空間向量的數(shù)乘運(yùn)算ppt-人教課標(biāo)版課件

1、3.1.2空間向量的數(shù)乘運(yùn)算問題問題引航引航1.1.空間向量的數(shù)乘運(yùn)算是如何定義的空間向量的數(shù)乘運(yùn)算是如何定義的? ?它滿足哪些運(yùn)它滿足哪些運(yùn)算律算律? ?2.2.共線向量與共面向量的充要條件分別是什么共線向量與共面向量的充要條件分別是什么? ?3.3.實(shí)數(shù)與向量的乘積是向量嗎實(shí)數(shù)與向量的乘積是向量嗎? ?1.1.向量的數(shù)乘運(yùn)算向量的數(shù)乘運(yùn)算(1)(1)數(shù)乘運(yùn)算數(shù)乘運(yùn)算: :結(jié)果結(jié)果實(shí)數(shù)實(shí)數(shù)與空間向量與空間向量a的乘積是一個(gè)的乘積是一個(gè)_的范圍的范圍方向關(guān)系方向關(guān)系模的關(guān)系模的關(guān)系00方向方向_a的模是的模是a的模的的模的_=0=0a= =0, ,其方向是任意的其方向是任意的00方向方向_相同

2、相同相反相反|倍倍向量向量(2)(2)運(yùn)算律運(yùn)算律: :分配律分配律:(:(a+ +b)=_;)=_;結(jié)合律結(jié)合律:(:(a)=_.)=_.a+b()()a2.2.平行平行( (共線共線) )向量向量: :平行平行( (共線共線) )向量向量共面向量共面向量定定義義位置位置關(guān)系關(guān)系表示空間向量的有向線段表示空間向量的有向線段所在的直線的位置關(guān)系所在的直線的位置關(guān)系: :_平行于同一個(gè)平行于同一個(gè)_的向量的向量特征特征方向方向_充充要要條條件件對(duì)空間任意兩個(gè)向量對(duì)空間任意兩個(gè)向量a, ,b( (b0),),ab的充要條件是存在實(shí)數(shù)的充要條件是存在實(shí)數(shù),使使_向量向量p與不共線向與不共線向量量a,

3、 ,b共面的充要共面的充要條件是存在條件是存在_的有序?qū)崝?shù)對(duì)的有序?qū)崝?shù)對(duì)(x,y)(x,y)使使_互相平行或重合互相平行或重合相同或相反相同或相反平面平面a=b惟一惟一p=x=xa+y+yb平行平行( (共線共線) )向量向量共面向量共面向量推推論論對(duì)空間任意一點(diǎn)對(duì)空間任意一點(diǎn)O,O,點(diǎn)點(diǎn)P P在直線在直線l上上的充要條件是存在實(shí)數(shù)的充要條件是存在實(shí)數(shù)t t滿足等滿足等式式_,_,向量向量a為直線為直線l的的_或在直線或在直線l取向量取向量= =a, ,則則 =_=_點(diǎn)點(diǎn)P P位于平面位于平面ABCABC內(nèi)內(nèi)的充要條件是存在的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(duì)有序?qū)崝?shù)對(duì)(x,y),(x,y),使使 =_

4、=_或?qū)臻g任意一點(diǎn)或?qū)臻g任意一點(diǎn)O,O,有有 = =_OPOAt a方向向量方向向量OP AB OAtAB AP xAByAC OAxAByAC OP 1.1.判一判判一判( (正確的打正確的打“”, ,錯(cuò)誤的打錯(cuò)誤的打“”) )(1)(1)實(shí)數(shù)與向量之間可進(jìn)行加法、減法運(yùn)算實(shí)數(shù)與向量之間可進(jìn)行加法、減法運(yùn)算.(.() )(2)(2)若表示兩向量的有向線段所在的直線為異面直線若表示兩向量的有向線段所在的直線為異面直線, ,則這則這兩個(gè)向量不是共面向量兩個(gè)向量不是共面向量.(.() )(3)(3)如果如果 則則P,A,BP,A,B共線共線.(.() )(4)(4)空間中任意三個(gè)向量一定是共面

5、向量空間中任意三個(gè)向量一定是共面向量.(.() )OP OAtAB ，【解析解析】(1)(1)錯(cuò)誤錯(cuò)誤, ,實(shí)數(shù)與向量相加沒有意義實(shí)數(shù)與向量相加沒有意義, ,如如3+3+a不能確定不能確定該式子是實(shí)數(shù)還是向量該式子是實(shí)數(shù)還是向量. .(2)(2)錯(cuò)誤錯(cuò)誤, ,由共面向量的定義知空間中任意兩個(gè)向量都是共面向由共面向量的定義知空間中任意兩個(gè)向量都是共面向量量, ,故此種說法錯(cuò)誤故此種說法錯(cuò)誤. .(3)(3)正確正確, ,能判定能判定P,A,BP,A,B共線共線. .因?yàn)樵娇苫癁橐驗(yàn)樵娇苫癁? : 由共線由共線向量的充要條件可知向量的充要條件可知,P,A,B,P,A,B共線共線. .APtAB

