是（）A.2(ab)2abB.2(ab)2a+bC.2(ab)2abD.2(ab)2a+2b 分析利用去括號的法則進行化簡.解因為2(ab)2a+2b，所以D是正確的，故應選D.說明去括號時一定要注意兩點，一是括號前面是負號，去掉括號時，括括號內的各項都要改變符號，二是括號前面有因數或因式時，去掉括號時，應運用乘法的分配律運算，不能漏掉任何一項.考點12乘法公式例12（內江市）在邊長為a的正方形中挖去一個邊長為b的小正方形

18、（ab）（如圖甲），把余下的部分拼成一個矩形（如圖乙），根據兩個圖形中陰影部分的面積相等，可以驗證（ ）A.(a+b)2a2+2ab+b2B.(ab)2a22ab+b2C.a2b2(a+b)(ab) D.(a+2b)(ab)a2+ab2b2aabbabb甲 圖乙乙 圖乙分析依題意，甲、乙兩個圖形中陰影部分的面積相等，由此，可列式驗證.解因為甲圖的陰影部分的面積a2b2，而乙圖的陰影部分面積(a+b)(ab)，所以a2b2(a+b)(ab).故應選C.說明求解本題時要注意圖形在變換過程中面積的不變性，由此可以利用幾何圖形的面積公式求得.考點13整式運算與因式分解例13（漳州市）給出三個多項式：x

19、2+2x1，x2+4x+1，x22x.請選擇你最喜歡的兩個多項式進行加法運算，并把結果因式分解.分析給定的是三個多項式，要求選擇其中的兩個進行加減運算，顯然，選擇的方法不惟一，即結果不惟一，進而因式分解的結果也不惟一，但只要符合題意即可.解答案不惟一.如，情形一：x2+2x1+x2+4x+1x2+6xx(x+6)；情形二：x2+2x1+x22xx21(x+1)(x1)；情形三：x2+4x+1+x22xx2+2x+1(x+1)2.說明本題若改成“請選擇你最喜歡的兩個多項式進行加減法運算”，則情況則更多，同學們不妨一試.考點14規(guī)律探索例14（欽州市）一組按一定規(guī)律排列的式子：a2，（a0）則第n

20、個式子是（n為正整數）.分析先觀察分母，發(fā)現從1，2，3，4，隨項數依次遞增，第n個式子的分母應該是n；而分子是關于a的冪，且指數分別是2，5，8，11，而23×11，53×21，83×31，113×41，第n個式子的分母應該是3n1；再來看各項前面的符號特點是逢奇是負，逢偶是正，由此可以探索到結果.解因為a2()1，()2，()3，()4，所以第n個式子是()n.說明對于規(guī)律探索類的問題，一定要觀察一些特殊式的結構特點，并從中找到規(guī)律性的問題，然后再將這一規(guī)律推廣，得到一般的結論.三、同步訓練5.小馬虎在下面的計算中只做對了一道題，他做對的題目是（）A

21、.(ab)2a2b2 B.(2a3)24a6C.a3+a22a5 D.(a1)a16.一個矩形的面積為a32ab+a，寬為a，則該矩形的長為_.7.分解因式x24y2+x2y_.8.已知Mx+5a1，N2x4+ax3x2，2xM+N÷x22的值與x無關，求a的值.專題三 分式一、考點掃描1.分式：整式A除以整式B，可以表示成的形式，如果除式B中含有字母，那么稱為分式.此時，若B0，則有意義；若B0，則無意義；若A0且B0，則0.2.分式的基本性質：分式的分子與分母都乘以（或除以）同一個不等于零的整式，分式的值不變.3.通分與約分：根據分式的基本性質，異分母的分式可以化為同分母的分式，

22、這一過程稱為分式的通分；通分的關鍵是確定最簡公分母，最簡公分母應為各分母系救的最小公倍數與所有相同因式的最高次冪的積.把一個分式的分子和分母的公團式約去，這種變形稱為分式的約分.4.分式的乘除、乘方法則：兩個分式相乘，把分子相乘的積作為積的分子，把分母相乘的積作為積的分母；兩個分式相除，把除式的分子和分母顛倒位置后，再與被除式相乘；分式的乘方要把分子、分母分別乘方.5.分式的加減法法則：同分母的分式相加減，分母不變，把分子相加；異分母的分式相加減，先通分，化為同分母的分式，然后再按同分母分式的加減法則進行計算.6.分式的混合運算：先算乘方，再算乘除，最后算加減，有括號先算括號里面的.對于化簡求

