高級中學物理中的相似三角形

1、相似三角形在高中物理試題中的應用陳慶威 2021.7.22高中物理中我們常會用到一些數(shù)學知識來解決一些與生活實際相關(guān)的事情.在高考的測試說明中明確指出,要求學生能應用學過的數(shù)學知識處理物理問題.如三角函數(shù)、正弦定理、余弦定理、矢量三角形、相似三角形等.其中“相似三角形法指的是在對物體進行受力分析尤其是準平衡態(tài),即動態(tài)平衡過程 時找到兩個相似三角形,其中一個三角形的邊長表示長度我們稱之為“幾何三角形,另一個三角形的邊長表示力的大小我們稱之為“矢量三角形.利用相似三角形法解題,往往能起到化繁為簡,化難為易的良好效果.現(xiàn)把高中物理中常遇到的此類問題總結(jié)如下：例 1 1、 半徑為 R R 的球形物體固

2、定在水平地面上,球心正上方有一光滑的小滑輪,滑輪到球面 B B 的距離為 h,h,輕繩的一端系一小球,靠放在半球上的 A A 點,另一端繞過定滑輪后用力拉住,使小球靜止,如圖1-1-1 1所示,現(xiàn)緩慢地拉繩,在使小球由 A A 到 B B 的過程中,半球?qū)π∏虻闹С至?N N 和繩對小球的拉力 T T的大小變化的情況是解析：如圖 1-21-2 所示,對小球：受力平衡,由于緩慢地拉繩,所以小球運動緩慢視為始終處于平衡狀態(tài),其中重力 mgmg 不變,支持力A A、N N 變大,T T 變小C C、N N 變小,T T 先變小后變大B B、N N 變小,T T 變大N N,繩子的拉力 T T 一直在

3、改變,但是總形成封閉的動態(tài)三角形圖 1-21-2中小陰影三角形.由于在這個三角形中有四個變量：支持力 N N 的大小和方向、繩子的拉力 T T 的大小和方向,所以還要利用其它條件.實物小球、繩、球面的球心形成的三角形也是一個動態(tài)的封閉三角形圖 1-21-2 中大陰影三角形 ,并且始終與三力形成的封閉三角形相似,那么有如下比例式：TmgNLhRR可得：TJmg運動過程中 L L 變小,T T 變小.hRNJRmg運動中各量均為定值,支持力 N N 不變.正確答案 D D.例 2 2、如圖2-12-1 所示,豎直絕緣墻壁上的Q處由一固定的質(zhì)點A,在Q的正上方的 P P 點用細線懸掛一質(zhì)點 B,AB

4、,A、 B B 兩點由于帶電而相互排斥,致使懸線與豎直方向成角,由于漏電使 A A、B B 兩質(zhì)點的電量逐漸減小,在電荷漏空之前懸線對懸點 P P 的拉力 T T 大小A A、T T 變小B B、T T 變大C C、T T 不變D D、T T 無法確定解析：有漏電現(xiàn)象,FAB減小,那么漏電瞬間質(zhì)點 B B 的靜止狀態(tài)被打破,必定向下運動.對小球漏電前和漏電過程中進行受力分析有如圖2-2-2 2 所示,由于漏電過程緩慢進行,那么任意時刻均可視為平衡狀態(tài).三力作用構(gòu)成動態(tài)下的封閉三角形,而對應的實物質(zhì)點 A A、B B 及繩墻和 P P 點構(gòu)成動態(tài)封閉三角形,且有如圖2-2-3 3 不同位置時陰影

5、三角形的相似情況,那么有如下相似比例：mgTFAB可得：TPBPQmg變化過程 PBPB、PQ、mgmg 均為定值,所以 T T 不PQPBAB變.正確答案 C C.以上兩例題均通過相似關(guān)系求解,相對平衡關(guān)系求解要直觀、簡潔得多,有些問題也可以直接通過圖示關(guān)系得出結(jié)論.例 3.3.如圖 1 1 所示,支架 ABCABC 其中 2.72.7 孫衛(wèi)仃=1.M=1.M/ /C C= =3&3&熠,在 B B 點掛一重物,G G=500771=500771 求 ABBCABBC 上的受力.解： 受力分析如圖2 2所示,桿A AB B受到拉力作用為金,桿B BC C受到支持力為與 ,這兩個力的合力與重力

