二重積分的變量代換

1、二重積分的變量代換第一頁，共47頁。第二頁，共47頁。第三頁，共47頁。定理21.11 若函數(shù) ( ,),( ,)P x yQ x y在閉區(qū)域 D 上 有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù), 則有ddd ,LDQPP xQ yxy (1)這里 L 為區(qū)域 D 的邊界曲線, 并取正方向. 公式(1)稱為格林公式. 復(fù) 習(xí)注意定理使用的條件.有向性； 連續(xù)性；封閉性.第四頁，共47頁。 LyQxPI dd:L 補(bǔ)補(bǔ)充充曲曲線線使使其其閉閉合合后后用用格格林林公公式式. .ddddL llIP xQ yP xQ y 則則1 1. .滿滿足足連連續(xù)續(xù)性性的的條條件件，則則可可直直接接用用格格林林公公式式. .2 2.

2、.不不滿滿足足連連續(xù)續(xù)性性的的條條件件，則則添添加加曲曲線線挖挖去去洞洞眼眼. . ddddL llIP xQ yP xQ y 則則補(bǔ)補(bǔ)充充曲曲線線的的原原則則： xy1 1. .盡盡可可能能與與 、 軸軸平平行行；.DD 2 2. .與與原原來來的的圖圖形形圍圍在在一一起起為為或或第五頁，共47頁。yxo1 ddLP xQ y （一）曲線積分與路徑無關(guān)的定義2 ddLP xQ y 即只與起點(diǎn)和終點(diǎn)有關(guān).則稱曲線積分與路徑無關(guān). LyQxP dd否則與路徑有關(guān).GB A1L2L顯然ddLGP xQ y 在在 內(nèi)內(nèi)與與路路徑徑無無關(guān)關(guān)dd0,CP xQ y .CG 任意的閉曲線如果在區(qū)域G內(nèi)對(duì)任

3、意的 有12,L L在G內(nèi)第六頁，共47頁。定理21.12 設(shè) D 是單連通閉區(qū)域. 若函數(shù)( ,),P x y( ,)Q x y 在 D 內(nèi)連續(xù), 且具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 則以 下四個(gè)條件等價(jià): (i) 沿 D 內(nèi)任一按段光滑封閉曲線 L, 有dd0;LP xQ y(ii) 對(duì) D 中任一按段光滑曲線 L, 曲線積分 ddLP xQ y與路線無關(guān), 只與 L 的起點(diǎn)及終點(diǎn)有關(guān);ddP xQ y ( ,)u x y(iii) 是 D 內(nèi)某一函數(shù)的全微分, 即在 D 內(nèi)有 ddd ;uP xQ y(iv) 在 D 內(nèi)處處成立 .PQyx 第七頁，共47頁。ARBASB證 (i)(ii) 如圖 2

4、1-19, 設(shè) 與 為聯(lián)結(jié)點(diǎn) A, B 的任意兩條按段光滑曲線, 由 (i) 可推得 ddddARBASBP xQ yP xQ yddddARBBSAP xQ yP xQ ydd0,ARBSAP xQ y所以dddd .ARBASBP xQ yP xQ y2119 圖圖BARS第八頁，共47頁。( ,),u x y(iii)(iv) 設(shè)存在函數(shù)使得ddd ,uP xQ y 因此 ( ,)( ,),( ,)( ,).xyP x yux yQ x yux y 于是由 一點(diǎn)處都有 ( , )( , ).xyyxPQux yux yyx即即 以及 P, Q 具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 便可知道在 D 內(nèi)每

5、( , ) ,( , ),xyyxPQux yux yyx 第九頁，共47頁。解：xyo11Asin2xy L計(jì)算為由點(diǎn)O(0,0)到點(diǎn)A(1,1)的曲線， LyyxxxyxId)(d)2(422.2sinxy 其中L，xyxP22 因?yàn)椋?2yxQ ，xyP2 ，xxQ2 則PQyx 即即.面面上上與與路路徑徑無無關(guān)關(guān)故故曲曲線線積積分分在在 xoyxoyxoy在 平面上成立.xoy第十頁，共47頁。120dxx 2315 選擇如圖所示的路徑xyo11A1:0Ly 2:1Lx 0 1x由由 到到0 1y由由 到到1L2L140(1)dyy 12224(2)d()dLLxxyxxyyL選擇新路

