第2講向量積課件

1、例例 根據(jù)定義計(jì)算行列式的值根據(jù)定義計(jì)算行列式的值6 ( 3)2 ( 5) 6253cossinsincos22cos( sin) 主對(duì)角線元素之積減去副對(duì)角線元素之積主對(duì)角線元素之積減去副對(duì)角線元素之積對(duì)角線法則對(duì)角線法則8 1三三 階行列式階行列式111213212223313233aaaaaaaaa112233a a a對(duì)角線法則對(duì)角線法則11a12a13a21a22a23a31a32a33a122331a a a132132a a a132231a a a122133a a a112332a a a例例 根據(jù)定義計(jì)算行列式的值根據(jù)定義計(jì)算行列式的值5143212025 2 2 對(duì)角線法

2、則1 ( 1)( 2) 324 3 0 4 2 ( 2) 1 3 2 5 ( 1) 0 111213212223313233aaaaaaaaa112233122331132132132231122133112332a a aa a aa a aa a aa a aa a a112233233212213323311321322231()()()aa aa aaa aa aaa aa a222321232122111213323331333132aaaaaaaaaaaaaaa111213212223313233aaaaaaaaa111112121313a Aa Aa A1 212( 1)M212

3、33133aaaa12M12A元素元素 的的余子式余子式12a元素元素 的的代數(shù)余子式代數(shù)余子式12a余子式元素元素 的余子式的余子式 就是在行列式中劃掉元素就是在行列式中劃掉元素 所在的行和列，余下的元素按原來的相對(duì)位置而構(gòu)所在的行和列，余下的元素按原來的相對(duì)位置而構(gòu)成的行列式成的行列式ijaijaijM代數(shù)余子式ijA( 1)ijijijAM 三階行列式的值等于它的第一行的所有元素與各三階行列式的值等于它的第一行的所有元素與各自的代數(shù)余子式的乘積之和自的代數(shù)余子式的乘積之和n 階行列式的定義階行列式的定義212211221112nnnnnnaaaaaaaaa1112111121nnAAaa

4、Aa111njjja A按第一行展開按第一行展開1030201030010102例例 根據(jù)定義計(jì)算行列式的值根據(jù)定義計(jì)算行列式的值1 10101 ( 1)001102 1 3 2 5 1 32003 ( 1)301012 性質(zhì)性質(zhì)1：將行列式的行、列互換，行列式的值不變即：,DD = DT行列式 DT 稱為行列式 D 的轉(zhuǎn)置行列式。行列式的性質(zhì)行列式的性質(zhì)則naaa11211naaa22221nnnnaaa21naaa11211TDnaaa22221nnnnaaa21性質(zhì)性質(zhì)2 互換行列式的兩行(列)，行列式僅改變符號(hào),2111211nnnnnaaaaaaMqnqqaaa21pnppaaa21

5、則 D=M,2111211nnnnnaaaaaaDqnqqaaa21pnppaaa21推論推論1：若行列式中有兩行(列)對(duì)應(yīng)元素相同，則行列式為零。性質(zhì)性質(zhì)3 若行列式某一行(列)的所有元素都乘以數(shù) k，等于該行列式乘以數(shù) k，即：kDnnnniniinaaaaaaaaa212111211 knnnnnaaaaaa2111211iniikakaka211D推論推論2：若行列式中的某行(列)全為零，則行列式為零。推論推論3：若行列式中有兩行(列)的對(duì)應(yīng)元素成比例，則該行列式為零。2 2向量的數(shù)量積、向量積及混合積向量的數(shù)量積、向量積及混合積一、一、 向量的數(shù)量積向量的數(shù)量積定義定義:，它們的夾角

6、為、設(shè)有兩個(gè)向量 ba的數(shù)量積與為稱數(shù)值babacos|。，記作內(nèi)積或點(diǎn)積ba)(cos| baba即當(dāng) b 0時(shí), | a |cos = Prjba于是于是注注2:例如例如:i i = j j = k k = 1a b = |a| |b| cos= |a| |b| cos注注1: 當(dāng) a 0時(shí), | b | cos = Prjaba b = |a| Prjab = |b| Prjbaa a = | a |2數(shù)量積的物理意義數(shù)量積的物理意義例如例如: 設(shè)力F 作用于某物體上, 物體有一段位移S , 求功的表示式.由物理知, 與位移平行的分力作功, sF且20當(dāng)時(shí)，做正功；2當(dāng)時(shí)，做負(fù)功；2當(dāng)時(shí)

