初等變換與初等矩陣

1、 解方程組：解方程組：123123132314254226xxxxxxxx 213142542026把第把第1個(gè)方程分別乘以（個(gè)方程分別乘以（-2）、）、（-1）加到第）加到第2個(gè)、個(gè)、3個(gè)方程個(gè)方程把第把第1行分別乘以（行分別乘以（-2）、）、（-1）加到第）加到第2、3行行1232323231425xxxxxxx 213104120115把未知量系數(shù)和常數(shù)按原順序?qū)懗上卤戆盐粗肯禂?shù)和常數(shù)按原順序?qū)懗上卤硐ń夥匠探M消元法解方程組增廣矩陣增廣矩陣把第第3個(gè)方程分別乘以（個(gè)方程分別乘以（-4）、）、1加到第加到第2個(gè)、個(gè)、1個(gè)方程個(gè)方程把第把第3行分別乘以（行分別乘以（-4）、）、1加到第

2、加到第2、1行行133232263185xxxxx 2026003180115把第把第2個(gè)方程與第個(gè)方程與第3個(gè)個(gè)方程互換位置方程互換位置把第把第2行與第行與第3行互換位置行互換位置132332265318xxxxx 2026011500318 把第把第3個(gè)方程分別乘以個(gè)方程分別乘以（-1）、）、1加到第加到第1、2個(gè)方程個(gè)方程分別把把第分別把把第3行乘以行乘以（-1）、）、1加到第加到第1、2行行123916xxx 100901010016分別把第分別把第1個(gè)方程和第個(gè)方程和第3個(gè)個(gè)方程乘以方程乘以12和和 13分別用分別用12和 13乘第乘第1行和第行和第3行行13233356xxxxx

3、101301150016線(xiàn)性方程組的系數(shù)可以排成下面的一個(gè)表：線(xiàn)性方程組的系數(shù)可以排成下面的一個(gè)表：而利用（而利用（1 1）的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)又可以排成下表：）的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)又可以排成下表：mnmmnnaaaaaaaaa212222111211（3）mmnmmnnbaaabaaabaaa21222221111211（4） 稱(chēng)為線(xiàn)性方程組（稱(chēng)為線(xiàn)性方程組（1 1）的系數(shù)矩陣）的系數(shù)矩陣. .稱(chēng)為線(xiàn)性方程組（稱(chēng)為線(xiàn)性方程組（1 1）的增廣矩陣）的增廣矩陣. . 一個(gè)線(xiàn)性方程一個(gè)線(xiàn)性方程組的增廣矩陣顯組的增廣矩陣顯然完全代表這個(gè)然完全代表這個(gè)方程組方程組. . 下面三種變換稱(chēng)為矩陣的下面三種變換稱(chēng)為矩陣

4、的初等行變換初等行變換（1） 對(duì)調(diào)兩行（對(duì)調(diào)對(duì)調(diào)兩行（對(duì)調(diào)i,j兩行，記作兩行，記作)jirr （2） 以不為零的數(shù)以不為零的數(shù) k 乘某一行的所有元素乘某一行的所有元素 (第第 i行乘數(shù)行乘數(shù) k , 記作記作）kri一、矩陣的初等變換和初等矩陣一、矩陣的初等變換和初等矩陣1、矩陣的初等變換、矩陣的初等變換（3） 把某一行的所有元素的把某一行的所有元素的 k 倍加到另一行對(duì)倍加到另一行對(duì) 應(yīng)的元素上去應(yīng)的元素上去 （第（第i行的行的 k 倍加到第倍加到第j 行上去行上去,記作記作)ijkrr 定義定義 矩陣的初等變換矩陣的初等變換相應(yīng)地有三種相應(yīng)地有三種列初等變換列初等變換（1）交換矩陣的兩

