第四節(jié) 數據處理

1、定義：定義：數據處理就是用簡明而嚴格的數據處理就是用簡明而嚴格的方法把實驗數據所代表的事物內在規(guī)方法把實驗數據所代表的事物內在規(guī)律性提煉出來。它是獲得數據到結果，律性提煉出來。它是獲得數據到結果，包括記錄、整理、計算、分析等內在包括記錄、整理、計算、分析等內在的一個加工過程。的一個加工過程。數據處理方法很多，主要講列數據處理方法很多，主要講列表法、作圖法、逐差法和最小表法、作圖法、逐差法和最小二乘法。二乘法。一、列表法一、列表法列表法就是在記錄和處理數據時，將原始數據列表法就是在記錄和處理數據時，將原始數據（有時還把運算的中間項）列成表格。（有時還把運算的中間項）列成表格。要求：要求： 要把原

2、始數據和必要的運算要把原始數據和必要的運算過程中的中間結果引入表中。過程中的中間結果引入表中。 必須標明各符號所代表的物必須標明各符號所代表的物理量的意義，并寫明單位。理量的意義，并寫明單位。 表中的數據要正確地反映測量表中的數據要正確地反映測量結果的有效數字。結果的有效數字。 記錄環(huán)境數據（如溫度）和記錄環(huán)境數據（如溫度）和測量樣品的參數。測量樣品的參數。通過測量溫度通過測量溫度t和在溫度和在溫度t下銅的電阻下銅的電阻Rt來來測量銅的電阻溫度系數，得到測量銅的電阻溫度系數，得到t與與Rt的數的數據列表如下：據列表如下：）關關系系溫溫度度（）電電阻阻（tRt)(樣樣品品：銅銅)( Ct)(tR

3、表中數據均為有效數字表中數據均為有效數字優(yōu)點：優(yōu)點：1.簡單而明確地表示相關各簡單而明確地表示相關各 物理量之間的關系。物理量之間的關系。 2.便于對比檢查測量與運算便于對比檢查測量與運算 結果是否合理。結果是否合理。 3.便于發(fā)現和分析問題，有便于發(fā)現和分析問題，有 助于從中找出規(guī)律性的聯(lián)助于從中找出規(guī)律性的聯(lián) 系和找出經驗公式。系和找出經驗公式。二、作圖法二、作圖法二、作圖法二、作圖法 作圖法就是把一系列數據之間的作圖法就是把一系列數據之間的關系或其變化情況用圖線直觀地表關系或其變化情況用圖線直觀地表示出來的一種方法，它是研究物理示出來的一種方法，它是研究物理量之間的變化規(guī)律，找出對應的函

4、量之間的變化規(guī)律，找出對應的函數關系，求出經驗公式最常用的方數關系，求出經驗公式最常用的方法之一。法之一。1.1.作圖的應用作圖的應用A.圖線是依據許多圖線是依據許多數據點描出的平滑數據點描出的平滑曲線，因而具有取曲線，因而具有取平均的效果，從圖平均的效果，從圖線我們可以看出偶線我們可以看出偶然誤差的大小以及然誤差的大小以及判斷是否存在系統(tǒng)判斷是否存在系統(tǒng)誤差。誤差。B.直接得到經驗公式直接得到經驗公式(求斜率與截距）求斜率與截距） 從實驗得出的一系列數據為線性關系從實驗得出的一系列數據為線性關系或近似為線性關系時，可用一直線作為其或近似為線性關系時，可用一直線作為其圖線。根據實驗數據得到直線

5、的圖線過程圖線。根據實驗數據得到直線的圖線過程叫直線擬合，數據應分布在直線兩邊。叫直線擬合，數據應分布在直線兩邊。直線方程為直線方程為ybxa斜率為斜率為截距為截距為此法稱為三點法，第此法稱為三點法，第三個點為非實驗點三個點為非實驗點截距為截距為211221x yx yaxx2121yybxx213321yyayxxxC.內插與外推內插與外推從圖線可得到非測量點的數據。如圖所示：從圖線可得到非測量點的數據。如圖所示：利用內插或外推使測量利用內插或外推使測量范圍得到了擴展，并且范圍得到了擴展，并且方便快捷、避免了復雜方便快捷、避免了復雜的計算。的計算。*當數據在測量范圍內時為當數據在測量范圍內時