6、徑應(yīng)注意：（3）一般選與坐標(biāo)軸平行的新路徑.（1）新路徑的起點(diǎn)與終點(diǎn)不變,（2）,G 新新路路徑徑224(2)d()dLIxxyxxyy 第十一頁，共47頁。解：2,Pxyy ( )( ),Qyxyxxx ,),(2xyyxP ( ,)( ),Q x yyx 1 0 1 0 dd0yyx.21 ，xQyP 例6. )1 , 1( )0 , 0( 22ddyyxxxyxyxy2)( Cxx 2)( 選擇如圖所示的路徑設(shè)曲線積分與路徑無關(guān)，具有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，yxyxyxLd)(d2 ( )x 其其中中(0)0. 且且(1,1)2(0,0 )d()d .xyxyxy 計(jì)計(jì)算算由已知知即由，0)0( 知

7、C=0,則2)(xx 故原式=xyo1)1 ,1(第十二頁，共47頁。多元函數(shù)的原函數(shù)：,P Q若若滿滿足足定定理理2 21 1. .1 12 2的的條條件件, ,000( , )(,)( , )ddM x yMxyu x yP xQ y 二二元元函函數(shù)數(shù)d ( , )( , )d( , )du x yP x y x Q x y y 具具有有性性質(zhì)質(zhì): :( , )( , )d( , )d.u x yP x yxQ x yy 所所以以我我們們稱稱為為的的一一個(gè)個(gè)原原函函數(shù)數(shù)由此,可以求某個(gè)全微分的原函數(shù)，( , )d ( , )ddu x yu x yP xQ y 如如何何求求使使？),(0y

8、xC ( , )M x y xyo000(,)Mxy 0ddM CMP xQ y 00( , )(,)d( ,dx yx yuPyx Q yx 0 0 ( ,)dxxP x yx 0 ( , )dyyQ x y y 0(, )D xy0( , )d(, )d()M DMP x y xyQyu xxy 或或0 0 (, )dyyQ x yy 0 ( , )dxxP x yx 00( , )(,)ddx yxyP xQ y ，第十三頁，共47頁。例7 試應(yīng)用曲線積分求(2sin )d( cos )dxyxxyy的原函數(shù). 解 這里( ,)2sin,( ,)cos,P x yxy Q x yxy 在

9、整個(gè)平面上成立 cos.PQyyx由定理21.12, 曲線積分(2sin )d( cos )dABxyxxyy只與起點(diǎn) A 和終點(diǎn) B 有關(guān), 而與路線的選擇無關(guān). 第十四頁，共47頁。為此, 取(0,0),( , ),OB x y取路線為圖21-22中的折 002 dcos dxyt txs s2sin.xxy x2120 圖圖( ,0)C x( , )B x yOy線段 于是有 .OCB作業(yè)：P232:5(2); 6(1); P278 3(2sin )d( cos )dABxyxxyy00( ,)2 dcos dxyu x yx xxy y第十五頁，共47頁。例如：:D2222axaaxy

10、ax 積不出來,計(jì)算,dd22yxeDyx 其中D是由中心在原點(diǎn)，半徑為a的圓周所圍成的閉區(qū)域.oxy222ayx D先x后y同樣積不出來.222222 ddaaxxyaaxxey 原原式式:D2222ayaayxay 222222 ddaayxyaayyex 原原式式第十六頁，共47頁。4 二重積分的變量變換 一、二重積分的變量變換公式三、二重積分的廣義極坐標(biāo)變換 二、二重積分的極坐標(biāo)變換 第十七頁，共47頁。一、二重積分的變量變換公式在定積分的計(jì)算中, 我們得到了如下結(jié)論: 設(shè)( )f x , a b( )xt t 在區(qū)間 上連續(xù), 當(dāng) 從變到 時(shí)嚴(yán)格 單調(diào)地從a 變到 b, 且 ( )