5、列，記作）交換矩陣的兩列，記作ijCC（2）用非）用非0常數(shù)乘以矩陣的某一列的元素，記作常數(shù)乘以矩陣的某一列的元素，記作ikC（3）某一列的元素乘以數(shù)）某一列的元素乘以數(shù)k后加到另一列上去，記作后加到另一列上去，記作jiCkC上述六種變換，統(tǒng)稱(chēng)為矩陣的上述六種變換，統(tǒng)稱(chēng)為矩陣的初等變換初等變換( (換法矩陣換法矩陣) )1. 將將E的第的第i行與第行與第j 行交換得到的初等矩陣行交換得到的初等矩陣 ,1101111011i jijiPj列列行行2、初等矩陣、初等矩陣 單位矩陣單位矩陣E 經(jīng)過(guò)一次初等變換得到的經(jīng)過(guò)一次初等變換得到的矩陣稱(chēng)為矩陣稱(chēng)為初等矩陣初等矩陣，它們是：，它們是： 11( )

6、11iP kk 行行第第 i( (倍法矩陣倍法矩陣) ) 2 以數(shù)以數(shù) 乘單位矩陣的第乘單位矩陣的第 i 行行 得初等矩陣得初等矩陣0k 注注 倍法矩陣的特點(diǎn)是：倍法矩陣的特點(diǎn)是： ；其它元素與單位；其它元素與單位矩陣相同矩陣相同. ( , )i i 元k11( )11ijkP k 行行第第i行行第第j( (消法矩陣消法矩陣) )3、把、把E的第的第j 行的行的k倍加到第倍加到第i行上，得到初等矩陣行上，得到初等矩陣注注消法矩陣的特點(diǎn)是：消法矩陣的特點(diǎn)是： ； 其它元素與單位矩陣相同其它元素與單位矩陣相同.( , )i jk元如如 n n = 4 = 4310000100( )0000001P

7、 kk1000010000100001E2,41000010( )00100001kPk1,40001010000101000P 用初等矩陣用初等矩陣右乘右乘給定矩陣，其結(jié)果就是對(duì)給定給定矩陣，其結(jié)果就是對(duì)給定矩陣施行相應(yīng)的初等矩陣施行相應(yīng)的初等列列變換。變換。 用初等矩陣用初等矩陣左乘左乘給定的矩陣，其結(jié)果就是對(duì)給給定的矩陣，其結(jié)果就是對(duì)給定的矩陣施以相應(yīng)的初等定的矩陣施以相應(yīng)的初等行行變換。變換。3、初等矩陣與初等、初等矩陣與初等 變換變換 之間的關(guān)系之間的關(guān)系定理定理 ，得左乘階初等矩陣用nmijjiaAPm)(,mnmminiijnjjnjiaaaaaaaaaaaaAP21212111

8、211,行行第第 i行行第第 j).( jirrjiAA行行對(duì)對(duì)調(diào)調(diào)行行與與第第的的第第把把：施施行行第第一一種種初初等等行行變變換換相相當(dāng)當(dāng)于于對(duì)對(duì)矩矩陣陣，右右乘乘矩矩陣陣階階初初等等矩矩陣陣以以類(lèi)類(lèi)似似地地，AEnji,mnmimjmnijnijjiaaaaaaaaaaaaAP12222111111,).( jiccjiAA列列對(duì)對(duì)調(diào)調(diào)列列與與第第的的第第把把：施施行行第第一一種種初初等等列列變變換換相相當(dāng)當(dāng)于于對(duì)對(duì)矩矩陣陣；行行的第的第乘乘相當(dāng)于以數(shù)相當(dāng)于以數(shù))(kriAki mnmminiiniaaakakakaaaaAkP212111211)(行行第第 i類(lèi)類(lèi)似似地地，左左乘乘矩矩

