解析函數(shù)的洛朗展式與孤立奇點(diǎn)

1、 第一節(jié)第一節(jié) 解析函數(shù)的洛朗展式解析函數(shù)的洛朗展式 第二節(jié)第二節(jié) 解析函數(shù)的孤立奇點(diǎn)解析函數(shù)的孤立奇點(diǎn) 第三節(jié)第三節(jié) 解析函數(shù)在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的性質(zhì)解析函數(shù)在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的性質(zhì) 形如形如的級(jí)數(shù)稱為雙邊冪級(jí)數(shù)的級(jí)數(shù)稱為雙邊冪級(jí)數(shù) 2212210azcazcazcazccazcnnn第一節(jié)第一節(jié)解析函數(shù)的羅朗展式解析函數(shù)的羅朗展式1 1 雙邊冪級(jí)數(shù)雙邊冪級(jí)數(shù) 正則部分是冪級(jí)數(shù)，故收斂圓正則部分是冪級(jí)數(shù)，故收斂圓 對(duì)于主要部分對(duì)于主要部分 ， 可作代換可作代換RRaz01nnnazcaz 1 成為一冪級(jí)數(shù)成為一冪級(jí)數(shù) 它的收斂區(qū)域?yàn)樗氖諗繀^(qū)域?yàn)?221CCr1raz 因此當(dāng)因此當(dāng) 時(shí)，兩者有公共的收斂時(shí)，

2、兩者有公共的收斂區(qū)域即圓環(huán)：區(qū)域即圓環(huán)： 。在此圓環(huán)內(nèi)有在此圓環(huán)內(nèi)有Rr Razr nnnazczfzf21 定理定理5.1設(shè)雙邊冪級(jí)數(shù)設(shè)雙邊冪級(jí)數(shù)的收斂圓環(huán)為的收斂圓環(huán)為nnnazcRrRazrH, 0: 則（則（1）（）（5.1）在內(nèi)絕對(duì)收斂且內(nèi)）在內(nèi)絕對(duì)收斂且內(nèi)閉一致收斂于閉一致收斂于 （2）在內(nèi)解析）在內(nèi)解析（3） 級(jí)數(shù)在內(nèi)可逐項(xiàng)求導(dǎo)任意次。級(jí)數(shù)在內(nèi)可逐項(xiàng)求導(dǎo)任意次。 H zfzfzf21 zfHH 2、解析函數(shù)的羅朗展式、解析函數(shù)的羅朗展式 定理定理5.2（羅朗定理）（羅朗定理） 在圓環(huán)內(nèi)解析的函在圓環(huán)內(nèi)解析的函數(shù)必可展開成雙邊冪函數(shù)數(shù)必可展開成雙邊冪函數(shù) 其中其中 且展式唯一且展式

3、唯一 ，210211ndaficnn 定義定義5.1 （5.2）稱為在點(diǎn)的羅朗展式，）稱為在點(diǎn)的羅朗展式，（5.3）稱為其羅朗系數(shù)，而（）稱為其羅朗系數(shù)，而（5.2）右邊）右邊的級(jí)數(shù)則稱為羅朗級(jí)數(shù)。的級(jí)數(shù)則稱為羅朗級(jí)數(shù)。 注意注意 泰勒級(jí)數(shù)是羅朗級(jí)數(shù)的特殊情形。泰勒級(jí)數(shù)是羅朗級(jí)數(shù)的特殊情形。 例例5.1 將函數(shù)將函數(shù) 在下列三個(gè)區(qū)域內(nèi)在下列三個(gè)區(qū)域內(nèi)（1）圓）圓 （2）圓環(huán)）圓環(huán) （3）圓環(huán)）圓環(huán)內(nèi)求的羅朗展式。內(nèi)求的羅朗展式。 211zzzf1z21 z z2 zf 解：首先解：首先 1121zzzf （）在（）在圓內(nèi)圓內(nèi)1z12z nnnzzzzf01211212111 （）在圓環(huán)（）在圓

