高級(jí)中學(xué)物理中的相似三角形

1、相似三角形在高中物理試題中的應(yīng)用陳慶威 2021.7.22高中物理中我們常會(huì)用到一些數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)解決一些與生活實(shí)際相關(guān)的事情.在高考的測(cè)試說(shuō)明中明確指出,要求學(xué)生能應(yīng)用學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)知識(shí)處理物理問(wèn)題.如三角函數(shù)、正弦定理、余弦定理、矢量三角形、相似三角形等.其中“相似三角形法指的是在對(duì)物體進(jìn)行受力分析尤其是準(zhǔn)平衡態(tài),即動(dòng)態(tài)平衡過(guò)程 時(shí)找到兩個(gè)相似三角形,其中一個(gè)三角形的邊長(zhǎng)表示長(zhǎng)度我們稱(chēng)之為“幾何三角形,另一個(gè)三角形的邊長(zhǎng)表示力的大小我們稱(chēng)之為“矢量三角形.利用相似三角形法解題,往往能起到化繁為簡(jiǎn),化難為易的良好效果.現(xiàn)把高中物理中常遇到的此類(lèi)問(wèn)題總結(jié)如下：例 1 1、 半徑為 R R 的球形物體固

2、定在水平地面上,球心正上方有一光滑的小滑輪,滑輪到球面 B B 的距離為 h,h,輕繩的一端系一小球,靠放在半球上的 A A 點(diǎn),另一端繞過(guò)定滑輪后用力拉住,使小球靜止,如圖1-1-1 1所示,現(xiàn)緩慢地拉繩,在使小球由 A A 到 B B 的過(guò)程中,半球?qū)π∏虻闹С至?N N 和繩對(duì)小球的拉力 T T的大小變化的情況是解析：如圖 1-21-2 所示,對(duì)小球：受力平衡,由于緩慢地拉繩,所以小球運(yùn)動(dòng)緩慢視為始終處于平衡狀態(tài),其中重力 mgmg 不變,支持力A A、N N 變大,T T 變小C C、N N 變小,T T 先變小后變大B B、N N 變小,T T 變大N N,繩子的拉力 T T 一直在

3、改變,但是總形成封閉的動(dòng)態(tài)三角形圖 1-21-2中小陰影三角形.由于在這個(gè)三角形中有四個(gè)變量：支持力 N N 的大小和方向、繩子的拉力 T T 的大小和方向,所以還要利用其它條件.實(shí)物小球、繩、球面的球心形成的三角形也是一個(gè)動(dòng)態(tài)的封閉三角形圖 1-21-2 中大陰影三角形 ,并且始終與三力形成的封閉三角形相似,那么有如下比例式：TmgNLhRR可得：TJmg運(yùn)動(dòng)過(guò)程中 L L 變小,T T 變小.hRNJRmg運(yùn)動(dòng)中各量均為定值,支持力 N N 不變.正確答案 D D.例 2 2、如圖2-12-1 所示,豎直絕緣墻壁上的Q處由一固定的質(zhì)點(diǎn)A,在Q的正上方的 P P 點(diǎn)用細(xì)線懸掛一質(zhì)點(diǎn) B,AB

4、,A、 B B 兩點(diǎn)由于帶電而相互排斥,致使懸線與豎直方向成角,由于漏電使 A A、B B 兩質(zhì)點(diǎn)的電量逐漸減小,在電荷漏空之前懸線對(duì)懸點(diǎn) P P 的拉力 T T 大小A A、T T 變小B B、T T 變大C C、T T 不變D D、T T 無(wú)法確定解析：有漏電現(xiàn)象,FAB減小,那么漏電瞬間質(zhì)點(diǎn) B B 的靜止?fàn)顟B(tài)被打破,必定向下運(yùn)動(dòng).對(duì)小球漏電前和漏電過(guò)程中進(jìn)行受力分析有如圖2-2-2 2 所示,由于漏電過(guò)程緩慢進(jìn)行,那么任意時(shí)刻均可視為平衡狀態(tài).三力作用構(gòu)成動(dòng)態(tài)下的封閉三角形,而對(duì)應(yīng)的實(shí)物質(zhì)點(diǎn) A A、B B 及繩墻和 P P 點(diǎn)構(gòu)成動(dòng)態(tài)封閉三角形,且有如圖2-2-3 3 不同位置時(shí)陰影

