現(xiàn)代控制理論(17-21講：第5章知識(shí)點(diǎn))

1、1第第5章章 控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析 5-1 Lyapunov定義下的穩(wěn)定性定義下的穩(wěn)定性一、外部穩(wěn)定性與內(nèi)部穩(wěn)定性一、外部穩(wěn)定性與內(nèi)部穩(wěn)定性1、外部穩(wěn)定性、外部穩(wěn)定性即經(jīng)典控制理論經(jīng)典控制理論按照系統(tǒng)輸入-輸出特性判定系統(tǒng)穩(wěn)定性的方法(BIBO)。最主要最主要的方法是：Routh、Hurwitz、Nyquist Criterion等。這種方法主要解決了解決了SISO線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性問(wèn)題。2、內(nèi)部穩(wěn)定性、內(nèi)部穩(wěn)定性即按照系統(tǒng)內(nèi)部狀態(tài)的特性系統(tǒng)內(nèi)部狀態(tài)的特性判定系統(tǒng)穩(wěn)定性的方法。最主要最主要的方法就是：Lyapunov第二方法第二方法。這種方法不但對(duì)線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析

2、十分有效，而不但對(duì)線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析十分有效，而且也能解決時(shí)變、非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性問(wèn)題且也能解決時(shí)變、非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性問(wèn)題。2二、二、Lyapunov對(duì)穩(wěn)定性的定義對(duì)穩(wěn)定性的定義1、平衡狀態(tài)、平衡狀態(tài)xe00( )( ,(),( )tt tttxxu平衡狀態(tài)平衡狀態(tài)是指任何系統(tǒng)在零輸入情況下，系統(tǒng)有一個(gè)固定不變的狀態(tài)，即0( ,)eet txx0按照此定義，對(duì)連續(xù)定常系統(tǒng):( )( )()ttxA xu = 0如果xe是平衡狀態(tài)是平衡狀態(tài)，則有eA x0若A非奇異，則xe=0；若A奇異，則xe有無(wú)窮個(gè)。僅討論位僅討論位于坐標(biāo)原點(diǎn)的穩(wěn)定性問(wèn)題于坐標(biāo)原點(diǎn)的穩(wěn)定性問(wèn)題。32、Lyapunov

3、對(duì)穩(wěn)定性的定義對(duì)穩(wěn)定性的定義（1）穩(wěn)定）穩(wěn)定1x2xex0 x( )s( )s任選一實(shí)數(shù)0，對(duì)應(yīng)一實(shí)數(shù)0，使得當(dāng)00( , )et xx時(shí)，恒有0ett x x則稱系統(tǒng)的平衡狀態(tài)xe是穩(wěn)定的。其中：范數(shù)(norm) : 表示狀態(tài)向量狀態(tài)向量與坐標(biāo)原點(diǎn)之間的距離與坐標(biāo)原點(diǎn)之間的距離。2222123.nxxxxx一般說(shuō)來(lái)，與有關(guān)，也與t0 有關(guān)。如果如果與與t0 無(wú)關(guān)，無(wú)關(guān)，則稱x是Lyaponov意義下的一致穩(wěn)定一致穩(wěn)定(uniformly stable)。4（2）漸近穩(wěn)定）漸近穩(wěn)定( AS :asymptotically stable)若xe是Lyapunov意義下的穩(wěn)定，且有1x2xex0

4、x( )s()slim ( )ettxx則稱系統(tǒng)的平衡狀態(tài)xe是漸近穩(wěn)定的。如果的大小與的大小與t0 無(wú)關(guān)無(wú)關(guān)，則稱x是Lyaponov意義下的一致漸一致漸近穩(wěn)定近穩(wěn)定。對(duì)時(shí)變系統(tǒng)時(shí)變系統(tǒng)，一致漸近穩(wěn)定比一致漸近穩(wěn)定比AS更有實(shí)際意義更有實(shí)際意義。對(duì)時(shí)不變系統(tǒng)兩者是等價(jià)對(duì)時(shí)不變系統(tǒng)兩者是等價(jià)的。（3）大范圍漸近穩(wěn)定）大范圍漸近穩(wěn)定若xe是漸近穩(wěn)定的，且其漸近穩(wěn)定的范圍是整個(gè)狀態(tài)空間，那么平衡狀態(tài)xe是大范圍內(nèi)的漸近穩(wěn)定。必要條件：只有一個(gè)平衡狀態(tài)；必要條件：只有一個(gè)平衡狀態(tài)；線性定常系統(tǒng)：若xe是AS，那么它一定是大范圍AS的。1x2xex0 x0 x0 x5（4）不穩(wěn)定）不穩(wěn)定如果對(duì)某一實(shí)數(shù)

