第3章量綱分析課件

1、量綱齊次原則量綱齊次原則等式兩端每一項的量綱必須一致等式兩端每一項的量綱必須一致量綱分析量綱分析利用量綱齊次原則尋求物理量之間的關利用量綱齊次原則尋求物理量之間的關系系例：單擺運動例：單擺運動)1 (321glmt 321glmt lmgm求擺動周期求擺動周期 t 的表達式的表達式設物理量設物理量 t, m, l, g 之間有關系式之間有關系式 1, 2, 3 為待定系數(shù)，為待定系數(shù)， 為無量綱量為無量綱量 2/ 12/ 10321glt(1)的量綱表達式的量綱表達式glt2對比對比33212TLMT12003321對對 x,y,z的兩組測量值的兩組測量值x1,y1,z1 和和x2,y2,z2

2、， p1 = f( x1,y1,z1), p2 = f( x2, y2,z2 )2121pppp為什么假設這種形式為什么假設這種形式321glmt 設設p= f(x,y,z),(),(),(),(222111222111czbyaxfczbyaxfzyxfzyxfx,y,z的量綱單的量綱單位縮小位縮小a,b,c倍倍zyxzyxf),(p= f(x,y,z)的形式為的形式為),(),(22221111czbyaxfpczbyaxfp0002010010101004321)()()()(TMLTMLTMLTMLTMLyyyy000241243TMLTMLyyyyy201001010100TMLgT

3、MLlTMLmTMLt單擺運動中單擺運動中 t, m, l, g 的一般表達式的一般表達式0),(glmtf020041243yyyyyglt12)/(gltTTyyyyy) 1, 1, 0, 2(),(4321基本解4321yyyyglmty1y4 為待定常數(shù)為待定常數(shù), 為無量綱量為無量綱量0)(F設設 f(q1, q2, , qm) = 0 mjXqniaijij, 2 , 1,1ys = (ys1, ys2, ,ysm)T , s = 1,2, m-rF( 1, 2, m-r ) = 0 與與 f (q1, q2, , qm) =0 等價等價, F未定未定Pi定理定理 (Bucking

4、ham)是與量綱單位無關的物理定律，是與量綱單位無關的物理定律，X1,X2, , Xn 是基本量是基本量綱綱, n m, q1, q2, , qm 的量綱可表為的量綱可表為,mnijaA量綱矩陣量綱矩陣記作記作rA rank若線性齊次方程組線性齊次方程組0Ay有有 m-r 個基本解，記作個基本解，記作mjyjssjq1為為m-r 個相互獨立的無量綱量個相互獨立的無量綱量, 且且則則量綱分析法的評注量綱分析法的評注 物理量的選取物理量的選取 基本量綱的選取基本量綱的選取 基本解的構造基本解的構造 結果的局限性結果的局限性 () = 0中包括哪些物理量是至關重要的中包括哪些物理量是至關重要的基本量

5、綱個數(shù)基本量綱個數(shù)n; 選哪些基本量綱選哪些基本量綱有目的地構造有目的地構造 Ay=0 的基本解的基本解 方法的普適性方法的普適性函數(shù)函數(shù)F和無量綱量未定和無量綱量未定不需要特定的專業(yè)知識不需要特定的專業(yè)知識1 1311 10 0111001 0222LAMTl vpg l = L, v =LT-1, = L-3M, p = L-1MT-2, = L-1MT-2, g = LT-2量綱分析示例：量綱分析示例：管道內不可壓縮粘性流體的壓強差管道內不可壓縮粘性流體的壓強差管道兩端管道兩端壓強差壓強差 pmjXqniaijij, 2 , 1,1管道長管道長l, 流速流速v, 粘性系數(shù)粘性系數(shù) ,密度

6、密度 重力加速度重力加速度g。mnijaAm=6, n=30( , , )l vpg 0),(21mqqqf選取物理量選取物理量123011212110100010001,yyyy211121213vplvl v g Ay=0 有有m-r=3個基本解個基本解rank A = 3rank A = rAy=0 有有m-r個基本解個基本解ys = (ys1, ys2, ,ysm)T s = 1,2, m-rmjyjssjq1m-r 個無量綱量個無量綱量 F( 1, 2 , 3 ) = 0與與 (l,v, ,p, ,g) = 0 等價等價為得到差為得到差 p 的顯式表達式的顯式表達式F=0123(,)

7、 未定未定mjyjssjq1F( 1, 2, m-r ) = 0 與與 f (q1, q2, , qm) =0 等價等價222323(,)(,),pvv 211121213vplvl v g 23Reynold numberFroude ne;umb rRe:lvvFrgl )()()()()()()(201002)(100100)(121311fsvlgTMLAg = LT-2, l = L, = L-3M, v = LT-1, s = L2, f = LMT-2 量綱分析示例：量綱分析示例：波浪對航船的阻力波浪對航船的阻力航船阻力航船阻力 fmjXqniaijij, 2 , 1,1航船速度

8、航船速度v, 船體尺寸船體尺寸l, 浸沒面積浸沒面積 s, 海水密度海水密度 , 重力加速度重力加速度g。mnijaAm=6, n=30),(fsvlg0),(21mqqqfTTTyyy) 1, 0, 0()0, 1, 0()0, 0, 1(321flgslvl 1, 3, 1, 0, 2, 0, 0 , 2/ 1, 2/ 1Ay=0 有有m-r=3個基本解個基本解rank A = 3rank A = rAy=0 有有m-r個基本解個基本解ys = (ys1, ys2, ,ysm)T s = 1,2, m-rmjyjssjq1m-r 個無量綱量個無量綱量0),(21m

9、qqqf0),(fsvlg F( 1, 2 , 3 ) = 0與與 (g,l, ,v,s,f) = 0 等價等價flgslvl得到阻力為得到阻力 f 的顯式的顯式表達式表達式F=0),(213 未定未定mjyjssjq1F( 1, 2, m-r ) = 0 與與 f (q1, q2, , qm) =0 等價等價221213,),(lsglvglf3.2 量綱分析在物理模擬中的應用量綱分析在物理模擬中的應用 例例: 航船阻力的物理模擬航船阻力的物理模擬通過航船模型確定原型船所受阻力通過航船模型確定原型船所受阻力gvlsf, 模型船的參數(shù)模型船的參數(shù)(均已知均已知)211

10、211112111311,),(lslgvglf可得原可得原型船所型船所受阻力受阻力已知模已知模型船所型船所受阻力受阻力221213,),(lsglvglf111111,gvlsf 原型船的參數(shù)原型船的參數(shù)(f1未知，其他已知未知，其他已知)注意：二者的注意：二者的 相同相同2211,31311llff311flfl)(1 結論：結論：按一定尺寸比例造模型船，量測按一定尺寸比例造模型船，量測 f， 可算出可算出 f1 物理模擬物理模擬221213,),(lsglvglf211211112111311,),(lslgvglf3.3 無量綱化方法無量綱化方法無量綱化方法是用數(shù)學工具研究物理問題的常用方法，通過選擇恰當?shù)淖儞Q可將按量綱齊次原則構成的方程簡化為一個與其等價但比它簡單的方程。利用無量綱化方法也可以使某些數(shù)學問題簡單。ckxbaxA3/1)(例：簡化非線性參數(shù)方程例：簡化非線性參數(shù)方程ckbaA,5個參數(shù)323A aadvvkk 3kbkaauA