7、，不做功。與位移垂直的分力不作功. 于是解解:SFSFWcos|cos|(1) 交換律 a b = b a (2) 分配律 (a + b) c = a c + b c(3) 數(shù)量積滿足如下結(jié)合律: ( a) b = a ( b) = (a b), 為實(shí)數(shù)2. 數(shù)量積的性質(zhì)數(shù)量積的性質(zhì)a = 0(4) a a 0 ，且a a = 0 a b = |a| |b| cos證證: :.2則02cos|baba充分性:由a 0, b 0, cos =0 ,2即a b例如例如: i、j、k 互相垂直, 所以i j = j k = i k = 0(5) 兩個(gè)非零向量a , b 垂直必要性:設(shè)a b,得:a

8、b = 00cos|baba設(shè)如圖, 利用數(shù)量積證明三角形的余弦定理| c |2 = | a |2 + | b |2 2 | a | | b |cos證證:| c |2 = | a b |2 = (a b) (a b)= a a + b b 2 a b= | a |2 + | b |2 2 | a | | b |cos| c |2 = | a |2 + | b |2 2 | a | | b |cos故故:abc例例1. 由于c = a b , 于是= a (a b)b (a b)3. 數(shù)量積的坐標(biāo)表示式數(shù)量積的坐標(biāo)表示式設(shè) a =(ax, ay , az), b = (bx , by , bz

9、), 則a b = (ax i + ay j + az k ) (bx i + by j + bz k )= ax i (bx i + by j + bz k ) + ay j (bx i + by j + bz k ) + az k (bx i + by j + bz k )= ax bx i i + ax by i j + ax bz i k + ay bx j i +ay by j j + ay bz j k + az bx k i + az by k j + azbz k k = ax bx + ay by + az bz得公式:a b = ax bx + ay by + az bz(

10、1)推論推論: 兩個(gè)非零向量a =(ax, ay , az), b = (bx , by , bz)垂直ax bx + ay by + az bz = 04. 數(shù)量積在幾何中的應(yīng)用數(shù)量積在幾何中的應(yīng)用設(shè) a =(ax, ay , az), b = (bx , by , bz), (1) 求 a 在 b 上的投影.Prjba = | a | ba,cos222jPrzyxzzyyxxbbbbababa|b|baab(2)已知已知:由 |a | |b | = a b , 得ba,cos(2) 求兩向量 a, b 的夾角由 | a | | b |cos = a b, 知 (3)222222zyxzy

11、xzzyyxxbbbaaabababacos|ba|ba|已知三點(diǎn) M (1, 1, 1), A(2, 2, 1)和B(2, 1, 2), 求AMB.AMB即為向量MA與MB的夾角. 由MA= (1, 1, 0), MB = (1, 0, 1)得得: cosAMB=|MBMAMBMA21101011100111222222所以所以3AMB例例2解解:證明平行四邊形對(duì)角線的平方和等于它各邊的平方和。例例abDABCmn abc = a b(1) | c | = | a | | b | sin(2) c 與a、b所在的平面垂直, (即 c a且c b). c 的指向按右手規(guī)則從 a 轉(zhuǎn)向 b 來確

12、定.則將向量c 稱為 a 與 b 的向量積, 記作: a b.即: c = a b注注: 向量積的模的幾何意義.以a、b為鄰邊的平行四邊形, 其面積等于| a | | b |sin, 所以a b的模, 等于以a、b為鄰邊的平行四邊形的面積.1. 定義定義1:設(shè)有兩個(gè)向量 a、b, 夾角為, 作一個(gè)向量c, 使得二、兩向量的向量積二、兩向量的向量積由力學(xué)規(guī)定: 力F 對(duì)支點(diǎn)O的力矩是一個(gè)向量M .其中其中: FOQPL(2) M的方向: 垂直于OP與F 所在的平面, 指向滿足右手規(guī)則. 即:右手四指從OP以不超過的角轉(zhuǎn)向F 握拳, 大拇指的指向就是M 的方向.設(shè)O為一根杠桿L的支點(diǎn), 有一個(gè)力F

