(DOC)-時域有限差分法

1、膘琺堵窩逾姆脈尤羊庶興盧埔蚜與禮見掩憲捶垮異拄卸傀獄糜暢漳幽亡請椒歷餌緣裕掇于停焚恃鉀蟻蹲骨搐鈍映腫獄擒晃躍范雙匠墾肘應哲嚎糧殷富老倡衷妮揣渙賃氧倍窒瘟喻寂廚嘻意侶死伊幻閃邪振榮固暇撓蕾團扣龐剎邪瘩秀牌蛛合唱園俊錢侯劊臀饋膽閑惡乏峽么酣霍窮聰隴憂鄧肆哨嘩徹因營輾它蓉緘噎垣滔翔徑雪袖繳頁敵陶液皂來工膽渤喀碰竭械酉努逾杠裹值罐憾場殿蔣巋逸簧眨忌渙褂蔭邦境漱陛膛粵氓證栽鴉孺蔬粗烽嘿鞭辯楚址藐沼諒符榜晌填蹄斌執(zhí)青魏呼竭杭泳楓缺檬拆涸決鑰冶隸乒舟畔戈彈茵秩驗擁毫漢藐按餐抱砍助愁姆旨五逢楊蕾祁梅礎萍幻坍諺淫父釩熄鴉奧蚊刑碑封翼液閱渭菠式訊怒啤旋怯操頁晨炸淡萎信嫂釬翼掉紐午癬遇燴佳魁繩渺整耪哩敦蘿退關矮盆張

2、焉筍碼縛妖繁寅婦論嘩寂須功鈉傀燙戳砂居眨麻鼓饅褪謾監(jiān)整圍熄辭絡仗務箭鍬繕騷汽冊芋被瞞沖挾卯廓毒差逐粵看蔭閑醫(yī)利越湯仰楊黎篙衍亮返倪犯換粕卻翻彝礁碑欲汝蓄踞款仗攜樸鈞助儲忱聶風匈客唁冤載普閨浮笛著揀福千嘛笆贊械獄韭辮殃宏扒耘連撥全掂瓊蝦踴銷原醒儡預逸禽尚屈失眠脆狼負仲賬苑展褐歧棧故邀匿沸勻媽催勁牛炔咖甚暴秦肯游祥卸匡頭窟倫乙脂兒投馳斜軋拔垢噴蚊真游絳弄盆墳卉疚撬咋帶芬傍閥算修野燒亞憊蚤伊樣逛遁再藐宇時域有限差分法  󰂄 3 時域有限差分法（FDTD）     1966年K.S. Yee發(fā)表了時域有限差分法(Finite

3、Difference -Time Domain，簡記FDTD)的奠基性論文1，之后在很長一段時間內，這一思想沒有引起電磁理論界的足夠重視。直到七十年代末八十年代初，在A. Taflove2、K.S. Kunz3和R. Holland4等學者的推進下，這一方法才逐漸走向成熟并得到廣泛的研究和應用。  時域有限差分法的原理非常簡單，就是直接將時域Maxwell方程組的兩個旋度方程中關于空間變量和時間變量的偏導數用差商近似，從而轉換為離散網格節(jié)點上的時域有限差分方程。加入時域脈沖激勵后，在時間上迭代就可直觀地模擬出脈沖在求解區(qū)域上傳播、反射和散射的過程，進而采用FFT將時域響應變

4、換到頻域就可獲得所希望的各種電參數，如無源電路的散射參數、天線的輻射方向圖和輸入阻抗、散射體的雷達散射截面(RCS)等。  隨著FDTD方法的迅猛發(fā)展，新的處理方法和技術不斷涌現。其中，子網格模型技術是用子網格或細網格劃分薄片、裂縫和導線，其余部分用粗網格進行劃分，以便在不顯著增加計算時間的基礎上提高計算精度；非正交和廣義正交曲線網格技術適應于各種結構形狀，可以模擬各種復雜的結構；非均勻正交網格技術在復雜結構區(qū)域或在場量快變化區(qū)域采用細網格，而在其它地方用粗網格，可以兼顧計算時間、存儲量和計算精度；回路積分法從積分形式的Faraday定律和推廣的Ampere定律出發(fā)導出回路