6、 G G 等大反向,顯然由矢量仃、乙,乙構(gòu)造的三角形與圖 1 1 中 4 4 方 C C 相似,由對應邊成比例得：AB_BCACKFF 把=2.2. , ,meme= =3 3 詢,立=1.M1.MG G= =5050 代入上TBC圖式,可解得人 F 陽,|%|% 100(W100(W例 4.4.如圖 3 3 所示,長為 5m5m 的細繩的兩端分別系于豎立的地面上相距為 4m4m 的兩桿的頂端 A A、B B 上,繩上掛一個光滑的輕質(zhì)掛鉤,具下連著一個重為 12N12N 的物體.平衡時,繩中的張力 T=NT=N圖3 3解： 受力分析,如圖 4 4 所示.因輕質(zhì)掛鉤光滑,所以 AOBAOBO O

7、 兩段繩的拉力相等,設(shè)均為 T,T,且這兩個力白合力與重力 G G 等大反向.現(xiàn)在構(gòu)建相似三角形,如圖 3 3 所示,延長 A A 貝左桿于 3 3,不難證實 QEQE= =8 8, ,又過 5 5 作右桿的垂線交于|4,|4,顯然,圖3 3、 圖4 4兩圖中陰影局部的三角形相似,又依題意知,國萬有,5=5=4 4屬, ,3 3 席.由相似三角形對應邊成比例得：型竺,代入數(shù)據(jù)解得?二 1 1 口即.TG2圖 4 4例5.5.兩根等長的輕繩,下端結(jié)于一點掛一質(zhì)量為m m的物體,上端固定在天花板上相距為 S S 的兩點上,兩繩能承受的最大拉力均為 T,T,那么每根繩長度不得短于多少？解：由于天花板

8、水平,兩繩又等長,所以受力相等.又因 MNWMNW 點距離為 S S 固定,所以繩子越短,兩繩張角越大,當合力一定時,繩的張力越大.設(shè)繩子張力為 T T 時,長度為 L,L,受力分析如圖 6 6 所示.在圖 5 5 中過.點作 M MN N 勺垂線,垂足為 P,P,顯然,圖 5 5、圖 6 6 兩圖中陰影部分的三角形相似,由對應邊成比例得：例 6:6:如下圖,豎直絕緣墻壁上的 Q Q 處有一固定的質(zhì)點A,在 Q Q 的正上方的 P P 點用絲線懸另一質(zhì)點 B,B,AB B 兩質(zhì)點由于帶電而相互排斥,致使懸線與豎直方向成.角,由于漏電使 A A、B B 兩質(zhì)點的帶電荷量逐漸減少,在電荷漏電完之前

9、懸線對懸點 P P 的拉力大小解析：取球為研究對象,如圖 1-2 所示,球受重力 G 斜面支持力 F Fi、擋板支持力由于球始終處于平衡狀態(tài),故三個力的合力始終為零,將三個力矢量構(gòu)成封閉的三角形.的方向不變,但方向不變,始終與斜面垂直.E 的大小、方向均改變,隨著擋板逆時針轉(zhuǎn)動時,E 的方向也逆時針轉(zhuǎn)動,動態(tài)矢量三角形圖 1-3 中一畫出的一系列虛線表示變化的由此可知,F F2先減小后增大,F Fi隨增大而始終減小.例 8.8.一輕桿 BOBO 其 O O 端用光滑鍍鏈固定在豎直輕桿繩,細繩跨過桿頂 A A 處的光滑小滑輪,用力 F F 拉住,如圖使桿 BOBO 與卞 fAfAO 間的夾角 0

