ChapSec2常微分方程的數(shù)值解法2n

1、楊東武ydw_機電工程學院上節(jié)課內(nèi)容回顧兩兩位位小小數(shù)數(shù)。，計計算算兩兩步步，結結果果保保留留取取，求求解解初初值值問問題題校校正正公公式式用用預預報報2 . 0) 10(1)0()(21),(),(211121hxyyxykkyykyhxhfkyxhfknnnnnn主要內(nèi)容 阿達姆斯（Adams）公式 一階微分方程組求解 高階微分方程求解問題提出問題提出:前面所講的微分方程求解方法中，在計算前面所講的微分方程求解方法中，在計算yn+1時都只時都只用到前面所得的一個值即用到前面所得的一個值即yn，如果能夠多利用前面如果能夠多利用前面已算出的已算出的y0， y1， yn等多個值的信息，可能會等多

2、個值的信息，可能會提高計算的精確度。阿達姆斯（提高計算的精確度。阿達姆斯（Adams）方法就是方法就是基于這種設想的一種基于這種設想的一種線性多步法（用到前面多步的線性多步法（用到前面多步的數(shù)值結果）數(shù)值結果）。dttPydttytfyynxnxnnxnxnn111)()(,(素素。方方程程求求解解方方法法的的主主要要因因的的構構造造形形式式是是決決定定微微分分或或的的插插值值多多項項式式或或從從數(shù)數(shù)值值計計算算原原理理上上講講，)()()(,(),(tPxPtytfyxf0次插值對應于矩形公式求積，推出歐拉方法1次插值對應于梯形公式求積，推出梯形法則高次插值推出阿達姆斯公式（分為內(nèi)插內(nèi)插、外

3、插外插）阿達姆斯公式阿達姆斯公式可可計計算算給給出出。的的值值，則則，假假定定已已經(jīng)經(jīng)算算出出), 1, 2, 3(),(123nnnnkyxffyyyykkknnnn,的的一一元元函函數(shù)數(shù)可可以以看看作作是是的的函函數(shù)數(shù)，是是xfxy近近似似替替代代?？煽梢砸杂糜闷淦洳宀逯抵岛瘮?shù)數(shù)）上上因因此此，在在區(qū)區(qū)間間（)(,1xpfxxnnp(x) f(x)xn-3xn-2xn-1xn外插值xn-2xn-1xnxn+1p(x) f(x)內(nèi)插值以四節(jié)點插值為例以四節(jié)點插值為例3nx2nx1nxnx1nx阿阿達達姆姆斯斯外外推推公公式式則則為為節(jié)節(jié)點點構構造造插插值值公公式式，如如果果以以nnnnxx

4、xx123由由數(shù)數(shù)值值積積分分知知識識可可知知，1321937595524)(nxnxnnnnffffhdxxp于是，于是，),(9),(37),(59),(5524)()(33221111nnnnnnnnnnxnxnnyxfyxfyxfyxfhydxxpxyy顯顯式式、線線性性多多步步方方法法yn-3, yn-2,yn-1,yn均為已知量阿達姆斯內(nèi)插公式阿達姆斯內(nèi)插公式則則為為節(jié)節(jié)點點構構造造插插值值公公式式，如如果果以以112nnnnxxxx1211519924)(nxnxnnnnffffhdxxp于是，于是，),(),(5),(19),(924)()(22111111nnnnnnnnnn

5、xnxnnyxfyxfyxfyxfhydxxpxyy隱隱式式、線線性性多多步步方方法法方程式左右兩邊均含有未知變量yn+1校正公式校正公式阿達姆斯預報阿達姆斯預報),(),(5),(19),(9242211)0(111nnnnnnnnnnyxfyxfyxfyxfhyy校正公式，校正公式，類似于梯形法則的預報類似于梯形法則的預報),(9),(37),(59),(5524332211)0(1nnnnnnnnnnyxfyxfyxfyxfhyy預預報報（顯顯式式公公式式）阿阿達達姆姆斯斯外外推推公公式式校校正正（隱隱式式公公式式）阿阿達達姆姆斯斯內(nèi)內(nèi)插插公公式式條件：條件：不需要繼續(xù)縮小的判定不需要繼

