22橢圓的簡單幾何性質(zhì)

1、2.2.2橢圓的簡單幾何性質(zhì)課前預(yù)習(xí)學(xué)案一、預(yù)習(xí)目標(biāo)：預(yù)習(xí)橢圓的四個幾何性質(zhì)二、預(yù)習(xí)內(nèi)容：(i)范圍：，橢圓落在組成的矩形中.對稱性：圖象關(guān)于y軸對稱.圖象關(guān)于x軸對稱圖象關(guān)于原點對稱.原點叫橢圓的，簡稱-.x軸、y軸叫橢圓的對稱軸.從橢圓的方程中直接可以看出它的范圍，對稱的截距.(3)頂點：橢圓和對稱軸的交點叫做橢圓的頂點橢圓共有四個頂點：,加兩焦點共有六個特殊點.aa2叫橢圓的-,BiB2叫橢圓的-長分別為2a,2ba,b分別為橢圓的和-.橢圓的頂點即為橢圓與對稱軸的交點一(4)離心率：橢圓焦距與長軸長之比.eeJi(b)2.0e1aa橢圓形狀與e的關(guān)系：e0,c0,橢圓變-,直至成為極限

2、位置圓，此時也可認(rèn)為圓為橢圓在e。時的特例，e1,ca,橢圓變-,直至成為極限位置線段F1F2,此時也可認(rèn)為圓為橢圓在e1時的特例*三、提出疑惑：同學(xué)們，通過你的自主學(xué)習(xí)，你還有哪些疑惑，請把它填在下面的表格中疑惑點疑惑內(nèi)容課內(nèi)探究學(xué)案一、學(xué)習(xí)目標(biāo)：1掌握橢圓的范圍、對稱性、頂點、離心率、理解a,b,c,e的幾何意義。2初步利用橢圓的幾何性質(zhì)解決問題。學(xué)習(xí)重難點：橢圓的幾何性質(zhì)的探討以及a,b,c,e的關(guān)系22二、學(xué)習(xí)過程：探究一觀察橢圓與%1(ab0)的形狀，a2b2你能從圖形上看出它的范圍嗎？它具有怎樣的對稱性？橢圓上哪些點比較特殊？1、范圍：(1)從圖形上看，橢圓上點的橫坐標(biāo)的范圍是。橢

3、圓上點的縱坐標(biāo)的范圍是.022(2)由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與與1(ab0)知a2b22與1,即a2，匕1;即y22因此與馬1(ab0)位丁直線ab和圍成的矩形b里。2、對稱性(D從圖形上看，橢圓關(guān)丁對稱2'1(ab0)中b22(2)在橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程亳a把x換成-x方程不變，說明圖像關(guān)丁軸對稱把y換成-y方程不變，說明圖像關(guān)丁軸對稱把x換成-x，同時把y換成-y方程不變，說明圖形關(guān)丁對稱，因此是橢圓的對稱軸，是橢圓的對稱中心，橢圓的對稱中心叫做3、頂點(1)橢圓的頂點：橢圓與對稱軸有個交點，分別為：A(,)A2(,)B1(,)B2(,)(2)線段AA2叫做橢圓的其長度為線段B1B2叫做橢圓的其

4、長度為a和b分別叫做橢圓的和探究二圓的形狀都是相同的，而橢圓卻有些比較“扁”，有些比較接近丁圓，用什么樣的量來刻畫橢圓的“扁,平”程度呢？4、橢圓的離心率(1)定義：叫做橢圓的離心率,用表示,即(2)由丁a>c>0,所以離心率e的取值范圍是(3)若e越接近1,則c越接近a,從而b4C2越,因而橢圓越.若e越接近0,則c越接近0,從而bJa2c2越,因而橢圓越接近丁.三、反思總結(jié)：下面把焦點在x軸和在y軸上的兩種標(biāo)準(zhǔn)方程的幾何性質(zhì)作以比較：標(biāo)準(zhǔn)力程22xy%1,(ab0)ab22yx&-21，(ab0)ab圖形范圍對稱性頂點坐標(biāo)焦點坐標(biāo)軸長短軸長，長軸長.離心率四、當(dāng)堂檢測：