6、為內插內插（X1,Y1）*當數據在測量范圍外時為當數據在測量范圍外時為外推外推（X2,Y2）注意：實驗圖線是不能隨意注意：實驗圖線是不能隨意延伸，不能認定在一定范圍延伸，不能認定在一定范圍內得到的規(guī)律一定可以適應內得到的規(guī)律一定可以適應于另一范圍。于另一范圍。D.校正曲線校正曲線一信號源的輸出頻率有較大的誤差，可一信號源的輸出頻率有較大的誤差，可利用高精度的信號源對它進行校正，校利用高精度的信號源對它進行校正，校正結果如下：正結果如下：利用校正曲線可以提高儀器的準確度。利用校正曲線可以提高儀器的準確度。注意：校注意：校正曲線是正曲線是折線折線圖，圖，相鄰的數相鄰的數據點用據點用直直線線連接。連

7、接。E.曲線改直曲線改直 從實驗得出的數據常近似滿足從實驗得出的數據常近似滿足一定的非線性函數關系，給實驗數一定的非線性函數關系，給實驗數據找到合適的非線性函數圖線的過據找到合適的非線性函數圖線的過程叫曲線擬合。很多非線性函數關程叫曲線擬合。很多非線性函數關系可通過適當變換成為線性關系，系可通過適當變換成為線性關系，把這種變換稱為曲線改直。把這種變換稱為曲線改直。為常數、冪函數baaxyb,).1 (。，截截距距為為斜斜率率為為的的線線性性函函數數，為為則則abxyaxbylglglg,lglglg 為為常常數數。、baaeybx,).2( 。，截截距距為為斜斜率率為為的的線線性性函函數數，為

8、為則則abxyabxylnln,lnln 為為常常數數。、baabyx,).3( 。，截截距距為為斜斜率率為為的的線線性性函函數數，為為則則abxyaxbylglglg,lg)(lglg 為為常常數數。CCI,).4( 。斜斜率率為為的的線線性性函函數數，為為則則CI ,CI 11 為為常常數數。ppxy,2).5(2 。斜斜率率為為的的線線性性函函數數，為為則則pxy,xpy222121 a a、b b為為常常數數。, ,b bx xa ax x( (6 6) ). .y y 斜斜率率為為a a，截截距距為為b b。的的線線性性函函數數，x x1 1為為y y1 1b b, ,x x1 1a

9、 ay y1 1則則 為為常常數數。、avattvS020,21).7( 。，截截距距為為斜斜率率為為的的線線性性函函數數，為為則則002,21vattsatvts 測量單擺的周期測量單擺的周期T隨擺長隨擺長L的變化，函數關系為：的變化，函數關系為：224TgL LT曲線為拋物線。曲線為拋物線。若進行曲線改直作若進行曲線改直作LT2曲線。結果將得到一條通過原點的直線。曲線。結果將得到一條通過原點的直線。其斜率等于其斜率等于24g。由此可算出試驗所在地的重力加速度。由此可算出試驗所在地的重力加速度g電容的放電過程電容的放電過程RcteQq 式中式中R或或c為未知量，可以為未知量，可以用作圖的方法

10、確定。兩邊取對數得：用作圖的方法確定。兩邊取對數得：QLntRcqLn 1作作 曲線，設圖線的斜率為曲線，設圖線的斜率為 截距為截距為 。由此可算出電路參數由此可算出電路參數R或或c。tqLnRc1 QLn2.2.作圖規(guī)則作圖規(guī)則決定作圖參量決定作圖參量(標尺）、標尺）、選取坐標紙。選取坐標紙。 作圖一定要用坐標紙，作圖一定要用坐標紙，測量數據中的可靠數字在圖測量數據中的可靠數字在圖上也應是可靠的，即圖紙上上也應是可靠的，即圖紙上一小格對應數據中可靠數字一小格對應數據中可靠數字的最后一位，而誤差位在小的最后一位，而誤差位在小格之間估計。格之間估計。 作圖時縱坐標和橫坐標的比例不一定相同，坐標作

