第14章常微分方程的MATLAB求解

1、第14章 常微分方程的MATLAB求解編者 Outlinen14.1 微分方程的基本概念微分方程的基本概念n14.2 幾種常用微分方程類型幾種常用微分方程類型n14.3 高階線性微分方程高階線性微分方程n14.4 一階微分方程初值問題的數(shù)值解一階微分方程初值問題的數(shù)值解n14.5 一階微分方程組和高階微分方程的數(shù)值解一階微分方程組和高階微分方程的數(shù)值解n14.6 邊值問題的數(shù)值解邊值問題的數(shù)值解14.1 微分方程的基本概念微分方程微分方程：一般的，凡表示未知函數(shù)、未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與自變量之間的關(guān)系的方程，叫做微分方程，有時(shí)也簡(jiǎn)稱方程。微分方程的階微分方程的階：微分方程中所出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階導(dǎo)

2、數(shù)的階數(shù)，叫做微分方程的階微分方程的解微分方程的解：找出這樣的函數(shù)，把這函數(shù)代入微分方程能使該方程成為恒等式。這個(gè)函數(shù)就叫做微分方程的解。微分方程的通解微分方程的通解：如果微分方程的解中含有任意常數(shù)，且任意常數(shù)的個(gè)數(shù)與微分方程的階數(shù)相同，這樣的解叫做微分方程的通解。初始條件初始條件：設(shè)微分方程中的未知函數(shù)為 ，如果微分方程是一階的，通常用來確定任意常數(shù)的條件是 時(shí)， 或?qū)懗?其中 都是給定的值；如果微分方程是二階的，通常用來確定任意常數(shù)的條件是其中 和 都是給定的值，上述這種條件叫做初始條件。確定了通解中的任意常數(shù)以后，就得到微分方程的特解。求微分方程 滿足初始條件 的特解是這樣一個(gè)問題，叫做

3、一階微分方程的初值問題初值問題，記作微分方程的解的圖形是一條曲線，叫做微分方程的積分曲線積分曲線。14.2 幾種常用微分方程類型1.可分離變量的可分離變量的微分方程微分方程 一般的，如果一個(gè)一階微分方程能寫成的形式，就是說，能把微分方程寫成一端只含 的函數(shù)和 ，另一端只含 的函數(shù)和 ，那么原方程就稱為可分離變量的微分方程。2.齊次齊次方程方程 如果一階微分方程可化成 的形式，那么就稱這方程為齊次方程。3.一階線性微分方程一階線性微分方程 線性方程：方程 叫做一階線性微分方程因?yàn)樗鼘?duì)于未知函數(shù)y 及其導(dǎo)數(shù)是一次方程。如果 ， 則上述方程稱為齊次的；如果 ， 則上述方程稱為非齊次的。為了求出非齊次

4、線性方程的解，我們先把 換成零而寫出方程 該方程叫做對(duì)應(yīng)于非齊次線性方程的齊次線性方程。齊次線性方程的通解為 非齊次線性方程的通解為伯努利方程：方程 叫做伯努利（Bernoulli）方程。當(dāng) 時(shí)，該方程是線性微分方程，當(dāng) 時(shí)，該方程不是線性的，但是通過變量的替換，便可把它化為線性的4.可降階的可降階的高階微分方程高階微分方程 型的微分方程：微分方程 的右端僅含有自變量 x ，容易看出，只要把 作為新的未知函數(shù)，那么微分方程 即化為新未知函數(shù) 的一階微分方程，兩邊積分，就得到一個(gè) 階的微分方程同理可得依此法繼續(xù)進(jìn)行，接連積分 n次，便得到方程 的含有 n 個(gè)任意常數(shù)的通解。 型的微分方程:方程的

5、右端不顯含未知函數(shù) y。如果我們?cè)O(shè) ，那么因此，方程 就成為 ，這是一個(gè)關(guān)于變量 的一階微分方程，設(shè)其通解為 ，又 因此又得到一個(gè)一階微分方程對(duì)它進(jìn)行積分，便得到方程 的通解為 型的微分方程：方程中不顯含自變量x ，為了求出它的解，我們令 ，并利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則把 化為對(duì) 的導(dǎo)數(shù)，即這樣，方程 就成為 這是一個(gè)關(guān)于變量 的一階微分方程，設(shè)它的通解為 分離變量并積分，便得方程 的通解為 14.3 高階線性微分方程1.1.線性微分方程解的線性微分方程解的結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu) 在 n 階微分方程 中， 若 是 的一次有理整式，則稱此方程為 n 階線性微分方程。一般形式可寫成：線性微分方程解的結(jié)構(gòu)定理： 如果