9、陣陣以以AkEi)( ).()(kciAkAkEii 列列的第的第乘乘相當(dāng)于以數(shù)相當(dāng)于以數(shù)，其結(jié)果，其結(jié)果矩陣矩陣右乘右乘以以，左左乘乘矩矩陣陣以以，AkEji)(1112112,112212( )niiinj ijijijninmmmnaaaaaaPk Aakaakaakaaaa).(ijkrrjkiA行行上上加加到到第第行行乘乘的的第第相相當(dāng)當(dāng)于于把把 ).()(,jijikccikjAAkE列列上上加加到到第第列列乘乘的的第第把把，其其結(jié)結(jié)果果相相當(dāng)當(dāng)于于右右乘乘矩矩陣陣類(lèi)類(lèi)似似地地，以以3431323324212223141112133433323124232221141312113,

10、 11000000100100100aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaAP 31343332312423222114131211ccaaaaaaaaaaaaA 343132332421222314111213aaaaaaaaaaaa例如例如 343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaA若若如果矩陣如果矩陣A 經(jīng)過(guò)有限次初等變換變成經(jīng)過(guò)有限次初等變換變成BA 容易驗(yàn)證等價(jià)關(guān)系滿(mǎn)足：容易驗(yàn)證等價(jià)關(guān)系滿(mǎn)足：（1） 反身性：對(duì)任意矩陣反身性：對(duì)任意矩陣 A，AA （2） 對(duì)稱(chēng)性：對(duì)稱(chēng)性：ABBA，則則若若（3） 傳遞性：傳遞性：CACBBA則則，若若二、矩陣

11、的等價(jià)和矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形矩陣的等價(jià)和矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形1、等價(jià)矩陣、等價(jià)矩陣定義定義 矩陣矩陣B，則稱(chēng)矩陣，則稱(chēng)矩陣A與矩陣與矩陣B等價(jià)，記作等價(jià)，記作矩陣矩陣A 的行階梯形的行階梯形 0000034000521302301200000000*00*0*rba oooIr的矩陣稱(chēng)為矩陣的矩陣稱(chēng)為矩陣A的標(biāo)準(zhǔn)形。的標(biāo)準(zhǔn)形。（主對(duì)角線(xiàn)上（主對(duì)角線(xiàn)上1的個(gè)數(shù)可以是的個(gè)數(shù)可以是0） 00000000010000100001第第r 行行即即2、矩陣、矩陣A 的標(biāo)準(zhǔn)形的標(biāo)準(zhǔn)形形如形如例例2 設(shè)設(shè) 321020310121,101202102411BA問(wèn)：矩陣問(wèn)：矩陣A和和B是否等價(jià)？是否等價(jià)？ 解解 先求先求 A、

12、B的標(biāo)準(zhǔn)形的標(biāo)準(zhǔn)形 38320210000110120210241114131224ccccccA 38300210000123rr 320002100001233rr 321021100121321020310121B對(duì)對(duì)B施行一系列初等變換得施行一系列初等變換得 0100001000013200001000013432323)21(2ccrcc 321021100001 130021100001BAOIBOIA，所以所以33 010000100001130000100001定理定理 對(duì)任意矩陣對(duì)任意矩陣nmijaA)(存在一系列存在一系列m階初等階初等sPPP、矩陣21和和n階初等矩陣階初等矩陣tQQQ、21使得使得OOOIQQQAQPPPPrttss121121,121PPPPPsstQQQQ21于是有于是有:在定理中令在定理中令:推論推論 對(duì)任意矩陣對(duì)任意矩陣 存在存在m階可逆陣階可逆陣PnmijaA)(和和n階可逆陣階可逆陣Q，使得，使得OOOIPAQr例010102001A將矩陣化為等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形的變換矩陣。解解可以看成是由可以看成是由3階單位矩陣階單位矩陣 經(jīng)經(jīng)4次初等變換次初等變換,AE 3331321,1,2,crccrr 而得而得. 而這而這4次初等變換所對(duì)應(yīng)的初等方陣為次初等變換所對(duì)應(yīng)的初等方陣為:,0101000011 P,1020100011Q,