6、 ，(4)(4)錯(cuò)誤錯(cuò)誤, ,空間中的任意三個(gè)向量不一定是共空間中的任意三個(gè)向量不一定是共面向量面向量. .例如例如, ,對(duì)于空間四邊形對(duì)于空間四邊形ABCD,ABCD,這三個(gè)向量就不是共面向量這三個(gè)向量就不是共面向量. .答案答案: :(1)(1)(2)(2)(3)(3)(4)(4)ABAC AD ， ，2.2.做一做做一做( (請(qǐng)把正確的答案寫在橫線上請(qǐng)把正確的答案寫在橫線上) )(1)(1)若若| |a|=5,|=5,b與與a的方向相反的方向相反, ,且且| |b|=7,|=7,則則a= =b. .(2)(2)已知已知b=-5=-5a(|(|a|=2),|=2),向量向量b的長度為的長度

7、為, ,向量向量b的方的方向與向量向與向量a的方向的方向. .(3)(3)已知正方體已知正方體ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中, , ,若若 則則x=x=,y=,y=. .1111A EA C4 ，1AExAAy(AB AD) ，【解析解析】(1)(1)b與與a的方向相反的方向相反, ,所以所以a=b且實(shí)數(shù)且實(shí)數(shù)0,0,由由| |a|=|=|b|,|,所以所以 故故= = 答案答案: : (2)(2)因?yàn)橐驗(yàn)閨 |a|=2,|=2,又又b=-5=-5a, ,所以向量所以向量b的長度為的長度為10,10,又因?yàn)橛忠驗(yàn)?50,-51|1時(shí)時(shí)),),也可以縮小也

8、可以縮小( (當(dāng)當(dāng)|1|00時(shí)時(shí)),),也可以改變也可以改變( (當(dāng)當(dāng)00時(shí)時(shí)).).【即時(shí)練即時(shí)練】化簡化簡 ( (a2 2b3 3c) ) 3(3(a2 2bc) )_._.【解析解析】原式原式 3 3a6 6b3 3c答案：答案： 122125()323abc131051022323 abcabc597.626abc597626abc知識(shí)點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)2 2 共線向量共線向量1.1.對(duì)空間共線向量的兩點(diǎn)說明對(duì)空間共線向量的兩點(diǎn)說明(1)(1)類比理解類比理解: :空間共線向量與平面共線向量的定義完全一樣空間共線向量與平面共線向量的定義完全一樣, ,平面共線向量的結(jié)論在空間共線向量中仍然成立平面

9、共線向量的結(jié)論在空間共線向量中仍然成立. .(2)(2)共線的理解共線的理解:“:“共線共線”這個(gè)概念具有自反性這個(gè)概念具有自反性, ,也具有對(duì)稱性也具有對(duì)稱性, ,即若即若ab, ,則則ba. .2.2.共線向量充要條件的三個(gè)關(guān)注點(diǎn)共線向量充要條件的三個(gè)關(guān)注點(diǎn)(1)(1)區(qū)別區(qū)別: :共線向量與直線平行的區(qū)別共線向量與直線平行的區(qū)別, ,直線平行不包括兩直線直線平行不包括兩直線重合的情況重合的情況, ,而我們說的兩個(gè)共線向量而我們說的兩個(gè)共線向量ab, ,表示向量表示向量a, ,b的有的有向線段所在直線既可以是同一直線向線段所在直線既可以是同一直線, ,也可以是兩條平行直線也可以是兩條平行直

10、線. .(2)(2)零向量零向量: :共線向量的充要條件及其推論是證明共線共線向量的充要條件及其推論是證明共線( (平行平行) )問問題的重要依據(jù)題的重要依據(jù), ,條件條件b0不可遺漏不可遺漏. .(3)(3)方向向量的個(gè)數(shù)方向向量的個(gè)數(shù): :直線的方向向量是指與直線平行或共線的直線的方向向量是指與直線平行或共線的向量向量. .一條直線的方向向量有無限多個(gè)一條直線的方向向量有無限多個(gè), ,它們的方向相同或相反它們的方向相同或相反. .3 3三點(diǎn)三點(diǎn)P P，A A，B B共線的三種充要條件共線的三種充要條件(1)(1)存在實(shí)數(shù)存在實(shí)數(shù)t t，使得，使得 即即(2)(2)存在實(shí)數(shù)存在實(shí)數(shù)t t，使

