線性代數(shù)第一章第一節(jié)

1、線線 性性 代代 數(shù)數(shù) 辦公室：辦公室： 理學(xué)院理學(xué)院 A 座座 2-3 E-mail : 孟得新孟得新 一次方程（線性）：一次方程（線性）： 古埃及時(shí)期古埃及時(shí)期二次方程的求根公式：二次方程的求根公式： 古巴比倫時(shí)期古巴比倫時(shí)期求根公式：可以通過(guò)方程系數(shù)的求根公式：可以通過(guò)方程系數(shù)的+ +，- -，x x，/ /以及開(kāi)根號(hào)等運(yùn)算的組合表示方程的根，成為根以及開(kāi)根號(hào)等運(yùn)算的組合表示方程的根，成為根式解或者代數(shù)解。式解或者代數(shù)解。三次方程的求根公式：中世紀(jì)文藝復(fù)興（意大利）三次方程的求根公式：中世紀(jì)文藝復(fù)興（意大利） 費(fèi)羅-費(fèi)奧 塔塔利亞-卡當(dāng)-費(fèi)拉里-四次方程四次方程 五次以及五次以上方程的可

2、解性：五次以及五次以上方程的可解性： Lagrange Lagrange：猜想不可求解；：猜想不可求解； Able Able（1802-18291802-1829）：證明了不可解性；）：證明了不可解性；伽羅瓦（伽羅瓦（1811-18321811-1832）：給出了高次方程什）：給出了高次方程什么情況下可解的充要條件么情況下可解的充要條件. .11112211211222221122,nnnnmmmnnma xa xa xba xa xaxbaxaxaxb m個(gè)方程的個(gè)方程的n元線性方元線性方程組的一般形式程組的一般形式數(shù)乘數(shù)乘加法加法線性運(yùn)算線性運(yùn)算 行列式是根據(jù)求解方程個(gè)數(shù)和未知量個(gè)數(shù)相行列

3、式是根據(jù)求解方程個(gè)數(shù)和未知量個(gè)數(shù)相同的線性方程組（同的線性方程組（n n個(gè)方程組成的個(gè)方程組成的n n元線性方程組）元線性方程組）的需要而定義的的需要而定義的. . nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa.22112222212111212111第一章第一章 行行 列列 式式 二階與三階行列式二階與三階行列式 全排列及其逆序數(shù)全排列及其逆序數(shù) 對(duì)對(duì) 換換 行列式的性質(zhì)行列式的性質(zhì) 行列式按行（列）展開(kāi)行列式按行（列）展開(kāi) n 階行列式的定義階行列式的定義 克拉默法則克拉默法則 ,.a xa xba xa xb11112212112222（1）（2）1.1 1.1 二階與

4、三階行列式二階與三階行列式 一、二階行列式的引入一、二階行列式的引入 1、求解二階線性方程組、求解二階線性方程組 方法：用消元法分別消去方法：用消元法分別消去 和和 .1x2x :a221,a a xa a xb a1122112222122 :a122,a a xa a xb a12211122222121.1 1.1 二階與三階行列式二階與三階行列式 ;a aa axb aa b112212211122122（）;a aa axa bb a11221221211 2121（）,.a xa xba xa xb11112212112222（1）（2）兩式相減兩式相減 , 消去消去 , 得得2x

5、類(lèi)似地類(lèi)似地 , 消去消去 , 得得1x我們可以將之排成一個(gè)數(shù)表我們可以將之排成一個(gè)數(shù)表b aa bxa aa a122122111221221，.a bb axa aa a1121212112212213（ ）分母由方程組的四個(gè)系數(shù)確定分母由方程組的四個(gè)系數(shù)確定 ： 方程組的解為方程組的解為a aa a112212210當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí),1.1 1.1 二階與三階行列式二階與三階行列式 11122122.aaaa,.a xa xba xa xb11112212112222（1）（2）1.1 1.1 二階與三階行列式二階與三階行列式2、定義、定義 1.1 由四個(gè)數(shù)排成二行二列的數(shù)表由四個(gè)數(shù)排成二行二列

6、的數(shù)表11221221a aa a表達(dá)表達(dá)式式稱為數(shù)表稱為數(shù)表(4) 所確定的所確定的 二階行列式二階行列式 , 并記并記為為11122122aaaa（4）11122122aaaa（5）主對(duì)角線主對(duì)角線副對(duì)角線副對(duì)角線a a1122.a a12213、 對(duì)角線法則對(duì)角線法則即即.aaDa aa aaa11121122122121221.1 1.1 二階與三階行列式二階與三階行列式a11a12a22a211.1 1.1 二階與三階行列式二階與三階行列式4、 用二階行列式解二元線性方程組用二階行列式解二元線性方程組,.11112212112222a xa xba xa xb( ).， b aa b