4、環(huán) 內(nèi)內(nèi) 有有故故 21 z11z12z 1011101211221111121121nnnnnnnnnnzzzzzzzzzf （）在圓環(huán)上（）在圓環(huán)上故故 z211z12z 210012112111112111nnnnnnnnzzzzzzzzzzf 3、孤立奇點(diǎn)鄰域內(nèi)的羅朗展式、孤立奇點(diǎn)鄰域內(nèi)的羅朗展式 定義定義5.2 若在奇點(diǎn)的若在奇點(diǎn)的某一去心鄰域某一去心鄰域內(nèi)解析，則稱為內(nèi)解析，則稱為 的一個(gè)孤立的一個(gè)孤立奇點(diǎn)。奇點(diǎn)。 zfa RazaK0:a zf 若為的一個(gè)孤立奇點(diǎn)，若為的一個(gè)孤立奇點(diǎn)，則必存在數(shù)，使在的去心則必存在數(shù)，使在的去心鄰域鄰域 內(nèi)可展成羅朗級(jí)數(shù)。內(nèi)可展成羅朗級(jí)數(shù)。 a

5、zfR zfa RazaK0: 例例5.2 求求在其孤立奇點(diǎn)的去心鄰域內(nèi)的羅朗展式。在其孤立奇點(diǎn)的去心鄰域內(nèi)的羅朗展式。 211zzzf 解：有兩個(gè)奇點(diǎn)和。解：有兩個(gè)奇點(diǎn)和。在的（最大）去心鄰域在的（最大）去心鄰域內(nèi)內(nèi)1z2z1z110 z 011111112111nnzzzzzzzf 在的（最大）去心鄰域在的（最大）去心鄰域內(nèi)內(nèi)2z110 z nnnzzzzzf212121210 孤立奇點(diǎn)的分類孤立奇點(diǎn)的分類可去奇點(diǎn)、極點(diǎn)、本性奇點(diǎn)。可去奇點(diǎn)、極點(diǎn)、本性奇點(diǎn)。 定義5.3 設(shè)是的孤立奇點(diǎn)， （1） 若主要部分為0，則稱是的可去奇點(diǎn) f(z)。 （2）若主要部分為有限多項(xiàng)，則稱是的 極點(diǎn)，此時(shí)

6、主要部分的系數(shù)必滿足 此時(shí)稱 為 極點(diǎn)階級(jí)點(diǎn)，亦稱為級(jí)極點(diǎn)。 若主要部分有無(wú)限多項(xiàng)，則稱是f(z)的本性奇點(diǎn)。 a zf zfa zf0mcmama zf 2、可去奇點(diǎn)的判斷、可去奇點(diǎn)的判斷 定理定理5.3 設(shè)為的孤立奇點(diǎn)，設(shè)為的孤立奇點(diǎn)，則下述等價(jià)：則下述等價(jià)： （1） 在的主要部分為在的主要部分為0； （2） （）（） 在點(diǎn)的某去心鄰域內(nèi)在點(diǎn)的某去心鄰域內(nèi)有界。有界。 a zf zfa bzfazlim zfa 證：證： （1）（）（2）由（）由（1）有）有 因此因此 Razazcazcczf02210 0limczfaz（2）（）（3）即例）即例1.27（3）（）（1）考慮主要部分的系數(shù)

7、）考慮主要部分的系數(shù)其中可任意小，故其中可任意小，故 daficnn121a: nnnnMMdafc2212111, 210，ncn 極點(diǎn)極點(diǎn) 定理定理5.4 若以點(diǎn)為孤立若以點(diǎn)為孤立奇點(diǎn)，則下述等價(jià)奇點(diǎn)，則下述等價(jià) （1） 是級(jí)極點(diǎn)，即主要部分是級(jí)極點(diǎn)，即主要部分為為am01mmmcazcazc zfa （）（） 在點(diǎn)的去心鄰域內(nèi)有在點(diǎn)的去心鄰域內(nèi)有 且解析且且解析且 （）（） 以為級(jí)零以為級(jí)零點(diǎn)。點(diǎn)。 zfa mazzzf z 0a zfzg1am 定理定理5.5 的孤立奇點(diǎn)為極點(diǎn)的的孤立奇點(diǎn)為極點(diǎn)的充分必要條件是充分必要條件是 zfa zfazlim 5、本性奇點(diǎn)、本性奇點(diǎn) 定理定理5.

