中南大學高數2.5方向導數與梯度重要例題

1、設設 0002222422yxyxyxxyyxf,),(求求 f 沿沿e = (cos , sin ) 在點在點 (0,0)的方向導數的方向導數. 當當 cos 0 時時, (0,0)0( cos ,sin )(0,0)limtfffe .cossinsincossincoslim242220當當 cos = 0時時, 因為因為 f ( cos , sin ) = 0.),(0 00ef用定義計算方向導數用定義計算方向導數解解 例例1用定理計算方向導數用定理計算方向導數例例 2 2 求函數求函數yxez2 在點在點)0 , 1(P處沿從點處沿從點 )0 , 1(P到點到點)1, 2( Q的方向

2、的方向導數的方向的方向導數. ; 1)0, 1(2)0, 1(yexz, 22)0, 1(2)0, 1( yxeyz所所求求方方向向導導數數 lz.22 這這里里方方向向l即即為為1, 1 PQ,.22,22cos,cos.22222coscos)0, 1()0, 1(yzxz解解例例3. 設設 z = 3x4 +xy +y3 , 求求z 在在M (1,2)點處點處 沿方向沿方向角為角為 =135 的方向的方向導數。的方向的方向導數。(1,2)(1,2)(1,2) cossinzzzlxy135313512212213sin)(cos)(),(),(yxyx.22解解例4. 求函數求函數 在點

3、 P(1, 1, 1) 沿向量zyxu2, 1,2(l3) 的方向導數 .,142cosPlu) 1, 1, 1 (146,141cos143cos1422zyx1412zx1432yx解解: 向量 l 的方向余弦為由點),P(yx到坐標原點的距離定義的函數22yxz在坐標原點處向導數值都等于 1:222200000 (cos,cos)0limlim1 xxyyxyzflxy 的兩個偏導數均不存在, 但它在該點沿任何方向的方向導數均存在, 且方此例說明: 1. 方向導數存在時, 偏導數不一定存在. 2.可微是方向導數存在的充分條件, 而不是 必要條件P80-2,7. 例例并并求求在在求求設設

4、, grad , 5 2uzxyzu. )( ) 1, 1 , 0( 值值小小處處方方向向導導數數的的最最大大點點M,yzxu,xzyu,2zxyzu)2,0, 1(從而從而 5|grad|maxuluM5|grad|minuluM解解)1, 1 , 0()1, 1 , 0()2,(gradzxyxzyzu例例 5 5 求求函函數數 yxzyxu2332222 在在點點 )2 , 1 , 1 (處處的的梯梯度度，并并問問在在 哪哪些些點點處處梯梯度度為為零零？ 解解 由梯度計算公式得由梯度計算公式得kzujyuixuzyxgradu ),(,6)24()32(kzjyix 故故.1225)2

5、, 1 , 1(kjigradu 在在)0 ,21,23(0 P處處梯梯度度為為 0.備用題 1. 函數)ln(222zyxu在點)2,2, 1 (M處的梯度Mugrad)2, 2, 1 (,gradzuyuxuuM解解:,222zyxr令則xu21rx2注意 x , y , z 具有輪換對稱性)2, 2, 1 (2222,2,2rzryrx)2,2, 1 (92)2,2, 1 (92指向 B( 3, 2 , 2) 方向的方向導數是 .在點A( 1 , 0 , 1) 處沿點Axd d2. 函數函數)ln(22zyxu提示提示:31,32,32則cos,cos,cosAxu) 1ln( x1x,

6、21yd dAyu) 11ln(2y0y,0, ) 1 ,2,2(AB0ABl 2121Azucoscoscoszuyuxulu21sin) 1 , 1 (cos) 1 , 1 ()1 , 1(yxfflf,sin)2(cos)2()1 , 1()1 , 1( xyyx )sin,(cos的方向余弦為由題設知l 例例解解 sincos),4sin(2 故故（1）當當4 時時，方方向向導導數數達達到到最最大大值值2;（2）當）當45 時，時，方方向向導導數數達達到到最最小小值值2 ;（3）當當43 和和47 時時，方向導數等于方向導數等于 0.例3. 設設是曲面n在點 P(1, 1, 1 )處指

7、向外側的法向量,解解: 方向余弦為,142cos,143cos141cos而Pxu,148Pyu14PzuPnu同理得) 1,3,2(2632222zyx方向的方向導數.Pzyx)2,6,4(1467111143826141Pyxzx22866zyxu2286在點P 處沿求函數nn例例5. 設設 u = x y + e z , M0(1,-1,0), P(3,-3,1), 求求 (1)在在 M0 沿沿M0 P 的方向導數的方向導數; (2)在在 M0 沿曲線沿曲線x=t , y= t 2-2, z= t t 3的切線方向的方向導數的切線方向的方向導數(本節(jié)本節(jié)不講不講);(3)在在 M0 的最

8、大方向導數與梯度。的最大方向導數與梯度。解：解： (1) 3122 1222200)(,PMPM,cos,cos,cos3132321 1 1 also000MMMzuyuxu,.)(11313213210Mlu1 1 when 2ttxx,)(2 1, 2 , 1 3Stt切線的方向向量3 and 2 2 10SSM,)(321321311 Therefore0Msu3131)(3)在在 M0 的最大方向導數與梯度的最大方向導數與梯度:.,3 gard and gard 00MMukjiu1 1 1 000MMMzuyuxu,設點電荷 q 位于坐標原點, 在點),(zyxM,4rqv處的電位為其中,為介電系數