高二數(shù)學(xué)均值不等式

1、基本不等式-均值不等式 如果如果a，bR， 那么那么a2+b22ab（當(dāng)且僅當(dāng)（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取時(shí)取“=”）證明：證明：222)(2baabba0)(0)(22babababa時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)abba2221指出定理適用范圍：指出定理適用范圍： Rba,2強(qiáng)調(diào)取強(qiáng)調(diào)取“=”的條件：的條件： ba 定理：定理： 如果如果a, bR+，那么，那么 abba2（當(dāng)且僅當(dāng)（當(dāng)且僅當(dāng)a=b 時(shí)，式中等號(hào)成立）時(shí)，式中等號(hào)成立）證明：證明： 22()()2aba b abba2 即：即： abba2當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)時(shí)abba2均值定理：均值定理：注意：注意：1適用的范圍：適用的范圍：a, b 為正數(shù)

2、為正數(shù). 2語言表述：語言表述：兩個(gè)正數(shù)兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均的算術(shù)平均數(shù)數(shù)不小于不小于它們的幾何平均數(shù)。它們的幾何平均數(shù)。稱稱2ab為為a，b的算術(shù)平均數(shù)，的算術(shù)平均數(shù)，3.我們把不等式我們把不等式 (a0,b0)2abab稱為基本不等式稱為基本不等式稱稱ab的幾何平均數(shù)。的幾何平均數(shù)。為為a，b2ab把把看做兩個(gè)看做兩個(gè)正數(shù)正數(shù)a，b的等差中項(xiàng)，的等差中項(xiàng)，ab看做看做正數(shù)正數(shù)a，b的等比中項(xiàng)，的等比中項(xiàng)，那么上面不等式可以敘述為：那么上面不等式可以敘述為： 兩個(gè)正數(shù)的等差中項(xiàng)兩個(gè)正數(shù)的等差中項(xiàng)不小于不小于它們的等它們的等比中項(xiàng)。比中項(xiàng)。幾何直觀解釋：幾何直觀解釋：令正數(shù)令正數(shù)a，b為兩條線段

3、的長(zhǎng)，用幾何作為兩條線段的長(zhǎng)，用幾何作圖的方法，作出長(zhǎng)度為圖的方法，作出長(zhǎng)度為 和和的兩條線段，然后比較這兩條線段的長(zhǎng)。的兩條線段，然后比較這兩條線段的長(zhǎng)。2abab具體作圖如下：具體作圖如下：（1）作線段）作線段AB=a+b，使，使AD=a，DB=b,（2）以）以AB為直徑作半圓為直徑作半圓O；（3）過）過D點(diǎn)作點(diǎn)作CDAB于于D，交半圓于點(diǎn)，交半圓于點(diǎn)C（4）連接）連接AC，BC，CA，則，則2abOCCDababa+b2ba ODCBA當(dāng)當(dāng)ab時(shí)，時(shí)，OCCD，即，即2abab當(dāng)當(dāng)a=b時(shí)，時(shí)，OC=CD，即，即2abab基礎(chǔ)知識(shí)基礎(chǔ)知識(shí)基本不等式的幾種特殊變形：基本不等式的幾種特殊變形

4、：變形（變形（1）：）：2() ,( ,)2ababa bR12,(0) aaa變形（變形（2）：）：變形（變形（3）：）：22 ,(0)aba bb注意等號(hào)成立的條件注意等號(hào)成立的條件基礎(chǔ)知識(shí)基礎(chǔ)知識(shí)幾個(gè)基本概念：幾個(gè)基本概念：（1）n個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均值：個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均值：（2） n個(gè)正數(shù)的幾何平均值個(gè)正數(shù)的幾何平均值：123nna aaa123naaaan123,.,na aaaR（3）兩個(gè)平均值的關(guān)系：）兩個(gè)平均值的關(guān)系：123123nnnaaaaa aaan注意式中等號(hào)成立的條注意式中等號(hào)成立的條件件基礎(chǔ)知識(shí)基礎(chǔ)知識(shí)（4）兩個(gè)正數(shù)的平方平均值：）兩個(gè)正數(shù)的平方平均值：,a bR222

5、ab211ab2221122abababab（5）兩個(gè)正數(shù)的調(diào)和平均值：）兩個(gè)正數(shù)的調(diào)和平均值：關(guān)系：關(guān)系：注意式中等號(hào)成立的條注意式中等號(hào)成立的條件件 加權(quán)、加權(quán)、 算術(shù)、算術(shù)、 幾何、調(diào)和幾何、調(diào)和 基礎(chǔ)知識(shí)基礎(chǔ)知識(shí)（6）不等式的變形：）不等式的變形：222()22abab, a bR注意式中等號(hào)成立的條注意式中等號(hào)成立的條件件, a b的取值范圍的取值范圍, a bR例例1已知已知ab0，求證：，求證： ，并，并推導(dǎo)出式中等號(hào)成立的條件。推導(dǎo)出式中等號(hào)成立的條件。2baab證明：因?yàn)樽C明：因?yàn)閍b0，所以，所以 ，根據(jù)均值不等式得根據(jù)均值不等式得0,0baab22bab aaba b即即