11、t 連續(xù)可導(dǎo), 則 ( )d( ( )( )d .(1)baf xxfttt ( )0t , , ,Xa b Y 當(dāng)(即)時(shí), 記 則 1( ),().XYYX 利用這些記號(hào), 公式(1)又可 寫成第十八頁，共47頁。1()( )d( ( )( )d .(2)XXf xxfttt ( )0t 當(dāng)(即 )時(shí), (1)式可寫成 1()( )d( ( )( )d .(3)XXf xxfttt 故當(dāng)( ) t 為嚴(yán)格單調(diào)且連續(xù)可微時(shí), (2)式和(3)式可 統(tǒng)一寫成如下的形式:1()( )d( ( )|( )|d .(4)XXf xxfttt 第十九頁，共47頁。引理 設(shè)變換 :( , ),( , )

12、Txx u vyy u v 將 uv 平面 上由按段光滑封閉曲線所圍的閉區(qū)域 , 一對(duì)一地 ( , ),( , )x u vy u v 映成 xy 平面上的閉區(qū)域 D. 函數(shù) 在內(nèi)分別具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)且它們的函數(shù)行列式 則區(qū)域 D 的面積 ()|( , )|d d .DJ u vu v (5)( ,)( , )0,( , )( , )xxx yuvJ u vu vu vyyuv第二十頁，共47頁。定理21.13 設(shè) ( ,)f x y在有界閉區(qū)域 D 上可積, 變換 :( , ),( , )Txx u vyy u v 將 uv 平面由按段光滑封閉曲線所圍成的閉區(qū)域 一對(duì)一地映成 xy 平面上

13、 ( , ),( , )x u vy u v 的閉區(qū)域 D, 函數(shù) 在內(nèi)分別具有 一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)且它們的函數(shù)行列式 ( , )d d( ( , ),( , )|( , )|d d .Df x yx yf x u vy u vJ u vu v( ,)( , )0,( , ),( , )x yJ u vu vu v 則有第二十一頁，共47頁。例1 求ed d ,x yx yDx y其中 0,0,xyxy 1 D是由解 為了簡(jiǎn)化被積函數(shù), 令,.uxy vxy 所圍的區(qū)域(圖21-23). Ox2123 圖圖11Dy即作變換 11:(),(),22Txuvyvu它的函數(shù)行列式為 11( ,)122(

14、 , )( , )21122x yJ u vu v第二十二頁，共47頁。在 T 的作用下, 區(qū)域 D 的 如圖 21-24 所示. 原象 所以 1ed ded d2x yuxyvDx yu vOvu2124 圖圖1 uvuv 101de d2uvvvvu11101ee(ee )d.24vv第二十三頁，共47頁。例如：:D2222axaaxyax 積不出來,計(jì)算,dd22yxeDyx 其中D是由中心在原點(diǎn)，半徑為a的圓周所圍成的閉區(qū)域.oxy222ayx D先x后y同樣積不出來.222222 ddaaxxyaaxxey 原原式式:D2222ayaayxay 222222 ddaayxyaayye

15、x 原原式式第二十四頁，共47頁。二、二重積分的極坐標(biāo)變換 當(dāng)積分區(qū)域是圓域或圓域的一部分, 或者被積函數(shù) 的形式為22()f xy時(shí), 采用極坐標(biāo)變換cos,:0, 02,sin,xrTryr (8)往往能達(dá)到簡(jiǎn)化積分區(qū)域或被積函數(shù)的目的. 此時(shí), 變換 T 的函數(shù)行列式為 cossin( ,).sincosrJ rrr 第二十五頁，共47頁。容易知道, 極坐標(biāo)變換 T 把r 平面上的矩形 0,R 此對(duì)應(yīng)不是一對(duì)一的, 222:.DxyR變換成 xy 平面上的圓域0,2 但 OyxBAAB D (a)2126 圖圖(b)O r 2 2 RDFCE 第二十六頁，共47頁。定理21.14 設(shè)(

