平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義教學(xué)設(shè)計(jì)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上241平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義溫溪高中 徐佳一、 背景分析1、學(xué)習(xí)任務(wù)分析平面向量的數(shù)量積是繼向量的線性運(yùn)算之后的又一重要運(yùn)算，也是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)重要概念，在數(shù)學(xué)、物理等學(xué)科中應(yīng)用十分廣泛。本節(jié)課的主要學(xué)習(xí)任務(wù)是通過物理中“功”的事例抽象出平面向量數(shù)量積的概念，在此基礎(chǔ)上探究數(shù)量積的性質(zhì)與運(yùn)算律，使學(xué)生體會類比的思想方法，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括和推理論證的能力。其中數(shù)量積的概念既是對物理背景的抽象，又是研究性質(zhì)和運(yùn)算律的基礎(chǔ)。同時(shí)也因?yàn)樵谶@個(gè)概念中，既有長度又有角度，既有形又有數(shù)，是代數(shù)、幾何與三角的最佳結(jié)合點(diǎn)，不僅應(yīng)用廣泛，而且很好的體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思

2、想，使得數(shù)量積的概念成為本節(jié)課的核心概念，自然也是本節(jié)課教學(xué)的重點(diǎn)。2、學(xué)生情況分析學(xué)生在學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容之前，已熟知了實(shí)數(shù)的運(yùn)算體系，掌握了向量的概念及其線性運(yùn)算，具備了功等物理知識，并且初步體會了研究向量運(yùn)算的一般方法：即先由特殊模型（主要是物理模型）抽象出概念，然后再從概念出發(fā)，在與實(shí)數(shù)運(yùn)算類比的基礎(chǔ)上研究性質(zhì)和運(yùn)算律。這為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)量積做了很好的鋪墊，使學(xué)生倍感親切。但也正是這些干擾了學(xué)生對數(shù)量積概念的理解，一方面，相對于線性運(yùn)算而言，數(shù)量積的結(jié)果發(fā)生了本質(zhì)的變化，兩個(gè)有形有數(shù)的向量經(jīng)過數(shù)量積運(yùn)算后，形卻消失了，學(xué)生對這一點(diǎn)是較難接受的；另一方面，由于受實(shí)數(shù)乘法運(yùn)算的影響，也會造成學(xué)生對數(shù)

3、量積理解上的偏差，特別是對性質(zhì)和運(yùn)算律的理解。因而本節(jié)課教學(xué)的難點(diǎn)仍是數(shù)量積的概念。二、教學(xué)目標(biāo)1.知識與技能：掌握平面向量的數(shù)量積的定義、運(yùn)算律及其物理意義。2.過程與方法：（1）通過向量數(shù)量積物力背景的了解，體會物理學(xué)和數(shù)學(xué)的關(guān)系。（2）通過向量數(shù)量積定義的得出，體會簡單歸納與嚴(yán)謹(jǐn)定義的區(qū)別。（3）通過向量數(shù)量積分配律的學(xué)習(xí)，體會類比，猜想，證明的探索式學(xué)習(xí)方法。3.情感、態(tài)度與價(jià)值觀：通過本節(jié)探究性學(xué)習(xí)，讓學(xué)生嘗試數(shù)學(xué)研究的過程。三、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)重點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的定義難點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的定義及平面向量數(shù)量積的定義的應(yīng)用。四、教學(xué)基本流程概念引入概念獲得簡單運(yùn)用算律探究理解掌握反思

4、提高五、教學(xué)準(zhǔn)備 1、實(shí)驗(yàn)教具：計(jì)算機(jī)、黑板、粉筆 2、教學(xué)支持資源：制作高效實(shí)用的電腦多媒體課件，主要作用是改變相關(guān)內(nèi)容的呈現(xiàn)方式，以此來節(jié)約課時(shí)，增加課堂容量。六、教學(xué)過程教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)內(nèi)容師生互動(dòng)設(shè)計(jì)意圖回顧舊知1.向量的模和夾角分別是什么概念？當(dāng)兩個(gè)向量的夾角分別為0，90，180時(shí)，這兩個(gè)向量的位置關(guān)系如何？ 2.任意兩個(gè)向量都可以進(jìn)行加、減運(yùn)算，那么任意兩個(gè)向量是否也可以進(jìn)行乘法運(yùn)算呢？學(xué)生思考回答承前啟后回顧已學(xué)習(xí)的向量相關(guān)知識。同時(shí)調(diào)動(dòng)學(xué)生參與課堂學(xué)習(xí)活動(dòng)的興趣和積極性。引入以物理學(xué)中的做功為背景引入思考1：如圖，一個(gè)物體在力F的作用下產(chǎn)生位移s，且力F與位移s的夾角為，那么力F

5、所做的功W是多少？ 力做的功：W = |F|s|cosq，q是F與s的夾角思考2：功是一個(gè)標(biāo)量，它由力和位移兩個(gè)向量所確定，能否把“功”看成兩個(gè)向量的一種運(yùn)算的結(jié)果？從中你得到那些啟示？小結(jié)：向量的數(shù)量積的定義及夾角的特征。教師提出問題，學(xué)生思考。教師引導(dǎo)學(xué)生理解數(shù)量積的定義。回答后歸納夾角特征：兩個(gè)向量同起點(diǎn)，若不同起點(diǎn)平移至同起點(diǎn)。使學(xué)生了解數(shù)量積的物理背景，讓學(xué)生知道，我們研究數(shù)量積絕不僅僅是為了數(shù)學(xué)自身的完善，而是有其客觀背景和現(xiàn)實(shí)意義的，從而產(chǎn)生了進(jìn)一步研究這種新運(yùn)算的愿望。使學(xué)生在形式上認(rèn)識數(shù)量積的定義。定義形成探究（一）:平面向量數(shù)量積的背景與含義思考3：對于兩個(gè)非零向量a與b，