5、0，無(wú)論取得多么小，由s()內(nèi)出發(fā)的軌跡，只要其中只要其中有一條軌跡越出有一條軌跡越出s()，則稱，則稱xe為不穩(wěn)定為不穩(wěn)定。1x2xex0 x()s()s5-2 5-2 LyapunovLyapunov第一方法第一方法一、線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性一、線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性定理：定理： 線性定常連續(xù)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的充分必要條件漸近穩(wěn)定的充分必要條件是A陣的陣的所有特征值所有特征值具有負(fù)實(shí)部具有負(fù)實(shí)部。（內(nèi)部穩(wěn)定或狀態(tài)穩(wěn)定.）例：試分析下列系統(tǒng)的穩(wěn)定性例：試分析下列系統(tǒng)的穩(wěn)定性06211101uy xxx解解: (1) 求求A陣的特征值為陣的特征值為12det()(2)(3)23 I A故系統(tǒng)不是漸近穩(wěn)

6、定的；故系統(tǒng)不是漸近穩(wěn)定的；(2) 判定系統(tǒng)的外部穩(wěn)定性判定系統(tǒng)的外部穩(wěn)定性(BIBO)，有有61162( )()01111213(3)(2)3sG ssssssss CIAB系統(tǒng)的極點(diǎn)位于根平面的系統(tǒng)的極點(diǎn)位于根平面的左半平面左半平面，因而系統(tǒng)是外部穩(wěn)定，因而系統(tǒng)是外部穩(wěn)定的。系統(tǒng)內(nèi)部不是的。系統(tǒng)內(nèi)部不是AS，而外部是，而外部是BIBO穩(wěn)定的，穩(wěn)定的，從而說(shuō)明從而說(shuō)明了采用零極點(diǎn)對(duì)消的方法來(lái)校正系統(tǒng)的局限性了采用零極點(diǎn)對(duì)消的方法來(lái)校正系統(tǒng)的局限性。小小 結(jié)結(jié)（1）AS是指系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)，屬內(nèi)部穩(wěn)定性，也即是指系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)，屬內(nèi)部穩(wěn)定性，也即狀態(tài)穩(wěn)定性；狀態(tài)穩(wěn)定性；（2）BIBO穩(wěn)定性是

7、指系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)，即外部穩(wěn)定性；穩(wěn)定性是指系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)，即外部穩(wěn)定性；（3）系統(tǒng)內(nèi)部穩(wěn)定必然外部穩(wěn)定，但外部穩(wěn)定并非內(nèi)部穩(wěn)定；）系統(tǒng)內(nèi)部穩(wěn)定必然外部穩(wěn)定，但外部穩(wěn)定并非內(nèi)部穩(wěn)定；（4）若系統(tǒng)是）若系統(tǒng)是BIBO穩(wěn)定的，且又能控能觀，則系統(tǒng)一定是穩(wěn)定的，且又能控能觀，則系統(tǒng)一定是漸近穩(wěn)定的。漸近穩(wěn)定的。75-3 Lyapunov第二方法第二方法一、標(biāo)量函數(shù)的正定性、負(fù)定性和不定性一、標(biāo)量函數(shù)的正定性、負(fù)定性和不定性1、正定性、正定性 如果對(duì)所有在域s中的非零向量x，均有均有V(x)0，僅在x=0處有V(x)=0，則稱標(biāo)量函數(shù)V(x)在域s內(nèi)是正定的；122122.V( )xexxxxxx是