5、1 .對于橢圓9亍+勺'二星，下列說法正確的是().A.焦點坐標(biāo)是也*)rB.長軸長是5254/=±C.準(zhǔn)線方程是4d.離心率是5垂2 .離心率為2、且經(jīng)過點仁，°)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為().當(dāng)尹T普十己14或4D.答案：1D2D課后練習(xí)與提局2m2A.'3B.C.8D.-233222.橢圓二1的焦點坐標(biāo)是（）25169A.（土5,0）B.（0,±5）C.（0,±12）D.（土12,0）3.橢圓的中心在坐標(biāo)原點，焦點在坐標(biāo)軸上，兩頂點分別是（4,0,）,（0,2）方程是（）、，2.222A.匕1或4匕1B.41616422C.匕1D.164

6、+_14.已知戶是橢圓10036上一點，若22匕141622xy1坯斯117P到橢圓右準(zhǔn)線的距離是2,距離為F.5.若橢圓工+咐=】的離心率為2,則它的長半軸長是貝Um=x軸上的橢圓,則此橢圓的則P到左焦點的2x1.若焦點在y2皿*、11的離心率為一6.橢圓中心在原點，焦點在了軸上，離心率且OF_LOQ,求橢圓方程.732,它與直線CI交于戶，Q兩點,+y=ifd>0）#6.設(shè)橢圓方程為儀8，由程聯(lián)立消去，可得5/-躍+4-/=0瓦&十w/o,即心（fa化簡得a4r.由直線和橢圓方R毒乃）OP1QQ得以+10,由.韋達(dá)定A*Q理得55,解出2,故所求橢圓方程為252.2.2橢圓的

7、簡單幾何性質(zhì)【教學(xué)目標(biāo)】1. 掌握橢圓的范圍、對稱性、頂點、離心率、理解a,b,c,e的幾何意義。2. 初步利用橢圓的幾何性質(zhì)解決問題。教學(xué)重點：掌握橢圓的范圍、對稱性、頂點、離心率。教學(xué)難點：利用橢圓的幾何性質(zhì)解決問題?！窘虒W(xué)過程】預(yù)習(xí)檢查、總結(jié)疑惑：察看導(dǎo)學(xué)案做的情況情景導(dǎo)入、展示目標(biāo)：由于方程與函數(shù)都是描述圖形和圖像上的點所滿足的關(guān)系的，二者之間存在著必然的聯(lián)系，因此我們可以用類比研究函數(shù)圖像的方法，根據(jù)橢圓的定義，圖形和方程來研究橢圓的幾何性質(zhì).中：代數(shù)中研究函數(shù)圖象時都需要研究函數(shù)的哪些性質(zhì)？生：需要研究函數(shù)的定義域、值域、奇偶性、單調(diào)性等性質(zhì).帥：由丁方程f(x,y)=0與函數(shù)y=

8、f(x)都是描述圖形和圖象上的點所滿足的關(guān)系的，二者之間存在著必然的聯(lián)系(當(dāng)然也有區(qū)別，例如：在函數(shù)中，對每一個自變量x都有唯一的函數(shù)值y與之對應(yīng)，而方程中x、y的關(guān)系則較為復(fù)雜.),因此我們可以用類比研究函數(shù)圖象的方法，根據(jù)橢圓的定義、圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程來研究橢圓的幾何性質(zhì).帥：好，現(xiàn)在我們有3個工具，即：橢圓的兩個定義、圖形及其標(biāo)準(zhǔn)方程，下面我們就分別從研究定義、圖形和方程出發(fā)看看能獲得哪些性質(zhì).22合作探究、精講點撥。探究一觀察橢圓二七1(ab0)的形狀，ab你能從圖形上看出它的范圍嗎？它具有怎樣的對稱性？橢圓上哪些點比較特殊？1、范圍：(1) 從圖形上看，橢圓上點的橫坐標(biāo)的范圍是。橢圓上點