7、xa aa aa bb axa aa a1221221112212211121212112212216解為解為1121112112222122,baaaDxbaaaD 1111112222122122.abaaDxabaaD 則則1121222,baDba 1112212.abDab 11122122,aaDaa 記記系數(shù)行列式系數(shù)行列式1.1 1.1 二階與三階行列式二階與三階行列式例例1.112123212 ,21 .xxxx 求解方程求解方程組組解解:3221D 因?yàn)橐驗(yàn)?) 3470 ,D11221114 , D 23122121, 所以所以,DxD11142,7DxD22213.7

8、,112233122331132132112332122133132231a a aa a aa a aa a aa a aa a a（8）(8)式稱為數(shù)表式稱為數(shù)表 (7) 所確定的所確定的三階行列式三階行列式 . .1.1 1.1 二階與三階行列式二階與三階行列式二、三階行列式二、三階行列式1、定義、定義 1.2 設(shè)有設(shè)有 9 個(gè)數(shù)排成個(gè)數(shù)排成 3 行行 3 列的數(shù)表列的數(shù)表aaaaaaaaa111213212223313233記記111213212223313233aaaaaaaaa（7）aaaaaaaaa111213212223313233a a a112233.a a a112332

9、對(duì)角線法則對(duì)角線法則說(shuō)明說(shuō)明 對(duì)角線法則只適用于二階與三階行列式對(duì)角線法則只適用于二階與三階行列式a a a132132a a a122331a a a132231a a a122133 三階行列式三階行列式包括包括 3! 項(xiàng)項(xiàng), , 每一項(xiàng)都是位于不同每一項(xiàng)都是位于不同行行, ,不同列的三個(gè)元素的乘積不同列的三個(gè)元素的乘積, , 其中三項(xiàng)為正其中三項(xiàng)為正, , 三三項(xiàng)為負(fù)項(xiàng)為負(fù). .1.1 1.1 二階與三階行列式二階與三階行列式解：解： 按對(duì)角線法則，有按對(duì)角線法則，有14. 1.1 1.1 二階與三階行列式二階與三階行列式124221.342D 例例 1.2計(jì)算三階行列式計(jì)算三階行列式1

10、 1 42 ( 2) ( 2)( 4)2 ( 3) 46324824 D 12( 2) 2 1 ( 3) ( 4) ( 2)4 .xx211123049例例 1.3解：解： 方程左端方程左端Dxxxx2234189212,xx2561.1 1.1 二階與三階行列式二階與三階行列式xx2560由由解得解得x 2或者或者x 3.3.求解方程求解方程,baaDbaabaa1121312222333233記記,;a xa xa xba xa xa xba xa xa xb1111221331211222233231132233330 , 3、利用三階行列式求解三元線性方程組利用三階行列式求解三元線性方

11、程組,abaDabaaba1111322122331333.aabDaabaab1112132122231323aaaDaaaaaa111213212223313233若若則三元線性方程組的解為則三元線性方程組的解為: :,11DxD,22DxD33.DxD 例例 1.4,fx ,.fff1023328解：解： 設(shè)所求的二次多項(xiàng)式為設(shè)所求的二次多項(xiàng)式為 ,f xaxbxc2由題意得由題意得 ,fabc10 ,fabc2423,fabc393281.1 1.1 二階與三階行列式二階與三階行列式求一個(gè)二次多項(xiàng)式求一個(gè)二次多項(xiàng)式 使得使得 2231.fxxx0 ,423 ,9328;abcabcab

12、c 得到一個(gè)關(guān)于未知數(shù)得到一個(gè)關(guān)于未知數(shù) 的線性方程組的線性方程組, , ,a b c又又200 ,D 12340,60,20.DDD 得得,aDD12,bDD 23cDD31故所求多項(xiàng)式為：故所求多項(xiàng)式為：1.1 1.1 二階與三階行列式二階與三階行列式我們已知二階、三階行列式，那么，我們已知二階、三階行列式，那么，有有 n 階行列式嗎？若有，是什么樣子？階行列式嗎？若有，是什么樣子？1.1 1.1 二階與三階行列式二階與三階行列式問(wèn)題：?jiǎn)栴}：全排列及其逆序數(shù)全排列及其逆序數(shù)1、定義、定義 2.1nP(1)n(2)n3 2 1 !.n 1.2 1.2 全排列及其逆序數(shù)全排列及其逆序數(shù)把把 n

