三角形的內(nèi)角和與外角和關(guān)系(基礎(chǔ))知識(shí)講解

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上三角形的內(nèi)角和與外角和關(guān)系（基礎(chǔ)）知識(shí)講解【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1理解三角形內(nèi)角和定理的證明方法；2掌握三角形內(nèi)角和定理及三角形的外角性質(zhì)；3能夠運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理及三角形的外角性質(zhì)進(jìn)行相關(guān)的計(jì)算，證明問題.【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、三角形的內(nèi)角和1.三角形內(nèi)角和定理：三角形的內(nèi)角和為180°2.結(jié)論：直角三角形的兩個(gè)銳角互余.要點(diǎn)詮釋：應(yīng)用三角形內(nèi)角和定理可以解決以下三類問題：在三角形中已知任意兩個(gè)角的度數(shù)可以求出第三個(gè)角的度數(shù)；已知三角形三個(gè)內(nèi)角的關(guān)系，可以求出其內(nèi)角的度數(shù)；求一個(gè)三角形中各角之間的關(guān)系要點(diǎn)二、三角形的外角1定義：三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角叫

2、做三角形的外角如圖，ACD是ABC的一個(gè)外角.要點(diǎn)詮釋：（1）外角的特征：頂點(diǎn)在三角形的一個(gè)頂點(diǎn)上； 一條邊是三角形的一邊；另一條邊是三角形某條邊的延長線 （2）三角形每個(gè)頂點(diǎn)處有兩個(gè)外角，它們是對(duì)頂角所以三角形共有六個(gè)外角，通常每個(gè)頂點(diǎn)處取一個(gè)外角，因此，我們常說三角形有三個(gè)外角2性質(zhì)：（1）三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和 （2）三角形的一個(gè)外角大于任意一個(gè)與它不相鄰的內(nèi)角要點(diǎn)詮釋：三角形內(nèi)角和定理和三角形外角的性質(zhì)是求角度及與角有關(guān)的推理、證明經(jīng)常使用的理論依據(jù)另外，在證明角的不等關(guān)系時(shí)也常想到外角的性質(zhì)3.三角形的外角和： 三角形的外角和等于360°.要點(diǎn)詮釋：因

3、為三角形的每個(gè)外角與它相鄰的內(nèi)角是鄰補(bǔ)角，由三角形的內(nèi)角和是180°，可推出三角形的三個(gè)外角和是360°【典型例題】類型一、三角形的內(nèi)角和1證明：三角形的內(nèi)角和為180°.【答案與解析】解：已知：如圖，已知ABC，求證：A+B+C180°.證法1：如圖1所示，延長BC到E，作CDAB ABCD（已作）， 1=A（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），B=2（兩直線平行，同位角相等） 又ACB+1+2=180°（平角定義）， ACB+A+B=180°（等量代換）證法2：如圖2所示，在BC邊上任取一點(diǎn)D，作DEAB，交AC于E，DFAC，交AB于點(diǎn)F

4、DFAC（已作），1=C（兩直線平行，同位角相等），2=DEC（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）DEAB（已作）3=B，DEC=A（兩直線平行，同位角相等）A=2（等量代換）又1+2+3=180°（平角定義），A+B+C=180°（等量代換）證法3：如圖3所示，過A點(diǎn)任作直線，過B點(diǎn)作，過C點(diǎn)作， （已作） l=2（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等） 同理3=4又（已作），5+1+6+4=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)） 5+2+6+3=180°（等量代換） 又2+3=ACB， BAC+ABC+ACB=180°（等量代換）【總結(jié)升華】三角形內(nèi)角和定理的證明方

5、法有很多種，無論哪種證明方法，都是應(yīng)用的平行線的性質(zhì).2.在ABC中，已知A+B80°，C2B，試求A，B和C的度數(shù)【思路點(diǎn)撥】題中給出兩個(gè)條件：A+B80°，C2B，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于180°，即A+B+C180°就可以求出A，B和C的度數(shù)【答案與解析】解：由A+B80°及A+B+C180°， 知C100° 又 C2B， B50° A80°-B80°-50°30°【總結(jié)升華】解答本題的關(guān)鍵是利用隱含條件A+B+C180°本題可以設(shè)Bx，則A80°-

6、x，C2x建立方程求解【高清課堂：與三角形有關(guān)的角 例1、】舉一反三：【變式】已知，如圖 ，在ABC中，C=ABC=2A，BD是AC邊上的高，求DBC的度數(shù).【答案】解：已知ABC中，C=ABC=2A設(shè)A=x則C=ABC=2xx+2x+2x=180°解得：x=36°C=2x=72°在BDC中， BD是AC邊上的高，BDC=90°DBC=180°90°-72°=18°類型二、三角形的外角【高清課堂：與三角形有關(guān)的角 例2、】3.（1）如圖，AB和CD交于點(diǎn)O，求證：ACBD （2）如圖，求證：D=AB +C【答案與解

7、析】解：（1）如圖，在AOC中，COB是一個(gè)外角，由外角的性質(zhì)可得：COBAC，同理，在BOD中，COBBD，所以ACBD（2）如圖，延長線段BD交線段與點(diǎn)E，在ABE中，BECAB ；在DCE中，BDCBECC ，將代入得，BDCABC，即得證【總結(jié)升華】重要結(jié)論：（1）“8”字形圖：ACBD；（2）“燕尾形圖”：D=AB +C舉一反三：【變式1】如圖，ABCD，AD和BC相交于點(diǎn)O，A40°，AOB75°，則C等于（） A、40° B、65° C、75°D、115°【答案】B【變式2】如圖，在ABC中，A70°，BO，C

8、O分別平分ABC和ACB，則BOC的度數(shù)為 .【答案】125°類型三、三角形的內(nèi)角、外角綜合4.如圖所示，已知DE分別交ABC的邊AB、AC于D、E，交BC的延長線于F，B67°，ACB74°，AED48°，求BDF的度數(shù)【思路點(diǎn)撥】要求BDF的度數(shù)，應(yīng)從三角形內(nèi)角和與三角形的外角出發(fā)，若將BDF看成BDF的內(nèi)角，只需求F的度數(shù)即可【答案與解析】 解： CEFAED48°，BCACEF+F， FBCA-CEF74°-48°26°， BDF180°-B-F180°-67°-26°87°【總結(jié)升華】三角形內(nèi)角和與外角是進(jìn)行與角有關(guān)的計(jì)算或證明的重要工具，本題也可將BDF看成ADE的外角來求解舉一反三：【變式】如圖所示，已知ABC中，P為內(nèi)角平分線AD、BE、CF的交點(diǎn)，過點(diǎn)P作PGBC于G，試說明BPD與CPG的大小關(guān)系并說明理由【答案】 解：BPDCPG；理由如下