N8-1空間解析幾何簡(jiǎn)介

1、第八章第八章 多元函數(shù)多元函數(shù)上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 一元函數(shù)微積分學(xué)一元函數(shù)微積分學(xué)多元函數(shù)微積分學(xué)多元函數(shù)微積分學(xué)極限與連續(xù)極限與連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)與全微分偏導(dǎo)數(shù)與全微分重積分重積分極限與連續(xù)極限與連續(xù)可導(dǎo)與可微可導(dǎo)與可微定積分定積分教學(xué)內(nèi)容及課時(shí)分配教學(xué)內(nèi)容及課時(shí)分配8.1 8.1 空間解析幾何簡(jiǎn)介空間解析幾何簡(jiǎn)介.2.2學(xué)時(shí)學(xué)時(shí)8.2 8.2 多元函數(shù)的概念多元函數(shù)的概念8.3 8.3 二元函數(shù)的極限與連續(xù)二元函數(shù)的極限與連續(xù).2.2學(xué)時(shí)學(xué)時(shí)8.4 8.4 偏導(dǎo)數(shù)與全微分偏導(dǎo)數(shù)與全微分.2.2學(xué)時(shí)學(xué)時(shí)8.5 8.5 復(fù)合函數(shù)的微分法與隱函數(shù)的微分法復(fù)合函數(shù)的微分法與隱函數(shù)的微分法.2.2學(xué)時(shí)學(xué)

2、時(shí)8.6 8.6 二元函數(shù)的極值二元函數(shù)的極值.2.2學(xué)時(shí)學(xué)時(shí)8.7 8.7 二重積分二重積分.4.4學(xué)時(shí)學(xué)時(shí)（1414學(xué)時(shí)）學(xué)時(shí)）上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 重點(diǎn)：重點(diǎn)：偏導(dǎo)數(shù)與全微分、多元復(fù)合函數(shù)的微分法、偏導(dǎo)數(shù)與全微分、多元復(fù)合函數(shù)的微分法、 二元函數(shù)的極值的應(yīng)用、二重積分的計(jì)算。二元函數(shù)的極值的應(yīng)用、二重積分的計(jì)算。 難點(diǎn)：難點(diǎn)：多元復(fù)合函數(shù)的微分法、二元函數(shù)的極值的多元復(fù)合函數(shù)的微分法、二元函數(shù)的極值的 應(yīng)用問題、二重積分的計(jì)算。應(yīng)用問題、二重積分的計(jì)算。上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 說(shuō)明：說(shuō)明：多元函數(shù)（實(shí)際上只討論二元函數(shù)）。極值問多元函數(shù)（實(shí)際上只討論二元函數(shù)）。極值問 題中的最大值、最

3、小值問題只要求按實(shí)際意義題中的最大值、最小值問題只要求按實(shí)際意義 來(lái)判斷。來(lái)判斷。教學(xué)要求：教學(xué)要求：. .了解多元函數(shù)的概念。掌握二元函數(shù)的定義與圖形特點(diǎn)了解多元函數(shù)的概念。掌握二元函數(shù)的定義與圖形特點(diǎn). . .知道二元函數(shù)的極限與連續(xù)性的概念。知道二元函數(shù)的極限與連續(xù)性的概念。. .理解多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)與全微分的概念；熟練掌握求偏導(dǎo)理解多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)與全微分的概念；熟練掌握求偏導(dǎo) 數(shù)與全微分的方法；掌握求多元復(fù)合函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的方法數(shù)與全微分的方法；掌握求多元復(fù)合函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的方法. . .掌握由一個(gè)方程確定的隱函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)的方法（例如由掌握由一個(gè)方程確定的隱函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)的方法（例如由 (x,y,

4、z)=0 (x,y,z)=0 確定的隱函數(shù)確定的隱函數(shù) z=z(x,y),z=z(x,y),求其偏導(dǎo)數(shù)）。求其偏導(dǎo)數(shù)）。. .了解二元函數(shù)極值與條件極值的概念；掌握用二元函數(shù)了解二元函數(shù)極值與條件極值的概念；掌握用二元函數(shù) 極值存在的充要條件求二元函數(shù)極值的方法極值存在的充要條件求二元函數(shù)極值的方法; ; 掌握用拉掌握用拉 格朗日乘數(shù)法求解簡(jiǎn)單二元函數(shù)條件極值問題的方法。格朗日乘數(shù)法求解簡(jiǎn)單二元函數(shù)條件極值問題的方法。. .了解二重積分的概念、幾何意義與基本性質(zhì)；掌握在直了解二重積分的概念、幾何意義與基本性質(zhì)；掌握在直 角坐標(biāo)系與極坐標(biāo)下計(jì)算二重積分的常用方法，會(huì)計(jì)算角坐標(biāo)系與極坐標(biāo)下計(jì)算二重

