第三章--離散傅立葉變換--總結(jié)

1、數(shù)字信號(hào)處理數(shù)字信號(hào)處理第三章第三章-離散傅立葉變換離散傅立葉變換盧繼華盧繼華DFT: Discrete Fourier Transform3-2 四種Fourier transformation書P71頁 結(jié)論一個(gè)域的離散造成另一個(gè)域的周期延拓；一個(gè)域的周期，對(duì)應(yīng)另一個(gè)域的取樣，一個(gè)域取樣點(diǎn)間增量倒數(shù)對(duì)應(yīng)另一個(gè)域周期。時(shí)間函數(shù)時(shí)間函數(shù)頻率函數(shù)頻率函數(shù)連續(xù)和非周期非周期和連續(xù)連續(xù)和周期(T0)非周期和離散(0=2/T0)離散(T)和非周期周期(s=2/T)和連續(xù)離散(T)和周期(T0)周期(s=2/T)和離散(0=2/T0)傅里葉變換傅里葉級(jí)數(shù)序列的傅里葉變換離散傅里葉變換(DFS：離散傅里葉

2、級(jí)數(shù);DTFT序列的傅里葉變換;DFT：離散傅里葉變換）3-3 DFS（ discrete Fourier series ）10102)()()()(NnnkNNnnkNjWnxenxnxDFSkX10102)(1)(1)()(NknkNNknkNjWkXNekXNkXIDFSnxNjNeW2x(n)為周為周 期期 為為 N 的的 周周 期期 序序 列列 1212( )( )( )( )DFS axnbxnaXkbXk其中a,b為任意常數(shù)，所得到的頻域序列也是周期序列，周期為N。線性線性2 ()( )( )jmkmkNNDFS x nmWX keX k時(shí)域移位書P73頁 )()()(2nxen

3、xWlkXIDFSnlNjnlN頻域移位)()()()(10)(10lnlnlkXWnxWnxWnxWDFSNnnklNNnknNNN證明：調(diào)制特性周期卷積 周期卷積和與以前卷積不同，它的卷積過程限在一個(gè)周期內(nèi)稱為 。 頻域相乘等于時(shí)域卷積（指周期卷積）。頻域相乘等于時(shí)域卷積（指周期卷積）。頻域 ：)()()(21kXkXkY10121021)()()()()()(NmNmmnxmxmnxmxkYIDFSny則有：時(shí)域卷積時(shí)域卷積頻域卷積頻域卷積 )()()(21nxnxny10121021)()(1)()(1)()(NmNllkXlXNlkXlXNnyDFSkY時(shí)域：頻域：頻域卷積周周期期卷

4、卷積積 證明：)()()(1)()()(1)(21011010)(21)(210101mnxmxWkXNmxWkXmxNnyNmNmNkkmnNkmnNNkNm knNNkWkXkXNkXkXIDFSny102121)()(1)()(（代入：則：mkNNmWmxkX1011)()(DFT是DFS延拓后在0N-1主值區(qū)間的值3-4 DFT（ discrete Fourier transform ）mNnn1101Nn1Nnn7252792259,2591nNnNn5455949, 49NnNnDFT定義10102)()()()(NnnkNNnnkNjWnxenxnxDFTkX10102)()(1

5、)()(NknkNNknkNjWkXekXNkXIDFTnx( )()rx nx nrN( )( )( )Nx nx n Rn ( )Nx n( )x n的主值序列( )x n 的周期延拓P76頁頁3-33,3-341212( )( )( )( )DFT ax nbx naX kbXk線性線性書書P773-5 DFT性質(zhì)這里，序列長度及DFT點(diǎn)數(shù)均為N,若不等，分別為N1，N2，則需補(bǔ)零使兩序列長度相等，均為N，且12max,NN N10)(1)(10NnWkXNnxnkNNk另另IDFTIDFT定義定義)()()(1kNxkxnXN對(duì)稱性對(duì)稱性)(nx)(kX的的DFT為：為：若若則則 的的

