數(shù)學(xué)實驗報告2

1、東南大學(xué)實驗報告高等數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)實驗報告實驗人員：院（系）_ _學(xué)號 _姓名 _ _實驗地點： 計算機中心機房實驗一空間曲線與曲面的繪制一、實驗題目：（實驗習(xí)題 1-2 ）利用參數(shù)方程作圖，做出由下列曲面所圍成的立體圖形：(1)z1 x 2y 2 , x2y 2x 及xOy平面；(2)zxy, xy 1 0 及 z0.二、實驗?zāi)康暮鸵饬x1、利用數(shù)學(xué)軟件 Mathematica繪制三維圖形來觀察空間曲線和空間曲面圖形的特點，以加強幾何的直觀性。2、學(xué)會用 Mathematica繪制空間立體圖形。三、程序設(shè)計空間曲面的繪制xx(u, v)yy(u, v),u umin ,max , vvmin , v

2、max 作參數(shù) 方程 zz(u, v)所確定的曲面圖形的Mathematica命令為：ParametricPlot3Dxu,v,yu,v,zu,v,u,umin,umax,v,vmin,vmax, 選項 1東南大學(xué)實驗報告(1)(2)四、程序運行結(jié)果(1)2東南大學(xué)實驗報告10.750.50.250-10-0.50-0.50.5-110.50.250-0.25-0.510.750.50.25000.250.50.75110.53東南大學(xué)實驗報告10.750.510.250.50-10-0.50-0.50.5-11（2）4東南大學(xué)實驗報告五、結(jié)果的討論和分析1、通過參數(shù)方程的方法做出的圖形，可以

3、比較完整的顯示出空間中的曲面和立體圖形。2、可以通過 mathematica軟件作出多重積分的積分區(qū)域，使積分能夠較直觀的被觀察。3、從(1)中的實驗結(jié)果可以看出， 所圍成的立體圖形是球面和圓柱面所圍成的立體空間。4、從 (2)中的實驗結(jié)果可以看出圍成的立體圖形的上面曲面的方程是z xy ，下底面的方程是 z=0，右邊的平面是 x y 1 0 。實驗一空間曲線與曲面的繪制一、實驗題目：（實驗習(xí)題 1-3）觀察二次曲面族 zx 2y 2kxy 的圖形。特別注意確定 k 的這樣一些值，當(dāng) k 經(jīng)過這些值時，曲面從一種類型變成了另一種類型。二、實驗?zāi)康暮鸵饬x1. 學(xué)會利用 Mathematica 軟

4、件繪制三維圖形來觀察空間曲線和空間曲線圖形的特點。2. 學(xué)會通過表達式辨別不同類型的曲線。三、程序設(shè)計這里為了更好地分辨出曲線的類型，我們采用題目中曲線的參數(shù)方程來畫圖，即 zr 2kr 2 cos t sin t輸入代碼：ParametricPlot3D5東南大學(xué)實驗報告r*Cost，r*Sint,r2+ k*r2*Cost*Sint,t, 0, 2*Pi, r, 0, 1，PlotPoints -> 30式中 k 選擇不同的值： -4 到 4 的整數(shù)帶入。四、程序運行結(jié)果k=4：1 -1-0.50.5000.51-0.5-13210-1k=3：1-10.5-0.5000.51-0.5

5、-1210k=2：6東南大學(xué)實驗報告10.50-0.5-121.510.50-1-0.500.51k=1:10.50-0.5-11.510.50-1-0.500.51k=0:10.750.50.250-10-0.5-0.500.5-11k=-1:10.57東南大學(xué)實驗報告10.50-0.5-11.510.50-1-0.500.51k=-2:10.50-0.5-121.510.50-1-0.500.51k=-3:1-10.5-0.5000.51-0.5-1210k=-4:8東南大學(xué)實驗報告1-10.5-0.5000.51-0.5-13210-1五、結(jié)果的討論和分析k 取不同值，得到不同的圖形。我