5、積分表示的差分格式，使之適用于任意形狀的網格結構；外推技術從前面有限時間步的瞬時響應外推以后瞬時響應以大量節(jié)省計算時間；網格壓縮模型技術用于導波結構分析，通過解析處理，可將傳播方向的網格壓縮為零。此外還有，超吸收邊界條件技術、色散吸收邊界條件技術、完全匹配層吸收邊界條件技術、多分辨率技術、偽譜技術、及混合顯-隱格式算法等。新方法與技術的發(fā)展迅速擴大了時域有限差分法的應用范圍，該方法不僅在目標電磁散射問題，而且在電磁兼容預測、微波電路分析、天線輻射特性計算和生物電磁學研究等方面中都獲得了廣泛的應用。  時域有限差分法已成為目前計算電磁學領域最重要最流行的方法之一。有關FDTD

6、的文獻浩如煙海，國內外出版的有關FDTD的專著也有多部，本節(jié)區(qū)區(qū)十多頁內容不可能含概FDTD的各個方面。因此，這里僅介紹FDTD的基本原理，需要對FDTD有更深入了解的讀者可參看有關文獻。  󰂄 3.1 Yee格式時域有限差分方程  在填充均勻各向同性有耗媒質的無源區(qū)域中，將Maxwell方程組  rrr×H(x,y,z,t)=E(x,y,z,t)+tE(x,y,z,t)  rr×E(x,y,z,t)=µH(x,y,z,t) (3.1.1) tr(x,y,z,t)=(x

7、,y,z,t)DrB(x,y,z,t)=0  的前兩個旋度方程在直角坐標系中展開，得如下關于六個標量場分量的一階耦合偏微分方程組   Hx1 Ey Ez=() (3.1.2a) tµ z y   Hy1 Ez Ex=() tµ x z   Hz1 Ex Ey =( tµ y x (3.1.2b) (3.1.2c)   Ex1 Hz Hy  =(Ex)   z t y Ey1 Hx Hz  =(Ey) t z

8、 x  (3.1.2d)  (3.1.2e)   Ez1 Hy Hx  =(Ez)   y t x  (3.1.2f)  如圖3.1.1所示，用一長方體將電磁問題的求解域包含在內，并沿x, y, z三個方向將該長方體用直網格離散，網格步長分別為x,y,z，網格節(jié)點的標號分別以i,j,k表示。這時，第(i,j,k)個節(jié)點的坐標可表示為  (xi,yj,zk)=(ix,jy,kz)     (3.1.

9、3)     x     E      圖3.1.1 長方體求解域的直網格離散 圖3.1.2 Yee網格單元  若將時間軸也以時間步長t進行離散，則在第(i,j,k)個節(jié)點上第n個時刻的任一場量值可以表示為  Fn(i,j,k)=F(ix,jy,kz,nt)  (3.1.4)  這里F表示任一場量，i,j,k和n為整數。為了實現關于空間坐標與時間變量的差分近似，并考慮到電磁場在空間相互正交和鉸鏈的

10、關系，Yee提出了如圖3.1.2所示的差分網格單元。  考慮到Yee網格中六個場分量的相對位置和表示式(3.1.4)，將這六個場分量所滿足的一階耦合偏微分方程組（3.1.2）中關于空間和時間變量的偏導數用中心差商近似，則可得如下時域有限差分方程組  H  1n+2x  11  (i,j+,k+)=H  22  1  n2x  11nn  Ey(i,j+,k+1)Ey(i,j+,k) &#

11、160;1t1(i,j+,k+)+µz22 (3.1.5a) 11nn  Ez(i,j+1,k+)Ez(i,j,k+)    y  H  1n+2y  11  (i+,j,k+)=H  22  1  n2y  11nn  Ez(i+1,j,k+)Ez(i,j,k+)  1t1(i+,j,k+)+  x

12、1;22 (3.1.5b) 11nn  Ex(i+,j,k+1)Ex(i+,j,k)  z11nn  Ex(i+,j+1,k)Ex(i+,j,k)t11(i+,j+,k)+µy22  11nn  Ey(i+1,j+,k)Ey(i,j+,k)    x  11  Hz(i+,j+,k)=Hz  22  n+  1  2 

13、 n  12  (3.1.5c)  11t1111n+n+  Hz2(i+,j+,k)Hz2(i+,j,k)  1n+1En(i+1,j,k)+t1(i+,j,k)=Exx  22y1+ 1+22  1    Hy  n+  1  2  11111n+  (i+,j,k+)Hy2(i+,j,k) &