6、DFT為：為：)( nx )( kX 反轉(zhuǎn)定理反轉(zhuǎn)定理100100)()()(NnkNnnkNknxWnxkX序列和序列和10)(1)0(NkkXNx序列初值序列初值延長序列的離散傅立葉變換：書書P78頁頁 七、七、 列長為列長為N的序列的序列x(n)，填充零值，人為加長到，填充零值，人為加長到rN,得到得到g(n) 其其DFT為：為：1010)()(rNnNNnnxng1,.,1 , 0)()()()()(102210rNkrkXenxengngDFTkGNnNrknjrNnkjrNn假若增加的長度并非假若增加的長度并非N的整數(shù)倍的整數(shù)倍 見見P78頁頁 最下面一行最下面一行 序列的圓周移位

7、 定義：( )()( )mNNxnx nmRn( ) ( ) ()x nx nx nm( )mxn周期延拓移位取主值序列()Nx nm時(shí)間移位時(shí)間移位( )( ) ()( )mmNNXkDFT x nDFT x nmR n( )mkNWX k2()( )( )( )jnlnlNNNNIDFT XklRkW x nex n頻率移位：即調(diào)制定理頻率移位：即調(diào)制定理時(shí)域序列的調(diào)制等效于頻域的圓周移位時(shí)域序列的調(diào)制等效于頻域的圓周移位 線卷積：反折、平移、相乘、積分（或相加） 圓卷積：反折、周期化周期化、平移、相乘、相加書書P84-87頁頁 圓周卷積在信號(hào)處理中的應(yīng)用僅做了解。圓周卷積在信號(hào)處理中的應(yīng)

8、用僅做了解。 時(shí)域卷積-頻域相乘 頻域卷積-時(shí)域相乘)()()()(2121kXkXnxnxDFT)()()()(12121nxnxDFTkXkXN有限長序列的線性卷積與圓周卷積說明見書說明見書P81頁頁 （3-52） 圓周卷積與線性卷積相等而不產(chǎn)生混淆的必要條件 結(jié)合周期卷積， 書P84頁最上端，結(jié)論。1MNL書書8383頁頁 （3 35454）圓周（循環(huán)相關(guān)）相關(guān)定理 設(shè)有限長序列 則x1(n)與x2(n)N點(diǎn)圓周相關(guān)定義為 注：圓周相關(guān)結(jié)果長度不變?yōu)镹。相關(guān)通信中很重要。120),(2110),(1NnnxNnnx1N0lNN233)n(R)nl(x) l (x)k(XIDFT)n(x1

9、)k(X)k(X)k(X213若帕斯瓦爾定理（Parsevals Theorem)1N0n1N0k*)k(Y)k(XN1)n(y)n(x)k(Y)n(yDFT),k(X)n(xDFTN)n(y)n(x則點(diǎn)有限序列為、設(shè)說明：1）這是DFT形式下的帕斯瓦爾定理;2 ）只需令y(n)=x(n),再兩邊取模，便得到明確物理意義的能量計(jì)算公式。表明一個(gè)序列在時(shí)域計(jì)算的能量與頻域計(jì)算的能量是相等的。表明一個(gè)序列在時(shí)域計(jì)算的能量與頻域計(jì)算的能量是相等的。奇偶序列的DFT 時(shí)域 x(n) 取圓周偶對(duì)稱圓周偶對(duì)稱, 對(duì)應(yīng)于頻域 X(k) 也取圓周偶對(duì)稱圓周偶對(duì)稱. 若x(n)本身是圓周奇對(duì)稱序列是圓周奇對(duì)稱序

