一維隨機變量函數(shù)的概率分布

1、 設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量X 的分布已知，的分布已知，Y=g (X) (設(shè)設(shè)g是連續(xù)函數(shù)），如何由是連續(xù)函數(shù)），如何由 X 的分布求的分布求出出 Y 的分布？的分布？下面進行討論下面進行討論. 一般來說，隨機變量一般來說，隨機變量X 的函數(shù)的函數(shù)Y=g (X)仍是一個隨機變量。仍是一個隨機變量。一、離散型隨機變量一、離散型隨機變量函數(shù)的分布函數(shù)的分布解：解： 當(dāng)當(dāng) X 取值取值 1，2，5 時，時， Y 取對應(yīng)值取對應(yīng)值 5，7，13，例例1設(shè)設(shè)X3 . 055 . 02 . 021求求 Y= 2X + 3 的概率函數(shù)的概率函數(shù).3013502075.Y而且而且X取某值與取某值與Y取其對應(yīng)值是兩個

2、同時發(fā)生取其對應(yīng)值是兩個同時發(fā)生的事件的事件，兩者具有相同的概率，兩者具有相同的概率.故故如果如果g(xk)中有一些是相同的，把它們作適當(dāng)中有一些是相同的，把它們作適當(dāng)并項即可并項即可.一般，若一般，若X是離散型是離散型 r.v ，X的概率函數(shù)為的概率函數(shù)為Xnnpppxxx2121則則 Y=g(X) nnpppxgxgxg2121)()()(如：如： X1 . 016 . 03 . 001則則 Y=X2 的概率函數(shù)為：的概率函數(shù)為：406010.Y 二、連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布二、連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布解：設(shè)解：設(shè)Y的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為 FY(y)，例例2設(shè)設(shè) X 其它, 040, 8

3、/)(xxxfX求求 Y=2X+8 的概率密度的概率密度.FY(y)=P Y y = P (2X+8 y )=P X = FX( )28y28y于是于是Y 的密度函數(shù)的密度函數(shù)21)28()()(yfdyydFyfXYY0 )28( yfX168)28( yyfX故故其它, 0168,328)(yyyfY21)28()()(yfdyydFyfXYY注意到注意到 0 x 4 時，時， 0)( xfX即即 8 y 0 時時,)()(yYPyFY)(2yXP 注意到注意到 Y=X2 0，故當(dāng)，故當(dāng) y 0時，時，0)(yFY)(xFX)(yFY解：解： 設(shè)設(shè)Y和和X的分布函數(shù)分別為的分布函數(shù)分別為

4、和和 ，)()(yFyFXX若若exxfX2221 )(則則 Y=X2 的概率密度為：的概率密度為：0, 00,21)(221yyyfeyyY0, 00, )()(21)()(yyyfyfydyydFyfXXYYx 從上述兩例中可以看到，在求從上述兩例中可以看到，在求P(Yy) 的過的過程中，關(guān)鍵的一步是設(shè)法程中，關(guān)鍵的一步是設(shè)法從從 g(X) y 中解出中解出X,從而得到與從而得到與 g(X) y 等價的等價的X的不等式的不等式 .例如，用例如，用 代替代替 2X+8 y X 28y用用 代替代替 X2 y yXy 這樣做是為了利用已知的這樣做是為了利用已知的 X的分布，從的分布，從而求出相

5、應(yīng)的概率而求出相應(yīng)的概率.這是求這是求r.v的函數(shù)的分布的一種常用方法的函數(shù)的分布的一種常用方法.例例4 設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量X的概率密度為的概率密度為其它002)(2xxxf求求Y=sinX的概率密度的概率密度., 0)(yFY當(dāng)當(dāng) y 0時時, 當(dāng)當(dāng) y 1時時, 1)(yFY10 y x0當(dāng)當(dāng)時時故故解：注意到解：注意到,)()(yYPyFY)(sinyXP =P(0 X arcsiny)+P( - arcsiny X ） ydxxarcsin022ydxxarcsin22解：當(dāng)解：當(dāng)0y1時時, 例例4 設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量X的概率密度為的概率密度為其它002)(2xxxf求求Y=si

6、nX的概率密度的概率密度.當(dāng)當(dāng)0y1時時,)()(yYPyFY)(sinyXPydxxarcsin022ydxxarcsin22解：解： 2)arcsin(y2)arcsin(1y =P(0 X arcsiny)+P( - arcsiny X ） dyydFyfYY)()(而而dyydFyfYY)()(求導(dǎo)得求導(dǎo)得:其它, 010,12)(2yyyfY 下面給出一個定理，在滿下面給出一個定理，在滿足定理條件時可直接用它求出足定理條件時可直接用它求出隨機變量函數(shù)的概率密度隨機變量函數(shù)的概率密度 .其它, 0,)()()( ydyydhyhfyfY其中，其中，),(minxgbxa),(maxxg

7、bxa此定理的證明與前面的解題思路類似此定理的證明與前面的解題思路類似.x=h(y)是是y=g(x)的反函數(shù)的反函數(shù)定理定理 設(shè)設(shè) X是一個取值于區(qū)間是一個取值于區(qū)間a,b，具有概率，具有概率密度密度 f(x)的連續(xù)型的連續(xù)型r.v,又設(shè)又設(shè)y=g(x)處處可導(dǎo)，且處處可導(dǎo)，且對于任意對于任意x, 恒有恒有 或恒有或恒有 ，則，則Y=g(X)是一個是一個連續(xù)型連續(xù)型r.v，它的概率密度為，它的概率密度為0)( xg0)( xg 下面我們用這個定理來下面我們用這個定理來解一個例題解一個例題 .例例5 設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量X在在(0,1)上服從均勻分布，求上服從均勻分布，求Y=-2lnX的概率密度

8、的概率密度.解：解： 在區(qū)間在區(qū)間(0,1)上上,函數(shù)函數(shù)lnx0, 02xy于是于是 y在區(qū)間在區(qū)間(0,1)上單調(diào)下降，有反函數(shù)上單調(diào)下降，有反函數(shù)2/)(yeyhx由前述定理得由前述定理得其它, 010,)()()(2/2/2/yyyXYedyedefyf注意取注意取絕對值絕對值其它, 010,)()()(2/2/2/yyyXYedyedefyf其它, 010, 1)(xxfX已知已知X在在(0,1)上服從均勻分布，上服從均勻分布，代入代入 的表達式中的表達式中)(yfY其它,)(/00212yeyfyY得得即即Y服從參數(shù)為服從參數(shù)為1/2的指數(shù)分布的指數(shù)分布. 對于連續(xù)型隨機變量，在求對于連續(xù)型隨機變量，在求Y=g(X) 的的分布時，分布時，關(guān)鍵的一步是把事