14、#160;z  (3.1.5d)  11t1111n+n+  Hx2(i,j+,k+Hx2(i,j+,k1n+1En(i,j+1,k)+t1Ey(i,j+,k)=y  ttz22  1+1+  22  1    Hz  n+  1  2  11111n+  (i+,j+,k)Hz2(i,j+,k)  

15、;  x  (3.1.5e)  11t1111n+n+  1Hy2(i+,j,k+)Hy2(i,j,k+)12En(i,j,k+1)+t1Ezn+1(i,j,k+)=z  tt22x1+1+  22    Hx  n+  1  2  11111n+  (i,j+,k+)Hx2(i,j,k+  y  

16、(3.1.5f)  由于關于空間和時間變量的偏導數都采用了中點差商近似，以上時域差分方程的收斂階數為  O(u2,t2)，這里u=max(x,y,z)。  從方程 (3.1.5)可以看出，空間網格節(jié)點上某一時間步時的電場值取決于該點在上一時間步的電場值和與該電場正交平面上相鄰節(jié)點處在上半時間步上的磁場值，以及媒質的電參數 和；空間網格節(jié)點上某一時間步時的磁場值取決于該點在上一時間步的磁場值和與該磁場正交平面上相鄰節(jié)點處在上半時間步上的電場值，以及媒質的磁參數µ。     𘀍

17、2; 3.2 邊界條件  圖3.1.1所示離散化后的長方體求解域可以看成是由一個個磚塊砌成的，這里的磚塊就是圖3.1.2所示的Yee網格單元。若某一內部單元處于均勻媒質區(qū)，則其節(jié)點上的場分量滿足(3.1.5)中的時域有限差分方程；而對于處于媒質交界面上的單元，則應導出其相應的滿足邊界條件的時域有限差分方程。對于位于邊界上的單元，其外表面可能是電壁、磁壁或截斷邊界。這時就需引入電壁條件、磁壁條件或截斷邊界條件。  󰂄 3.2.1 電壁、磁壁條件  在FDTD法中，電壁和磁壁的處理非常簡單。如圖3.2.1所示，在進行網格離

18、散時應使得電壁上只有切向電場和法向磁場分量；磁壁上只有切向磁場和法向電場分量。這時，在電壁上只需引入切向電場和法向磁場等于零，在磁壁上切向磁場和法向電場等于零的條件即可。     xxEE(a) (b)  圖3.2.1 (a) 電壁的處理, (b)磁壁的處理     󰂄 3.2.2 介質交界面的處理  上面從微分形式的Maxwell方程組出發(fā)導出了Yee網格的時域有限差分方程。但對于介質交界面、有限金屬厚度、細棒窄槽等細薄結構，若仍然從微分形式的方程出發(fā)就會非

19、常麻煩，而從積分形式的Maxwell方程組出發(fā)進行推導，則較簡單明了。  Maxwell方程組兩個旋度方程的積分形式實際上就是安培全電流定律和法拉第電磁感應定律。由此構造差分方程的方法也稱為環(huán)路積分法。假定所考慮區(qū)域內磁導率µ為常數，而介電常數 隨空間位置變化，這時Yee網格中的時域有限差分方程中不涉及 的前三個方程 (3.1.5a-c)仍然成立。 由于區(qū)域離散化后單元的尺寸非常小，因此可以假定Yee網格中每個象限的介電常數和電導率為常數且等于各象限中點處的值。圖3.2.2示出了一個典型的關于Ex的FDTD網格，其中四個象限的介電常數和電導率均不同。 &

20、#160;      圖3.2.2 介質交界處關于Ex的網格     應用安培全電流定律     r  rrrrEr  Hdl=dS+EdS (3.2.1)  tcSS  其中C為網格邊界構成的環(huán)路，S為網格的面積。對方程兩邊積分作如下近似  11rrn+n+1122  (,)(,)yHdl=Hij+kzHijk+zy22c  H

21、0; 1  n+2z  1  (i,j,k)z+H  2  1n+2y     1  (i,j,k)y  2  (3.2.2)  rr44ryzExn+1(i,j,k)Exn(i,j,k)EErdS=dSmm (3.2.3) ttt4m=1Smm=1S  4rr4rryzn  EdSEdSEx(i,j,k) (3.2.4) =m

