矩陣論廣義逆矩陣

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上第六章 廣義逆矩陣 當(dāng)A是n階方陣，且detA0時(shí)，A的逆矩陣才存在，此時(shí)線性方程組Ax=b的解可以簡(jiǎn)潔地表示為x=近幾十年來，由于解決各種問題的需要，人們把逆矩陣的概念推廣到不可逆方陣或長(zhǎng)方矩陣上，從而產(chǎn)生了所謂的廣義逆矩陣這種廣義逆矩陣具有通常逆矩陣的部分性質(zhì)，并且在方陣可逆時(shí)，它與通常的逆矩陣相一致；而且這種廣義逆矩陣可以給出線性方程組(包括相容的和矛盾的方程組)各種“解”的統(tǒng)一描述 1920年，由于不知道它的應(yīng)用，所以一直未受到重視直到1955年R.Penrose利用四個(gè)矩陣方程給出廣義逆矩陣的更簡(jiǎn)便實(shí)用的定義后，它才引起普遍關(guān)注，并得到迅速發(fā)展目前，廣義逆矩

2、陣已形成了一套既系統(tǒng)又完整的理論，并在許多學(xué)科得到廣泛的應(yīng)用個(gè)人收集整理 勿做商業(yè)用途§6.1 廣義逆矩陣的概念 定義6.1 設(shè)A，如果X滿足下列四個(gè)Penrose方程 (1)AXA=A； (2)XAX=X； (3)； (4)的某幾個(gè)或全部，則稱X為A的廣義逆矩陣，滿足全部四個(gè)方程的廣義逆矩陣X稱為A的Moore-Penrose逆?zhèn)€人收集整理 勿做商業(yè)用途 顯然，如果A是可逆矩陣，則滿足四個(gè)Penrose方程 按照這一定義，可以分為滿足一個(gè)、二個(gè)、三個(gè)或四個(gè)Penrose方程的廣義逆矩陣，一共有類 以下定理表明，Moore-Penrose逆是存在并且惟一的，從而上述的15類廣義逆矩陣

3、都是存在的 定理6.1 設(shè)，則A的Moore-Penrose逆存在且惟一 證 設(shè)rankAr若r0，則A是m×n零矩陣，可以驗(yàn)證n×m零矩陣滿足四個(gè)Penrose方程若r>0，由定理419知，存在m階酉矩陣U和n階酉矩陣V使得個(gè)人收集整理 勿做商業(yè)用途其中=diag，而是A的非零奇異值記則易驗(yàn)證X滿足四個(gè)Penrose方程，故A的Moore-Penrose逆存在 再證惟一性設(shè)X，Y都滿足四個(gè)Penrose方程，則(為了敘述簡(jiǎn)明，在等號(hào)上注明了推演時(shí)所依據(jù)的方程號(hào))個(gè)人收集整理 勿做商業(yè)用途從而A的Moore-Penrose逆是惟一的證畢 需要指出的是只要A不不可逆矩陣

4、，則除Moore-Penrose逆以外的其他14類廣義逆矩陣都不是惟一的個(gè)人收集整理 勿做商業(yè)用途 定義6.2 設(shè)，若滿足Penrose方程中的第(i)，(j)，(l)等方程，則稱X為A的i，j，l-逆，記為，其全體記為Ai，j，lA的惟一的Meore-Penrose逆記為，也稱之為A的加號(hào)逆?zhèn)€人收集整理 勿做商業(yè)用途 在上述15類廣義逆矩陣中，應(yīng)用較多的是以下5類：A1， A1，2， A1，3， A1，4， 由于1-逆是最基本的，而惟一且同時(shí)包含在15類廣義逆矩陣集合中，所以與在廣義逆矩陣中占有十分重要的地位以下主要對(duì)這兩類廣義逆矩陣進(jìn)行討論個(gè)人收集整理 勿做商業(yè)用途§6.2 1-

5、逆及其應(yīng)用 一、1-逆的計(jì)算及有關(guān)性質(zhì) 利用定理4.14的結(jié)果可以方便地求出1-逆 定理6.2 設(shè)(r>0)，且有和n階置換矩陣P使得則對(duì)任意矩陣是A的1-逆；當(dāng)L=O時(shí)，X是A的1，2-逆 證 因?yàn)槿菀昨?yàn)證，由式(6.1)給出的矩陣X滿足AXA=A所以XA1 當(dāng)L=O時(shí)，易知式(6.1)的矩陣X還滿足XAX=A，故XA1，2證畢 需要指出的是，式(6.1)中矩陣L任意變化時(shí)，所得到的矩陣X并非是滿足AXA=A的所有矩陣，即只是A1的一個(gè)子集個(gè)人收集整理 勿做商業(yè)用途例61 已知矩陣，求解 48已求得，使得從而由式（61），得利用等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形可以求出1-逆的全體定理63 設(shè)，且和使得則，（