6、是方程的n個(gè)線性無關(guān)的解，則該方程的通解為 其中 是任意常數(shù)。 設(shè) 是方程 的一個(gè)特解， 是對(duì)應(yīng)的齊次線性方程的通解，則是上述方程的通解。 若 和 分別是方程與 的特解，則是方程 的特解2.2.常系數(shù)線性微分方程的常系數(shù)線性微分方程的MATLABMATLAB符號(hào)求解符號(hào)求解 MATLAB中提供了dsolve函數(shù)求解微分方程（組）。該函數(shù)允許用字符串的形式描述微分方程及初值、邊值條件，最終將給出微分方程的解析解。14.4 一階微分方程初值問題的數(shù)值解1.歐拉法及其歐拉法及其MATLAB實(shí)現(xiàn)實(shí)現(xiàn) 對(duì)于一階微分方程的初值問題 ，若要求其數(shù)值解，我們可以采用離散化方法。在求解區(qū)間 上取一組節(jié)點(diǎn)：稱 為

7、步長(zhǎng)。為簡(jiǎn)單起見，僅考慮等距步長(zhǎng) ，即 將方程 的兩端在區(qū)間 上積分，得到 即 應(yīng)用左矩形公式 ： ，則有略去上式中的 ，得 考慮到 ，設(shè)已求得 ， 的1個(gè)近似值 ，則由上式可得 由可依次求出 。稱上式即為求解初值問題的Euler公式。 2.2. Runge-KuttaRunge-Kutta法及其法及其MATLABMATLAB實(shí)現(xiàn)實(shí)現(xiàn) 考慮微分方程 ，由Lagrange微分中值定理，存在 ，使得于是，由 得 記 ，則稱 為區(qū)間 上的平均斜率。這樣，只要給出了 的一種算法，就可以得到求解微分方程初值問題的一種計(jì)算公式。顯然，顯式Euler公式就是以 作為平均斜率 的近似。經(jīng)典四階Runge-Ku

8、tta方法的迭代公式：14.5 一階微分方程組和高階微分方程的數(shù)值解1. 一一階微分方程階微分方程組組 前面研究的是求解單微分方程 的數(shù)值解法，對(duì)于微分方程組，只需將y 理解成向量， 理解成向量函數(shù)，那么對(duì)前面研究過的各種計(jì)算公式即可用到一階微分方程組上來。2. 高階微分方程高階微分方程 對(duì)于高階微分方程組的數(shù)值求解，首先應(yīng)將其變換成一階顯式常微分方程組。其具體轉(zhuǎn)換方法如下：（1）將微分方程的最高階變量移到等式的左邊，其他移到右邊，并按階次從低到高排列，（這里以兩個(gè)高階微分方程的轉(zhuǎn)換為例）假設(shè)兩個(gè)高階微分方程最后能夠顯式的表達(dá)成下述形式：（2）為每一階微分式選擇狀態(tài)變量，最高階除外（3）根據(jù)（

9、2）中選用的狀態(tài)變量，寫出所有狀態(tài)變量的一階微分的表達(dá)式最后，對(duì)初值進(jìn)行相應(yīng)的變換，就可以得到所期盼的一階微分方程組了。3.微分方程組的微分方程組的MATLAB求解求解函數(shù)函數(shù) MATLAB提供了一系列的函數(shù)來求解微分方程組，包括ode系列函數(shù)，另外還提供了幾類特殊的微分方程的求解函數(shù)，例如ode15s，ode15i等。14.6 邊值問題的數(shù)值解1.打靶法打靶法 打靶法也稱為試射法，其基本思想是把邊值問題作初值問題來求解，從滿足左端邊界條件的解曲線中尋找也滿足右端邊界條件的解。線性方程邊值問題的打靶法線性方程邊值問題的打靶法：考慮如下給出的二階線性邊值問題該邊值問題的打靶法求解過程可以由如下步

10、驟完成：（1）計(jì)算下面齊次微分方程在區(qū)間 上的數(shù)值解 ， ，初值條件： ；（2）計(jì)算下面齊次微分方程在區(qū)間 上的數(shù)值解 ， ，初值條件： ；（3）計(jì)算下面初值問題在區(qū)間 上的數(shù)值解 ， ，初值條件 ： ；（4）若 ，則計(jì)算 ；（5）計(jì)算下面初值問題的數(shù)值解，則 即為原邊值問題的數(shù)值解 ，初值條件：非線性方程邊值問題的打靶法非線性方程邊值問題的打靶法：考慮二階常微分方程 的邊值問題，邊界條件為 。假定該問題可以轉(zhuǎn)換為下面的初值問題則問題轉(zhuǎn)化為求解 ，這是一個(gè)復(fù)雜的超越方程，可以考慮引入牛頓迭代法求解參數(shù) m。具體的迭代公式為：式中 通過這些關(guān)系可以建立方程具體計(jì)算中可以指定一個(gè)m 值，然后求解上面的初值問題，將結(jié)果代入上面的迭代公式中迭代一步，并將結(jié)果代入上式中重新計(jì)算，直至兩次計(jì)算出來的 m值的誤差在允許的范圍內(nèi)為止，最后將 m值代入初值問題 即可求解原始問題。2.邊值問題的邊值問題的MATLAB函數(shù)求解函數(shù)求解 MATL