10、 0 逐漸減少,那么在此過程中,拉力()FN先減小,后增大 B.FN始終不變F F 先減小,后增大 D.F F 始終不變A.A.變小B.B.變大C.C.不變D.D.無法確定解：受力分析如圖所不,設(shè)PA=L,PB=lL,PB=l由幾何知識知： APEABDCAPEABDC那么：PBmg,即:TmglL由于 T T 和丁是作用力和反作用力,故丁=,應選 C C例 7 如圖 1 所示,一個重力 G G 的勻質(zhì)球放在光滑斜面上,斜面傾角為,在斜面上有光滑的不計厚度的木板擋住球,使之處于靜止狀態(tài).今使板與斜面的夾角緩慢增大,問:在此過程中,擋板和斜面對球的壓力大小如何變化?F F2OF FiF F2oA

11、OAO 上,B B 端掛一重物,且系一細 2-1所示.現(xiàn)將細繩緩慢往左拉,F F 及桿 BOBO 所受壓力FN的大小變化情況是A.C.6BGF2圖 1-3A解析：取 BO 桿的 B B 端為研究對象,受到繩子拉力(大小為 F F)、BO 桿的支持力FN和懸掛重物的繩子的拉力(大小為 q 的作用,將FN與 G G 合成,其合力與 F F 等值反向,如圖 2-2 所示,將三個力矢量構(gòu)成封閉的三角形(如圖中畫斜線局部),力的三角形與幾何三角形 OBAf 似,利用相似三角形對應邊成比例可得：(如圖 2-2 所示,設(shè) AO 高為 H,BO 長為 L,繩長F了,式中 GHGH、L L 均不變,1 1 逐漸

12、變小,所以可知FN不變,F F 逐漸變小.正確答案為選項 B例 9:如圖 2-3 所示,光滑的半球形物體固定在水平地面上,球心正上方有一光滑的小此題是一道典型的利用相似三角形解題的方法,這種方法很巧妙,當然同學也可以用三角解析:首先對這個小球進行受力分析,找出那些力是始終不變,我們可以知道重力的大小和方向始終是不發(fā)生改變,在根據(jù)力構(gòu)成的三角形和繩子、半球組成的三角形相似,列出mg/h+r=N/r=T/L,在拉動的過程當中,重力 mg 是不變的,h+R、R 都是不變的,那么拉動繩子后,L 會變小,那么保持等式成立,拉力 T 就必須減小才滿足例 10、如圖 3-1 所示,物體 G G 用兩根繩子懸

13、掛,開始時繩 OAKOAK 平,現(xiàn)將兩繩同時順時針轉(zhuǎn)過 90.,且保持兩繩之間的夾角a不變(90),物體保持靜止狀態(tài),在旋轉(zhuǎn)過程1 1,FNL L滑輪,輕繩的一端系一小球,靠放在半球上的球靜止.現(xiàn)緩慢地拉繩,在使小球沿球面由力 N N 和繩對小球的拉力 T T 的大小變化情況是(A)N N 變大,T T 變小,(B)N N 變小,T T 變大(C)N N 變小,T T 先變小后變大(D)N N 不變,T T 變小A A 點,另一端繞過定滑輪,后用力拉住,使小A A 到半球的頂點 B B 的過程中,半球?qū)π∏虻闹С?D).圖 2-3中,設(shè)繩 OAOA 勺拉力為 F Fi,繩 OBOB 勺拉力為

14、F F2,那么().(A) F Fi先減小后增大(B) F Fi先增大后減小(C) F F2逐漸減小徑的圓中找,貝勵 3-矢量三角形如圖 3-3 爵 3-畫出的一系列虛線表示的三停3-必此可知,F Fi先增大后減小,F F2隨始終減小,且轉(zhuǎn)過 90.時,當好為零.正確答案選項為BC、D例 ii 如圖 3-4 所示,在做“驗證力的平行四邊形定那么的實驗時,用MN N 兩個測力計通過細線拉橡皮條的結(jié)點,使其到達 O O 點,此時 a+3=90.然后保持 M 的讀數(shù)不變,而使 a 角減小,為保持結(jié)點位置不變,(A)減小N N的讀數(shù)同時減小(3角(B)減小 N N 的讀數(shù)同時增大角(C)增大N N的讀