16、,)f x y滿足定理21.13 的條件, 且在 xyr 極坐標(biāo)變換 (8)下, 平面上的有界閉域 D 與平 面上區(qū)域 對(duì)應(yīng), 則成立 ( ,)d d( cos , sin ) d d .(9)Df x yx yf rrr r 記憶方法：( , )d:Df x y cosxr sinyr ddd dxyrr cos , sin )d(drDrf rrr .rDD 其其中中是是 在在極極坐坐標(biāo)標(biāo)系系下下的的區(qū)區(qū)域域dd drr .- - - - - - - - -極極坐坐 系系下下的的面面積積元元素素標(biāo)標(biāo)第二十七頁，共47頁。2.二重積分化為二次積分的公式（）(1)區(qū)域特征如圖, 12( )(

17、).r (極點(diǎn)在區(qū)域D的外部)xDo1( )r 2( )r 12( ),( ) ,. 其其中中函函數(shù)數(shù)在在區(qū)區(qū)間間上上連連續(xù)續(xù)d ( cos , sin ) d dDf rrr r 21( )( )( cos , sin ) d .f rrrr 第二十八頁，共47頁。特殊地,區(qū)域特征如圖,12( )( ).r xoD2( )r 1( )r (極點(diǎn)在區(qū)域D的外部)12( ),( ) ,. 其其中中函函數(shù)數(shù)在在區(qū)區(qū)間間上上連連續(xù)續(xù)d ( cos , sin ) d dDf rrr r 21( )( )( cos , sin ) d .f rrr r 第二十九頁，共47頁。2.二重積分化為二次積分的

18、公式（）( )r xoD (2)區(qū)域特征如圖(極點(diǎn)在區(qū)域D的邊界上),0( ).r ( ) ,. 其其中中函函數(shù)數(shù)在在區(qū)區(qū)間間上上連連續(xù)續(xù) d ( cos , sin ) d dDf rrrr ( ) 0( cos , sin ) d .f rrrr 第三十頁，共47頁。2.二重積分化為二次積分的公式（）(3)區(qū)域特征如圖0( ).r Dox( )r ,2 0 (極點(diǎn)在區(qū)域D的內(nèi)部)( ) ,. 其其中中函函數(shù)數(shù)在在區(qū)區(qū)間間上上連連續(xù)續(xù)極坐標(biāo)系下區(qū)域的面積d d .Drr ( cos , sin ) d dDf rrrr 2 0d ( ) 0( cos , sin ) d .f rrrr 第三

19、十一頁，共47頁。說明：1.應(yīng)掌握把直角坐標(biāo)系下的二重積分化為極坐標(biāo)系下的二重積分.( , )d dDf x yx y cosx （siny ddddxy ）cos ,sin(d)dDf 2. 極坐標(biāo)系下的二重積分為二次積分.定限方法-射線穿越法：.D 若若 夾夾在在兩兩射射線線，（）之之間間，則則D 在在 ， 之之間間任任取取 ，過過極極點(diǎn)點(diǎn)做做極極角角為為 的的射射線線穿穿越越 ，1212. 入入口口線線為為（ ），出出口口線線為為（ ）則則（，）d ( cos ,sin ) d dDf 21( )( )( cos ,sin ) d .f 22()()xf xyfy 0 01 1 . .當(dāng)