9、的縱坐標(biāo)的范圍是.(2)由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程2x2a2烏1(ab2b0)知2x2-a221,即_x_2，：2b_1；即_一y一因此xy22ab1(ab0)位丁直線_r和_圍成的矩形里。2、對稱性從圖形上看，橢圓關(guān)于,對稱22(1) 在橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與與1(ab0)中ab把x換成-x方程不變，說明圖像關(guān)丁軸對稱把y換成-y方程不變，說明圖像關(guān)丁軸對稱把x換成-x,同時把y換成-y方程不變，說明圖形關(guān)丁對稱，因此是橢圓的對稱軸，是橢圓的對稱中心，橢圓的對稱中心叫做3、頂點橢圓的頂點：橢圓與對稱軸有個交點，分別為：A(,)A2(,)Bi(,)B2(,)線段AiA2叫做橢圓的，其長度為線段BiB2叫做橢圓

10、的，其長度為a和b分別叫做橢圓的和探究二圓的形狀都是相同的，而橢圓卻有些比較“扁”，有些比較接近丁圓，用什么樣的量來刻畫橢圓的“扁平”程度呢？4、橢圓的離心率(1) 定義：叫做橢圓的離心率,用表示，即(2) 由丁a>c>0,所以離心率e的取值范圍是若e越接近1,則c越接近a,從而b后C2越,因而橢圓越若e越接近0,則c越接近0,從而bC2越,因而橢圓越接近丁.例1求橢圓16x2+25y2=400的長軸、短軸的長，焦點、頂點坐標(biāo)和離心率，并用描點法畫出圖形.分析首先應(yīng)將方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，計算出a,b,c,再根據(jù)其幾何性質(zhì)解出即可.(教師可指定一名學(xué)生板書.)解原方程化為；+=1這里丑

11、=5b=4,由/=/一任解得ZJ1.0c=3，因此長軸、短軸的長分別為：2a=10,2b=8,焦點為：Fi(-3,0),F2(3,0).頂點A(-5,0),A(5,0),B(0,-4),B2(0,4).離心率是0.6點評：畫圖時應(yīng)先畫矩形，在第一象限內(nèi)描出一些點并連成光滑的線，再根據(jù)橢圓的對稱性畫出整個橢圓，如圖2-34.Bi-0E£-34變式訓(xùn)練1:橢圓的對稱軸是坐標(biāo)軸，有兩個頂點是(5,0)和(0,7),則該橢圓的方程是A.C.22x2y2+49254925=122x2y2B.+4924221或匕+=1492449+六2522D匕+j4925答案D例2我國發(fā)射的第一顆人造地球衛(wèi)星

12、的運行軌道是以地球中心為一個焦點的橢圓，近地點A距地面439千米，遠(yuǎn)地點B距地面2384千米，地球半徑6371千米，求衛(wèi)星的軌道方程(如圖2-35).圖2-35分析：結(jié)合圖2-35可知近地點、遠(yuǎn)地點實際上是橢圓長軸上的兩個頂點.解選取坐標(biāo)系如圖2-35,則a-c=OA-OF=F2A=6371+439=6810a+c=OB-O2=F2B=6371+2384=8755所以a=7782.5,c=972.5,b=7721.5.衛(wèi)星的軌道近似方程為Xr十二=i-778377223點評：本題是一個實際應(yīng)用問題，分析出近地點、遠(yuǎn)地點實際上是橢圓長軸上的兩個頂點后轉(zhuǎn)化成橢圓問題就好解決了。變式訓(xùn)練2:中心在原點，對稱軸在坐標(biāo)軸，長軸是短軸的5倍，且過點P(7,2)的橢圓方程是答案：工類亡1或竺I上114914912291229反思總結(jié)，當(dāng)堂檢測。愉圓烏十賓1(ab0)內(nèi)切于矩形，且它是以盜敞軸為對稱ab軸的軸對稱圖形，乂是以原點為對稱中心的中心對稱圖形.因此，畫它的圖形時，只要畫出第一象限的部分，其余可由對稱性得出.(2) 在討論橢圓性質(zhì)時，應(yīng)首先根據(jù)方程判斷此長軸的位置(即焦點在x軸上，還是在y軸上)，然后再討論其他性質(zhì)；(