10、列, 對(duì)對(duì)應(yīng)頻域應(yīng)頻域 X(k) 也是也是圓周奇對(duì)稱序列圓周奇對(duì)稱序列; )()()()()()(kNXkXkXnNxnxnx則若)()()()()()(kNXkXkXnNxnxnx則若時(shí)域x(n)取共軛 ，對(duì)應(yīng)于頻域X(k)取圓周共軛對(duì)稱。)()()()()()(*kNXkRkNXkRkXnxDFTNNNN共軛復(fù)序列的DFT書書P91頁頁 （3-79）式）式*( )()( )opopNNXkXNkRk *1/2( )() ( )NNNXkXNkRk( )( )( )epopX kXkXk由線性：*1/2( )() ( )NNNXkXNkRk*( )()( )epepNNXkXNkRk其中：x

11、(n)=xep(n)+xop(n).復(fù)數(shù)序列的DFT 設(shè)x(n)為N點(diǎn)有限長序列0nN-1 則有1，2，3：)()(Im)(Re)(kXnxjnxDFTnxDFT1）時(shí)域）時(shí)域x(n)取實(shí)部取實(shí)部, 對(duì)應(yīng)頻域取對(duì)應(yīng)頻域取 X(k)的圓周共軛對(duì)稱分量的圓周共軛對(duì)稱分量.)()()()(Re(kXepkXnxDFTnxDFT)()()(21)()(Im*kRkNXkXkXnxjDFTNNop2）時(shí)域）時(shí)域 x(n)取虛部并加權(quán)取虛部并加權(quán) j, 對(duì)應(yīng)頻域取對(duì)應(yīng)頻域取X(k)的圓周共軛反對(duì)稱分量的圓周共軛反對(duì)稱分量.)()()()(ImkXkXnxDFTnxjDFTop)(Im)()(Re)(kXj

12、nXDFTkXnXDFTopep3）若若X(k)是實(shí)序列，則時(shí)域是實(shí)序列，則時(shí)域x(n)是圓周共軛對(duì)稱序列；是圓周共軛對(duì)稱序列； 若若X(k)是純虛序列，則時(shí)域是純虛序列，則時(shí)域x(n)是圓周共軛反對(duì)稱序列。是圓周共軛反對(duì)稱序列。奇,偶;虛 ,實(shí)的含義 奇-指序列是圓周奇對(duì)稱序列; 偶-指序列是圓周偶對(duì)稱序列; 虛-指序列是純虛序列;實(shí)-指序列是實(shí)序列. 序列 DFT( )( )x nX kRe ( )( )epx nXkIm ( )( )opjx nXk( )Re( )epxnX k( )Im( )opxnjX k 例：設(shè)x1(n)和x2(n)都是N點(diǎn)的實(shí)數(shù)序列，試用一次N點(diǎn)DFT運(yùn)算來計(jì)算

13、它們各自的DFT: 11( )( )DFT x nX k22( )( )DFT x nXk解：利用兩序列構(gòu)成一個(gè)復(fù)序列12( )( )( )w nx njxn12( ) ( )( )( )W kDFT w nDFT x njx n則12( )( )DFT x njDFT x n12( )( )X kjXk1( )Re ( )x nw n由得11( )( )Re ( )( )epXkDFT x nDFTw nWk*1( )() ( )2NNNWkWNkRk2( )Im ( )x nw n由得221( )( )Im ( )( )opXkDFT x nDFTw nWkj*1( )() ( )2NNN

14、WkWNkRkjDFT 與z變換關(guān)系 Z變換的定義式 (正變換)重寫如下: 取z=ejw 代入定義式, 得到單位圓上z變換為 W是單位圓上各點(diǎn)的數(shù)字角頻率. 再進(jìn)行抽樣N等分.這樣w=2k/N, 即w值為0,2/N,4/N,6/N, 考慮到x(n)是N點(diǎn)有限長序列, 因而n只需0N-1即可。將w=2k/N代入并改變上下限, 得 這正是離散傅里葉變換 (DFT)正變換定義式.nnznxzX)()(0njwnjwenxeX)()(010220)()(NnnNkjNkjenxeXkNjezzXkX2)()(03-6 頻率取樣 由 z 變 換 與 DFT 的 關(guān) 系, 知 道： x(n) 的 離 散