11、得，使得(3)(3)存在有序?qū)崝?shù)對(duì)存在有序?qū)崝?shù)對(duì)(x(x，y)y)，使得，使得 ( (其中其中x+y=1).x+y=1).APtAB ，APAB. OPOAtAB. OPxOAyOB 【知識(shí)拓展知識(shí)拓展】共線向量定理推論的證明共線向量定理推論的證明推論推論: :如果如果l為經(jīng)過已知點(diǎn)為經(jīng)過已知點(diǎn)A,A,且平行于已且平行于已知向量知向量a的直線的直線, ,那么對(duì)空間任一點(diǎn)那么對(duì)空間任一點(diǎn)O,O,點(diǎn)點(diǎn)P P在在直線直線l上的充要條件是存在實(shí)數(shù)上的充要條件是存在實(shí)數(shù)t,t,滿足等式滿足等式 OPOAtAB. 證明：因?yàn)樽C明：因?yàn)閘a，所以對(duì)于所以對(duì)于l上任意一點(diǎn)上任意一點(diǎn)P P，存在惟一的實(shí)數(shù)，存在

12、惟一的實(shí)數(shù)t t，使得，使得 =t=ta.(.(* *) ) 又因?yàn)閷?duì)于空間任意一點(diǎn)又因?yàn)閷?duì)于空間任意一點(diǎn)O O，有有所以所以 若在若在l上取上取AB=AB=a，則有，則有 ( (* * *) )又因?yàn)橛忠驗(yàn)樗运?AP APOPOA ，OPOAtOPOAt . ，aaOPOAtAB. ABOBOA ，OPOAt OBOA1t OAtOB. 當(dāng)當(dāng)t= t= 時(shí)，時(shí)， 注：其中向量注：其中向量a叫做直線叫做直線l的方向向量的方向向量. .和都叫空間直線的向量表示式，是線段和都叫空間直線的向量表示式，是線段ABAB的中點(diǎn)向量的中點(diǎn)向量公式公式121OPOAOB2 【微思考微思考】(1)(1)若空

13、間中兩向量共線若空間中兩向量共線, ,則它們的方向有什么關(guān)系則它們的方向有什么關(guān)系? ?提示提示: :兩向量共線兩向量共線, ,則它們的方向相同或相反則它們的方向相同或相反. .(2)(2)在兩向量共線的充要條件中在兩向量共線的充要條件中, ,為什么要求為什么要求b0? ?提示提示: :由于我們已經(jīng)規(guī)定了由于我們已經(jīng)規(guī)定了0與任意向量平行與任意向量平行, ,所以當(dāng)所以當(dāng)b= =0時(shí)時(shí), ,a與與b是共線向量是共線向量, ,可如果可如果a0, ,就不可能存在實(shí)數(shù)就不可能存在實(shí)數(shù),使使a=b成立成立. .【即時(shí)練即時(shí)練】給出下列幾個(gè)命題給出下列幾個(gè)命題: :若若a與與b共線共線, ,b與與c共線共

14、線, ,則則a與與c共線共線; ;零向量的方向是任意的零向量的方向是任意的; ;若若ab, ,則存在惟一的實(shí)數(shù)則存在惟一的實(shí)數(shù),使使a=b. .其中真命題的個(gè)數(shù)為其中真命題的個(gè)數(shù)為( () )A.0A.0B.1B.1C.2C.2D.3D.3【解析解析】選選B.B.錯(cuò)誤錯(cuò)誤, ,若若b= =0, ,則則a, ,b共線共線, ,b, ,c共線共線, ,但但a, ,c未必共未必共線線; ;正確正確. .這是關(guān)于零向量的方向的規(guī)定這是關(guān)于零向量的方向的規(guī)定; ;錯(cuò)誤錯(cuò)誤. .若若b= =0, ,則有則有無數(shù)多個(gè)無數(shù)多個(gè)使之成立使之成立. .知識(shí)點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)3 3 共面向量共面向量1.1.對(duì)共面向量的兩點(diǎn)說

15、明對(duì)共面向量的兩點(diǎn)說明(1)(1)共面的理解共面的理解: :共面向量是指與同一個(gè)平面平行的向量共面向量是指與同一個(gè)平面平行的向量, ,可將可將共面向量平移到同一個(gè)平面內(nèi)共面向量平移到同一個(gè)平面內(nèi). .(2)(2)向量的向量的“自由性自由性”: :空間任意的兩向量都是共面的空間任意的兩向量都是共面的. .只要方只要方向相同向相同, ,大小相等的向量就是同一向量大小相等的向量就是同一向量, ,只要能平移到同一平面只要能平移到同一平面上的向量都是共面向量上的向量都是共面向量. .2.2.對(duì)共面向量充要條件的兩點(diǎn)說明對(duì)共面向量充要條件的兩點(diǎn)說明: :(1)(1)表示式表示式: :共面向量的充要條件給出