11、圖時縱坐標和橫坐標的比例不一定相同，坐標原點也不一定與變量的零點一致。應適當地選擇比例原點也不一定與變量的零點一致。應適當地選擇比例和坐標原點，使曲線盡量充滿整個圖紙，不要偏于一和坐標原點，使曲線盡量充滿整個圖紙，不要偏于一角或一邊。角或一邊。 某穩(wěn)壓二極管的某穩(wěn)壓二極管的I V曲線曲線 2.2.作圖規(guī)則作圖規(guī)則 標明坐標軸和圖名標明坐標軸和圖名如果圖中包括多條圖線，每條圖線也要寫名稱。如果圖中包括多條圖線，每條圖線也要寫名稱。 2.2.作圖規(guī)則作圖規(guī)則 標點標點若同時有幾條線，分別用若同時有幾條線，分別用“x” “+” “0” “” “” “I”等標點，通常不用園點等標點，通常不用園點“”，

12、特別是小圓點，特別是小圓點“.”，圖線繪制時應準確落在標記的中心上。，圖線繪制時應準確落在標記的中心上。2.2.作圖規(guī)則作圖規(guī)則 連線連線a. 平滑曲線平滑曲線 平滑曲線是表示一定條件下兩個物理量之間相互關系的圖線。平滑曲線是表示一定條件下兩個物理量之間相互關系的圖線。 如果圖線是反映物理量之間未知函數關系的，一般應繪制如果圖線是反映物理量之間未知函數關系的，一般應繪制平滑曲線，連線應盡量平滑、連續(xù)地過大多數數據點，曲率應平滑曲線，連線應盡量平滑、連續(xù)地過大多數數據點，曲率應連續(xù)過渡，少數數據點不符合整體規(guī)律的，不必過該數據點。連續(xù)過渡，少數數據點不符合整體規(guī)律的，不必過該數據點。b. 校正曲

13、線校正曲線 校正曲線是折線圖，相鄰的實驗點之間都是直線段校正曲線是折線圖，相鄰的實驗點之間都是直線段連接。必須通過每個數據點連成折線。連接。必須通過每個數據點連成折線。 校正值校正值A = A標準標準 - A被校為縱坐標，被校為縱坐標，A被校為橫坐標，被校為橫坐標，各相鄰校驗點之間用直線連接起來得到的各相鄰校驗點之間用直線連接起來得到的A - A被校圖線即被校圖線即為校正曲線。為校正曲線。 c. 擬合直線和擬合曲線擬合直線和擬合曲線 如果測量數據可以用已知或期望的函數方程表示如果測量數據可以用已知或期望的函數方程表示其規(guī)律性，則用該函數方程描繪的曲線就是擬合曲線。其規(guī)律性，則用該函數方程描繪的

14、曲線就是擬合曲線。 從實驗得出的一系列數據為線性關系或近似為線從實驗得出的一系列數據為線性關系或近似為線性關系時，可用一直線作為其圖線。由這些數據得到性關系時，可用一直線作為其圖線。由這些數據得到直的圖線的過程叫做直線擬合。直線擬合時，數據應直的圖線的過程叫做直線擬合。直線擬合時，數據應均勻地分布在直線兩邊。擬合直線是擬合曲線的特例，均勻地分布在直線兩邊。擬合直線是擬合曲線的特例，在實驗中有著廣泛的應用。在實驗中有著廣泛的應用。 注意：注意：連線時不一定通過所有數據點（甚至可能一連線時不一定通過所有數據點（甚至可能一個點都不通過），而是讓數據點均勻地分布在擬合直個點都不通過），而是讓數據點均勻

15、地分布在擬合直線或擬合曲線的兩旁線或擬合曲線的兩旁 說明說明:同一圖上要畫幾條圖線，可以分別用不同虛實線同一圖上要畫幾條圖線，可以分別用不同虛實線 或不同標點或不同顏色畫出來?；虿煌瑯它c或不同顏色畫出來。3.3.作圖舉例作圖舉例直角坐標舉例。測得銅電阻與溫度對應的直角坐標舉例。測得銅電阻與溫度對應的一組數據如表所示，試用直角坐標作圖表一組數據如表所示，試用直角坐標作圖表示出電阻與溫度的函數關系。示出電阻與溫度的函數關系。 測量次數12345678910銅電阻 Rt10.2010.2010.3510.3510.5110.5110.6410.6410.7610.7610.9410.9411.081

16、1.0811.2211.2211.3611.3611.5311.53溫度 t0.00.05.05.010.010.015.015.020.020.025.025.030.030.035.035.040.040.045.045.0)()( C在圖中任選兩點在圖中任選兩點 和和 ，將兩點代入式中可得：將兩點代入式中可得：最后，得到電阻隨溫度的變化關系為：最后，得到電阻隨溫度的變化關系為：)(20.100314. 0 tRc)/(0314. 00 .130 .4860.1070.11Cb由于有由于有x=0的坐標點，故的坐標點，故)(20.10a)70.11, 0 .48(1P)60.10, 0 .1