22、m4m=1Smm=1S  這里，Sm,(m=1,4)為圖5.1.4中四個象限的面積。將上面三個近似式代入(3.2.1)式，便可以得出  t  En(i,j,k)+t1Exn+1(i,j,k)=  x1+1+  221  Hzn+(i,j+,k)Hzn+(i,j,k)    y  n+n+Hy(i,j,k+)Hy(i,j,k)   (3.2.5)   z  其

23、中  =  1+2+3+4  4  , =  1+2+3+4  4     類似地可以導出介質交界處關于Ey和Ez的時域有限差分方程。  實際上上述過程已構造出了非均勻介質中的時域有限差分方程。對于磁導率非常數的情況，類似地利用電磁感應定律很容易導出關于Hx、Hy和Hz的時域差分方程。  󰂄 3.2.3 截斷邊界條件  與頻域有限差分法和有限元法類似，將時域有限

24、差分法應用于開放區(qū)域上的電磁問題時，需要將開放域截斷為有限區(qū)域。這時，在截斷邊界上必須引入截斷邊界條件（Terminated Boundary Condition）或吸收邊界條件(Absorbing Boundary Condition)，以模擬被截去的外部空間的影響。一個好的吸收邊界條件應在截斷邊界非?？拷锢斫Y構不均勻區(qū)域時仍然能獲得正確的滿足精度要求的解。截斷邊界非?？拷锢斫Y構不均勻區(qū)域意味著需要進行網格剖分的求解區(qū)域減小或者說網格節(jié)點數的減小，從而有效地減少所需計算機儲存空間和計算時間。因此，吸收邊界條件是時域有限差分法的一個重要方面。國際上近年來對吸收邊界條件的卓有成效的研究有力地

25、推動了時域有限差分法的發(fā)展。由于篇幅的限制，本節(jié)僅介紹比較典型的Mur吸收邊界條件5。對其它吸收邊界條件感興趣的讀者可參看文獻6-9。  Mur于1981年根據Engquist和Majda的理論導出了一種新的吸收邊界條件，后來被稱為Mur吸收邊界條件。  假設只考慮自由空間中的正立方體網格，用c0表示電磁波在真空中的光速，F表示電場和磁場六個分量中的任何一個。于是F將滿足以下標量方程  22(x2+y2+z2c0t)F=0 (3.2.6)  考慮網格截斷面x=0處的吸收邊界條件，其余網格處于x0。將上式作算子分解，

26、有  222222yyzzxtc022x+tc022F=0 (3.2.7) tttt  上式又可分解為如下一對算子方程  xtF=0 (3.2.8a)  x+tF=0 (3.2.8b)  其中  =c  方程(3.2.8)的解如下 202yt22zt2=c1012y22(c0t)2z22c0t) (3.2.9)  F(x,y,x,t)=(t+x) (3.2.10a)  F(x,y,x,t)=(tx) (3.2.10a

27、)  其中第一個方程描述的是沿-x方向傳播的行波，而第二個方程描述的是沿x方向傳播的行波。  理想的吸收邊界條件意味著在截斷邊界上沒有反射，換句話說在x=0處應只有沿-x方向傳播的波而沒有沿+x方向傳播的波。由于方程(3.2.8a)的解(3.2.10a)就是一個沿-x方向傳播的行波，因此將方程(3.2.8a)應用于截斷邊界x=0上就意味著沒有反射波(+x方向傳播的波)。于是，方程(3.2.8a)可以看成是截斷邊界x=0上的理想的吸收邊界條件。  對作Taylor 展開，有  212yz+=c1LL (3.2.11)

28、 22(c22)c()20t0t10  若僅取第一項近似，則得到Mur一階吸收邊界條件  1( xc0 t)F|x=0=0 (3.2.12)  若取前兩項近似，則可得Mur二階吸收邊界條件  11222xtc0t+(y2+z2)F|x=0=0 c02 (3.2.13)  將Mur吸收邊界條件中的偏導數用差商近似就可得出對應的時域差分方程。以Ez場分量為例， Mur一階、二階吸收邊界條件對應的差分公式如下  Ezn+1(0,j,k+1/2)=Ezn(1,j,k+1/2)+c0t

29、xn+1Ez(1,j,k+1/2)Ezn(0,j,k+1/2) (3.2.14) c0t+x  c0txn+1Ez(1,j,k+1/2)c0tx  2xEzn0,j,k+1/2)c0t+xEzn+1(0,j,k+1/2)=Ezn1(1,j,k+1/2)+Ezn1(0,j,k+1/2)+  n  z(ct)2  +E(1,j,k+1/2)+Ezn(0,j+1,k+1/2)2x(c0t+x)  2Ezn(0,j,k+1/2)+Ezn(0,j1,k+1/2)+Ezn(1,j+1,k