5、積分的常用方法，會(huì)計(jì)算 一些簡(jiǎn)單的二重積分。一些簡(jiǎn)單的二重積分。上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第第 1 1 節(jié)節(jié)空間解析幾何簡(jiǎn)介空間解析幾何簡(jiǎn)介 第八八章 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 一、空間直角坐標(biāo)系一、空間直角坐標(biāo)系 二、空間任意兩點(diǎn)的距離二、空間任意兩點(diǎn)的距離 三、空間曲面與方程三、空間曲面與方程 數(shù)量關(guān)系數(shù)量關(guān)系 空間形式空間形式 點(diǎn)點(diǎn), , 線線, , 面面坐標(biāo)坐標(biāo), ,方程（組）方程（組）四、空間曲線的方程簡(jiǎn)介四、空間曲線的方程簡(jiǎn)介 （補(bǔ)充）（補(bǔ)充）xyz一、空間直角坐標(biāo)系一、空間直角坐標(biāo)系由三條互相垂直的數(shù)軸按右手法則組成一個(gè)空間直角坐標(biāo)系. 坐標(biāo)原點(diǎn) 坐標(biāo)軸x軸(橫軸)y軸(縱軸)z 軸

6、(豎軸)過(guò)空間一定點(diǎn) o ,o 坐標(biāo)面 卦限(八個(gè))面xoy面yozzox面1. 空間直角坐標(biāo)系的基本概念空間直角坐標(biāo)系的基本概念上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 xyzo直角坐標(biāo)系下 11坐標(biāo)軸上的點(diǎn) P, Q , R ;坐標(biāo)面上的點(diǎn) A , B , C點(diǎn)點(diǎn) M特殊點(diǎn)的坐標(biāo)特殊點(diǎn)的坐標(biāo) : :有序數(shù)組),(zyx)0 , 0 ,(xP)0 , 0(yQ), 0 , 0(zR)0 ,(yxA), 0(zyB),(zoxC(稱為點(diǎn) M 的坐標(biāo)坐標(biāo))原點(diǎn) O(0,0,0) ;M2. 空間任意一點(diǎn)的坐標(biāo)空間任意一點(diǎn)的坐標(biāo)上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 二、空間任意兩點(diǎn)間的距離二、空間任意兩點(diǎn)間的距離 1. 空間任一點(diǎn)

7、到原點(diǎn)的距離空間任一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離222zyxMNOR22OMONMN222OROQOPxoyzMNQRP( , , )M x y z設(shè)點(diǎn) 為空間中任一點(diǎn)222ONOPPNPNOQ22OPOQ上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 222212121()()()xxyyzz同理可得oxyz2. 空間任兩點(diǎn)間的距離空間任兩點(diǎn)間的距離1M2M11112222(,), (,)Mxy zMxyz給定空間任意兩點(diǎn)的坐標(biāo)N1Q1P2P2QNS2221212M MM SM S22212M NNSM S112M NPP21OPOP21xx21NSyy221M Szz2221212M MM NNSM S上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束

8、例例1. 求證以)3,2,5(, )2, 1 ,7(, ) 1 ,3,4(321MMM證證:1M2M3M12M M 2)47( 2)31 ( 2) 12( 1432MM 2)75( 2) 12( 2)23( 631MM 2)45( 2)32( 2) 13( 63132MMMM即321MMM為等腰三角形 .的三角形是等腰三角形 . 為頂點(diǎn)上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 三、空間曲面與方程三、空間曲面與方程例例2（類似（類似P318-例例1）求與兩定點(diǎn)A(1,2,3) 和B(2,-1,4)等222) 3()2() 1(zyx07262zyx化簡(jiǎn)得說(shuō)明說(shuō)明:顯然在此平面上的點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足此方程, 不在此平面