16、了平面的向量表示式共面向量的充要條件給出了平面的向量表示式, ,說說明空間中任意一個(gè)平面都可以由兩個(gè)不共線的平面向量表示明空間中任意一個(gè)平面都可以由兩個(gè)不共線的平面向量表示出來出來. .(2)(2)正反兩角度正反兩角度: :空間一點(diǎn)空間一點(diǎn)P P位于平面位于平面MABMAB內(nèi)的充分必要條件是存內(nèi)的充分必要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(duì)在有序?qū)崝?shù)對(duì)(x,y),(x,y),使使 滿足這個(gè)關(guān)系式的點(diǎn)滿足這個(gè)關(guān)系式的點(diǎn)P P都在平面都在平面MABMAB內(nèi)內(nèi); ;反之反之, ,平面平面MABMAB內(nèi)的任一點(diǎn)內(nèi)的任一點(diǎn)P P都滿足這個(gè)關(guān)系式都滿足這個(gè)關(guān)系式. .MPxMAyMB. 【微思考微思考】(1)(1)共面向

17、量與直線與平面平行的定義是否一樣共面向量與直線與平面平行的定義是否一樣? ?提示提示: :共面向量是指表示向量的有向線段所在的直線與平面平共面向量是指表示向量的有向線段所在的直線與平面平行或表示向量的有向線段所在的直線在平面內(nèi)行或表示向量的有向線段所在的直線在平面內(nèi), ,它與直線和平它與直線和平面平行是不同的面平行是不同的. .(2)(2)在三個(gè)向量共面的充要條件中在三個(gè)向量共面的充要條件中, ,若兩向量若兩向量a, ,b共線共線, ,那么結(jié)論那么結(jié)論是否還成立是否還成立? ?提示提示: :不成立不成立. .因?yàn)楫?dāng)因?yàn)楫?dāng)p與與a, ,b都共線時(shí)都共線時(shí), ,存在不惟一的實(shí)數(shù)對(duì)存在不惟一的實(shí)數(shù)對(duì)

18、(x,y)(x,y)使使p=x=xa+y+yb成立成立. .當(dāng)當(dāng)p與與a, ,b不共線時(shí)不共線時(shí), ,不存在實(shí)數(shù)對(duì)不存在實(shí)數(shù)對(duì)(x,y)(x,y)使使p=x=xa+y+yb成立成立. .【即時(shí)練即時(shí)練】以下命題以下命題: :若若a, ,b所在直線是異面直線所在直線是異面直線, ,則則a與與b一定不共面一定不共面; ;若若a, ,b, ,c三向量兩兩共面三向量兩兩共面, ,則則a, ,b, ,c三向量一定也共面三向量一定也共面; ;若若a, ,b, ,c三向量共面三向量共面, ,則由則由a, ,b所在直線確定的平面與由所在直線確定的平面與由b, ,c所所在直線確定的平面一定平行或重合在直線確定的

19、平面一定平行或重合. .其中正確命題的個(gè)數(shù)為其中正確命題的個(gè)數(shù)為( () )A.0A.0個(gè)個(gè)B.1B.1個(gè)個(gè)C.2C.2個(gè)個(gè)D.3D.3個(gè)個(gè)【解析解析】選選A.A.錯(cuò)錯(cuò). .由于向量是可以自由平移的由于向量是可以自由平移的, ,所以空間任意所以空間任意兩個(gè)向量一定共面兩個(gè)向量一定共面; ;錯(cuò)錯(cuò). .從正方體一頂點(diǎn)引出的三條棱作為三從正方體一頂點(diǎn)引出的三條棱作為三個(gè)向量個(gè)向量, ,雖然是兩兩共面雖然是兩兩共面, ,但這三個(gè)向量不共面但這三個(gè)向量不共面, ,三個(gè)向量共面三個(gè)向量共面時(shí)時(shí), ,它們所在的直線或者在平面內(nèi)或者與平面平行它們所在的直線或者在平面內(nèi)或者與平面平行; ;錯(cuò)錯(cuò). .首先首先a,

20、 ,b所在直線不一定能確定平面所在直線不一定能確定平面, ,其次在平行六面體其次在平行六面體ABCD-ABCD-A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中, , 三向量共面三向量共面, ,然而平面然而平面ABCDABCD與平面與平面ABBABB1 1A A1 1相交相交. .11ABA B DC ，【題型示范題型示范】類型一類型一 空間向量的數(shù)乘運(yùn)算空間向量的數(shù)乘運(yùn)算【典例典例1 1】(1)(2014(1)(2014上海高二檢測上海高二檢測) )已知正方體已知正方體ABCD-ABCDABCD-ABCD中中, ,點(diǎn)點(diǎn)E E是是ACAC的中點(diǎn)的中點(diǎn), ,點(diǎn)點(diǎn)F F是是AEAE的三等分點(diǎn)的