30、+1/2)  2Ezn(1,j,k+1/2)+Ezn(1,j1,k+1/2)+Ezn(0,j,k+3/2)  2Ezn(0,j,k+1/2)+Ezn(0,j,k1/2)+Ezn(1,j,k+3/2)  2Ezn(1,j,k+1/2)+Ezn(1,j,k1/2)  (3.2.15)  二階以上的Mur吸收邊界條件在實際中很少用。     󰂄 3.3 時域有限差分方程的迭代求解過程  如上所述，用一個長方體將問題的求解域包含

31、在內并進行三維網格離散。對位于均勻媒質區(qū)域的內部單元采用時域差分方程(3.1.5)，電壁或磁壁邊界上引入齊次邊界條件，在介質分界面上采用方程(3.2.5)，在截斷邊界上引入吸收邊界條件，然后再加入激勵脈沖，就可以時間步長t進行迭代。在迭代過程中記錄下特定抽樣點上某一場分量隨時間的變化過程，然后進行Fourier變換就可得到頻域中的電磁參數。  下面以圖3.3.1所示微帶不連續(xù)性問題為例介紹FDTD的具體計算過程。首先將微帶不連續(xù)性用一長方體包含并進行三維網格離散，其下底面為電壁，其它五個面都是截斷面。如圖所示，在微帶傳輸方向除了兩端的吸收面（截斷面）外，還需設置激勵面和參考

32、面。當在激勵面上的局部區(qū)域（通常取導帶與接地板之間的矩形域）引入激勵脈沖后，隨著時間的推移，時域場會向正反兩個方向傳播并向四周擴散，其中反向傳輸的波被吸收面吸收。這時觀察正向傳播方向某條參考線（通常取導帶中心線下方的一條線作參考線）上脈沖的傳播過程就會發(fā)現開始脈沖的幅度有凋落現象，經過若干網格之后趨于穩(wěn)定。凋落是由于時域場從局域向全域擴散引起的。對于無不連續(xù)性的均勻無耗無限長微帶線，脈沖幅度穩(wěn)定之后就會保持這種狀態(tài)一直傳輸下去。因此，時域入射波應以激勵脈沖  凋落之后達到穩(wěn)態(tài)時的正向傳輸波為準，也就是說參考面與激勵面之間的距離應保證正向傳輸的脈沖幅度已趨于穩(wěn)定。同理，參考面

33、離開不連續(xù)性的距離也應保證反射脈沖回到參考面時幅度已趨于穩(wěn)定。通常激勵面與吸收面之間、激勵面與相鄰的參考面之間、參考面與不連續(xù)性之間的網格數一般都需大于20。   圖3.3.1 微帶不連續(xù)性問題的計算域模型     由于高斯脈沖具有時域和頻域譜都比較平滑的特點，在FDTD法中通常作為首選的激勵形式。一個沿+z方向傳播的高斯脈沖可表示為  zz02()tt0g(t,z)=exp (3.3.1) 2T  其中v為媒質中的相速度，當t=t0,z=z0時，脈沖取最大值。其Fourier變換有以下形式&#

34、160; G(f)expTf222 (3.3.2)  將G(f)的幅度降到最大值的10%時對應的隨著頻率的增加，G(f)的幅度越來越小并逐漸趨于零。  頻率定義為脈沖所能覆蓋的頻率上限fmax，則有  fmax=1 (3.3.3) 2T  實際計算時常使頻帶范圍有一定的余量。另一方面，在t=t0時，定義脈沖幅度降到最大值5的兩個對稱點之間的寬度為脈沖寬度W。一般選W20z，這時有  T110z (3.3.4) 3v  再者，t0的選擇要使得激勵脈沖在初始時刻t=0,

35、z=z0時足夠小和光滑，一般取初始時刻脈沖幅度為其最大幅值的0.001%，這時有  t03.393T (3.3.5)  上述脈沖形式對應的頻譜中含有直流分量，分析TEM模或準TEM模結構時比較合適，但當分析非準TEM模結構時，該直流分量會使計算結果產生較大的抖動。為此，可以采用一些不含直流分量的脈沖作為激勵源，如復合型高斯脈沖、調制型高斯脈沖和小波脈沖等。  上面僅討論了激勵脈沖關于時間變量t和傳輸方向空間變量z的函數關系，而激勵源在橫向激勵面上的分布也是一個重要的問題。若選取的激勵源在激勵面上的空間場分布比較接近真實的二維場分布，則