9、上的點(diǎn)的坐標(biāo)不滿足此方程.222)4() 1()2(zyx解解: : 設(shè)軌跡上的動(dòng)點(diǎn)為, ),(zyxM,BMAM 則動(dòng)點(diǎn)軌跡為線段 AB 的垂直平分面.等距離點(diǎn)的軌跡方程.上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 定義定義1. 0),(zyxFSzyxo如果曲面 S 與方程 F( x, y, z ) = 0 有下述關(guān)系:(1) 曲面 S 上任意點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足此方程;則 F( x, y, z ) = 0 叫做曲面曲面 S 的的方程方程, 曲面 S 叫做方程 F( x, y, z ) = 0 的圖形圖形.兩個(gè)基本問題兩個(gè)基本問題 : :(1) 已知一曲面作為點(diǎn)的幾何軌跡時(shí),(2) 不在曲面 S 上的點(diǎn)的坐標(biāo)不滿足

10、此方程,如何求曲面方程.(2) 已知方程時(shí) , 研究它所表示的幾何形狀上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例3（P319-例例2）求三個(gè)求三個(gè)坐標(biāo)平面坐標(biāo)平面的方程的方程.面yox0 z面zoy0 x面xoz0 yxyzo1. 平面的方程平面的方程例例4（P319-例例3）作作zc（c為常數(shù)）的圖形為常數(shù)）的圖形.zc平行于坐標(biāo)平面xoy ，并由xoy 向上 (c0)或向下 (c0) 平移|c|個(gè)單位而成的平面上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 特殊情形特殊情形 當(dāng) D = 0 時(shí), A x + B y + C z = 0 表示 通過(guò)原點(diǎn)通過(guò)原點(diǎn)的平面 當(dāng) A = 0 時(shí), B y + C z + D = 0 平面

11、平行于 x 軸; A x+C z+D = 0 表示 A x+B y+D = 0 表示 C z + D = 0 表示 A x + D =0 表示 B y + D =0 表示0DCzByAx)0(222CBA平行于 y 軸的平面;平行于 z 軸的平面;平行于 xoy 面 的平面;平行于 yoz 面 的平面；平行于 zox 面 的平面.平面的一般方程平面的一般方程上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例5. 求通過(guò) x 軸和點(diǎn)( 4, 3, 1) 的平面方程.解解: 因平面通過(guò) x 軸 ,0 DA故設(shè)所求平面方程為0zCyB代入已知點(diǎn)) 1,3,4(得BC3化簡(jiǎn),得所求平面方程03 zy上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束

12、所求方程為例例6（P319-例例4） 求球心為點(diǎn)),(zyxM),(0000zyxM的球面方程. 特別,當(dāng)M0在原點(diǎn)時(shí),球面方程為解解: 設(shè)球面上任一點(diǎn)RMM0即依題意，半徑為RxyzoM0M222yxRz表示上上(下下)球面球面 .Rzzyyxx202020)()()(2202020)()()(Rzzyyxx2222Rzyx2. 球面球面上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例7. 研究方程042222yxzyx解解: : 配方得5, )0, 2, 1(0M方程表示:說(shuō)明說(shuō)明: :如下形式的三元二次方程 ( A 0 )都可通過(guò)配方研究它的圖形. 其圖形可能是曲面. . 表示怎樣的半徑為的球面.0)(22

13、2GFzEyDxzyxA球心為 一個(gè)球面球面 , 或點(diǎn)點(diǎn) , 或虛軌跡虛軌跡.5)2() 1(222zyx上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例8 8（P320-P320-例例5 5）作方程的圖形 .的坐標(biāo)也滿足方程222Ryx解解: : 在 xoy 面上，表示圓C, 222Ryx222Ryx在空間222Ryx對(duì)任意 z ，直線l 任一過(guò)此點(diǎn)作平行 z 軸的直線 l ,表示圓柱面圓柱面在圓C 上任取一點(diǎn) , )0 ,(1yxM),(zyxM點(diǎn)l 叫做母線母線.平面xoy 園 叫做準(zhǔn)線準(zhǔn)線, 222RyxxyzoClM1M3. 柱面柱面（l 繞園C移動(dòng)而成）上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 xyzxyzol定義定義