6、們發(fā)現(xiàn)，當(dāng)|k|<2時，曲面為橢圓拋物面；當(dāng) |k|=2時，曲面為拋物柱面；當(dāng) |k|>2時，曲面為雙曲拋物面。實驗二無窮級數(shù)與函數(shù)逼近一、實驗題目：（實驗習(xí)題 2-2）改變例 2 中 m 及 x0 的數(shù)值來求函數(shù)的冪級數(shù)及觀察其冪級數(shù)逼近函數(shù)的情況。二、實驗?zāi)康暮鸵饬x1.利用 Mathematica 顯示級數(shù)部分和的變化趨勢。2.學(xué)會如何利用冪級數(shù)的部分和對函數(shù)進行逼近以及函數(shù)值的近似計算。三、程序設(shè)計若函數(shù) f ( x)(1x) m 能展開成 x- x0 的冪級數(shù)（這里不驗證），則根據(jù)函數(shù)9東南大學(xué)實驗報告展開為冪級數(shù)的展開公式，其展開式為 f ( x)f ( n) ( x0

7、) ( x x )n 。因此首0n 0n!先定義 f ( x) 的 n 階導(dǎo)數(shù)的函數(shù) g(n, x0 )，最后再構(gòu)成和式即得f ( x) 的冪級數(shù)展開式。用Mathematica觀察冪級數(shù)部分和逼近函數(shù)的情況。m=2， x0 =2 時輸入如下命令：m= - 2;f x _ : = ( 1+ x ) m ;x 0= 2 ;g n _ ,x0 _ : = D f x , x, n /. xx0 ;s n _ , x _ : = Su m gk , x0 * ( x - x 0) k , k , 0 ,n ;k!t = Ta bl e s n,x , n , 2 0 ;p 1= P l ot E v

8、 al u at e t , x , - 1 /2 , 1 /2 ;p 2= P l ot ( 1 + x) m , x ,- 1 /2 , 1 / 2 , Pl ot St y l eR G B C ol or 0 , 0 ,1 ;Show p 1, p2 四、程序運行結(jié)果從輸出的圖形觀察f ( x) 展開的冪級數(shù)的部分和逼近函數(shù)f ( x) 的情況：10東南大學(xué)實驗報告3.5432.53221.5110.5-0.4-0.20.20.4-0.4-0.20.20.44321-0.4-0.20.20.4五、結(jié)果的討論和分析從圖中可以看到，當(dāng)n 越大時，冪級數(shù)越逼近函數(shù)。實驗二無窮級數(shù)與函數(shù)逼近一

9、、實驗題目：（實驗習(xí)題 2-3）觀察函數(shù) f ( x)x ,x 0 展成的傅里葉級數(shù)的部分和逼近1,0xf ( x ) 的情況。二、實驗?zāi)康暮鸵饬x1.利用 Mathematica 顯示級數(shù)部分和的變化趨勢。2. 學(xué)會展示傅里葉級數(shù)對周期函數(shù)的逼近情況。三、計算公式f ( x ) 可以展開成傅里葉級數(shù)： a0( an cos nx bn sin nx) ，其中2n 111東南大學(xué)實驗報告ak1f ( x ) coskxdx( k0,1,2, ) ，bk1f ( x ) sinkxdx( k0,1,2, )四、程序設(shè)計輸入代碼：fx_ := Which-Pi <= x < 0, -x,

10、 0 <= x < Pi, 1; an_ := Integrate-x*Cosn*x, x, -Pi, 0/Pi +IntegrateCosn*x, x, 0, Pi/Pi;bn_ := Integrate-x*Sinn*x, x, -Pi, 0/Pi + IntegrateSinn*x, x, 0, Pi/Pi;sx_, n_ :=a0/2+Sumak*Cosk*x + bk*Sink*x, k, 1, n;g1 = Plotfx,x, -2Pi,2Pi,PlotStyle-> RGBColor0, 0, 1,DisplayFunction -> Identity;

11、m = 18;Fori = 1, i <= m, i += 2,g2 = PlotEvaluatesx, i, x, -Pi, Pi, DisplayFunction -> Identity;Showg1, g2, DisplayFunction -> $DisplayFunction五、程序運行結(jié)果32.521.510.5-3-2-112312東南大學(xué)實驗報告32.521.510.5-3-2-112332.521.510.5-3-2-112313東南大學(xué)實驗報告32.521.510.5-3-2-112332.521.510.5-3-2-112332.521.510.5-3-