21、三等分點(diǎn), ,且且AF= EF,AF= EF,則則 等于等于 ( () )12AF 11A.AAABAD22111B.AAABAD222111C.AAABAD266111D. AAABAD366 (2)(2)已知已知ABCDABCD為正方形，為正方形，P P是是ABCDABCD所在平面外一點(diǎn)，所在平面外一點(diǎn)，P P在平面在平面ABCDABCD上的射影恰好是正方形上的射影恰好是正方形ABCDABCD的中心的中心O O，Q Q是是CDCD的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，若求式中若求式中x x，y y的值的值. .OQ PQ xPC yPA ，【解題探究解題探究】1.1.題題(1)(1)中向量如何用向量中向量如何用

22、向量 與向量與向量表示？表示？ 與與 關(guān)系如何？關(guān)系如何？2.2.題題(2)(2)中中 你能確定哪些與向量你能確定哪些與向量 有關(guān)的三角形？有關(guān)的三角形？【探究提示探究提示】1.1.利用平行四邊形法則利用平行四邊形法則與與 可利用線段間的長度比例關(guān)系建立聯(lián)系可利用線段間的長度比例關(guān)系建立聯(lián)系2.2.解答本題需準(zhǔn)確畫圖，有關(guān)的三角形是解答本題需準(zhǔn)確畫圖，有關(guān)的三角形是POQPOQ，可得，可得 對(duì)于對(duì)于PACPAC可得可得AE AA ACAE AF OQPQxPCyPA ，OQ PQ ， ，PC PA ，1AEAAACAF2 ，AE 1AFAE.3 OQPQPO ，1POPAPC2 【自主解答自主

23、解答】(1)(1)選選D.D.由條件由條件AFAF EFEF得得EFEF2AF2AF，所以所以AE=AF+EF=3AF,AE=AF+EF=3AF,所以所以12111AFAE(AAAC )332 1111AAAAACAAAAABAD3232111AAABAD.366 (2)(2)如圖，如圖，因?yàn)橐驗(yàn)樗运詘 xy y1OQ PQ PO PQ(PA PC)2 11PQPAPC22 ，1.2【延伸探究延伸探究】在題在題(2)(2)條件不變的情況下，若條件不變的情況下，若 求求x x，y y的值的值. .【解析解析】因?yàn)橐驗(yàn)镺 O為為ACAC的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，Q Q為為CDCD的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，所以所以

24、所以所以從而有從而有所以所以x x2 2，y y2.2.PAxPO yPQ PD. PA PC 2PO PC PD 2PQ ， ，PA 2PO PC PC 2PQ PD. ， PA 2PO2PQ PD2PO 2PQ PD. 【方法技巧方法技巧】利用數(shù)乘運(yùn)算進(jìn)行向量表示的技巧利用數(shù)乘運(yùn)算進(jìn)行向量表示的技巧(1)(1)數(shù)形結(jié)合：利用數(shù)乘運(yùn)算解題時(shí)，要結(jié)合具體圖形，利用數(shù)形結(jié)合：利用數(shù)乘運(yùn)算解題時(shí)，要結(jié)合具體圖形，利用三角形法則、平行四邊形法則，將目標(biāo)向量轉(zhuǎn)化為已知向量三角形法則、平行四邊形法則，將目標(biāo)向量轉(zhuǎn)化為已知向量(2)(2)明確目標(biāo)：在化簡過程中要有目標(biāo)意識(shí)，巧妙逆用中點(diǎn)坐明確目標(biāo)：在化簡過

25、程中要有目標(biāo)意識(shí)，巧妙逆用中點(diǎn)坐標(biāo)公式標(biāo)公式【變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練】已知矩形已知矩形ABCDABCD，P P為平面為平面ABCDABCD外一點(diǎn)，外一點(diǎn)，M M，N N分別分別為為BCBC，PDPD的中點(diǎn)，求滿足的中點(diǎn)，求滿足 的實(shí)數(shù)的實(shí)數(shù)x x，y y，z z的值的值. . MNxAB yAD zAP 【解析解析】所以所以x x1 1，y y0 0，z z11MN MC CD DNBC BADP22 111AD ABAP ADABAP222 ，1.2【補(bǔ)償訓(xùn)練補(bǔ)償訓(xùn)練】(2014(2014石家莊高二檢測石家莊高二檢測) )已知點(diǎn)已知點(diǎn)G G是是ABCABC的重的重心，心，O O是空間任意一點(diǎn)，若是