13、 個(gè)不同的元素排成一個(gè)序列，叫做這個(gè)不同的元素排成一個(gè)序列，叫做這 n 個(gè)元素的個(gè)元素的全排列全排列（或（或排列排列）. 元素的所有排列的個(gè)數(shù)，通常用元素的所有排列的個(gè)數(shù)，通常用 表示表示.nPn 個(gè)不同的個(gè)不同的n 例例 2.1 排列排列 32514 中的逆序中的逆序. . 我們規(guī)定各元素之間有一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)次序我們規(guī)定各元素之間有一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)次序 , , n 個(gè)不同的個(gè)不同的自然數(shù)，規(guī)定自然數(shù)，規(guī)定由小到大由小到大為為標(biāo)準(zhǔn)次序標(biāo)準(zhǔn)次序.2、排列的逆序數(shù)、排列的逆序數(shù)3 2 5 1 4逆序逆序逆序逆序逆序逆序 1.2 1.2 全排列及其逆序數(shù)全排列及其逆序數(shù)定義定義 2.2 在一個(gè)排列在一個(gè)排列 中中

14、, 12tsni iiii 則稱這兩個(gè)元素組成一個(gè)則稱這兩個(gè)元素組成一個(gè)逆序逆序.若若 的順的順,tsii序與標(biāo)準(zhǔn)次序不同序與標(biāo)準(zhǔn)次序不同 ,排在排在 i 前面且比前面且比 i 大的數(shù)的個(gè)大的數(shù)的個(gè)數(shù)稱為數(shù)稱為 i 的逆序數(shù)的逆序數(shù) , 一個(gè)排列中所有逆序的總數(shù)稱為此一個(gè)排列中所有逆序的總數(shù)稱為此排排列的逆序數(shù)列的逆序數(shù). .例例 2.2 排列排列 32514 的逆序數(shù)的逆序數(shù). . 3 2 5 1 4逆序數(shù)為逆序數(shù)為31010故此排列的逆序數(shù)為故此排列的逆序數(shù)為 3+1+0+1+0=5 . 1.2 1.2 全排列及其逆序數(shù)全排列及其逆序數(shù)定義定義 2.3記為記為 ( ).t i排列的逆序數(shù)等

15、于排列中每排列的逆序數(shù)等于排列中每個(gè)元素的逆序數(shù)之和個(gè)元素的逆序數(shù)之和.計(jì)算排列逆序數(shù)的方法：計(jì)算排列逆序數(shù)的方法：逆序數(shù)為奇數(shù)的排列稱為逆序數(shù)為奇數(shù)的排列稱為奇排列奇排列; ;逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱為逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱為偶排列偶排列. .3、排列的奇偶性、排列的奇偶性 算出排列中每個(gè)元素的逆序數(shù)算出排列中每個(gè)元素的逆序數(shù); ; 1.2 1.2 全排列及其逆序數(shù)全排列及其逆序數(shù) 每個(gè)元素的逆序數(shù)之總和即為所求排列每個(gè)元素的逆序數(shù)之總和即為所求排列 的逆序數(shù)的逆序數(shù). . 例例 2.3 計(jì)算下列排列的逆序數(shù)計(jì)算下列排列的逆序數(shù) , , 并討論奇偶性并討論奇偶性 . . 1217 9 8 6 3

16、5 4解：解：2 1 7 9 8 6 3 5 4544310010t 18, 54 4310010 1.2 1.2 全排列及其逆序數(shù)全排列及其逆序數(shù)故為偶排列故為偶排列 . 2123 21n nn解：解：21 12.n nt 2n 123 21n nn 1n2n 1.2 1.2 全排列及其逆序數(shù)全排列及其逆序數(shù) 1n當(dāng)當(dāng) 時(shí)為偶排列；時(shí)為偶排列；14 ,4 kkn當(dāng)當(dāng) 時(shí)為奇排列時(shí)為奇排列. .34 , 24 kkn 22122212331kkkkkk 123k3210k-1 321 21 2 22 3 231kkkkkk 解：解： 1.2 1.2 全排列及其逆序數(shù)全排列及其逆序數(shù) 01122

17、11tkkk 于是于是 0112211tkkk 2 1112kkk2,k 于是排列的逆序數(shù)為于是排列的逆序數(shù)為當(dāng)當(dāng) 為偶數(shù)時(shí)，為偶數(shù)時(shí)，k故故當(dāng)當(dāng) 為奇數(shù)時(shí)，為奇數(shù)時(shí)，k 1.2 1.2 全排列及其逆序數(shù)全排列及其逆序數(shù)排列為偶排列，排列為偶排列，排列為奇排列排列為奇排列.一、概念的引入一、概念的引入aaaDaaaaaa111213212223313233a a aa a aa a a112233122331132132a a aa a aa a a13223111 23321221 33說(shuō)明說(shuō)明（1）三階行列式共有三階行列式共有 6 項(xiàng)，即項(xiàng)，即 3! 項(xiàng)項(xiàng)（2）每項(xiàng)都是位于）每項(xiàng)都是位于不