17、3(2P 用電勢差計校準量程為用電勢差計校準量程為1mV的毫伏表，的毫伏表，測量數據如下（表中單位均為測量數據如下（表中單位均為mV）。在）。在如圖所示的坐標中畫出毫伏表的校準曲線，如圖所示的坐標中畫出毫伏表的校準曲線，并對毫伏表定級別。并對毫伏表定級別。 毫伏表讀數毫伏表讀數0.1000.2000.3000.4000.500 電勢差計讀數電勢差計讀數0.10500.21500.31300.40700.5100 修正值修正值U0.0050.0150.0130.0070.0100.6000.7000.8000.9001.0000.60300.69700.78500.89201.00700.003

18、-0.003-0.015-0.0080.007 毫伏表讀數毫伏表讀數 電勢差計讀數電勢差計讀數 修正值修正值U例例4：%5 . 1%10000. 1015. 0%100%amax 量量程程 毫伏表的級別為：毫伏表的級別為：為為1.5級表級表（1）作用：驗證理論或尋找經驗公式；用內插法和外）作用：驗證理論或尋找經驗公式；用內插法和外推法（在一定條件下）從圖線得到測量數據范圍以外推法（在一定條件下）從圖線得到測量數據范圍以外的數據；作修正曲線及校準曲線；幫助發(fā)現實驗中個的數據；作修正曲線及校準曲線；幫助發(fā)現實驗中個別測試點測量結果的錯誤，對系統(tǒng)誤差進行分析等。別測試點測量結果的錯誤，對系統(tǒng)誤差進行

19、分析等。（2）優(yōu)點：直觀、簡便；如果圖線是依據許多數據點）優(yōu)點：直觀、簡便；如果圖線是依據許多數據點描出的擬合直線或曲線，則有取平均的效果；利用作描出的擬合直線或曲線，則有取平均的效果；利用作圖把復雜的函數關系變換為線性關系即曲線改直等。圖把復雜的函數關系變換為線性關系即曲線改直等。（3）缺點：由于受坐標紙圖幅的限制，有時不能完全）缺點：由于受坐標紙圖幅的限制，有時不能完全反映測量值的有效數字；另外，同一數據，不同的人反映測量值的有效數字；另外，同一數據，不同的人或同一人兩次描繪，結果也不盡相同。因此作圖法是或同一人兩次描繪，結果也不盡相同。因此作圖法是一種粗略的方法。一種粗略的方法。小結：小

20、結：1.1.逐差法的含義逐差法的含義 把實驗測量數量（因變量）進行逐把實驗測量數量（因變量）進行逐項相減或依順序分為兩組實行對應項測項相減或依順序分為兩組實行對應項測量數據相減之差作因變量的多次測量值。量數據相減之差作因變量的多次測量值。然后求出最佳值然后求出最佳值算術平均值的處理算術平均值的處理數據的方法。數據的方法。伏安法測電阻，試用逐差法求出電流伏安法測電阻，試用逐差法求出電流I的最佳值并算出電阻的最佳值并算出電阻R)(1mAIIKK)(5mAIIKK.若按逐項相減，則有若按逐項相減，則有111)(1101nkkkIII 9102312.1101IIIIII 1101101II IVR

21、解：解：根據伏安公式根據伏安公式.若按順序分為兩組（若按順序分為兩組（15為一組，為一組，610為一組）為一組）mAI99. 9596. 993. 903.1001.1004.10 實行對應項相減，其結果如表：實行對應項相減，其結果如表：可以利用這種分組法計算因變量可以利用這種分組法計算因變量 的平均值的平均值根據歐姆定律得根據歐姆定律得)(1000. 11099. 900. 2533 IVR)(1mAIIKK)(5mAIIKK)( I 2.2.有關逐差法的幾點說明有關逐差法的幾點說明使用條件：使用條件： 自變量等間隔變化（對一次逐差必須自變量等間隔變化（對一次逐差必須 是線性關系，否則先進行