5、三角形的相似情況,那么有如下相似比例：mgTFAB可得：TPBPQmg變化過(guò)程 PBPB、PQ、mgmg 均為定值,所以 T T 不PQPBAB變.正確答案 C C.以上兩例題均通過(guò)相似關(guān)系求解,相對(duì)平衡關(guān)系求解要直觀、簡(jiǎn)潔得多,有些問(wèn)題也可以直接通過(guò)圖示關(guān)系得出結(jié)論.例 3.3.如圖 1 1 所示,支架 ABCABC 其中 2.72.7 孫衛(wèi)仃=1.M=1.M/ /C C= =3&3&熠,在 B B 點(diǎn)掛一重物,G G=500771=500771 求 ABBCABBC 上的受力.解： 受力分析如圖2 2所示,桿A AB B受到拉力作用為金,桿B BC C受到支持力為與 ,這兩個(gè)力的合力與重力

6、 G G 等大反向,顯然由矢量仃、乙,乙構(gòu)造的三角形與圖 1 1 中 4 4 方 C C 相似,由對(duì)應(yīng)邊成比例得：AB_BCACKFF 把=2.2. , ,meme= =3 3 詢,立=1.M1.MG G= =5050 代入上TBC圖式,可解得人 F 陽(yáng),|%|% 100(W100(W例 4.4.如圖 3 3 所示,長(zhǎng)為 5m5m 的細(xì)繩的兩端分別系于豎立的地面上相距為 4m4m 的兩桿的頂端 A A、B B 上,繩上掛一個(gè)光滑的輕質(zhì)掛鉤,具下連著一個(gè)重為 12N12N 的物體.平衡時(shí),繩中的張力 T=NT=N圖3 3解： 受力分析,如圖 4 4 所示.因輕質(zhì)掛鉤光滑,所以 AOBAOBO O

7、 兩段繩的拉力相等,設(shè)均為 T,T,且這兩個(gè)力白合力與重力 G G 等大反向.現(xiàn)在構(gòu)建相似三角形,如圖 3 3 所示,延長(zhǎng) A A 貝左桿于 3 3,不難證實(shí) QEQE= =8 8, ,又過(guò) 5 5 作右桿的垂線交于|4,|4,顯然,圖3 3、 圖4 4兩圖中陰影局部的三角形相似,又依題意知,國(guó)萬(wàn)有,5=5=4 4屬, ,3 3 席.由相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例得：型竺,代入數(shù)據(jù)解得?二 1 1 口即.TG2圖 4 4例5.5.兩根等長(zhǎng)的輕繩,下端結(jié)于一點(diǎn)掛一質(zhì)量為m m的物體,上端固定在天花板上相距為 S S 的兩點(diǎn)上,兩繩能承受的最大拉力均為 T,T,那么每根繩長(zhǎng)度不得短于多少？解：由于天花板

8、水平,兩繩又等長(zhǎng),所以受力相等.又因 MNWMNW 點(diǎn)距離為 S S 固定,所以繩子越短,兩繩張角越大,當(dāng)合力一定時(shí),繩的張力越大.設(shè)繩子張力為 T T 時(shí),長(zhǎng)度為 L,L,受力分析如圖 6 6 所示.在圖 5 5 中過(guò).點(diǎn)作 M MN N 勺垂線,垂足為 P,P,顯然,圖 5 5、圖 6 6 兩圖中陰影部分的三角形相似,由對(duì)應(yīng)邊成比例得：例 6:6:如下圖,豎直絕緣墻壁上的 Q Q 處有一固定的質(zhì)點(diǎn)A,在 Q Q 的正上方的 P P 點(diǎn)用絲線懸另一質(zhì)點(diǎn) B,B,AB B 兩質(zhì)點(diǎn)由于帶電而相互排斥,致使懸線與豎直方向成.角,由于漏電使 A A、B B 兩質(zhì)點(diǎn)的帶電荷量逐漸減少,在電荷漏電完之前

9、懸線對(duì)懸點(diǎn) P P 的拉力大小解析：取球?yàn)檠芯繉?duì)象,如圖 1-2 所示,球受重力 G 斜面支持力 F Fi、擋板支持力由于球始終處于平衡狀態(tài),故三個(gè)力的合力始終為零,將三個(gè)力矢量構(gòu)成封閉的三角形.的方向不變,但方向不變,始終與斜面垂直.E 的大小、方向均改變,隨著擋板逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),E 的方向也逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng),動(dòng)態(tài)矢量三角形圖 1-3 中一畫(huà)出的一系列虛線表示變化的由此可知,F F2先減小后增大,F Fi隨增大而始終減小.例 8.8.一輕桿 BOBO 其 O O 端用光滑鍍鏈固定在豎直輕桿繩,細(xì)繩跨過(guò)桿頂 A A 處的光滑小滑輪,用力 F F 拉住,如圖使桿 BOBO 與卞 fAfAO 間的夾角 0