15、傅 里 葉 變 換 X(k) 序 列 值 和 x(n) 的 z 變 換 在 單 位 圓 N 個(gè) 等 分 點(diǎn) 上 的 抽 樣 值 相 等, 這 就 是 說 實(shí) 現(xiàn) 了 頻 域 的 抽 樣。 是否任何一序列(或說任何一個(gè)頻率特性) 都能用頻域抽樣的辦法去逼近呢? 其 限 制 條 件 是 什 么?分析 將x(n)的頻域函數(shù)X(ejw)，按每周期 N點(diǎn)抽樣，得到一周期序列 ,再反變換回時(shí)域,得到變換結(jié)果 ,是一周期延拓的序列,且與原序列x(n) 有如下關(guān)系 即 頻 域 按 每 周 期 N 點(diǎn) 抽 樣, 時(shí) 域 便 按 N 點(diǎn) 周 期 延 拓. 此結(jié)果符合頻域抽樣,時(shí)域周期延拓的說法. )(kX)(nx

16、NrNrNnxnx)()()()()()()()(nxnRrNnxnRnxnxNrNNN一、對(duì)X(z)取樣時(shí)取樣點(diǎn)數(shù)的限制 長度為M的有限長序列,頻域抽樣不失真的條件： 頻域抽樣點(diǎn)數(shù)N要大于或等于序列長度M, 即滿足NM.此時(shí)可得到 表明長度為N(或小于N)的有限長序列可用它的z變換在單位圓上的N個(gè)均分點(diǎn)上的抽樣值精確地表示. 抽樣后序列能否無失真恢復(fù)原時(shí)域信號(hào)？書上P97-98頁例子-1 頻域抽樣：看一個(gè)矩形序列，頻域抽樣是指對(duì)時(shí)域已是離散，頻域仍是連續(xù)信號(hào)?，F(xiàn)在頻域上進(jìn)行抽樣處理，使其頻域也離散化。例子-2 解：頻域抽樣，按N=5點(diǎn)，頻域抽樣，時(shí)域延拓相加,時(shí)域延拓的周期個(gè)數(shù)等于頻域的抽樣

17、點(diǎn)數(shù)N=5，由于N=M，所以時(shí)域延拓恰好無混疊現(xiàn)象。例子-3 按N=4時(shí)進(jìn)行抽樣，由于N=4，而序列長度為M=5，NM,時(shí)域延拓后產(chǎn)生混疊現(xiàn)象。（原信號(hào)為紅色，延拓取主值區(qū)間后的恢復(fù)信號(hào)為蘭色。）二、X(z)的內(nèi)插公式 從頻 域 抽 樣 不 失 真 條 件 可 以 知 道： N 個(gè) 頻 域 抽 樣 X(k) 能 不 失 真 地 還 原 出 長 度 為 N 的 有 限 長 序 列 x(n)。 那 么 用 N 個(gè) X(k) 也 一 定 能 完 整 地 表 示 出 X(z) 以 及 頻 率 響 應(yīng) 即 單 位 圓 上 的 X(z). 過 程 很 簡 單, 先 把 N 個(gè) X(k) 作 IDFT 得

18、到 x(n), 再 把 x(n) 作 Z 變 換 便 得 到 X(z). （1）內(nèi)插公式稱為內(nèi)插函數(shù)其中)()()()(10zzkXzXkkNk1111)(zwzNzkNNk（2）頻域響應(yīng)的內(nèi)插公式)2()()10kNwkXeXezzNkjwjw（代替便得到用把wNjkewwNNw)21()2sin()2sin(1)(3)說明 從 公 式 中看 出: 在 每 個(gè) 抽 樣 點(diǎn) 上X(ejw) 就 精 確 地 等 于 X(k) (因 為 其 他 的 內(nèi) 插 函 數(shù) 在 這 一 點(diǎn) 上 的 值 為 零, 無 影 響), 即 各 抽 樣 點(diǎn) 之 間 的X(ejw) 值, 則 由 各 抽 樣 點(diǎn) 的 加