8、正定的；是正定的；2、負(fù)定性、負(fù)定性 如果對(duì)所有在域s中的非零向量x，總有總有V(x)0，則稱標(biāo)量函數(shù)標(biāo)量函數(shù)V(x)在在域域s內(nèi)是半正定的內(nèi)是半正定的；8如果如果V(x)是半正定，則是半正定，則-V(x)是半負(fù)定的；是半負(fù)定的；12.( )exVxx x是半正定的；是半正定的；12( )Vxx x是半負(fù)定的；是半負(fù)定的；4、不定性、不定性 無(wú)論域s多么小，在域s內(nèi)，V(x)能正能負(fù)，則稱標(biāo)量函數(shù)V(x)是不定的；21 22.( )exVxxxx是不定的；是不定的；二、二次型函數(shù)的正定性二、二次型函數(shù)的正定性設(shè)V(x)是一個(gè)二次型標(biāo)量函數(shù)，即，111111.( ).nTnnnnnppxVxxp

9、px xx Px并設(shè)P是實(shí)對(duì)稱矩陣，當(dāng)x0時(shí)，有V(x)0，則稱V(x)是正定的。91、二次型函數(shù)V(x)為正定為正定的充要條件充要條件是P的各階主子式的各階主子式為正為正，即11111121121221.00.0.nnnnppppppppp 2、二次型函數(shù)V(x)為負(fù)定為負(fù)定的充要條件充要條件是P的各階主子式的各階主子式滿足滿足下列條件：0iii 為 偶 數(shù)為 奇 數(shù)Sylvester 準(zhǔn)則：準(zhǔn)則：2221231 22 31 3.( )4224Tex Vxxxxxx xxxxx Px1123231012( )141211TxVxxxxx xx Px應(yīng)用Sylvester 準(zhǔn)則，有123000

10、 故v(x)是正定的。10 習(xí)題習(xí)題: 4-1 4-2 11三、三、Lyapunov第二方法的幾個(gè)定理第二方法的幾個(gè)定理基本思路基本思路：受擾、獲得能量、能量函數(shù)、運(yùn)動(dòng)的幾種形式、Lyapunov函數(shù)；1、定理一：、定理一：( , ) tx f x設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為: xe=0是其平衡狀態(tài)。如果存在一個(gè)有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)的標(biāo)量函數(shù)V(x)，并且滿足下列條件：(1) V(x)是正定的；是正定的；(2) 是負(fù)定的；是負(fù)定的；( )Vx則在狀態(tài)空間坐標(biāo)原點(diǎn)處的平衡狀態(tài)是漸近穩(wěn)定的。此時(shí)，如果隨著如果隨著|x|，V(x) ，那么在原點(diǎn)處的平衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定范圍漸近穩(wěn)定的。221211222212

11、12()()xax xxxax xx xx例例1：設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為:其中：其中：a為非零正常數(shù)。試為非零正常數(shù)。試分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。12解：（解：（1）由）由 , 求得求得( ) tx0ex= 0是系統(tǒng)唯一平衡狀態(tài)；是系統(tǒng)唯一平衡狀態(tài)；（2）選擇可能的）選擇可能的Lyapunov函數(shù)為：函數(shù)為：2212( )Vxxx是二次型函數(shù)，顯然是正定的；是二次型函數(shù)，顯然是正定的；（3）求）求V(x)的導(dǎo)數(shù)：的導(dǎo)數(shù)：2212121222212( )()222 ()dVxxx xx xdta xx x顯然是負(fù)定的，故系統(tǒng)顯然是負(fù)定的，故系統(tǒng)AS；而而221212)x

12、xxor x x2212( )Vxx x故系統(tǒng)在平衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定的。故系統(tǒng)在平衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定的。132、定理二：、定理二：( , ) tx f x設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為: xe=0是其平衡狀態(tài)。如果存在一個(gè)有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)的標(biāo)量函數(shù)V(x)，并且滿足下列條件：(1) V(x)是正定的；是正定的；( )Vx(2) 是半負(fù)定的；是半負(fù)定的；(3) 對(duì)于任意初始時(shí)刻t0時(shí)的任意狀態(tài)x00, 在tt0時(shí)，除了在x=0時(shí),有 外， 不恒等于零不恒等于零，則系統(tǒng)在平衡狀態(tài)是漸近穩(wěn)定漸近穩(wěn)定的。如果隨著|x|，V(x) ，那么在原點(diǎn)處的平衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定大范圍漸近穩(wěn)定的。( )0Vx(