10、 0 逐漸減少,那么在此過(guò)程中,拉力()FN先減小,后增大 B.FN始終不變F F 先減小,后增大 D.F F 始終不變A.A.變小B.B.變大C.C.不變D.D.無(wú)法確定解：受力分析如圖所不,設(shè)PA=L,PB=lL,PB=l由幾何知識(shí)知： APEABDCAPEABDC那么：PBmg,即:TmglL由于 T T 和丁是作用力和反作用力,故丁=,應(yīng)選 C C例 7 如圖 1 所示,一個(gè)重力 G G 的勻質(zhì)球放在光滑斜面上,斜面傾角為,在斜面上有光滑的不計(jì)厚度的木板擋住球,使之處于靜止?fàn)顟B(tài).今使板與斜面的夾角緩慢增大,問(wèn):在此過(guò)程中,擋板和斜面對(duì)球的壓力大小如何變化?F F2OF FiF F2oA

11、OAO 上,B B 端掛一重物,且系一細(xì) 2-1所示.現(xiàn)將細(xì)繩緩慢往左拉,F F 及桿 BOBO 所受壓力FN的大小變化情況是A.C.6BGF2圖 1-3A解析：取 BO 桿的 B B 端為研究對(duì)象,受到繩子拉力(大小為 F F)、BO 桿的支持力FN和懸掛重物的繩子的拉力(大小為 q 的作用,將FN與 G G 合成,其合力與 F F 等值反向,如圖 2-2 所示,將三個(gè)力矢量構(gòu)成封閉的三角形(如圖中畫(huà)斜線局部),力的三角形與幾何三角形 OBAf 似,利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例可得：(如圖 2-2 所示,設(shè) AO 高為 H,BO 長(zhǎng)為 L,繩長(zhǎng)F了,式中 GHGH、L L 均不變,1 1 逐漸

12、變小,所以可知FN不變,F F 逐漸變小.正確答案為選項(xiàng) B例 9:如圖 2-3 所示,光滑的半球形物體固定在水平地面上,球心正上方有一光滑的小此題是一道典型的利用相似三角形解題的方法,這種方法很巧妙,當(dāng)然同學(xué)也可以用三角解析:首先對(duì)這個(gè)小球進(jìn)行受力分析,找出那些力是始終不變,我們可以知道重力的大小和方向始終是不發(fā)生改變,在根據(jù)力構(gòu)成的三角形和繩子、半球組成的三角形相似,列出mg/h+r=N/r=T/L,在拉動(dòng)的過(guò)程當(dāng)中,重力 mg 是不變的,h+R、R 都是不變的,那么拉動(dòng)繩子后,L 會(huì)變小,那么保持等式成立,拉力 T 就必須減小才滿足例 10、如圖 3-1 所示,物體 G G 用兩根繩子懸

13、掛,開(kāi)始時(shí)繩 OAKOAK 平,現(xiàn)將兩繩同時(shí)順時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò) 90.,且保持兩繩之間的夾角a不變(90),物體保持靜止?fàn)顟B(tài),在旋轉(zhuǎn)過(guò)程1 1,FNL L滑輪,輕繩的一端系一小球,靠放在半球上的球靜止.現(xiàn)緩慢地拉繩,在使小球沿球面由力 N N 和繩對(duì)小球的拉力 T T 的大小變化情況是(A)N N 變大,T T 變小,(B)N N 變小,T T 變大(C)N N 變小,T T 先變小后變大(D)N N 不變,T T 變小A A 點(diǎn),另一端繞過(guò)定滑輪,后用力拉住,使小A A 到半球的頂點(diǎn) B B 的過(guò)程中,半球?qū)π∏虻闹С?D).圖 2-3中,設(shè)繩 OAOA 勺拉力為 F Fi,繩 OBOB 勺拉力為

14、F F2,那么().(A) F Fi先減小后增大(B) F Fi先增大后減小(C) F F2逐漸減小徑的圓中找,貝勵(lì) 3-矢量三角形如圖 3-3 爵 3-畫(huà)出的一系列虛線表示的三停3-必此可知,F Fi先增大后減小,F F2隨始終減小,且轉(zhuǎn)過(guò) 90.時(shí),當(dāng)好為零.正確答案選項(xiàng)為BC、D例 ii 如圖 3-4 所示,在做“驗(yàn)證力的平行四邊形定那么的實(shí)驗(yàn)時(shí),用MN N 兩個(gè)測(cè)力計(jì)通過(guò)細(xì)線拉橡皮條的結(jié)點(diǎn),使其到達(dá) O O 點(diǎn),此時(shí) a+3=90.然后保持 M 的讀數(shù)不變,而使 a 角減小,為保持結(jié)點(diǎn)位置不變,(A)減小N N的讀數(shù)同時(shí)減小(3角(B)減小 N N 的讀數(shù)同時(shí)增大角(C)增大N N的讀