20、當(dāng)被被積積函函數(shù)數(shù)中中含含或或者者時(shí)時(shí)；D0 02 2 . .積積分分區(qū)區(qū)域域 為為圓圓域域或或者者為為圓圓域域的的一一部部分分時(shí)時(shí)；3.何時(shí)用極坐標(biāo)？第三十二頁，共47頁。例2.計(jì)算,dd22yxeDyx 其中D是由中心在原點(diǎn)，半徑為a的圓周所圍成的閉區(qū)域.解：2 2 0 0ddae ).1(2ae Doxa 220012ae 2 20 01 d2ae : 0,02.Da yxeDyxdd22 在極坐標(biāo)系下，第三十三頁，共47頁。例3 計(jì)算 22d,1DIxy 其中 D 為圓域: 221.xy 解 由于原點(diǎn)為 D 的內(nèi)點(diǎn), 故由 (12) 式, 有 2100222ddd11Drrxyr 12

21、220001dd2.r 第三十四頁，共47頁。例4 計(jì)算 22()ed,xyDI 其中 D 為圓域: 22xy2.R解 利用極坐標(biāo)變換, 由公式 (12), 容易求得 22200ded(1e).RrRIrr 第三十五頁，共47頁。例5.將21101d( , )dxxxf x yy 表示為極坐標(biāo)下的累次積分.10 ,11 ),( 2 xxyxyxD21 xy yx 1解:在極坐標(biāo)系下,可表示為：11,sincos 0,2 cosx siny 211yx ，11,sincosxy 1 于是 原式 121 0 sincosd( cos , sin ) d .f 第三十六頁，共47頁。例6. 設(shè)f(x

22、)連續(xù),則1400d( cos , sin ) df rrr r 等于22210( )d( , )dxxAxf x y y 222100( )d( , )dxBxf x y y 22210( )d( , )dyyCyf x y x 222100( )d( , )dyDyf x y x 2006可表示為：01,r 0,4 y1x1r 2211rxy 4yx 22( , ) 1,0.2Dx y yxyy y x 221xy 解: 22第三十七頁，共47頁。221 d dDxyx y ( , )|01,01Dx yxy 例8. 計(jì)算二重積分 其中積分區(qū)域?yàn)?11D2D解: 如圖，記 221( , )

23、|1,( , )Dx yxyx yD 222( , )|1,( , )Dx yxyx yD 于是12DD 原原式式11222222(1)d d(1)d d(1)d dDDDxyx yxyx yxyx y 1.43 122222(1)d d(1)d dDDxyx yxyx y 1 1 12222 0 0 0 02d(1) dd(1)dxxyy 第三十八頁，共47頁。2222222,()dd_.DxyDxyRxyab 設(shè)設(shè)區(qū)區(qū)域域 為為則則解一:利用極坐標(biāo)計(jì)算:D02 , 0,R 2222()ddDxyxyab 則則 2 0d 22 2222 0(cossin) dRab 22222 011(co

24、ssin)dab 3 0dR 4 22222 011(cossin)d4Rab 42211().4Rab 第三十九頁，共47頁。2222222,()d d_.DxyD xyRxyab 設(shè)設(shè)區(qū)區(qū)域域 為為則則解二:利用對(duì)稱性:D02 , 0,R 22d dd d ,DDxxyyxy 2222()d dDxyxyab 則則22211()d dDxx yab 22221 11()()d d2Dxyx yab 222 01 11()d2 ab 2 0dR 4221 11() 224Rab 222211d dd dDDxx yyx yab 222211d dd dDDxxyxxyab 42211().4Rab 第四十頁，共47頁。三、二重積分的廣義極坐標(biāo)變換 當(dāng)積分區(qū)域?yàn)闄E圓或橢圓的一部分時(shí), 可考慮用如 下的廣義極坐標(biāo)變換:cos,:0, 02 ,sin,xarTrybr 并計(jì)算得cossin( ,).sincosaarJ rabrbbr 第四十一頁，共47頁。例9 求橢球體 2222221xyzabc 的體積. 解 由對(duì)稱性, 橢球體的體積 V 是第一卦限部分體 積的 8 倍, 而這部分是以22221xyzcab 為曲頂, 22( ,) 0, 0bDx yyaxxaa222281d d .DxyVcx yab為底的曲頂柱體, 所以第四十二頁，共4