13、)Vx在應(yīng)用定理二時(shí)，注意以下兩種兩種情況：1x2x00 x( )0Vx( )VCx（1）極限環(huán)的情況。穩(wěn)定，但不是漸近穩(wěn)定但不是漸近穩(wěn)定；141x2x00 x( )VCx( )Vx（2） 不恒等于不恒等于0，屬于x的運(yùn)動(dòng)軌跡與V(x)=C相相切切的情況，但最終趨于原但最終趨于原點(diǎn)點(diǎn)，因此系統(tǒng)漸近穩(wěn)定系統(tǒng)漸近穩(wěn)定。12212xxx xx例例2：設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為:試分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。試分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：（解：（1）由）由 , 求得求得( ) tx0ex= 0是系統(tǒng)唯一平衡狀態(tài)；是系統(tǒng)唯一平衡狀態(tài)；（2）選擇）選擇Lyapunov函數(shù)為：函數(shù)為：15（3）22212121

14、22( )()222dVxxx xx xxdt x故故V(x)的導(dǎo)數(shù)是半負(fù)定的；的導(dǎo)數(shù)是半負(fù)定的；（4）由：）由：2212120,00 xxxxxx 有2x 不恒等于零22( )2Vx x不恒等于零故系統(tǒng)在平衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定的。故系統(tǒng)在平衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定的。2212( )Vxxx二次型函數(shù)，是正定的；二次型函數(shù)，是正定的；3、定理三：、定理三：( , ) tx f x設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為: xe=0是其平衡狀態(tài)。如果存在一個(gè)有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)的標(biāo)量函數(shù)V(x)，并且滿足下列條件：16(1) V(x)在原點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)是正定的；在原點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)是正定的；( )Vx(2) 在同樣的鄰域

15、內(nèi)也是正定的；在同樣的鄰域內(nèi)也是正定的；那么系統(tǒng)在原點(diǎn)處的平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的。（注意：此地V(x)的導(dǎo)數(shù)也可半正定，但有但有V(x)的導(dǎo)數(shù)不恒為零的導(dǎo)數(shù)不恒為零。）21122212sin tcos tttxx ex exxx例例3：設(shè)時(shí)變系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：設(shè)時(shí)變系統(tǒng)的狀態(tài)方程為:分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：（解：（1） 顯然顯然 是系統(tǒng)平衡狀態(tài)是系統(tǒng)平衡狀態(tài);ex = 0（2）選擇）選擇V(x)為：為：12( )2tVe x xx在在、象限，象限，V(x)0是正定的；是正定的；17（2）在相同的區(qū)域內(nèi)求）在相同的區(qū)域內(nèi)求V(x)的導(dǎo)數(shù)，有：的導(dǎo)數(shù)，有：12212222121212(

16、)2()22()( )2()ttVex xx xex xxxVxxxx當(dāng)當(dāng)V(x) 0時(shí)，時(shí)， ,故系統(tǒng)在平衡狀態(tài)故系統(tǒng)在平衡狀態(tài)xe是不穩(wěn)是不穩(wěn)定的。定的。( )0Vx小小 結(jié)結(jié)（1）Lyapunov函數(shù)是一個(gè)正定的標(biāo)量函數(shù)；函數(shù)是一個(gè)正定的標(biāo)量函數(shù)；（2）對(duì)于一個(gè)給定的系統(tǒng)，）對(duì)于一個(gè)給定的系統(tǒng)，Lyapunov函數(shù)不是唯一函數(shù)不是唯一的；的；（3）Lyapunov第二方法的定理均是充分條件，因此當(dāng)?shù)诙椒ǖ亩ɡ砭浅浞謼l件，因此當(dāng)你選定的你選定的V(x)不滿足定理的條件時(shí)，不能斷定系統(tǒng)的穩(wěn)不滿足定理的條件時(shí)，不能斷定系統(tǒng)的穩(wěn)定性，很可能你沒(méi)找到合適的定性，很可能你沒(méi)找到合適的V(x)；（