26、空間任意一點(diǎn)，若 求求的值的值【解題指南解題指南】構(gòu)造與向量構(gòu)造與向量 有關(guān)的三角形、平行四有關(guān)的三角形、平行四邊形，利用向量加法、減法的運(yùn)算法則及數(shù)乘運(yùn)算求解邊形，利用向量加法、減法的運(yùn)算法則及數(shù)乘運(yùn)算求解. .OA OB OCOG ，OA OBOC ， ，【解析解析】連接連接CGCG并延長交并延長交ABAB于于D D，則則D D為為ABAB中點(diǎn)，且中點(diǎn)，且CGCG2GD2GD，連接，連接AGAG，BG.BG.所以所以所以所以3.3.OA OB OC OG GA OG GB OG GC3OG GA GB GC3OG 2GD GC3OG GC GC 3OG ，類型二類型二 共線向量共線向量【典

27、例典例2 2】(1)(2014(1)(2014廣州高二檢測廣州高二檢測) )已知空間向量已知空間向量a, ,b且且 = =a+2+2b, =, =-5-5a+6+6b,=7,=7a-2-2b, ,則一定共線的三點(diǎn)是則一定共線的三點(diǎn)是( () )A.A,B,DA.A,B,DB.A,B,CB.A,B,CC.B,C,DC.B,C,DD.A,C,DD.A,C,DAB BC (2)(2)如圖所示如圖所示, ,在正方體在正方體ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中,E,E在在A A1 1D D1 1上上, ,且且F F在對(duì)角線在對(duì)角線A A1 1C C上上, ,且且 求證求

28、證:E,F,B:E,F,B三點(diǎn)共線三點(diǎn)共線. .11A E 2ED ，12A FFC.3【解題探究解題探究】1.1.題題(1)(1)中中 用向量用向量a，b如何表示？如何表示？2.2.題題(2)(2)中的向量中的向量 與與 分別用向量分別用向量 表示，表示，其結(jié)果是什么樣的？其結(jié)果是什么樣的？【探究提示探究提示】1. =21. =2a4 4b. .EFEB 1ABAD AA ， ，BD 112422.EFABADAA .51552EBABAD AA .3 BD 【自主解答自主解答】(1)(1)選選A. A. ( (5 5a6 6b) )(7(7a2 2b) )2 2a4 4b所以所以A A，B

29、 B，D D三點(diǎn)共線三點(diǎn)共線(2)(2)設(shè)設(shè)因?yàn)橐驗(yàn)樗运运运訠D BC CD 2AB ，1ABADAA. ， ，abc1112A E 2ED A FFC3 ， ，1111122A EA D A FA C.35 ， 122A EAD33 ，b11122A FAC AA(AB AD AA )55222.555 abc所以所以又又所以所以 所以所以E E，F(xiàn) F，B B三點(diǎn)共線三點(diǎn)共線11EF A F A E 24222()515553 ，abcabc112EB EAA A AB3 bca23 ，abc2EFEB5 ，【方法技巧方法技巧】1.1.判斷向量共線的策略判斷向量共線的策略(1)(1

30、)熟記共線向量充要條件：熟記共線向量充要條件：ab，b0，則存在惟一實(shí)數(shù)，則存在惟一實(shí)數(shù)使使ab；若存在惟一實(shí)數(shù)；若存在惟一實(shí)數(shù)，使，使ab，則，則ab. .(2)(2)判斷向量共線的關(guān)鍵：找到實(shí)數(shù)判斷向量共線的關(guān)鍵：找到實(shí)數(shù).2.2.三點(diǎn)共線與直線平行的判斷三點(diǎn)共線與直線平行的判斷(1)(1)線線平行：證明兩直線平行要先證明兩直線的方向向量線線平行：證明兩直線平行要先證明兩直線的方向向量a，b平行，還要證明直線上有一點(diǎn)不在另一條直線上平行，還要證明直線上有一點(diǎn)不在另一條直線上. .(2)(2)三點(diǎn)共線：證明三點(diǎn)三點(diǎn)共線：證明三點(diǎn)A A，B B，C C共線，只需證明存在實(shí)數(shù)共線，只需證明存在實(shí)

31、數(shù)，使使 或或 即可即可ABBC ABAC 【變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練】如圖所示如圖所示, ,已知四邊形已知四邊形ABCD,ABEFABCD,ABEF都是平行四邊形都是平行四邊形且不共面且不共面,M,N,M,N分別是分別是AC,BFAC,BF的中點(diǎn)的中點(diǎn), ,判斷判斷 與與 是否共線是否共線. .CE MN 【解析解析】因?yàn)橐驗(yàn)镸 M，N N分別是分別是ACAC，BFBF的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，四邊形四邊形ABCDABCD，ABEFABEF都是平行四邊形，都是平行四邊形，所以所以所以所以 即即 與與 共線共線MN MC CB BN 11AC CBBF2211BC BACB(BA BE)2211BC CBBE2