23、值的題型要注意解題格式，要先化簡，再代人字母的值求值.二、考題分析考點15分式的意義例15（黔東南州）當x時，有意義.分析要使分式有意義，必須滿足分式的分母不為0，從而可得到不等關系求解.解要使分式有意義，只要分母x+10，即x1，所以當x1時，分式有意義.說明分式無意義時，只要分式的分母等于0，進而構造出方程求解.例16（安順市）已知分式的值為0，那么x的值為.分析要使分式的值為0，必須滿足分式的分子為0，而分式的分母不為0，從而列式求解.解由分式的分母x+10，得x1，而當x1時，分母x10，所以分式的值為0時，x的值為1.說明處理分式的值的為0時，一定要注意強調分母不等于0，否則容易出現

24、錯誤.考點16分式的基本性質例17（濱州市）化簡：.分析先對分子與分母分別分解因式，再約去公因式.解.說明對于分式的分子或分母是多項式時，首先得進行因式分解，以便更好地發(fā)現公因式，進而約分.考點17分式的運算例18（包頭市）化簡÷，其結果是（ ）A.B.C.D.分析先對括號內的第一個分式分解因式，對第二個分式的分子進行符號變換，進而進行括號內的加法運算，同時將除法轉化為乘法，再約分化簡.解÷×××.故應選D.說明有關分式的運算，一般都是考查整式的因式分解及分式的加減乘除混和運算，要注意運算順序.先乘除后加減，有括號先算括號里的或按照乘法的分配律

25、去括號.例19（武漢市）先化簡，再求值：÷，其中x2.分析先進行括號的減法運算，同時將除法轉化為乘法，并分解因式，對分式化簡，再將條件中x的取值代入計算.解÷×.當x2時，原式1.說明解決分式的化簡求值試題，要正確運用分式的通分或約分，對分式進行必要地化簡，然后根據條件中給定的字母的取值，代入化簡后的式子進行計算.考點18開放型例20（齊齊哈爾市）先化簡：÷，當b1時，請你為a任選一個適當的數代入求值.分析先對分式進行化簡，再當b1，并選取使原分式有意義的一個字母a的值代入計算.解÷÷×.當b1，并取a2時，原式1.說明解決

26、此類的分式化簡與求值問題時，除了要能正確地先運用分式通分或約分法則，對分式進行化簡，然后根據分式有意義的情況下取字母適當的值代入化簡后的式子進行計算.本題的a不能取0和±1.三、同步訓練9.下列各式從左到右的變形一定正確的是（ ）A. B. C. D.10.如果m個人完成一項工作需要d天，則(m+n)個人完成這項工作需要的天數為（ ）A.d+n B.dn C. D.11.當a時，(a2)5成立，當2m時，m.12.已知M、N，用“+”或“”連接M、N，有三種不同的形式：M+N、MN、NM，請你任選其中一種進行計算，并化簡求值，其中xy52.專題四二次根式一、考點掃描1.二次根式的有關

27、概念：（1）式子(a0)，叫做二次根式.注意被開方數只能是正數或0.（2）最簡二次根式：被開方數所含因數是整數，因式是整式，不含能開得盡方的因數或因式的二次根式，叫做最簡二次根式.（3）同類二次根式：化成最簡二次根式后，被開方數相同的二次根式，叫做同類二次根式.2.二次根式的性質：（1）a（a0）、，（2）·（a0，b0），（a0，b0）.3.二次根式的運算：二次根式的加減：先把各個二次根式化成最簡二次根式；再把同類二次根式分別合并.二次根式的乘除法：按·，運算，再化成最簡二次根式.二、考題分析考點19最簡二次根式例21（黃石市）下列根式中，不是最簡二次根式的是（ ）A.B.C.D.分析對照最簡二次根式的概念逐一篩選.解因為，所以不是最簡二次根式.故應選C.說明最簡二次根式的判斷，必須遵循其兩個條件，缺一不可.考點20確定二次根式的字母值例22（綿陽市）已知是正整數，則實數n的最大值為（ ）A.12 B.11 C.8 D.3分析由于二次根式是正整數，則其式必須滿足12n0，且12n是一個完全