15、數(shù)同時(shí)增大3角(D)增大N N的讀數(shù)同時(shí)減小角例i2.如圖4-i所示,在水平天花板與豎直墻壁間,通過(guò)不計(jì)質(zhì)量的柔軟繩子和光滑的輕小滑輪懸掛重物 G=G=40N,繩長(zhǎng) L L=2.5m,OA=OA=i.5m,求繩中張力的大小,并討論:A A 端緩慢左移時(shí),繩中張力如何變化？B B 端緩慢下移時(shí),繩中張力又如何變化?(D)F F2最終變?yōu)榱鉕解析：取繩子!結(jié)點(diǎn)O O 為研究對(duì)角,受到F2O1繩的拉力,將三力構(gòu)成矢量(如圖 3-3/CDE 不變(由于髡 ia 不變),由于角/DCE 為直角,那么三力的幾何關(guān)系分另愣、中、F F2、F F3,角(i)當(dāng) B 點(diǎn)位置固定,(2)當(dāng) A 點(diǎn)位置固定,解析：

16、取繩子 c 點(diǎn)為研究對(duì)角,受到三根繩的拉力,如圖4-2 所示分別為 F Fi、E E、F F3,延長(zhǎng)繩 AO 交豎直墻于 D D 點(diǎn),由于是同一根輕繩,可得:FiF2,BC 長(zhǎng)度等于 CDAD 長(zhǎng)度等FiC如圖變,DE 邊為直DDF2F3.、圖 3-4圖 4-i圖 42圖 4-4GODGOD, ,；在二角形 AOD 中可知,sinsin.如2sinAD2sinAD左移,AD 變?yōu)槿鐖D 43 中虛線AD所示,可知ADOD 減小,sinsin減小,F Fi變大.如果 B B 端下移,BC 變?yōu)? 虛線 BC所示,可知 AD.OD 不變,sinsin不變,F Fi同穩(wěn)固練習(xí):1 1、如下圖,兩球 A

17、 A、B B 用勁度系數(shù)為 k1k1 的輕彈簧相連,球 B B 用長(zhǎng)為 L L 的細(xì)繩懸于 O O 點(diǎn),球 A A 固定在 O O 點(diǎn)正下方,且點(diǎn) O O、A A 之間的距離恰為 L,L,系統(tǒng)平衡時(shí)繩子所受的拉力為 F1.F1.現(xiàn)把 A A、B B 間的彈簧換成勁度系數(shù)為k k2 2的輕彈簧,仍使系統(tǒng)平衡,此時(shí)繩子所受的拉力為F2,F2,那么F F1 1與F F2 2的大小之間的關(guān)系為B BA.F1F2B.F1=F2A.F1F2B.F1=F2C.F1F2D.C.F190BCA90, ,使/BCA/BCA 緩慢減小,直到桿 B BC C接近豎直桿 AC.AC.此過(guò)程中,桿 BCBC 所受的力A

18、AA.A.大小不變 B.B.逐漸增大C.C.逐漸減小 D.D.先增大后減小于繩長(zhǎng).設(shè)角/OAD 為.；根據(jù)三個(gè)力平衡可得：F Fi質(zhì)量不計(jì)的輕桿果 A A 端不變,如圖4不變.3 3、 如下圖,有兩個(gè)帶有等量的同種電荷的小球 A A 和 B,B,質(zhì)量都是m,m,分別懸于長(zhǎng)為L(zhǎng) L的懸線的一端.今使B B球固定不動(dòng),并使OBOB 在豎直立向上,A A 可以在豎直平面內(nèi)自由擺動(dòng),由于靜電斥力的作用,A A球偏離 B B 球的距離為 x x.如果其它條件不變,A A 球的質(zhì)量要增大到原來(lái)的幾倍,才會(huì)使 ABAB 兩球的距離縮短為%.A 球受三個(gè)力作用 mg?T?F 電,且三力平衡.當(dāng)ABAB距離為工時(shí)空二L L當(dāng)ABAB距離為三時(shí),巴旦二2 產(chǎn).工2F上4141得二=3=3=._=晨故小二皿道2F*2F*8 84 4、如下圖,硬桿 BCBC 一端固定在墻上的 B B 點(diǎn)