32、211CB BECE22 ，CEMN ，CE MN 【補(bǔ)償訓(xùn)練補(bǔ)償訓(xùn)練】已知已知A A，B B，C C三點(diǎn)共線，則對(duì)空間任一點(diǎn)三點(diǎn)共線，則對(duì)空間任一點(diǎn)O O，存在，存在三個(gè)不為三個(gè)不為0 0的實(shí)數(shù)的實(shí)數(shù)，m m，n n，使，使 0，那么，那么m mn n的值為的值為_OAmOB nOC 【解析解析】因?yàn)橐驗(yàn)锳 A，B B，C C三點(diǎn)共線，所以存在惟一實(shí)數(shù)三點(diǎn)共線，所以存在惟一實(shí)數(shù)k k使使 即即所以所以(k(k1) 1) 0，又又令令k k1 1，m m1 1，n nk k，則則m mn n0.0.答案：答案：0 0AB kAC ，OB OAk OC OA ，OA OB kOC OAmOB n

33、OC ，0類型三類型三 共面向量共面向量【典例典例3 3】(1)(1)已知已知A A，B B，C C三點(diǎn)不共線，三點(diǎn)不共線，O O是平面是平面ABCABC外任一點(diǎn)，若由外任一點(diǎn)，若由 確定的一點(diǎn)確定的一點(diǎn)P P與與A A，B B，C C三點(diǎn)共面，三點(diǎn)共面，則則_._.12OPOAOBOC53 (2)(2)在長方體在長方體ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中,M,M為為DDDD1 1的中點(diǎn)的中點(diǎn),N,N在在ACAC上上, ,且且ANNC=21,ANNC=21,求證求證: : 與與 共面共面. .1A N 11A BA M ，【解題探究解題探究】1.1.空間一點(diǎn)空

34、間一點(diǎn)P P在平面在平面ABCABC內(nèi)的充要條件是存在有內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)組序?qū)崝?shù)組(x(x，y y，z)z)，使得，使得 其中其中x+y+zx+y+z的結(jié)果是多少？的結(jié)果是多少？2.2.題題(2)(2)中要證明中要證明 與與 共面，這三個(gè)向量需建立的共面，這三個(gè)向量需建立的關(guān)系式是什么樣的？關(guān)系式是什么樣的？OPxOAyOBzOC ，1A N 11A BA M ，【探究提示探究提示】1.1.結(jié)果為結(jié)果為1.1.2.2.要證明要證明 與與 共面，需用其中兩個(gè)向量表示另一個(gè)共面，需用其中兩個(gè)向量表示另一個(gè)向量向量. .【自主解答自主解答】(1)(1)由由P P與與A A，B B，C C三

35、點(diǎn)共面，所以三點(diǎn)共面，所以 1 1，解得解得答案：答案： 1A N 11A BA M ，12532.15215所以所以所以所以 與與 共面共面 11111112 A B AB AA A M A DD M122ADAA ANACAB AD233 ， 1112A N AN AAAB ADAA3 111122122AB AA(ADAA )A BA M.33233 1A N 11A BA M ，【方法技巧方法技巧】1.1.四點(diǎn)共面的證明及應(yīng)用四點(diǎn)共面的證明及應(yīng)用(1)(1)利用共面向量的充要條件：空間一點(diǎn)利用共面向量的充要條件：空間一點(diǎn)P P位于平面位于平面MABMAB內(nèi)的充內(nèi)的充分必要條件是存在有序

36、實(shí)數(shù)對(duì)分必要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(duì)(x(x，y)y)，使，使?jié)M足這個(gè)關(guān)系式的點(diǎn)滿足這個(gè)關(guān)系式的點(diǎn)P P都在平面都在平面MABMAB內(nèi)；反之，平面內(nèi)；反之，平面MABMAB內(nèi)的任內(nèi)的任一點(diǎn)一點(diǎn)P P都滿足這個(gè)關(guān)系式這個(gè)充要條件常用以證明四點(diǎn)共面都滿足這個(gè)關(guān)系式這個(gè)充要條件常用以證明四點(diǎn)共面MPxMAyMB. (2)(2)求參數(shù)：向量共面的充要條件的實(shí)質(zhì)是共面的四點(diǎn)中所形求參數(shù)：向量共面的充要條件的實(shí)質(zhì)是共面的四點(diǎn)中所形成的兩個(gè)不共線的向量一定可以表示其他向量，對(duì)于向量共面成的兩個(gè)不共線的向量一定可以表示其他向量，對(duì)于向量共面的充要條件，不僅會(huì)正用，也要能夠逆用它求參數(shù)的值的充要條件，不僅會(huì)正用，也