14、2. 平行定直線并沿定曲線 C 移動(dòng)的直線 l 形成的軌跡叫做柱面柱面. 表示拋物柱面拋物柱面,母線平行于 z 軸;準(zhǔn)線為xoy 面上的拋物線. z 軸的橢圓柱面橢圓柱面.xy2212222byaxz 軸的平面平面.0 yx表示母線平行于 C表示母線平行于C 叫做準(zhǔn)線準(zhǔn)線, l 叫做母線母線.xyzoo上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 4. 二次曲面二次曲面三元二次方程 適當(dāng)選取直角坐標(biāo)系可得它們的標(biāo)準(zhǔn)方程。下面介紹幾種常見標(biāo)準(zhǔn)型的特點(diǎn) .研究二次曲面特性的基本方法: 截痕法截痕法 基本類型基本類型: 拋物面、橢球面、雙曲面、錐面、球面等的圖形通常為二次曲面二次曲面. FzxEyxDxyCzByAx22

15、20JIzHyGx(二次項(xiàng)系數(shù)不全為 0 )定義定義3.上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 （1）拋物面）拋物面zqypx2222A. 橢圓拋物面橢圓拋物面( p , q 同號(hào))zyx特別,當(dāng) p = q 時(shí)為繞 z 軸的旋轉(zhuǎn)拋物面.例例9 9（P320-P320-例例6 6）作方程的圖形 .22zxy解解: : 范圍0. ,zx yR與坐標(biāo)面的交線：2200 xyz20 zxy 20 zyx 原點(diǎn)拋物線上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 截痕：zyx22 xyczc22 yzcxc與曲面無(wú)交點(diǎn).0c 當(dāng) 時(shí)，為園心，(0,0, ) cc為半徑的園.0c 當(dāng) 時(shí)，22 xzcycxc平面 的拋物線22yzcc 越大，

16、截痕的園也越來(lái)越大.圖形見圖形見P321P321圖圖8-88-8上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 B. 雙曲拋物面（鞍面）雙曲拋物面（鞍面）zqypx2222( p , q 同號(hào))zyx例例1010（P320-P320-例例7 7） 作方程的圖形 .22zyx解解: : 范圍, 0.yxz若與坐標(biāo)面的交線：0 yxz 20 zxy 20 zyx 兩條相交于原點(diǎn)的直線xoz 平面開口向下的拋物線yoz 平面開口向下的拋物線上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 截痕：22 yxczc22 zycxc 實(shí)軸平行于x軸的雙曲線0c 當(dāng) 時(shí)，0c 當(dāng) 時(shí)，22 zcxyc c 越大，各截痕的雙曲線、拋物線也越來(lái)越大.實(shí)軸平行于

17、y軸的雙曲線對(duì)任意c均為開口向下的拋物線對(duì)任意c均為開口向上的拋物線圖形見圖形見P321P321圖圖8-98-9上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 zyx（2 2） 橢球面橢球面),(1222222為正數(shù)cbaczbyax范圍：czbyax,與坐標(biāo)面的交線：橢圓,012222zbyax,012222xczby 012222yczax上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 1222222czbyax與)(11czzz的交線為橢圓：1zz 當(dāng) ab 時(shí)為旋轉(zhuǎn)橢球面;同樣)(11byyy的截痕）（axxx11及也為橢圓.當(dāng)abc 時(shí)為球面.截痕:1)()(212221222222zcyzcxcbcacba,(為正數(shù))z上頁(yè) 下

18、頁(yè) 返回 結(jié)束 （3） 雙曲面雙曲面A.A.單葉雙曲面單葉雙曲面by 1) 1上的截痕為平面1zz 橢圓.時(shí), 截痕為22122221byczax(實(shí)軸平行于x 軸；虛軸平行于z 軸）1yy zxy),(1222222為正數(shù)cbaczbyax1yy 平面 上的截痕情況:雙曲線: 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 虛軸平行于x 軸）by 1)2時(shí), 0czax)(bby或by 1)3時(shí), 22122221byczax(實(shí)軸平行于z 軸;1yy zxyzxy截痕為相交直線: 截痕為雙曲線: 0上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 B. 雙葉雙曲面雙葉雙曲面),(1222222為正數(shù)cbaczbyaxzxyoxyz（4） 橢圓錐面橢圓錐面22222xyzab