6、62）證 可知令X=TS直接驗(yàn)證知AXA=A，即XA1反之，若XA1，可設(shè)由AXA=A，得當(dāng)，而，和為適當(dāng)階的任意矩陣時(shí)，上式成立故式(62)右邊給出了A的所有1-逆 證畢 推論 設(shè)，則A有惟一1-逆的充分必要條件是m=n，且rankA=n，即A可逆這個(gè)惟一的1-逆就是個(gè)人收集整理 勿做商業(yè)用途 下面定理給出了1-逆的一些性質(zhì) 定理64 設(shè)，則 (1)，； (2)，其中C，且 （63）(3)當(dāng)，時(shí)，有；(4)；(5)；(6)的充分必要條件是rankA=m；(7)的充分必要條件是rankA=n證 (1)(3)由定義直接得到；(4)rankArank；(5)與(4)的證明類似；(6)如果，則由(5

7、)，得反之，如果rankA=m則由(5)知，=rankA=m又是m階方陣，從而它是可逆矩陣注意到，兩邊同乘即得；個(gè)人收集整理 勿做商業(yè)用途 同理可證(7)證畢 二、1-逆的應(yīng)用 利用1-逆可以求解矩陣方程及線性方程組 定理6.5 設(shè)，則矩陣方程AXB=D有解的充分必要條件是(6.4)其中，當(dāng)矩陣方程有解時(shí)，其通解為 (任意) (65) 證 如果式(64)成立，則是AXB=D的解反之，如果AXB=D有解，則 將式(65)代入矩陣方程AXBD的左邊并利用式(6.4)及1-逆的定義，可推出等于D，這說明式(65)是矩陣方程AXBD的解反之，設(shè)是AXBD的任一解，則有個(gè)人收集整理 勿做商業(yè)用途它相當(dāng)于

8、在式(65)中取故式(65)給出了AXBD的通解證畢 推論1 設(shè)，則有 證 由定理65可知，AXAA的通解為 (任意)令，代入上式得證畢 上述推論用某一個(gè)給定的，便給出了集合A1的全部元素 推論2 設(shè)，則線性方程組Axb有解的充分必要條件是 (66)其中A(1)A1如果Axb有解，其通解為 (67) 從式(67)可以看出：Axb的通解由兩部分構(gòu)成，其中是Axb的一個(gè)特解，而()y為Ax0的通解個(gè)人收集整理 勿做商業(yè)用途 例62 用廣義逆矩陣方法求解線性方程組解 令 A=，b=例61已求得A的1-逆為(取=0)容易驗(yàn)證所以線性方程組有解，且通解為（） 推論2表明，利用某個(gè)1-逆可以解決線性方程組

9、的求解問題反之，利用線性方程組的解也可以給出1-逆?zhèn)€人收集整理 勿做商業(yè)用途 定理66 設(shè)，若對(duì)于使得線性方程組Ax=b有解的所有b，x=Xb都是解，則 證 記為A的第j列，則線性方程組Ax=都有解(因?yàn)榫褪墙?由于是線性方程組的解，即從而故XA1證畢 三、由1-逆構(gòu)造其他的廣義逆矩陣 利用1-逆可以構(gòu)造出其他的廣義逆矩陣 定理67 設(shè)，Y，ZA1記XYAZ，則XA1，2 證 由定義直接得到 證畢 因?yàn)樵赑enrose方程(1)和(2)中，A與X的位置是對(duì)稱的，所以XA1，2與AX1，2是等價(jià)的，即A和X總是互為1，2-逆，這與通常逆矩陣所具有的性質(zhì)=A類似，因此也經(jīng)常稱之為自反廣義逆矩陣個(gè)人

10、收集整理 勿做商業(yè)用途 引理61 設(shè)，且rank(AB)rankA則存在矩陣，使得AABW 證 將A按列分塊為A()，考慮線性方程組 (j=1,2,n) (68) 因?yàn)?rank(AB)rank(AB，)=rank(AB，) =rankA(B，)rankA=rank(AB)所以rank(AB，)=rank(AB)，即式(68)的諸線性方程組都有解，設(shè) (AB) (j=1，2，n)， W=()則有A=()=AB()=ABW 證畢 在式(61)中取L=O，即有XA1，2，此時(shí)rankX=r=rankA這個(gè)結(jié)論具有一般性定理68 設(shè)，則的充分必要條件是rankX=rankA 證 若XA1，2，則有

11、rankA=rank(AXA)rankX=rank(XAX)rankA 即rankX=rankA 反之，若XA1，且rankX=rankA由定理6.4知rankX=rankA=rank(XA)從而根據(jù)引理6.1，存在矩陣，使得X=XAW，故XAX=XA(XAW)=XAW=X 即XA1，2證畢 為了構(gòu)造1，2，3-逆和1，2，4-逆，要用到與的1-逆 定理69 設(shè)，則 Y=1，2，3， Z=1，2，4 證 由定理1.26知 rank()=， rank()=rankA 根據(jù)引理61，存在，使得或 于是AYA= 即YA1由1-逆的性質(zhì)知rankYrankA，又有 rankY=rank 故由定理68得