17、4）一般選?。┮话氵x取V(x)=xTpx為最簡(jiǎn)單的二次型，但并不為最簡(jiǎn)單的二次型，但并不意味著意味著V(x)一定就是簡(jiǎn)單的二次型；但是對(duì)于線性系一定就是簡(jiǎn)單的二次型；但是對(duì)于線性系統(tǒng)的統(tǒng)的V(x)一定可以用二次型來(lái)構(gòu)造。一定可以用二次型來(lái)構(gòu)造。185-4 線性系統(tǒng)穩(wěn)定性分析線性系統(tǒng)穩(wěn)定性分析一、線性定常連續(xù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析一、線性定常連續(xù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析定理（充分必要條件）：定理（充分必要條件）：( ),txAx給定線性定常系統(tǒng)為:ex0是其平衡狀態(tài)，若對(duì)任何對(duì)稱的正定矩陣Q，都存在一個(gè)對(duì)稱對(duì)稱正定矩陣正定矩陣P，使?jié)M足T A PPAQ 則系統(tǒng)在平衡狀態(tài)xe=0是漸近穩(wěn)定的（當(dāng)然是大范圍AS）

18、，而且是系統(tǒng)的一個(gè)Lyapunov函數(shù)。（在應(yīng)用中只要簡(jiǎn)單地取只要簡(jiǎn)單地取Q=I即可即可.）( )TVxx Px證：( )0T xx Pxx0設(shè)：V（）對(duì)上式求導(dǎo)，有19( )() ()()()TTTTTTTTTTVxx PxxPxx P xAxPxx P Axx A Pxx PAxxA PPA x欲使系統(tǒng)在原點(diǎn)是漸近穩(wěn)定的，則要求v(x)的導(dǎo)數(shù)是負(fù)定的，故必須有( )0TV xx Qx即T A PPAQQ是正定的，-Q必是負(fù)定的，故定理得證。例例1：設(shè)控制系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：設(shè)控制系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：1214xx試用試用Lyapunov第二方法判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。第二方法判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。20解：

19、解： （1）因?yàn)椋┮驗(yàn)锳非奇異，故非奇異，故xe=0；（2）設(shè)）設(shè) ，而，而( )TVxx PxT A PPAQI故故1112111212221222111210241401pppppppp由此，可得由此，可得11121112221222221250481ppppppp 解之，得解之，得11122223711606060ppp 211112122223760607116060pppp P驗(yàn)算驗(yàn)算P的正定性，有的正定性，有1112360p 2237204606007113606060 即即P是正定的，系統(tǒng)在是正定的，系統(tǒng)在xe=0是漸近穩(wěn)定的。是漸近穩(wěn)定的。（4）系統(tǒng)的）系統(tǒng)的Lyapunov函

20、數(shù)為：函數(shù)為：1221211 22223716060( )(231411 )711606060TxVxxxx xxxxx Px故故2212( )TVxx xx Qx顯然是負(fù)定的，故知求解正確。顯然是負(fù)定的，故知求解正確。22 習(xí)題習(xí)題:4.4 4.6 (1) (3) 4-7 23二、線性離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析二、線性離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析定理定理:給定線性離散系統(tǒng)為給定線性離散系統(tǒng)為:(1)( )( )ekkkxGxx0 系統(tǒng)在xe=0是漸近穩(wěn)定的充分必要條件充分必要條件是：對(duì)給定任一正定對(duì)稱矩陣Q，都存在一個(gè)正定對(duì)稱矩陣P，使?jié)M足T G PGPQ而且( ( )( )( )TVkkkxxPx是這個(gè)

21、系統(tǒng)的Lyapunov函數(shù)。證：證：( ( )( )( )0( )Tkkkk xxPxx0設(shè) V（）故有故有24()(1)()(1)(1)()()()()()()()()()()()()()TTTTTTTTTVkVkVkkkkkkkkkkkkkkkxxxxP xxP xG xP G xxP xxGP G xxP xxGP GP x 因?yàn)橐驗(yàn)閂(x(k)為正定的，而為正定的，而AS的條件要求的條件要求V(x(k)是負(fù)定的，故是負(fù)定的，故( ( )( )() ( )( )( )TTTVkkkkk xxG PGP xxQx即即T G PGPQ證畢。證畢。注意：注意： 為了簡(jiǎn)單起見(jiàn)，一般可取為了簡(jiǎn)單起

