中南大學(xué)高數(shù)2.5方向?qū)?shù)與梯度重要例題

1、設(shè)設(shè) 0002222422yxyxyxxyyxf,),(求求 f 沿沿e = (cos , sin ) 在點(diǎn)在點(diǎn) (0,0)的方向?qū)?shù)的方向?qū)?shù). 當(dāng)當(dāng) cos 0 時(shí)時(shí), (0,0)0( cos ,sin )(0,0)limtfffe .cossinsincossincoslim242220當(dāng)當(dāng) cos = 0時(shí)時(shí), 因?yàn)橐驗(yàn)?f ( cos , sin ) = 0.),(0 00ef用定義計(jì)算方向?qū)?shù)用定義計(jì)算方向?qū)?shù)解解 例例1用定理計(jì)算方向?qū)?shù)用定理計(jì)算方向?qū)?shù)例例 2 2 求函數(shù)求函數(shù)yxez2 在點(diǎn)在點(diǎn))0 , 1(P處沿從點(diǎn)處沿從點(diǎn) )0 , 1(P到點(diǎn)到點(diǎn))1, 2( Q的方向

2、的方向?qū)?shù)的方向的方向?qū)?shù). ; 1)0, 1(2)0, 1(yexz, 22)0, 1(2)0, 1( yxeyz所所求求方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù) lz.22 這這里里方方向向l即即為為1, 1 PQ,.22,22cos,cos.22222coscos)0, 1()0, 1(yzxz解解例例3. 設(shè)設(shè) z = 3x4 +xy +y3 , 求求z 在在M (1,2)點(diǎn)處點(diǎn)處 沿方向沿方向角為角為 =135 的方向的方向?qū)?shù)。的方向的方向?qū)?shù)。(1,2)(1,2)(1,2) cossinzzzlxy135313512212213sin)(cos)(),(),(yxyx.22解解例4. 求函數(shù)求函數(shù) 在點(diǎn)

3、 P(1, 1, 1) 沿向量zyxu2, 1,2(l3) 的方向?qū)?shù) .,142cosPlu) 1, 1, 1 (146,141cos143cos1422zyx1412zx1432yx解解: 向量 l 的方向余弦為由點(diǎn)),P(yx到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離定義的函數(shù)22yxz在坐標(biāo)原點(diǎn)處向?qū)?shù)值都等于 1:222200000 (cos,cos)0limlim1 xxyyxyzflxy 的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)均不存在, 但它在該點(diǎn)沿任何方向的方向?qū)?shù)均存在, 且方此例說(shuō)明: 1. 方向?qū)?shù)存在時(shí), 偏導(dǎo)數(shù)不一定存在. 2.可微是方向?qū)?shù)存在的充分條件, 而不是 必要條件P80-2,7. 例例并并求求在在求求設(shè)設(shè)

4、, grad , 5 2uzxyzu. )( ) 1, 1 , 0( 值值小小處處方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù)的的最最大大點(diǎn)點(diǎn)M,yzxu,xzyu,2zxyzu)2,0, 1(從而從而 5|grad|maxuluM5|grad|minuluM解解)1, 1 , 0()1, 1 , 0()2,(gradzxyxzyzu例例 5 5 求求函函數(shù)數(shù) yxzyxu2332222 在在點(diǎn)點(diǎn) )2 , 1 , 1 (處處的的梯梯度度，并并問問在在 哪哪些些點(diǎn)點(diǎn)處處梯梯度度為為零零？ 解解 由梯度計(jì)算公式得由梯度計(jì)算公式得kzujyuixuzyxgradu ),(,6)24()32(kzjyix 故故.1225)2

5、, 1 , 1(kjigradu 在在)0 ,21,23(0 P處處梯梯度度為為 0.備用題 1. 函數(shù))ln(222zyxu在點(diǎn))2,2, 1 (M處的梯度Mugrad)2, 2, 1 (,gradzuyuxuuM解解:,222zyxr令則xu21rx2注意 x , y , z 具有輪換對(duì)稱性)2, 2, 1 (2222,2,2rzryrx)2,2, 1 (92)2,2, 1 (92指向 B( 3, 2 , 2) 方向的方向?qū)?shù)是 .在點(diǎn)A( 1 , 0 , 1) 處沿點(diǎn)Axd d2. 函數(shù)函數(shù))ln(22zyxu提示提示:31,32,32則cos,cos,cosAxu) 1ln( x1x,

6、21yd dAyu) 11ln(2y0y,0, ) 1 ,2,2(AB0ABl 2121Azucoscoscoszuyuxulu21sin) 1 , 1 (cos) 1 , 1 ()1 , 1(yxfflf,sin)2(cos)2()1 , 1()1 , 1( xyyx )sin,(cos的方向余弦為由題設(shè)知l 例例解解 sincos),4sin(2 故故（1）當(dāng)當(dāng)4 時(shí)時(shí)，方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù)達(dá)達(dá)到到最最大大值值2;（2）當(dāng)）當(dāng)45 時(shí)，時(shí)，方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù)達(dá)達(dá)到到最最小小值值2 ;（3）當(dāng)當(dāng)43 和和47 時(shí)時(shí)，方向?qū)?shù)等于方向?qū)?shù)等于 0.例3. 設(shè)設(shè)是曲面n在點(diǎn) P(1, 1, 1 )處指

7、向外側(cè)的法向量,解解: 方向余弦為,142cos,143cos141cos而Pxu,148Pyu14PzuPnu同理得) 1,3,2(2632222zyx方向的方向?qū)?shù).Pzyx)2,6,4(1467111143826141Pyxzx22866zyxu2286在點(diǎn)P 處沿求函數(shù)nn例例5. 設(shè)設(shè) u = x y + e z , M0(1,-1,0), P(3,-3,1), 求求 (1)在在 M0 沿沿M0 P 的方向?qū)?shù)的方向?qū)?shù); (2)在在 M0 沿曲線沿曲線x=t , y= t 2-2, z= t t 3的切線方向的方向?qū)?shù)的切線方向的方向?qū)?shù)(本節(jié)本節(jié)不講不講);(3)在在 M0 的最

8、大方向?qū)?shù)與梯度。的最大方向?qū)?shù)與梯度。解：解： (1) 3122 1222200)(,PMPM,cos,cos,cos3132321 1 1 also000MMMzuyuxu,.)(11313213210Mlu1 1 when 2ttxx,)(2 1, 2 , 1 3Stt切線的方向向量3 and 2 2 10SSM,)(321321311 Therefore0Msu3131)(3)在在 M0 的最大方向?qū)?shù)與梯度的最大方向?qū)?shù)與梯度:.,3 gard and gard 00MMukjiu1 1 1 000MMMzuyuxu,設(shè)點(diǎn)電荷 q 位于坐標(biāo)原點(diǎn), 在點(diǎn)),(zyxM,4rqv處的電位為其中,為介電系數(shù)