19、 權(quán) 內(nèi) 插 函 數(shù) 在 所 求 點(diǎn) 上 的 值 的 疊 加 而 得到. 頻 率 響 應(yīng) 的 內(nèi) 插 函 數(shù) 具 有 線 性 相 位. 1,.1 ,0),()2NkkXeXkNwjw（)(w3-7、用DFT做傅里葉變換(級(jí)數(shù))的逼近時(shí)所產(chǎn)生的問題 為 了 能 在 計(jì) 算 機(jī) 上 分 析 連 續(xù) 信 號(hào) 的 頻 譜, 常 常 用 DFT 來 逼 近 連 續(xù) 時(shí) 間 信 號(hào) 的 傅 里 葉 變 換, 但 同 時(shí) 也 產(chǎn) 生 以 下 問 題: 混 疊 現(xiàn) 象 頻 譜 泄 漏 柵 欄 效 應(yīng)1、混 疊 現(xiàn) 象 利 用 DFT 逼 近 連 續(xù) 時(shí) 間 信 號(hào) 的 傅 里 葉 變 換 ,為 避 免 混 疊

20、 失 真, 要求滿足抽樣定理，即奈奎斯特準(zhǔn)則： fs2fh 其中fs為抽 樣 頻 率 , fh 為信號(hào)最高頻率.但此條件只規(guī)定出fs的下限為fh , 其上限要受抽樣間隔 F的約束. 抽 樣 間 隔 F 即 頻 率 分 辨 力, 它是 記 錄 長 度的 倒 數(shù), 即 Tp = 1 / F 若 抽 樣 點(diǎn) 數(shù) 為 N, 則 抽 樣 間 隔 與 fs 的 關(guān) 系 為 F = fs / N 2fh /N混疊現(xiàn)象的結(jié)論 由F=fs/N2fh/N看出： 在N給定時(shí),為避免混疊失真而一味提高抽樣頻率fs,必然導(dǎo)致F增加,即頻率分辨力下降; 反之,若要提高頻率分辨力即減小F,則導(dǎo)致減小fs,最終必須減小信號(hào)的

21、高頻容量.以上兩點(diǎn)結(jié)論都是在記錄長度內(nèi)抽樣點(diǎn)數(shù)N給定的條件下得到的. 所以在高頻容量fh與頻率分辨力F參數(shù)中,保持其中一個(gè)不變而使另一個(gè)性能得以提高的唯一辦法, 就是增加記錄長度內(nèi)的點(diǎn)數(shù)N,即fh和F都給定時(shí), 則N必須滿足N2fh/F這是未采用任何特殊數(shù)據(jù)處理（例如加窗）情況下，為實(shí)現(xiàn)基本DFT算法所必須滿足的條件。例子-1 有一頻譜分析儀用的FFT處理器，其抽樣點(diǎn)數(shù)必須是2的整數(shù)冪。假定沒有采用任何特殊的數(shù)據(jù)處理措施，已給條件為：（1）頻率分辨力10Hz（2）信號(hào)的最高頻率4kHz試確定以下參量：（1）最小記錄長度Tp；（2）抽樣點(diǎn)的最大時(shí)間間隔T；（3）在一個(gè)記錄中的最少點(diǎn)數(shù)N。解： （