22、見(jiàn)，一般可取Q=I；但若在；但若在xo時(shí)，時(shí)，V(x(k)不恒等于零，也可取不恒等于零，也可取Q為半正定。為半正定。25例例2：線性定常離散時(shí)間系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：線性定常離散時(shí)間系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：0.80.4(1)( )1.20.2kkxx試判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。試判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。取取Q=I，則由，則由GTPG-P=-Q，有，有11121112122212220.8 1.20.80.41 00.4 0.21.20.201pppppppp解出解出P陣為：陣為：111212223.9041.0571.0572.223ppppP顯然，矩陣顯然，矩陣P是正定的。所以：是正定的。所以：xe=0是是AS的。

23、的。解：解：( ),ek x0故265-5 非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析 與線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析不同，非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性往往具有局部的性質(zhì)，即非線性系統(tǒng)在大范圍內(nèi)不是漸近穩(wěn)定的，但可能是局部漸近穩(wěn)定的。xx2242420.520 xxxx例如：非線性系統(tǒng)例如：非線性系統(tǒng) 其相平面圖如圖所示：陰影內(nèi)出發(fā)的軌跡均是收斂的；而陰影外的軌跡都趨于無(wú)限遠(yuǎn)點(diǎn)。系統(tǒng)具有局部穩(wěn)定性。 因而應(yīng)當(dāng)找出在原點(diǎn)周圍最大鄰域內(nèi)，滿足漸近穩(wěn)定條件的V(x)； 目前對(duì)非線性系統(tǒng)的V(x)尚無(wú)統(tǒng)一求取方法，本節(jié)介紹的方法均是充分條件。27一、克拉索夫斯基一、克拉索夫斯基(Krasovskii)法法設(shè)非線性系統(tǒng)

24、的狀態(tài)方程為( )( )xf xf 00設(shè)f(x)對(duì)xi (i=1,2,.n)是可微的，故系統(tǒng)的Jacobian矩陣為1111212.( ).nTnnnnfffxxxfffxxxfJ xxKrasovskii定義：( )( )( )TQ xJxJ x28則 如果Q(x)是負(fù)定是負(fù)定的，那么平衡狀態(tài)xe=0是漸近穩(wěn)定的。系統(tǒng)的Lyapunov函數(shù)為:( )( ) ( )TTVxx xfx f x 而且，如果xx,有有v(x)，那么xe =0是大范圍漸大范圍漸近穩(wěn)定近穩(wěn)定的。證：故有( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )TTTVxfx f xfx f xfx f x( )( ) ( )(

25、 ) ( )( ) ( )TTTVxfx f xfx f xfx f x( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )( )( )( )( )( ) ( )TTTTTTTTJ x f xf xfx J x f xfx Jx f xfx J x f xfxJxJ xf xfx Q x f x29即Q(x)是負(fù)定的，則 也是負(fù)定的；( )Vx另外，對(duì)任一非零n維向量x，有( )TTTTTTx Q x xxJ (x)J(x) xx J (x)xx J(x)x( )TTTTTTx Q x xxJ (x)J(x) xx J (x)xx J(x)x2TTTTx

26、J(x)xx J(x)xx J(x)x這表明如果Q(x)負(fù)定，則J(x)負(fù)定。因此若x0，則J(x)0，也即說(shuō)明x0，f(x) 0:0,( )( ) ( )0,TV x0 xfx f xx0即V(x)是正定的。例例1：利用：利用Krasovskii法確定下列系統(tǒng)在平衡狀態(tài)法確定下列系統(tǒng)在平衡狀態(tài)xe=0的穩(wěn)的穩(wěn)定性。定性。1132122xxxxxx 30解：顯然解：顯然x=0為系統(tǒng)的平衡狀態(tài)，有為系統(tǒng)的平衡狀態(tài)，有13122xxxxf(x)221011 3x J(x)故故2221126Tx Q(x)J (x)J(x)由由Sylvester準(zhǔn)則，有準(zhǔn)則，有1222203 120 x 故故x0,Q