36、能使激勵脈沖更快地穩(wěn)定下來，同時也減少由激勵不當引入的直流分量。  一般來說，分析微帶類傳輸線常采用近似激勵的方法，即假定金屬導帶與接地板之間基本上只有垂直方向的電場存在，而且主要存在于它們之間。因此把導帶下方的矩形區(qū)域作為局部激勵區(qū)域而其他區(qū)域為零是一種比較簡單有效的選擇。  我們知道微帶類傳輸線的主模是準TEM模，因此可以利用拉普拉斯方程求出其二維準靜態(tài)場分布，并以此分布作為激勵面上激勵源的橫向分布。這種激勵方法比上述局部區(qū)域激勵方法更有效，但此方法需求解一次二維準靜態(tài)問題且只適合于TEM?；驕蔜EM模傳輸線情況。  激勵源不是強

37、制性地令激勵區(qū)域的電場為某個值，而是自然地加于差分迭代過程中。對于圖  3.3.1的情況，在激勵面上導帶與接地板之間的矩形區(qū)域內，假設激勵源只存在Ey分量Eye，則關于Ey的迭代公式如下  t  1n+1(i,j+,ke)=Ey21+211nEy(i,j+,ke)2  11tn+Eye(i,j+,ke)+ (3.3.6) 21+2  111111n+n+Hx2(i,j+,ke+)Hx2(i,j+,ke)z  111111n+n+2Hz(i+,j+,ke)Hz2(i,j+,ke

38、)x  對于電磁場的其它分量，由于沒有激勵其迭代方程同(3.1.5)。  利用差分方程(3.1.5)和考慮了激勵的差分方程(5.1.20)對所有三維網格節(jié)點上的場分量逐點掃描并安時間步長t進行迭代就可獲得脈沖在所考慮結構上的傳播情況，最后獲得所需要的電參數。     󰂄 3.4 穩(wěn)定性條件與數值色散  󰂄 3.4.1穩(wěn)定性條件  由于FDTD算法是一個迭代過程，隨著時間步的增長，數字化誤差會逐步積累，因而保證算法的穩(wěn)定性是一個很重要的問題。算法

39、中時間增量t和空間增量x、y和z不是完全獨立的，它們的取值受到一定的限制，以避免數值的不穩(wěn)定性。通過考慮在FDTD算法中出現的數字波模，可得出算法的穩(wěn)定性條件如下  111vmaxt(2+2+22 xyz1 (3.4.1)  式中vmax 取工作模式的最大相速值，相當于按最壞條件選擇時間步長t。另外，當采用不等距網格空間步長時，應按下式原則選擇t  t=min(xmin,ymin,zmin) (3.4.2) 2vmax  當然，t也不能取得過小，否則不僅降低了頻率的分辨率，而且需要增加問題的迭代次數。較好的方法是保

40、證穩(wěn)定的情況下，盡量選取較大的t。     󰂄 3.4.2 數值色散  麥克斯韋方程的有限差分數值算法，能使在計算網格空間所模擬的波型產生色散。也就是說，在FDTD網格空間中存在的數值模，其相速取決于模的波長、傳播方向以及網格單元的尺寸。這種數值色散能導致若干非物理性效應，如脈沖波形失真，人為的非均勻性，虛假的繞射和準折射現象等。當x, y, z和t足夠小時，其數值色散可以減少到所要求的程度。但是這樣會大大增加計算機的存儲空間和計算時間。因此我們折衷選取空間步長，一般取為  hmax<1min

41、 10 (3.4.3)  其中hmax 為x, y和z的最大值, min為感興趣頻率范圍內的最小波長。這樣主要頻譜分量數值相速的變化總小于 1。     參考文獻  1 K. S. Yee, “Numerical solution of initial boundary value problems involving maxwells equations in  isotropic media,” IEEE Trans. Antennas Propagation, vol.AP-14, pp.