13、 作用于這杠桿上P點(diǎn)處, F 與OP的夾角為 , 考慮 F 對(duì)支點(diǎn) O 的力矩.例如例如:向量積的物理意義向量積的物理意義(1) |M| = |OQ| |F | = |OP| sin |F | = |OP| |F | sin向量積的性質(zhì)向量積的性質(zhì)(1) a a = 0 (2) 反交換律 a b = b a (3) 分配律 a (b + c) = a b + a c (4) 向量積與數(shù)乘滿足結(jié)合律: (b + c) a = b a + c a ( a) b = a ( b) = (a b ), 為實(shí)數(shù)| c | = | a | | b | sin必要性: 設(shè)a 、b 平行, 則 = 0或 =

14、. 于是| a b | = | a | | b |sin = 0所以所以 a b = 0 充分性: 設(shè) a b = 0 則則 | a b | = | a | | b |sin = 0由 | a | 0, | b | 0, 得 = 0或 = . 所以 a 與 b 平行證證:(5) 兩個(gè)非零向量 a 、b 平行 a b = 0 例如例如: i i = j j = k k = 0 i j = k j i = k k j = i i k = jkjixyzk i = jj k = i2、向量積的坐標(biāo)表示式、向量積的坐標(biāo)表示式設(shè) a =(ax, ay , az) b = (bx , by , bz) 則

15、a b = (ax i + ay j + az k ) (bx i + by j + bz k )= ax i (bx i + by j + bz k ) + ay j (bx i + by j + bz k )= ax bx (i i) + ax by ( i j ) + ax bz( i k )= ax by k + ax bz( j ) + ay bx(k) + ay bz i= ( ay bz az by) i+( az bx ax bz) j+ ( ax by ay bx) k + ay bx (j i) + ay by ( j j ) + ay bz (j k )+ az bx (

16、k i) + az by ( k j ) + azbz( k k )+ az k (bx i + by j + bz k )+ az bx j + az by( i )得公式:a b = ( aybz azby) i+( azbx axbz) j+ ( axby ay bx) kzyxzyxbbbaaakji求垂直于向量 a = (2, 2, 1)和b = (4, 5, 3)的向量c.a b 同時(shí)垂直于a、b354122kjiba= 6i + 4j + 10k 8k 6j 5i= i 2j + 2k取 c = a b = (1, 2 , 2).顯然, 對(duì)于任意 0R, c = (,2, 2)

17、也與a、b垂直.例例3:解解:而已知ABC的頂點(diǎn)分別是A(1, 2, 3), B(3, 4, 5), C(2, 4, 7), 求ABC的面積.xyzABCo由向量積的定義.|21ACABSABC而AB = (2, 2, 2)AC = (1, 2, 4)所以421222kjiACAB= 4i 6j + 2k于是|21ACABSABC142)6(421222例例4:解解:三、向量的混和積三、向量的混和積1.定義定義2 稱 與 的向量積 再與向量 的數(shù)量積為向量 , , ( ) 即的混合積，記作 設(shè)有三個(gè)向量 , , ,則有設(shè)向量 = (ax , ay , az), = (cx , cy , cz)

18、, = (bx , by , bz),2.混合積的坐標(biāo)表示式混合積的坐標(biāo)表示式zyzybbaazxzxbbaayxyxbbaaijk , )(zyzybbaazxzxbbaayxyxbbaacxcycz, zyxzyxbbbaaaijk )(.zyxzyxzyxcccbbbaaa混合積性質(zhì)：混合積性質(zhì)：(1) = = = = = 事實(shí)上，若 , , 在同一個(gè)平面上，則 垂直于它們所在的平面，故 垂直于 , 即( ) = 0(2) , , 共面 = 0 向量的混合積的幾何意義abcbacprjba , , cba設(shè)非零向量 , 則如圖所示 | )(。cprjbacbaba , 為鄰邊的以ba 平行四邊形的面積 , , 為鄰邊的以cba 平行六面體的高 , , )( ,體積。為鄰邊的平行六面體的表示以此時(shí)cbacba , )( , , 則時(shí)如圖所示構(gòu)成左手系設(shè)非零向量cba 0。cprjba | | | |)( |cprjbacbaba , , 為鄰邊的平行表示以cba ,此時(shí) 六面體的體積。 , , ,的混合積的絕對(duì)值等于非零向量綜上所述cba , , 體積。為鄰邊的平行六面體的以cbaabcbacprjba例例5:已知空間內(nèi)不在一個(gè)平面上的四點(diǎn) A (x 1 , y 1 , z 1), B ( x 2 , y