18、同行不同列不同行不同列的三個(gè)元素的的三個(gè)元素的乘積乘積（3）每項(xiàng)的正負(fù)號(hào)都取決于位于不同行不同列的三每項(xiàng)的正負(fù)號(hào)都取決于位于不同行不同列的三 個(gè)元素的個(gè)元素的列標(biāo)排列列標(biāo)排列 1.3 n 1.3 n 階行列式的定義階行列式的定義 333231232221131211aaaaaaaaaD 332112322311312213aaaaaaaaa 123111213212223123313233pppaaaaaaaaaaaa02322113312312332211aaaaaaaaa 2311 123(,)( 1)t ppp123p p p二、二、n 階行列式的定義階行列式的定義定義定義 3.1 1.

19、3 n 1.3 n 階行列式的定義階行列式的定義 由由 n2n個(gè)數(shù)組成的個(gè)數(shù)組成的階行列式階行列式等于所有等于所有n取自不同行不同列的取自不同行不同列的個(gè)元素的乘積個(gè)元素的乘積的代數(shù)和的代數(shù)和nnntp ppppnpp ppaaa121212121其中其中np pp12為自然數(shù)為自然數(shù)1, 2,., n的一個(gè)的一個(gè)排列，排列， 12.ntp pp為該排列的逆序數(shù)為該排列的逆序數(shù).記為記為det(),ija簡(jiǎn)記為簡(jiǎn)記為ija其中數(shù)其中數(shù)為為D的的( , )i j元元 .111212122212nnnnnnaaaaaaDaaa 121212121nnntp ppppnpp ppaaa 1.3 n

20、1.3 n 階行列式的定義階行列式的定義 說(shuō)明說(shuō)明 行列式是一種特定的算式，它是根據(jù)求解方行列式是一種特定的算式，它是根據(jù)求解方 程個(gè)數(shù)和未知量個(gè)數(shù)相同的線性方程組的需要而程個(gè)數(shù)和未知量個(gè)數(shù)相同的線性方程組的需要而定義的定義的; ; 一階行列式一階行列式 不要與絕對(duì)值記號(hào)相混淆不要與絕對(duì)值記號(hào)相混淆 . .aa 1.3 n 1.3 n 階行列式的定義階行列式的定義 階行列式的每項(xiàng)都是位于不同行、不同列階行列式的每項(xiàng)都是位于不同行、不同列 的的 個(gè)元素的乘積個(gè)元素的乘積 ; ;nn 階行列式是階行列式是 項(xiàng)乘積的代數(shù)和項(xiàng)乘積的代數(shù)和 ; ;n!n 的符號(hào)為的符號(hào)為1212nppnpaaa nt

21、p pp 12(.)1;例例 3.1計(jì)算對(duì)角行列式計(jì)算對(duì)角行列式.0001002003004000展開(kāi)式中項(xiàng)的一般形式是展開(kāi)式中項(xiàng)的一般形式是 123412341,tppppaaaa 解：解：所以所以 只能等于只能等于 , , 1p4同理可得同理可得2343,2,1.ppp即行列式中不為零的項(xiàng)為即行列式中不為零的項(xiàng)為 142332411.ta a a a 1.3 n 1.3 n 階行列式的定義階行列式的定義 14 ,p 若若110 ,pa 則則. 24n 21 .12121nnn ;21n n 21例例 3.2 證明證明對(duì)角行列式對(duì)角行列式 . . 1.3 n 1.3 n 階行列式的定義階行列

22、式的定義 12n 12112,111t n nnnna aa 12121.n nn 證明：證明：第一式是顯然的第一式是顯然的, ,下面證第二式下面證第二式. .若記若記,1,i n iia 則依行列式定義可知?jiǎng)t依行列式定義可知12,11nnnaaa 1.3 n 1.3 n 階行列式的定義階行列式的定義 3213 ,2 ,1,npnpp 所以可能不為零的項(xiàng)只有所以可能不為零的項(xiàng)只有1122.nna aa例例 3.3 計(jì)算計(jì)算上三角行列式上三角行列式 ,.nnnnnnnnnnaaaaaaaaaa111211122212111000000觀察觀察,nnpa觀察觀察11,nnpa 進(jìn)而進(jìn)而;npn 則則11,npn 則則設(shè)展開(kāi)式中設(shè)展開(kāi)式中 有可能不為零有可能不為零 .解：解： 1212