37、要能夠逆用它求參數(shù)的值2.2.證明空間向量共面的兩種方法證明空間向量共面的兩種方法(1)(1)向量表示：設(shè)法證明其中一個(gè)向量可以表示成另兩個(gè)向量向量表示：設(shè)法證明其中一個(gè)向量可以表示成另兩個(gè)向量的線性組合，即若的線性組合，即若p=x=xa+y+yb，則向量，則向量p，a，b共面共面. .(2)(2)用平面：尋找一個(gè)平面，設(shè)法證明這些向量與該平面平行用平面：尋找一個(gè)平面，設(shè)法證明這些向量與該平面平行. .【變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練】對(duì)于空間任一點(diǎn)對(duì)于空間任一點(diǎn)O O和不共線的三點(diǎn)和不共線的三點(diǎn)A A，B B，C C，有，有 則則x xy yz z1 1是是P P，A A，B B，C C四點(diǎn)共面四點(diǎn)共面的

38、的( )( )A A必要不充分條件必要不充分條件 B B充分不必要條件充分不必要條件C C充要條件充要條件 D D既不充分又不必要條件既不充分又不必要條件OPxOAyOB zOC ，【解題指南解題指南】先確定哪一部分是條件，哪一部分是結(jié)論，再先確定哪一部分是條件，哪一部分是結(jié)論，再從兩個(gè)方面證明看是否成立從兩個(gè)方面證明看是否成立. .【解析解析】選選B.B.若若x xy yz z1 1，則，則即即 由共面向量充要條件可知向量由共面向量充要條件可知向量共面，所以共面，所以P P，A A，B B，C C四點(diǎn)共面；反之，若四點(diǎn)共面；反之，若P P，A A，B B，C C四點(diǎn)四點(diǎn)共面，當(dāng)共面，當(dāng)O O

39、與四個(gè)點(diǎn)中的一個(gè)與四個(gè)點(diǎn)中的一個(gè)( (比如比如A A點(diǎn)點(diǎn)) )重合時(shí)，重合時(shí)， 0，x x可可取任意值，不一定有取任意值，不一定有x xy yz z1.1.OP1 yz OAyOB zOC ，APyAB zAC ，AP ABAC ， ，OA【補(bǔ)償訓(xùn)練補(bǔ)償訓(xùn)練】A A，B B，C C不共線，對(duì)空間任意一點(diǎn)不共線，對(duì)空間任意一點(diǎn)O O，若，若 則則P P，A A，B B，C C四點(diǎn)四點(diǎn)( )( )A A不共面不共面 B B共面共面C C不一定共面不一定共面 D D無法判斷是否共面無法判斷是否共面311OPOAOBOC488 ，【解析解析】選選B. B. 所以所以所以所以由共面的充要條件知由共面的充

40、要條件知P P，A A，B B，C C四點(diǎn)共面四點(diǎn)共面311OPOAOBOC488 311OAOA AB(OA AC)48811OAABAC88 ，11OP OAABAC88 ，11APABAC.88 【巧思妙解巧思妙解】巧用共面向量的充要條件證明共面巧用共面向量的充要條件證明共面( (線面平行線面平行) ) 【典例典例】已知已知E,F,G,HE,F,G,H分別是空間四邊形分別是空間四邊形ABCDABCD的邊的邊AB,BC,CD,DAAB,BC,CD,DA的中點(diǎn)的中點(diǎn). .(1)(1)證明證明E,F,G,HE,F,G,H四點(diǎn)共面四點(diǎn)共面. .(2)(2)證明證明BDBD平面平面EFGH.EFG

41、H.【教你審題教你審題】【常規(guī)解法常規(guī)解法】(1)(1)又又所以所以 所以四點(diǎn)所以四點(diǎn)E E，F(xiàn) F，G G，H H共面共面. .(2)(2)因?yàn)橐驗(yàn)樗运訣HBD.EHBD.又又EHEH平面平面EFGHEFGH，BDBD 平面平面EFGHEFGH，所以所以BDBD平面平面EFGH.EFGH. 111EH AH AEADABBD222 ，111FGCG CFCDCBBD222 ，111EH AH AEADABBD222 ，EH FG ，【巧妙解法巧妙解法】連接連接EGEG，BG.BG.(1)(1)因?yàn)橐驗(yàn)?由向量共面的充要條件知：由向量共面的充要條件知：E E，F(xiàn) F，G G，H H四點(diǎn)共面四點(diǎn)共面(2)(2)因?yàn)橐驗(yàn)橛钟?不共線，所以不共線，所以 與與 共面共面又又BDBD 平面平面EFGHEFGH，所以，所以BDBD平面平面E