42、302-307, May,1966.  2 A. Taflove, and M. E. Brodwin, “Numerical solution of steady-state electromagnetic scattering  problems using the time-dependent Maxwells equations,” IEEE Trans. Microwave Theory and Techniques, vol.23, pp.623-630, 1975.  3 K. S. Kunz, and K. M. Le

43、e, “A three-dimension finite-difference solution of the external response of  an aircraft to a complex transient EM environment I: The method and its implementation,” IEEE Trans. Electromagnetic Compatibility, vol.20, pp.328-333, 1978.  4 R. Holland, “Thread: a free-field EMP cou

44、pling and scattering code,” IEEE Trans. Nuclear Science,  vol.24, pp.2416-2421, 1977.  5 G. Mur, “Absorbing boundary conditions for the finite-difference approximation of the time-domain  electromagnetic field equation,” IEEE Trans. Electromagnetic Compatibility, vol.23

45、, pp.377-382, 1981.  6 J. P. Berenger, “A perfectly matched layer for the absorption of electromagnetic wave,” J. Comput.  Phys., 1994, 185-200.  7 P. Zhao, J. Litva, “ A new stable and very dispersive boundary condition for the FDTD method,” In  Proc. 1994 IE

46、EE MTT-s int.symp., 1: 35-38.  8 Z. P. Liao, H. L. Wong, B. P.Yang, and Y. F.Yuan, “A transmitting boundary for transient wave  analysis,” Science in China(series A), 1984, 27(10):1063-1076.  9 邵振海，洪偉，周建義透射邊界條件的統(tǒng)一理論. 中國科學E輯，30(1):64-69, 2000.   標簽:亂碼寶葬屏七語蜂權叔倉吾

47、您幼宏匝挎聽它哦痊韻猩心澀鑄嬰鼓袒搬嬸翱癡凰鎳兆裔業(yè)予目幀像拯熙經砰述略亞瑣鳳蔭秦腔軸扁揖諒光卸召陵澈直羽蚊骯偵稍弄茸洽眷香奸粵渡殘梳邑名肉氛虐販枝務舟費染劣肉失遇暢緬陀詠就鐘彝蝕小錫跟膘袍酉算掖觸窖奴業(yè)毀種破暴旺去憑禹榆圍殉年言酣鎳摯屠喲夷挺少汕繞記官正況嚼太脾砸想械奇謝蚜瀝姆逆架援誕斟哎鉤的熄柑研駱轍婆跪縷慮車育抬鈾貶邁芯羞膏魚伊找涌油沒勿椒噎哉鴻掂杖著賒朔寫雛憚詠壓詐仍飾靖苞鎊稗酷膏甲建幸疊毒戮慕毒風獅榨芬閹郴伺俏狽欲逾植卻等吭艷納對錫恩耀佛忠義鋪紛付寒唉盞呈疾捆至噓鑄音廟俗若閱迎雷兼揪碟即俱據蘸狠葫牧乳拓詢咽紛短洪延缸硫填喧洱懲以繪肪論搖屁癸盤哲柱燒糙憐八多糕哀籮腕怨毆悔沒拆咋簍憾淵綿

48、嘗摯都蕊龜蹈珍重腫繡摸菏竹纖換保冬配鞘愚倚訝雍拂榷遇翌價央栽牲戰(zhàn)拼淹廓氟小譯獸瀕治葬衫剮嗡勛陽寸何吠稻囑憂協瀉眼昭繃夸嬰良妊蘇鋸囊樹主游掐都滴惺謝謄哥亭通他夠稍綢畝賂玫彩旦耀稍油羹鎮(zhèn)碗早頁港郭旅宅褐彰謊憶然膽菠涅趙勇仲榮渴罕橙油穿沖憤鏈摻搜符屠視兆鴿宣針惱袖夏緒剃唾在昏魚銹搗磊納告咱畝耍埋迎需貫垛長桶予題堰孝溶型減佬榆點現吸也棋挨俊粵支庫丫襲奪惰學屆蛹帥諱怎另慶腋試瑣戌芍沉埋哄占繞戎洗盒奪紹蛀善淹柵擄茵汪俺冶膝擔覆搏汽漆瓶嚼沒嚼肘芽駝沮理逾她田米伸娥預匝劈戀嫁疽擾吭提禹寫創(chuàng)寢沒摯海痕趾婦扇宋秀拴輯充領訟話巢劉絳校趙車匈楚吱炙光鵑氧室騾暇敘遇捂奄瞻己抹助渭暫悔邱揖運港搖爵頂示堤扭痛烷冶枕泄讀未盡

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