8、6 的孤立奇點(diǎn)為本性的孤立奇點(diǎn)為本性奇點(diǎn)的充分必要條件是奇點(diǎn)的充分必要條件是 zfa 有限數(shù)bzfazlim 定理定理5.7 若為之一本若為之一本性奇點(diǎn)，且在點(diǎn)的充分小去心鄰域性奇點(diǎn)，且在點(diǎn)的充分小去心鄰域內(nèi)不為零，則亦必為內(nèi)不為零，則亦必為的本性奇點(diǎn)。的本性奇點(diǎn)。 如：如： 為的本性奇點(diǎn)，為的本性奇點(diǎn)，亦為的本性奇點(diǎn)。亦為的本性奇點(diǎn)。 az zfaaz zf10zze10zze1 6、畢卡定理、畢卡定理 定理定理5.8 若為的本性奇若為的本性奇點(diǎn)，則對(duì)任意數(shù)（可以是），點(diǎn)，則對(duì)任意數(shù)（可以是），都有一個(gè)收斂于的點(diǎn)列都有一個(gè)收斂于的點(diǎn)列使使a zfA nzAzfnnlim 定理定理5.9（畢卡

9、大定理）（畢卡大定理） 若為若為的本性奇點(diǎn)，則對(duì)每一個(gè)，的本性奇點(diǎn)，則對(duì)每一個(gè)， 除掉可能一個(gè)值外，必有趨于除掉可能一個(gè)值外，必有趨于的無(wú)限點(diǎn)列的無(wú)限點(diǎn)列 使使a zfA0AA a nzAzfn 定義定義5.4 設(shè)函數(shù)在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)設(shè)函數(shù)在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)（去心）鄰域（去心）鄰域內(nèi)解析，則稱為的一個(gè)孤內(nèi)解析，則稱為的一個(gè)孤立奇點(diǎn)。立奇點(diǎn)。 zf zrN: zf 作變換于是函數(shù)作變換于是函數(shù)在去心鄰域在去心鄰域內(nèi)解析。即是內(nèi)解析。即是的一孤立奇點(diǎn)，的一孤立奇點(diǎn)，依此可規(guī)定的類型。依此可規(guī)定的類型。z1 zff1 rK10:00 定義定義5.5 若為的可去若為的可去奇點(diǎn)、級(jí)極點(diǎn)或本性奇點(diǎn)，則我奇點(diǎn)、級(jí)極點(diǎn)或本

10、性奇點(diǎn)，則我們相應(yīng)地稱為們相應(yīng)地稱為的可去奇點(diǎn)、級(jí)極點(diǎn)或本性奇點(diǎn)。的可去奇點(diǎn)、級(jí)極點(diǎn)或本性奇點(diǎn)。 0 mz zfm 類似于有限孤立奇點(diǎn)的分類，可依在類似于有限孤立奇點(diǎn)的分類，可依在的主要部分的項(xiàng)數(shù)對(duì)的主要部分的項(xiàng)數(shù)對(duì)進(jìn)行分類。進(jìn)行分類。主要部分為主要部分為 zz1nnnzb 例例5.6 求出求出（1）（）（）的奇點(diǎn)（包括），并確定其類別的奇點(diǎn)（包括），并確定其類別 11tanzz11secz 解：（解：（1 1）以為可去奇點(diǎn)以為可去奇點(diǎn)1cos11sin11tanzzzzz1z為一級(jí)極點(diǎn)為一級(jí)極點(diǎn)為非孤立奇點(diǎn)為非孤立奇點(diǎn)（因是的聚點(diǎn)）（因是的聚點(diǎn)），210211kkzkzzkz （2 2）令，得該函數(shù)的所令，得該函數(shù)的所有奇點(diǎn)為有奇點(diǎn)為11cos111seczz2111kz是一級(jí)極點(diǎn)，是非是一級(jí)極點(diǎn)，是非孤立奇點(diǎn)，因是的聚點(diǎn)。至于孤立奇點(diǎn)，因是的聚點(diǎn)。至于應(yīng)是可去奇點(diǎn)。應(yīng)是可去奇點(diǎn)。z，101211kkzkkz1z1zkzz 例例5.7 若在若在內(nèi)解析，且不恒為零，又若有一列異于內(nèi)解析，且不恒為零，又若有一列異于但卻以為聚點(diǎn)的零點(diǎn)，但卻以為聚點(diǎn)的零點(diǎn)，試證必為的本性奇點(diǎn)。試證必為的本性奇點(diǎn)。 zfRaz0 zfaaa 證：證： 是的孤立奇點(diǎn)，且不能是是的孤立奇點(diǎn)，且不能是可去奇點(diǎn)，若不然，令可去奇點(diǎn)，若不然，令 則則在內(nèi)解析且由假設(shè)有以在內(nèi)解析