22、1）由分辨力的要求確定最小記錄長度Tp.Tp=1/F=1/10=0.1(s)故最小記錄長度為0.1秒。（2）從信號(hào)的最高頻率確定最大的抽樣時(shí)間間隔T. fs2fh, T=1/fs 1/2fh=0.125*10-3 (s)(3)最小記錄點(diǎn)數(shù)N，它應(yīng)滿足N2fh /F=800該處理器所需最少采樣點(diǎn)數(shù)為N=210=1024點(diǎn)。（因?yàn)镹=29=512點(diǎn)不夠）2、柵 欄 效 應(yīng) 利 用 DFT 逼 近 連 續(xù) 時(shí) 間 信 號(hào) 的 傅 里 葉 變 換, 其 頻 譜 將 不 再 是 連 續(xù) 函 數(shù) 而 是 基 頻 F 的 整 數(shù) 倍。 用 DFT 計(jì) 算 頻 譜, 就 如 通 過 一 個(gè) 柵欄觀 看 一 個(gè)

23、 景 色, 只 能 在 離 散 點(diǎn) 的 地 方 看 到 真 實(shí) 的 景 象, 從 而 產(chǎn) 生 柵 欄 效 應(yīng). 如 果 在 兩 離 散 的 譜 線 間 頻 譜 有 很 大 變 化, 不 作 特 殊 處 理, 則 無 法 將 其 檢 測 出 來.減 小 柵 欄 效 應(yīng) 的 方 法 減 小 柵 欄 效 應(yīng) 的 一 個(gè) 方 法 是 在 所 取 數(shù) 據(jù) 的 末 端 加 一 些 零 值 點(diǎn), 使 一 個(gè) 周 期 內(nèi) 點(diǎn) 數(shù) 增 加, 但 是 不 改 變 原 有 的 記 錄 數(shù) 據(jù). 這種方法 等 效 于 加 長 了 周 期 Tp . 因 公 式 F = 1/ Tp (F是 抽 樣 間 隔). Tp 增

24、加, 抽 樣 間 隔 變 小, 從 而 能 保 持 原 來 頻 譜 形 式 不 變 的 情 況 下 使 譜 線 變 密, 也 就 使 頻 譜 抽 樣 點(diǎn) 數(shù) 增 加. 這 樣, 原 來 看 不 到 的 頻 譜 分 量 就 有 可 能 看 到 了.補(bǔ)零加長使譜線細(xì)化 在DFT與Z變換的關(guān)系一節(jié)中,我們也曾從另一角度闡明時(shí)域補(bǔ)加零值點(diǎn)后對(duì)頻域的影響。下圖從 該角度解釋這一現(xiàn)象的.補(bǔ)零加長譜線細(xì)化減 小 柵 欄 效 應(yīng) 注 意 點(diǎn) 補(bǔ) 加 零 點(diǎn) 以 改 變 周 期 時(shí), 所 用 窗 函 數(shù) 寬 度 卻 不 能 變, 亦 即 必 須 按 數(shù) 據(jù) 記 錄 原 長 來 選 擇 窗 函 數(shù), 而 不 能

25、按 補(bǔ) 了 零 值 點(diǎn) 后 的 長 度 來 選 擇 窗 函 數(shù). 通 俗 地 說, 就 是 應(yīng) 先先 加加 窗窗, 再再 補(bǔ)補(bǔ) 零零. 具體做法在后續(xù)具體做法在后續(xù) 38中有述。書中有述。書P103例子 畫出x(n)=1, 0 n 3, x(n)=0, 其它n時(shí)的4點(diǎn)DFT，8點(diǎn)DFT，16點(diǎn)DFT圖形。3、頻 譜 泄 漏 在實(shí)際中，要把觀測的信號(hào)x(n)限制在一定的時(shí)間間隔之內(nèi)，即采取截?cái)鄶?shù)據(jù)的過程。 時(shí)域的截?cái)嘣跀?shù)學(xué)上的意義為原連續(xù)時(shí)間信號(hào)乘上一個(gè)窗函數(shù),使原連續(xù)時(shí)間函數(shù)成為兩端突然截?cái)?中間為原信號(hào)與窗函數(shù)相乘的結(jié)果. 時(shí)域兩函數(shù)相乘，在頻域是其頻譜的卷積.由于窗函數(shù)不可能取無限寬,即其