27、(x)是負(fù)定的，系統(tǒng)在是負(fù)定的，系統(tǒng)在xe=0是漸近穩(wěn)定的；且是漸近穩(wěn)定的；且當(dāng)當(dāng)x時(shí)，有時(shí)，有23 21122( )( ) ( )()TVxxxx xfx f x因此系統(tǒng)在因此系統(tǒng)在xe=0是大范圍漸近穩(wěn)定的。是大范圍漸近穩(wěn)定的。31解：解：例例2：確定下列系統(tǒng)在平衡狀態(tài)：確定下列系統(tǒng)在平衡狀態(tài)xe 漸近穩(wěn)定的條件。漸近穩(wěn)定的條件。112212()xf xxxxax假定假定f(0)=0，a0。(1).ex0 x0由，解出：111(2)fxaJ(x)12222TfxaQ(x)J (x)J(x)32(3)由由Sylvester準(zhǔn)則，欲使準(zhǔn)則，欲使Q(x)是負(fù)定的，則是負(fù)定的，則111200ffx

28、x 即：2111440ffaxxa 即：故當(dāng)故當(dāng)a0， 時(shí)，系統(tǒng)在時(shí)，系統(tǒng)在xe=0是漸近穩(wěn)定的。是漸近穩(wěn)定的。11fxa 注意注意:(1).對(duì)線性定常系統(tǒng),其Jacobian矩陣為J(x)=A, Q(x)=AT+A；若A為非奇異,Q(x)為負(fù)定,則系統(tǒng)在xe =0是漸近穩(wěn)定的；(2).對(duì)某些線性或非線性系統(tǒng)某些線性或非線性系統(tǒng)，其Q(x)陣不一定是負(fù)定的陣不一定是負(fù)定的，這時(shí)就不能對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性提供任何信息；(3).要使Q(x)為負(fù)定為負(fù)定的必要前提必要前提是：Q(x)的主對(duì)角線上的的主對(duì)角線上的所有元素不能恒等于零所有元素不能恒等于零。33 習(xí)題習(xí)題: 4.5 4.934二、變量二、變量-

29、梯度法梯度法1、預(yù)備知識(shí)（1）V(x)是一個(gè)標(biāo)量（純量）函數(shù)是一個(gè)標(biāo)量（純量）函數(shù)，即只考慮大小、正負(fù)而不考慮方向的函數(shù)；但它又是一個(gè)多元函數(shù)；正因?yàn)樗菢?biāo)量函數(shù)，因而它的梯度一定存在；（2）梯度場(chǎng)一定是個(gè)保守場(chǎng)（有勢(shì)場(chǎng)），保守場(chǎng)的旋度必為零，即保守場(chǎng)是一個(gè)無(wú)旋場(chǎng)；（3）由于梯度V的取法是多種多樣的，因而V(x)不是唯一的；但一當(dāng)V取定了，那么一定有唯一的V(x)與之對(duì)應(yīng)。2、變量、變量-梯度法梯度法設(shè)所研究的非線性系統(tǒng)為( , )etxf xx0假定V(x)是系統(tǒng)的一個(gè)李氏函數(shù)，那么:351212( ).()TnnVVVVxxxVxxx xx即V(x)的導(dǎo)數(shù)可由V求得；（1） 的計(jì)算的計(jì)算(

30、 )Vx（2）V(x)的確定的確定( )()TVVdx0 xx當(dāng)被積函數(shù)是梯度時(shí)，線積分與路徑無(wú)關(guān)，故1232113112211(. 0)(,. 0)112200(,.)0( )().nnnTxxxxxxxxxxxxxxnnVVdV dxV dxV dxx0 xx即V(x)可由它的梯度V唯一的確定；36（3）對(duì)V的約束 現(xiàn)在把尋求V(x)的問(wèn)題，已經(jīng)轉(zhuǎn)換成了尋求一個(gè)合適的V(x)的梯度V的問(wèn)題，因而V必須受到一定的約束。a. 旋度方程 為了保證假定的V ，是V(x)的梯度，那么必有:()0rotV 也即由旋度方程所構(gòu)成的Jacobian矩陣必須是對(duì)稱的:1111212.().niTinnnnVVVxxxVVVxVVVxxx Jx即滿足下列個(gè)n(n-1)/2旋度方程:37( ,1,2,. )jijiVVi jnxx當(dāng)n=3時(shí)，則旋度方程為：331221213213VVVVVVxxxxxxb. 由V計(jì)算出的V(x)和 必須滿足 Lyapunov穩(wěn)定性定理的要求，即：( )Vx(