6、2baab當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)，即時(shí)，即a2=b2時(shí)式中等號(hào)時(shí)式中等號(hào)成立，成立，baab因?yàn)橐驗(yàn)閍b0，即，即a，b同號(hào)，所以式中等號(hào)成同號(hào)，所以式中等號(hào)成立的條件是立的條件是a=b.例例2（1）一個(gè)矩形的面積為）一個(gè)矩形的面積為100m2，問，問這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬各為多少時(shí)，矩形的周這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬各為多少時(shí)，矩形的周長(zhǎng)最短？最短周長(zhǎng)是多少？長(zhǎng)最短？最短周長(zhǎng)是多少？（2）已知矩形的周長(zhǎng)是）已知矩形的周長(zhǎng)是36m，問這個(gè)矩，問這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬各為多少時(shí)，矩形的面積最大？形的長(zhǎng)、寬各為多少時(shí)，矩形的面積最大？最大面積是多少？最大面積是多少？規(guī)律：規(guī)律： 兩個(gè)正數(shù)的積為常數(shù)時(shí)，它們的和有兩個(gè)正數(shù)的

7、積為常數(shù)時(shí)，它們的和有最小值；最小值； 兩個(gè)正數(shù)的和為常數(shù)時(shí)，它們的積有兩個(gè)正數(shù)的和為常數(shù)時(shí)，它們的積有最大值。最大值?；A(chǔ)知識(shí)基礎(chǔ)知識(shí)5.最值定理：最值定理：（1）若）若a,bR+且且ab=p（p為常數(shù)）則為常數(shù)）則pabba22（當(dāng)且僅當(dāng)（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)）時(shí)取等號(hào)）pba2min（2）若）若a+b=S(a,bR+,則則 （當(dāng)且僅當(dāng)（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)）時(shí)取等號(hào)） 4222sbaab42maxsab求最值要注意三點(diǎn)：求最值要注意三點(diǎn)：正數(shù)正數(shù)定值定值檢驗(yàn)等號(hào)是否成立檢驗(yàn)等號(hào)是否成立 例例3求函數(shù)求函數(shù) 的最大的最大值，及此時(shí)值，及此時(shí)x的值。的值。223( )(0)xxf xxx

8、5已知函數(shù)，已知函數(shù)，求函數(shù)的最小值求函數(shù)的最小值)2(23)(xxxxf的最小值。，（其中求函數(shù)20sin4sin 3y 1.已知已知x0, y0, xy=24, 求求4x+6y的最小值，的最小值，并說明此時(shí)并說明此時(shí)x,y的值的值4 已知已知x0,y0,且且x+2y=1,求求的最小值的最小值yxu112 已知已知a+b=4,求求y=2a+2b的最小值的最小值練習(xí)題：練習(xí)題：當(dāng)當(dāng)x=6,y=4時(shí)時(shí),最小值為最小值為48最小值為最小值為82 22( )f xxx3.已知已知x0，求函數(shù)，求函數(shù) 的最大值的最大值.32 2基礎(chǔ)訓(xùn)練基礎(chǔ)訓(xùn)練1.設(shè)設(shè)x+3y2=0，則函數(shù)，則函數(shù)z=3x+27y+3

9、的最小值是的最小值是DA. B.3+2 C.6 D.921132.若若t(0,1,則則2tt有最小值有最小值 .2 2A.3B2.2C. 2DB3.已知已知a,b是正數(shù)且是正數(shù)且a+b=1，求求 的最小值的最小值bay1111baabbbaababay221111119224124abbabaab解：（法一）解：（法一）abba21 ba當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng) ，即，即 時(shí)，時(shí)，min9y4121ababba149yab21 ba當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)，ymin=9 （法二）（法二）1 1121+ + +=1+a b abab11y = 1+1+=ab21,21ba當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)取等號(hào)時(shí)取等號(hào)4.求下列函數(shù)的最值求下列函數(shù)的最值 的最小值的最小值 的最小值的最小值0, 0,1ccxxxy032xxxy 的最大值的最大值0432xxxy(1) (1) 的最大值的最大值(2) (2) 的最小值的最小值(3) (3) 的最小值的最