26、頻譜不可能為一沖激函數(shù),信號(hào)的頻譜與窗函數(shù)的卷積必然產(chǎn)生拖尾現(xiàn)象.造成 頻譜泄漏. 所 以 在 截 取 (即 在 窗 函 數(shù) 的 選 取) 時(shí), 應(yīng) 盡 量 選 擇 適 當(dāng) 形 狀 的 窗 函 數(shù) 對(duì)時(shí)域信號(hào)進(jìn)行截?cái)? 使頻譜泄漏最小. 頻 譜 泄 漏 注 意 點(diǎn) 由于我們無法取無數(shù)個(gè)點(diǎn)，所以在DFT時(shí)，時(shí)域的截?cái)嗍潜厝坏模蚨孤┮彩潜厝淮嬖诘摹?為了減少頻率泄漏可采用： （1）適當(dāng)加大窗口寬度，增加M值； （2）采用適當(dāng)形狀的窗函數(shù)截?cái)啵?指出：泄漏是不能與混疊完全分開的。 因?yàn)樾孤秾?dǎo)致頻譜的擴(kuò)展，從而使頻譜的最高頻率超過折疊頻率，造成混疊。書P103例子-1 設(shè)信號(hào)為x(n)=1/2,經(jīng)

27、過矩形窗函數(shù)截?cái)?，求信?hào)經(jīng)過矩形窗函數(shù)前后的頻譜函數(shù)。 解：設(shè)信號(hào)經(jīng)過矩形窗函數(shù)后的信號(hào)為x1(n),矩形窗函數(shù)為W(n),其頻譜函數(shù)為X1(ejw) x1(n)=x(n)W(n) X1(ejw)=X(ejw)*W (ejw)很明顯： X1(ejw) X(ejw) 相當(dāng)于X(ejw)失真，這種失真是由于X(ejw)的頻譜泄漏引起，其現(xiàn)象為“拖尾（擴(kuò)展現(xiàn)象），稱之頻譜泄漏。因?yàn)閄(ejw)=(w),矩形窗函數(shù)2sin2sin)()21(wMweeWMjwjw處。處“泄漏”到其他頻率即頻譜成分從形狀的連續(xù)頻譜。（變成了為中心的一根譜線是以（看出這樣由02sin2sin)0),()(*)(2sin2

28、sin| )(|1wwMweXwweXeWeXwMweWjwjwjwjwjwwX(ejw)X(ejw)w產(chǎn)生泄漏3-8 加權(quán)技術(shù)與窗函數(shù)頻譜泄漏的影響及措施 DFT泄漏問題很麻煩，因?yàn)楹托盘?hào)幅值的位被相鄰高信號(hào)幅值的旁瓣所影響。 盡管沒有辦法完全消除頻譜泄漏，但加窗法可對(duì)此進(jìn)行修補(bǔ)。 頻譜泄漏是由于輸入信號(hào)被截?cái)嗨鸬腜103頁，窗函數(shù)往往是偶對(duì)稱的時(shí)間序列。窗函數(shù)分析 可通過最小化sinc函數(shù)的旁瓣幅值來減小頻譜泄漏。 Sinc函數(shù)的形狀就是由矩形窗引起的，因?yàn)榫匦魏瘮?shù)的連續(xù)傅立葉變換就是sinc函數(shù)。 我們采用前后端變化平緩的窗口函數(shù)取代矩形窗函數(shù)。 即強(qiáng)制時(shí)域輸入信號(hào)的振幅在采樣期間的前、后平滑的過渡到最高值。窗函數(shù)的數(shù)學(xué)表達(dá)式： N個(gè)輸入信號(hào)的序號(hào)由n表示，0n N，我們定義N時(shí)域窗函數(shù)w(n)，即輸入序列在進(jìn)行DFT前先乘上窗函數(shù)w(n)，加窗后的DFT輸出為： 1N0nN/nk2jenxnkX . 1N0,1,2,.,nfor , 1n :r windowRectangula各種窗函數(shù)的影