6、設(shè)其夾角為，把a(bǔ)|bcos叫做a與b的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作ab，即 ab=a|bcos.那么ab的運(yùn)算結(jié)果是向量還是數(shù)量？思考4：對于兩個(gè)非零向量a與b，其數(shù)量積ab何時(shí)為正數(shù)？何時(shí)為負(fù)數(shù)？何時(shí)為零？思考5：對于兩個(gè)非零向量a與b，設(shè)其夾角為，那么acos的幾何意義如何？思考6：對于兩個(gè)非零向量a與b，設(shè)其夾角為，acos叫做向量a在b方向上的投影.那么該投影一定是正數(shù)嗎？向量b在a方向上的投影是什么？小結(jié)：向量的幾何意義及投影的概念教師提出問題，學(xué)生思考。教師可在學(xué)生回答的基礎(chǔ)上進(jìn)一步歸納夾角對投影的正負(fù)情況的影響，加深學(xué)生對投影的認(rèn)識。這樣做不僅讓學(xué)生從“形”的角度重新認(rèn)識數(shù)量積的概念，

7、從中體會數(shù)量積與向量投影的關(guān)系，同時(shí)也更符合知識的連貫性。讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)的概括性、嚴(yán)謹(jǐn)性及可操作性。定義深化探究（二）：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì) 思考1：設(shè)a與b都是非零向量，若ab，則ab等于多少？反之成立嗎？思考2：當(dāng)a與b同向時(shí)，ab等于什么？當(dāng)a與b反向時(shí)，ab等于什么？特別地，aa等于什么？思考3：ab與ab的大小關(guān)系如何？為什么？小結(jié)：向量特殊位置關(guān)系（垂直、共線）下的數(shù)量積的特征。ab ab0a與b同向時(shí)，abab；當(dāng)a與b反向時(shí)，abab；aaa2a2或a 學(xué)生自己回顧、探索、總結(jié)，并發(fā)表自己的看法，教師可對學(xué)生進(jìn)行點(diǎn)撥。體現(xiàn)了教師只是教學(xué)活動(dòng)的引領(lǐng)者，而學(xué)生才是學(xué)習(xí)活動(dòng)的主體

8、，讓學(xué)生成為學(xué)習(xí)的研究者，不斷地體驗(yàn)到成功的喜悅，激發(fā)學(xué)生參與學(xué)習(xí)活動(dòng)的熱情，不僅使學(xué)生獲得了知識，更培養(yǎng)了學(xué)生由特殊到一般的思維品質(zhì).理論遷移 例1已知： |a|=5，|b|=4，a，b=1200，求ab。學(xué)生自己動(dòng)手簡單應(yīng)用。通過計(jì)算鞏固對定義的理解。定義深化探究（二）：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì) 思考4：我們學(xué)過了實(shí)數(shù)乘法的哪些運(yùn)算律？這些運(yùn)算律對向量是否也適用？思考5：對于向量a，b，等式(ab)2 a22abb2和(ab)(ab)a2b2是否成立？為什么？小結(jié)：向量的數(shù)量積的運(yùn)算律abba (a)b(ab)a(b)(ab)c=acbc可讓學(xué)生學(xué)生分組探究，寫運(yùn)算律，可能學(xué)生的答案有遺漏

9、或錯(cuò)誤，教師進(jìn)行補(bǔ)充說明。要求學(xué)生通過對過去所學(xué)的運(yùn)算律回顧，類比得出數(shù)量積的運(yùn)算律，體會不同運(yùn)算的運(yùn)算律不盡相同，培養(yǎng)學(xué)生自主探究，引導(dǎo)學(xué)生動(dòng)手動(dòng)腦解決問題。理論遷移例2 已知a6，b4，向量a與b的夾角為60，求(a2b)(a3b).并思考此運(yùn)算過程類似于哪種運(yùn)算？例3 已知a3，b4，且a與b不共線.求當(dāng)k為何值時(shí)，向量akb與 akb互相垂直？并思考：通過本題你有什么收獲？教師可將例題內(nèi)容與代數(shù)運(yùn)算進(jìn)行比較。教師重點(diǎn)從對運(yùn)算原理的分析和運(yùn)算過程的規(guī)范書寫兩個(gè)方面加強(qiáng)示范。例2是數(shù)量積的性質(zhì)和運(yùn)算律的綜合應(yīng)用，完成計(jì)算后，進(jìn)一步提出問題：此運(yùn)算過程類似于哪種運(yùn)算？目的是培養(yǎng)學(xué)生通過類比這一思維模式達(dá)到創(chuàng)新的目的。例3的主要作用是，在繼續(xù)鞏固性質(zhì)和運(yùn)算律的同時(shí)，教給學(xué)生如何利用數(shù)量積來判斷兩個(gè)向量的垂直，是平面向量數(shù)量積的基本應(yīng)用之一。課堂小結(jié)1、本節(jié)課我們學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容是什么？2、我們是按照怎樣的