22、曲線改直）是線性關系，否則先進行曲線改直）用數據進行直線擬合（一次逐差）用數據進行直線擬合（一次逐差） 優(yōu)點：優(yōu)點： 充分利用測量數據（取平均的效果）充分利用測量數據（取平均的效果）作用：作用： 驗證函數是否線性關系（一次逐差）驗證函數是否線性關系（一次逐差） 如果測量數據不是偶數，計算時就要如果測量數據不是偶數，計算時就要 去掉頭、尾或中間一組數據。去掉頭、尾或中間一組數據。計算不確定度時，把兩個數據的差作計算不確定度時，把兩個數據的差作 為直接測量量來計算不確定度，在數為直接測量量來計算不確定度，在數 據較少時（如據較少時（如7 7個數據，逐差后剩個數據，逐差后剩3 3個）個） 儀器誤差一

23、般要按照常值儀器誤差一般要按照常值1.41.4倍計算。倍計算。近似計算法比較：近似計算法比較：作圖法：作圖法： 直觀、簡便。但主觀隨意性大（粗略）直觀、簡便。但主觀隨意性大（粗略）逐差法：逐差法： 粗略的近似計算方法（要滿足一定條件）粗略的近似計算方法（要滿足一定條件）回歸分析法：回歸分析法： 最準確的計算方法最準確的計算方法1.1.回歸分析法定義：回歸分析法定義： 由數理統(tǒng)計的方法處理數據，通過計算由數理統(tǒng)計的方法處理數據，通過計算確定其函數關系的方法。確定其函數關系的方法。步驟：步驟：1.推斷函數形式（回歸方程）推斷函數形式（回歸方程）2.由實驗數據確定參數由實驗數據確定參數a、b、 c等

24、的最佳值。等的最佳值。3.根據實驗數據檢驗函數關系根據實驗數據檢驗函數關系 是否合理。是否合理。y=aebx+c (指數關系）指數關系）如如 y=a+bx (線性關系）線性關系）2.2.用最小二乘法進行一元線性回歸用最小二乘法進行一元線性回歸（1）最小二乘法原理）最小二乘法原理給定函數關系為給定函數關系為 y = a + bx最小乘數最小乘數a和和b的值是能使各次測的值是能使各次測量值誤差平方和為最小的那個值。量值誤差平方和為最小的那個值。數學表達式為：數學表達式為：Kiixx12min)(最佳（2）一元線性回歸（直線擬合）一元線性回歸（直線擬合）函數形式函數形式bxay （1）實驗數據為實驗

25、數據為.,.,2121kkyyyxxx對應對應由于由于x和和y的測量存在誤差，將的測量存在誤差，將kkyyyxxx.,.,2121和和代入（代入（1）式，等式兩邊并不相等。）式，等式兩邊并不相等。等式兩端的差值用等式兩端的差值用k .,21表示，則表示，則)(111bxay )(222bxay )(kkkbxay .按最小二乘法原理，按最小二乘法原理，a、b最佳值應滿足：最佳值應滿足： kiiikiimin)bxay(1212 （2）由于由于 最小，最小， kii12 （2）式對）式對a和和b求偏導應為求偏導應為0。 kiiikiibxaya11202 kiiiikiixbxayb11202

26、整理后得整理后得 kiikiikiiikikiiixbxayxxbkay12111100（3）由于由于xxkkii 11yykkii 112121xxkkii xyyxkkiii 11 002xbxaxyxbay222xxxyxyxa xayxxxyyxb 22代入（代入（3）式有：）式有：總結：上式總結：上式a、b就是用最小二乘法求得就是用最小二乘法求得擬合直線的截距和斜率的最佳值。擬合直線的截距和斜率的最佳值。注意：注意： 1.用最小二乘法計算用最小二乘法計算a、b時，計算中間過程不時，計算中間過程不宜用有效數字運算法則，否則引起較大的計算誤差，宜用有效數字運算法則，否則引起較大的計算誤差，用計算器為好，把顯示數字都記下來為好。用計算器為好，把顯示數字都記下來為好。 2.若若x、y相關性好，可粗略考慮相關性好，可粗略考慮a的有效數字的有效數字位數與位數與y有效數字最后一位對齊，有效數字最后一位對齊，b的有效數字位的有效數字位數與數與 和和 中有效位數較少的相同。但最中有效位數較少的相同。但最可靠的方法是通過計算可靠的方法是通過計算a、b的不確定度來確定有的不確定度來確定有效數字的位數。效數字的位數。 3.最小二乘法求出擬合