6、續(xù)縮小的判定積分步長積分步長h)0(11nnyy差差阿達姆斯公式的截斷誤阿達姆斯公式的截斷誤公公式式的的（精精度度）階階數(shù)數(shù)。相相應應計計算算的的截截斷斷誤誤差差，從從而而獲獲得得單單步步計計算算過過程程中中所所產(chǎn)產(chǎn)生生的的差差估估計計比比較較分分別別作作泰泰勒勒展展開開，通通過過及及中中的的二二元元函函數(shù)數(shù)，將將阿阿達達姆姆斯斯公公式式，即即步步計計算算結結果果均均是是精精確確的的假假設設前前面面計計算算所所得得的的多多方方法法：1111)()(),()(nnnkknkkyxyxyyxfyxyy要要迭迭代代。定定性性，但但計計算算過過程程中中需需隱隱式式公公式式具具有有較較好好的的穩(wěn)穩(wěn)插插公

7、公式式均均為為四四階階方方法法；阿阿達達姆姆斯斯外外推推公公式式與與內(nèi)內(nèi)結結論論：. 2. 1”阿阿達達姆姆斯斯方方法法的的“開開始始的的開開始始。以以便便于于方方法法中中多多點點插插值值獲獲得得幾幾個個節(jié)節(jié)點點的的函函數(shù)數(shù)值值他他方方法法多多是是已已知知的的，必必須須通通過過其其這這一一點點的的函函數(shù)數(shù)值值有有前前幾幾點點的的函函數(shù)數(shù)值值，但但只只計計算算過過程程中中總總要要用用到到先先開開始始”的的阿阿達達姆姆斯斯方方法法不不是是“自自00yx點點函函數(shù)數(shù)值值的的精精度度。因因此此，能能夠夠保保證證開開始始三三方方法法同同樣樣的的精精度度，庫庫塔塔法法具具有有與與阿阿達達姆姆斯斯四四階階龍

8、龍格格庫庫塔塔法法求求取取算算通通常常采采用用四四階階龍龍格格開開頭頭三三點點的的函函數(shù)數(shù)值值的的計計一階微分方程組初值問題一階微分方程組初值問題 )(,.),(,()(.)(,.),(,()(1111xyxyxfxyxyxyxfxymmmm初值初值0002020101)(,.,)(,)(mmyxyyxyyxy 將問題記作將問題記作向量形式向量形式，令：，令： 001011.,.,.mmmyyyfffyyy 00)(),()(yxyyxfxy前述所有公式皆前述所有公式皆成立成立,即適用于向即適用于向量形式。量形式。高階微分方程高階微分方程 10)1(1000)1()()(,.,)(,)(),.

9、,(nnnnaxyaxyaxyyyyxfy化作化作一階微分方程組一階微分方程組求解。求解。引入新變量引入新變量)1(21,., nnyyyyyy ),.,(.1121nnnnyyxfyyyyy初值條件為：初值條件為：10102001)(.)()( nnaxyaxyaxy例例: : 用預報用預報校正公式校正公式求解下面二階常微分方程求解下面二階常微分方程 1)0(, 0)0(05yyxyyy 其中步長其中步長h h0.1,0.1,求求y(0.1)=?y(0.1)=?)(21),(),(211121kkyykyhxhfkyxhfknnnnnn階階微微分分方方程程組組的的形形式式，則則二二階階微微分分方方程程化化為為一一解解：令令, yzzyxzzy5zyxzqzyp5,同同時時若若記記下下：分分方方程程組組的的初初值值問問題題如如則則有有向向量量形形式式的的一一階階微微10, 05,0000zypxzyxzpxqp，寫為寫為校正公式的向量形式可校正公式的向量形式可相應地，預報相應地，預報)(21),(),(211121kkppkphxqhkpxqhknnnnnn5 . 01 . 0150011 . 0)10, 0(1 . 0),(00