12、2-112314東南大學(xué)實驗報告32.521.510.5-3-2-112332.521.510.5-3-2-112332.521.510.5-3-2-1123六、結(jié)果的討論和分析從圖表可以看出， n 越大逼近函數(shù)的效果越好， 還可以注意到傅里葉級數(shù)的逼近是整體性的。15東南大學(xué)實驗報告實驗三最小二乘法一、實驗題目： ( 實驗習(xí)題 3-2)一種合金在某種添加劑的不同濃度下進行實驗，得到如下數(shù)據(jù)：濃度 x10.015.020.025.030.0抗壓強度 y27.026.826.526.326.1已知函數(shù) y 與 x 的關(guān)系適合模型： ya bx cx 2 ，試用最小二乘法確定系數(shù) a，b，c，并求

13、出擬合曲線。二、實驗?zāi)康暮鸵饬x1. 學(xué)會利用最小二乘法求擬合曲線。2. 學(xué)會畫數(shù)據(jù)點的散點圖及擬合函數(shù)的圖形，并將兩個圖畫在同一坐標(biāo)下。三、計算公式n根據(jù)最小二乘法，要求Q( a, b, c)( abxicxi2 )y i 2 取最小i1值，令此函數(shù)對各個參數(shù)的偏導(dǎo)等于0，解 n+1 元的方程組便可求得這些參數(shù)的最小二乘解。四、程序設(shè)計輸入代碼：x = Table10.0 + 5.0*i, i, 0, 4;y = 27.0, 26.8, 26.5, 26.3, 26.1;16東南大學(xué)實驗報告xy = Tablexi, yi, i, 1, 5;qa_,b_, c_ := Sum(a + b*xi

14、+ c*xi2- yi)2,i,1, 5NSolveDqa, b, c, a = 0, Dqa, b, c, b = 0,Dqa, b, c, c = 0, a, b, ct1 = ListPlotxy, PlotStyle -> PointSize0.02,DisplayFunction -> Identity;fx_ := 27.56 + -0.0574286*x + 0.000285714*x2; t2 = Plotfx, x, 5, 35, AxesOrigin -> 5, 25, DisplayFunction -> Identity;Showt1, t2,

15、DisplayFunction -> $DisplayFunction五、程序運行結(jié)果首先得到 a，b，c 三個值：a -> 27.56, b -> -0.0574286, c -> 0.000285714然后得到同一坐標(biāo)系下的數(shù)據(jù)點散點圖及擬合函數(shù)的圖形：17東南大學(xué)實驗報告27.22726.826.626.426.25101520253035六、結(jié)果的討論和分析觀察 a，b，c 的值以及圖像可以發(fā)現(xiàn)，二次方項的系數(shù)非常小，而所得的圖像也非常接近于直線。實驗三最小二乘法一、實驗題目： ( 實驗習(xí)題 3-3)在研究化學(xué)反應(yīng)速度時，得到下列數(shù)據(jù)：xiyi369121518

16、212457.641.931.022.716.612.28.96.5其中 xi 表示實驗中作記錄的時間，yi 表示在相應(yīng)時刻反應(yīng)混合物中物質(zhì)的量，試根據(jù)這些數(shù)據(jù)建立經(jīng)驗公式。二、實驗?zāi)康暮鸵饬x1. 學(xué)會利用最小二乘法求擬合曲線。2. 學(xué)會由實際經(jīng)驗或相關(guān)的學(xué)科理論，能夠提供擬合函數(shù)的可取類型，通過適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q將擬合函數(shù)線性化，建立經(jīng)驗公式。三、計算公式18東南大學(xué)實驗報告在許多場合下，擬合函數(shù)不具有線性形式，但是由實際經(jīng)驗或相關(guān)的學(xué)科理論，能夠提供擬合函數(shù)的可取類型，而且可以通過適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q將擬合函數(shù)線性化，同樣可以建立經(jīng)驗公式。模型 yaebx 可以用變量替換Yln y, Xx 將函數(shù)化為線性函數(shù)：Yln abX 。四、程序設(shè)計輸入代碼：（1）生成數(shù)據(jù)并作圖觀察t1=3,6,9,12,15,18,21,24;y1=57.6,41.9,31.0,22.7,16.6,12.2,8.9,6.5;data1=Transposet1,y1;d2=ListPlotdata1,PlotStyle->RGBColor0,0,1,PointSize0.02;（2）確定回歸函數(shù)的類型logy=Logy1;data2=Transposet1,logy