12、YA1，2又因?yàn)锳Y= = 可見，故YA1，2，3 同理可證ZA1，2，4證畢 定理610 設(shè)，且則 證 記由定理67知XA1，2又因?yàn)樗?所以可見XA1，2，3，4由于A1，2，3，4只含一個(gè)元素，故證畢§63 Moore-Penrose逆 一、的計(jì)算及有關(guān)性質(zhì) 定理61給出了利用奇異值分解求的方法這里給出的利用滿秩分解求的方法較為簡(jiǎn)便 定理611 設(shè)(r>0)，且A的滿秩分解為A=FG (，)則 證 由定理126知，rank()=rankG=r，rank()=rankF=r，從而與都是r階可逆矩陣記個(gè)人收集整理 勿做商業(yè)用途 容易驗(yàn)證X滿足四個(gè)Penrose方程，故X=證

13、畢 推論 設(shè)則當(dāng)rankA=m時(shí)，有而當(dāng)rankA=n時(shí)，有 例63 求下列矩陣的Moore-Penrose逆：(1)；（2）解 （1）例49已求得于是 （2） 由于的惟一性，它所具有的一些性質(zhì)與通常逆矩陣的性質(zhì)相仿，歸納如下 定理612 設(shè)，則 (1)； (2)， (3)，其中C，且如式(63)； (4)； (5)； (6)； (7)，； (8)當(dāng)U和V分別是m階與n階酉矩陣時(shí)，有 (9)的充分必要條件是rankA=m； (10)的充分必要條件是rankA=n 證 只證(6)，其余結(jié)論直接利用的定義或仿定理64證明 記，由定理69知XA1，2，3余下只要驗(yàn)證X滿足Penrose方程(4)因?yàn)?/p>

14、上式右邊是Hermite矩陣，故，即XA1，2，3，4，從而 同理可證證畢 應(yīng)當(dāng)指出，有關(guān)逆矩陣的另外一些性質(zhì)對(duì)于一般不再成立： 對(duì)于同階可逆矩陣A和B有，定理612中之(7)表明對(duì)矩陣A和，Moore-Penrose逆有類似的性質(zhì)但一般來說該性質(zhì)不成立如，設(shè)A=(1 1)，B=，于是AB=(1)，而個(gè)人收集整理 勿做商業(yè)用途，故 對(duì)可逆矩陣A有當(dāng)A是長(zhǎng)方陣時(shí)，與的階數(shù)不等即使A為方陣，也不一定有如，設(shè)，有，從而，可見 二、在解線性方程組中的應(yīng)用 利用1-逆已經(jīng)解決了判斷線性方程組是否有解及求通解的問題由于是特殊的1-逆，所以相應(yīng)地有 定理6.13 設(shè)，則線性方程組Ax=b有解的充分必要條件是

15、且通解為 （任意） (69) 由式(69)可知，如果線性方程組Axb有解，則當(dāng)且僅當(dāng)，即rankAn時(shí)解惟一在實(shí)際問題中，常需求出線性方程組的無(wú)窮多個(gè)解中2-范數(shù)最小的解，即個(gè)人收集整理 勿做商業(yè)用途稱為線性方程組Ax=b的極小范數(shù)解 定理614 設(shè)，且Ax=b有解則它的惟一極小范數(shù)解為 證 對(duì)于式(69)給出的Ax=b的通解x，有可見，即是極小范數(shù)解 再證惟一性設(shè)是Ax=b的極小范數(shù)解，則，且存在，使得與前面推導(dǎo)過程類似，有從而，即，從而證畢 當(dāng)線性方程組無(wú)解時(shí)，往往希望求出它的最小二乘解(見式(312)利用Moore-Penrose逆可以解決這一問題個(gè)人收集整理 勿做商業(yè)用途定理6.15設(shè)

16、，矛盾方程組Ax=b的全部最小二乘解為 （6.10）證 由式（6.10）可求得對(duì)任意，有于是這表明式（6.10）給出的z都是Ax=b的最小二乘解。又設(shè)是Ax=b的任一最小二乘解，則有與前面推導(dǎo)過程類似，有從而=0，即，可見是線性方程組的解，由于，根據(jù)定理6.13知，上述方程組有解，且通解為故可見式（6.10）給出了Ax=b的全部最小二乘解。 由定理6.15的推證過程可得如下結(jié)論。 推論1 設(shè)，則設(shè)是矛盾方程組Ax=b的最小二乘解的充分必要條件是，z 是方程組的解。 推論2 設(shè)，則設(shè)是矛盾方程組Ax=b的最小二乘解的充分必要條件是，z 是方程組的解。 證 若z是Ax=b的最小二乘解，由推論1知，z是的解，于是即z是的解，則有 證畢 由式（6.10）可見，矛盾方程Ax=b的極小范數(shù)最小二乘解或最佳逼近解。 定理6.16 設(shè)，則矛盾方程組Ax=b的唯一極小范數(shù)最小二乘解為。 證 由推論1知，Ax=b的極小范數(shù)最小二乘解就是的唯一極小范數(shù)解，根據(jù)定理6.14可求得 證畢個(gè)人收集整理 勿做商業(yè)用途 綜上所述，可以得到利用Moore-Penr