15、數(shù)同時增大3角(D)增大N N的讀數(shù)同時減小角例i2.如圖4-i所示,在水平天花板與豎直墻壁間,通過不計質(zhì)量的柔軟繩子和光滑的輕小滑輪懸掛重物 G=G=40N,繩長 L L=2.5m,OA=OA=i.5m,求繩中張力的大小,并討論:A A 端緩慢左移時,繩中張力如何變化？B B 端緩慢下移時,繩中張力又如何變化?(D)F F2最終變?yōu)榱鉕解析：取繩子!結(jié)點O O 為研究對角,受到F2O1繩的拉力,將三力構(gòu)成矢量(如圖 3-3/CDE 不變(由于髡 ia 不變),由于角/DCE 為直角,那么三力的幾何關(guān)系分另愣、中、F F2、F F3,角(i)當 B 點位置固定,(2)當 A 點位置固定,解析：

16、取繩子 c 點為研究對角,受到三根繩的拉力,如圖4-2 所示分別為 F Fi、E E、F F3,延長繩 AO 交豎直墻于 D D 點,由于是同一根輕繩,可得:FiF2,BC 長度等于 CDAD 長度等FiC如圖變,DE 邊為直DDF2F3.、圖 3-4圖 4-i圖 42圖 4-4GODGOD, ,；在二角形 AOD 中可知,sinsin.如2sinAD2sinAD左移,AD 變?yōu)槿鐖D 43 中虛線AD所示,可知ADOD 減小,sinsin減小,F Fi變大.如果 B B 端下移,BC 變?yōu)? 虛線 BC所示,可知 AD.OD 不變,sinsin不變,F Fi同穩(wěn)固練習:1 1、如下圖,兩球 A

17、 A、B B 用勁度系數(shù)為 k1k1 的輕彈簧相連,球 B B 用長為 L L 的細繩懸于 O O 點,球 A A 固定在 O O 點正下方,且點 O O、A A 之間的距離恰為 L,L,系統(tǒng)平衡時繩子所受的拉力為 F1.F1.現(xiàn)把 A A、B B 間的彈簧換成勁度系數(shù)為k k2 2的輕彈簧,仍使系統(tǒng)平衡,此時繩子所受的拉力為F2,F2,那么F F1 1與F F2 2的大小之間的關(guān)系為B BA.F1F2B.F1=F2A.F1F2B.F1=F2C.F1F2D.C.F190BCA90, ,使/BCA/BCA 緩慢減小,直到桿 B BC C接近豎直桿 AC.AC.此過程中,桿 BCBC 所受的力A

18、AA.A.大小不變 B.B.逐漸增大C.C.逐漸減小 D.D.先增大后減小于繩長.設(shè)角/OAD 為.；根據(jù)三個力平衡可得：F Fi質(zhì)量不計的輕桿果 A A 端不變,如圖4不變.3 3、 如下圖,有兩個帶有等量的同種電荷的小球 A A 和 B,B,質(zhì)量都是m,m,分別懸于長為L L的懸線的一端.今使B B球固定不動,并使OBOB 在豎直立向上,A A 可以在豎直平面內(nèi)自由擺動,由于靜電斥力的作用,A A球偏離 B B 球的距離為 x x.如果其它條件不變,A A 球的質(zhì)量要增大到原來的幾倍,才會使 ABAB 兩球的距離縮短為%.A 球受三個力作用 mg?T?F 電,且三力平衡.當ABAB距離為工時空二L L當ABAB距離為三時,巴旦二2 產(chǎn).工2F上4141得二=3=3=._=晨故小二皿道2F*2F*8 84 4、如下圖,硬桿 BCBC 一端固定在墻上的 B B 點